专题一 微专题 3 导数的几何意义及函数的单调性-【创新大课堂】2026年高考二轮数学专题复习

微专题3　导数的几何意义及函数的单调性 [考情分析]　1.导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小．2.应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型，以选择题、填空题的形式考查，或为导数解答题第一问，难度中等，属综合性问题． 考点一　导数的几何意义与运算 1．导数的几何意义 (1)函数在x＝x0处的导数即曲线在点(x0，f(x0))处的切线的斜率. (2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同． (3)切点既在切线上，又在曲线上． 2．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x. [例1]　(2025·新高考Ⅰ卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝ ． 【分析】　方法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；方法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点(x0，y0)与a的方程组，解之即可得解． 解析　方法一：导数的几何意义(设切点求切线法)　设直线y＝2x＋5与曲线y＝ex＋x＋a的切点坐标为(x0，ex0＋x0＋a)，由y＝ex＋x＋a得y′＝ex＋1，所以y′|x＝x0＝ex0＋1＝2，解得x0＝0，所以切点坐标为(0，1＋a)，又切点(0，1＋a)在切线y＝2x＋5上，所以1＋a＝5，解得a＝4. 方法二：对于y＝ex＋x＋a，其导数为y′＝ex＋1，假设y＝2x＋5与y＝ex＋x＋a的切点为(x0，y0)， 则，解得a＝4. 答案　4 求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点． 跟踪训练1　(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A． B． C． D． A　[f′(x)＝，则f′(0)＝ ＝3， 则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1，令x＝0，则y＝1， 令y＝0，则x＝－， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积 S＝×1×＝.故选A.] 考点二　利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数单调性的步骤 (1)求函数y＝f(x)的定义域． (2)求f(x)的导数f′(x). (3)求出f′(x)的零点，划分单调区间． (4)判断f′(x)在各个单调区间内的符号．　 [例2]　已知函数f(x)＝(x－2)ex＋x2－ax.讨论函数f(x)的单调性． 解　f(x)＝(x－2)ex＋x2－ax，函数f(x)的定义域为R， f′(x)＝(x－1)ex＋a(x－1)＝(x－1)(ex＋a). ①当a≥0时， 若x∈(－∞，1)，则f′(x)<0， 所以f(x)在(－∞，1)上单调递减； 若x∈(1，＋∞)，则f′(x)>0， 所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增． ②当－e<a<0时，ln (－a)<1， 若x∈(－∞，ln (－a))∪(1，＋∞)，则f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，ln (－a))，(1，＋∞)上单调递增； 若x∈(ln (－a)，1)，则f′(x)<0， 所以f(x)在(ln (－a)，1)上单调递减． ③当a＝－e时，ln (－a)＝1， 对∀x∈R，f′(x)≥0，所以f(x)在R上单调递增． ④当a<－e时，ln (－a)>1， 若x∈(－∞，1)∪(ln (－a)，＋∞)，则f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，1)，(ln (－a)，＋∞)上单调递增； 若x∈(1，ln (－a))，则f′(x)<0， 所以f(x)在(1，ln (－a))上单调递减． 综上所述，当a≥0时，f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增； 当－e<a<0时，f(x)在(－∞，ln (－a))，(1，＋∞)上单调递增，在(ln (－a)，1)上单调递减； 当a＝－e时，f(x)在R上单调递增； 当a<－e时，f(x)在(－∞，1)，(ln (－a)，＋∞)上单调递增，在(1，ln (－a))上单调递减． (1)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视定义域的限制． (2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，根据根的大小进行分类讨论． (3)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论． 