专题二 微专题2 解三角形-【创新大课堂】2026年高考二轮数学专题复习

微专题2　解三角形 [考情分析]　解三角形主要考查一是求边长、角度、面积等，二是利用三角恒等变换，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围等问题，综合性较强，中等难度． 考点一　正弦定理、余弦定理 1．正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径). 2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc cos A， b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C. 3．三角形的面积公式：S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A． [例1]　(2025·新高考Ⅰ卷)已知△ABC的面积为，cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝2，cos A cos B sin C＝，则(　　) A．sin C＝sin2A＋sin2B B．AB＝ C．sinA＋sin B＝ D．AC2＋BC2＝3 【分析】　对cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝2由二倍角公式先可推知A选项正确，方法一分情况比较A＋B和的大小，方法二亦可使用正余弦定理讨论解决，方法三可结合射影定理解决，方法四可在法三的基础上，利用和差化积公式，回避讨论过程；，然后利用cos A cos B sin C＝算出A，B取值，最后利用三角形面积求出三边长，即可判断每个选项． 解析　三角恒等变换＋解三角形 A(√)【如何判断A选项呢？发现所给式子中有2A，2B，考虑利用余弦的二倍角公式化简变形即可判断】cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝1－2sin2A＋1－2sin2B＋2sinC＝2，所以sin2A＋sin2B＝sinC. B(√)【根据正弦定理得出a2＋b2≥c2，利用分类讨论的方法判断出a2＋b2＝c2，得出C＝，再结合题目中的第三个条件cos A cos B sin C＝，进而求解】令a＝BC，b＝AC，c＝AB，则＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)，由sin2A＋sin2B＝sinC，得a2＋b2＝c·2R≥c2.若a2＋b2>c2，则△ABC为锐角三角形，则A＋B>，即A>－B，则sin A>sin ＝cos B，所以sin C＝sin2A＋sin2B>cos2B＋sin2B＝1，矛盾．故a2＋b2＝c2，即C＝A＋B＝，所以cos(A＋B)＝cos A cos B－sin A sin B＝0，又cos A cos B sin C＝cos A cos B＝，所以sin A sin B＝.因为S△ABC＝ab sin C＝ab＝，所以ab＝，所以＝(2R)2＝＝2，所以2R＝，所以c＝2R·sin C＝. C(√)【一般情况下，多选题各个选项之间有关联，所以利用选项A及选项B中sin Asin B＝可以作出判断】(sin A＋sin B)2＝sin2A＋sin2B＋2sinA sin B＝sin C＋2sin A sin B＝1＋2×＝，所以sin A＋sin B＝.故选ABC. 答案　ABC 与三角形面积有关问题的解题策略 (1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积； (2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量． 跟踪训练1　(2025·高三江苏扬州二模)在△ABC中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，＝，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形但一定不是直角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形但一定不是等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 C　[由＝得：(a2＋b2)·sin (A－B)＝(a2－b2)sin (A＋B)，且a≠b，∴(a2＋b2)·(sin A cos B－cos A sin B)＝(a2－b2)(sin A cos B＋cos A sin B)，且a≠b，∴(a2＋b2)·(a cos B－b cos A)＝(a2－b2)(a cos B＋b cos A)，∴(a2＋b2)·(a－b)＝(a2－b2)(a＋b)，化简整理得：(a2＋b2)·(a2－b2)＝(a2－b2)c2，即(a2＋b2－c2)(a2－b2)＝0，∴a2＝b2或a2＋b2＝c2，又a≠b，∴△ABC是直角三角形但一定不是等腰三角形．故选C.] 考点二　正弦定理、余弦定理的综合应用 [例2]　(2025·天津卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a sin B＝b cos A，c－2b＝1，a＝. (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求sin (A＋2B)的值． 【分析】　(1)由正弦定理化边为角再化简可求； (2)由余弦定理，结合(1)结论与已知代入可得关于b的方程，求解可得b，进而求得c； (3)利用正弦定理先求B，再由二倍角公式分别求sin 2B，cos 2B，由两角和的正弦可得． 解　(1)第1步：求tan A的值 因为a sin B＝b cos A，所以由正弦定理可得sin A sin B＝sin B cos A， 因为B∈(0，π)，所以sin B>0，所以sin A＝cos A，所以tan A＝. 第2步：确定角A的值 又因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)第1步：由余弦定理求b 因为c－2b＝1，a＝，cos A＝，所以由a2＝b2＋c2－2bc cos A，可得7＝b2＋(2b＋1)2－2b(2b＋1)×，化简得b2＋b－2＝0，又b>0，故b＝1. 第2步：求c的值 由c＝2b＋1，得c＝3. (3)第1步：由正弦定理求sin B 由正弦定理＝，得＝，解得sin B＝. 第2步：由同角三角函数的基本关系求cos B 因为b＝1<3＝c，所以B为锐角，cos B＝＝. 第3步：由二倍角公式求sin2B和cos 2B sin 2B＝2sin B cos B＝， cos 2B＝2cos2B－1＝. 第4步：利用和角公式计算sin(A＋2B) 所以sin (A＋2B)＝sin ＝sin cos 2B＋cos sin 2B＝×＋×＝. 解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略 (1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a＋b与ab相互转化求最值或范围． (2)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简；利用三角函数的性质求最值、范围. 跟踪训练2　 (2025·高三浙江宁波二模)如图，四边形ABCD中，AB＝1，CD＝AD＝2，BC＝3，∠BAD＋∠BCD＝π. (1)求∠BAD； (2)P为边BC上一点，且△PCD的面积为，求△ABP的外接圆半径． 解　(1)因为∠BAD＋∠BCD＝π，所以cos ∠BAD＝－cos ∠BCD， 在△ABD中，由余弦定理得：BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos ∠BAD＝5－4cos ∠BAD， 在△BCD中，由余弦定理得：BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos ∠BCD＝13＋12cos ∠BAD， 两式作差得：8＋16cos ∠BAD＝0，解得cos ∠BAD＝－， 因为∠BAD∈(0，π)，所以∠BAD＝. (2)因为AB＝1，CD＝AD＝2，BC＝3，∠BAD＋∠BCD＝π 由(1)知BD2＝5－4cos ＝7，可得BD＝，且∠PCD＝∠BCD＝， 则S△PCD＝PC·CD sin ∠PCD＝PC＝，所以PC＝2， 在△PCD中，可得PD2＝CD2＋PC2－2CD·PCcos ∠PCD＝4，所以PD＝2， 在△ABD中，可得cos ∠ABD＝＝＝， 在△BCD中，可得cos ∠DBC＝＝＝， 可得∠ABD＝∠DBC，所以cos ∠ABP＝2cos2∠ABD－1＝，则sin∠ABP＝， 所以AP2＝AB2＋BP2－2AB·AP cos ∠ABP＝，解得AP＝， 设△ABP的外接圆半径为R， 由正弦定理得2R＝＝＝，解得R＝， 所以△ABP的外接圆半径为. 考点三　解三角形的实际应用 解三角形应用题的常考类型 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． [例3]　(2025·高三江西南昌二模)南昌双子塔，坐落于红谷滩区赣江北岸，是南昌标志性建筑之一．如图，某人准备测量双子塔中其中一座的高度(两座双子塔的高度相同)，在地面上选择了一座高为t m的大楼CD，在大楼顶部D处测得双子塔顶部B的仰角为α，底部A的俯角为β，则双子塔的高度为(　　) A．m B．m C．m D．m 解析　由题意可得CD＝t m，∠DAC＝β，∠BDA＝α＋β，则在△ADC中，＝，即AD＝，在△ABD中，∠ABD＝－α，由正弦定理得＝，即＝， 所以AB＝＝.故选D. 答案　D 解三角形实际问题的步骤 跟踪训练3　(2025·高三山东潍坊三模)如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内．在A点测得M，N的俯角分别为75°，30°，在B点测得M，N的俯角分别为45°，60°，且AB＝2 km，则MN＝ km. 2　[因为在A点测得M，N的俯角分别为75°，30°， 所以∠MAB＝75°，∠NAB＝30°， 因为在B点测得M，N的俯角分别为45°，60°， 所以∠MBA＝45°，∠NBA＝180°－60°＝120°， 在△ABM中，已知∠MAB＝75°，∠MBA＝45°，∠AMB＝60°， 由正弦定理得＝， 所以AM＝＝＝2； 因为∠NAB＝30°，∠ABN＝120°，则∠ANB＝30°，所以AB＝BN＝2， 在△ABN中，由余弦定理得AN2＝AB2＋BN2－2AB·BN cos 120°＝12＋12＋12， 所以AN＝6， 因为∠MAB＝75°，∠NAB＝30°，故∠MAN＝45°， 在△AMN中，由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN·cos 45°， 故MN2＝8＋36－24＝20，所以MN＝2.故答案为：2.] 学科网（北京）股份有限公司 $