跟踪训练2　(2025·辽宁沈阳三模)已知函数f(x)＝ax－6sin x，x∈(0，). (1)已知f(x)在x＝处的切线斜率为5，求实数a的值； (2)若a＝3，且关于x的方程f(x)＝b有2个不相等的实数解，求b的取值范围； (3)若函数f(x)＝f(x)－x2＋2x cos x在(0，)上单调递增，求a的取值范围． 【分析】　(1)利用导数的几何意义得出f′()＝5，即可解得实数a的值； (2)当a＝3时，由题意可知，直线y＝b与函数f(x)在(0，)上的图象有两个交点，利用导数分析函数f(x)的单调性与极值，数形结合可得出实数b的取值范围； (3)由题意可知，F′(x)≥0对任意的x∈(0，)恒成立，利用导数求出函数F′(x)在(0，)上的值域，可得出关于实数a的不等式，解之即可． 解　(1)因为f(x)＝ax－6sin x， 则f′(x)＝a－6cos x， 由题意可得f′＝a－6cos ＝a－3＝5， 解得a＝8. (2)当a＝3时，f(x)＝3x－6sin x，x∈， 则f′(x)＝3－6cos x，由f′(x)＝0可得x＝，列表如下： x f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 极小值π－3 单调递增 又因为f(0)＝0，f＝－6<0， 因为关于x的方程f(x)＝b有2个不相等的实数解， 则直线y＝b与函数f(x)在上的图象有两个交点，如下图所示： 由图可知，实数b的取值范围是. (3)由题意，当x∈时，f(x)＝ax－6sin x－x2＋2x cos x，则F′(x)＝a－2x－4cos x－2x sin x≥0恒成立，令g(x)＝F′(x)，则g′(x)＝2sin x－2x cos x－2，因为2sin x－2<0，－2x cos x<0， 所以g′(x)<0对任意的x∈恒成立，故函数F′(x)在上单调递减，所以F′(x)∈(a－2π，a－4)， 因为F′(x)≥0对任意的x∈恒成立，所以a－2π≥0，解得a≥2π. 因此，实数a的取值范围是[2π，＋∞). 考点三　单调性的简单应用 1．函数f(x)在区间I上单调递增(或递减)，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在x∈I上恒成立． 2．函数f(x)在区间I上存在单调递增(或递减)区间，可转化为f′(x)>0(或f′(x)<0)在x∈I上有解． [例3]　(1)(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为(　　) A．e2 B．e C．e－1 D．e－2 解析　依题可知，f′(x)＝aex－≥0在(1，2)上恒成立，显然a>0，所以xex≥在(1，2)上恒成立， 设g(x)＝xex，x∈(1，2)， 所以g′(x)＝(x＋1)ex>0， 所以g(x)在(1，2)上单调递增， g(x)>g(1)＝e，故e≥， 即a≥＝e－1，即a的最小值为e－1.故选C. 答案　C (2)(2025·哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝(x－1)3＋sin (x－1)＋5，则不等式f(2x＋1)＋f(1－x)≥10的解集为(　　) A．[0，＋∞) B．[1，＋∞) C．[2，＋∞) D．[3，＋∞) 解析　由题可得f(x＋1)－5＝x3＋sin x， 所以f(－x＋1)－5＝(－x)3＋sin (－x) ＝－x3－sin x， 即有f(x＋1)－5＋f(－x＋1)－5＝0， 即f(x＋1)＝10－f(1－x)， 故不等式f(2x＋1)＋f(1－x)≥10等价于f(2x＋1)≥f(x＋1)，又f′(x)＝3(x－1)2＋cos (x－1)， 当x∈[1－，1＋]时，cos (x－1)≥0， 故f′(x)>0， 当x∈(－∞，1－)∪(1＋，＋∞)时， 3(x－1)2>3×()2>1，cos (x－1)∈[－1，1]， 故f′(x)>0，即f′(x)>0恒成立，故f(x)在R上单调递增，故由f(2x＋1)≥f(x＋1)可得2x＋1≥x＋1，即x≥0.故选A. 答案　A 利用导数比较大小或解不等式的策略 利用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或解不等式的问题，转化为利用导数研究函数单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式． 跟踪训练3　(2025·山东威海市三模)已知函数f(x)＝ax－loga(x＋1)(a>1)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，则a的取值范围是(　　) A．(1，e]　　B．(1，e)　C．[e，＋∞)　D．(e，＋∞) 【分析】　求导，由题意将问题转换成ax(x＋1)(ln a)2<1有解，构造函数g(x)＝ax(x＋1)(ln a)2，由其单调性得到g(0)＝(ln a)2<1，求解即可． B　[求导可得f′(x)＝ax ln a－，由题意f′(x)＝ax ln a－<0有解，即ax ln a<有解，即ax(x＋1)(ln a)2<1有解，令g(x)＝ax(x＋1)(ln a)2，因为a>1，易知g(x)＝ax(x＋1)(ln a)2在(0，＋∞)单调递增，此时g(0)＝(ln a)2，所以(ln a)2<1，又a>1，ln a>0，所以0<ln a<1，解得：1<a<e，所以a的取值范围是(1，e).故选B.] 学科网（北京）股份有限公司 $