专题一 微专题 2 基本初等函数、函数与方程-【创新大课堂】2026年高考二轮数学专题复习

微专题2　基本初等函数、函数与方程 [考情分析]　1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型．2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现.3.函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型． 考点一　基本初等函数的运算、图象与性质 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两种函数图象的异同． [例1]　(2025·新高考Ⅰ卷)已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能为(　　) A．x>y>z B．x>z>y C．y>x>z D．y>z>x 【分析】　方法一：设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，对m讨论赋值求出x，y，z，即可得出大小关系，利用排除法求出； 方法二：根据数形结合解出． 解析　解法一　令 2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝0，得x＝，y＝，z＝，此时x>y>z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝5，得x＝8，y＝9，z＝1，此时y>x>z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝8，得x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y>z>x.故选B. 解法二　设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝t，则x＝2t－2＝f(t)，y＝3t－3＝g(t)，z＝5t－5＝h(t)，在同一平面直角坐标系中画出函数f(t)，g(t)，h(t)的图象，(提示：可先画出 y＝2t，y＝3t，y＝5t 的图象，然后分别向右平移2，3，5个单位长度，即可得到函数f(t)，g(t), h(t)的图象) 由图可知x，y，z的关系不可能为x>z>y.故选B. 答案　B (1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，首先要看底数a的取值范围． (2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化． 跟踪训练1　(2024·全国甲卷)已知a>1，且－＝－，则a＝ ． 64　[由题知a>1，则log2a>0，－＝－log2a＝－， 整理得(log2a)2－5log2a－6＝0， 则log2a＝－1(舍去)或log2a＝6， 所以log2a＝6＝log226， 故a＝26＝64.故答案为：64.] 考点二　函数的零点 判断函数零点个数的方法 (1)利用函数零点存在定理判断． (2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性． 考向1　函数零点个数的判断 [例2]　(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos (2x＋)的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　因为y＝cos (2x＋)向左平移个单位长度所得函数为 y＝cos ＝cos (2x＋) ＝－sin 2x，所以f(x)＝－sin 2x， 而y＝x－显然过(0，－)与(1，0)两点， 作出y＝f(x)与y＝x－的大致图象如图所示， 考虑2x＝－，2x＝，2x＝， 即x＝－，x＝，x＝处f(x)与y＝x－的大小关系， 当x＝－时，f(－)＝－sin (－)＝－1， y＝×(－)－＝－<－1； 当x＝时，f()＝－sin ＝1， y＝×－＝<1； 当x＝时，f()＝－sin ＝1， y＝×－＝>1. 所以由图可知，f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为3.故选C. 答案　C 考向2　求参数的值或范围 [例3]　(2025·高三海南海口二模)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝k有3个实数解，则实数k的取值范围为(　　) A．[－3，0) B．(－4，0) C．[－4，－3] D．(－4，－3] 解析　因为方程f(x)＝k有3个实数解，所以y＝f(x)与y＝k的图象有三个交点，因为f(x)＝所以做出y＝f(x)与y＝k的大致图象，如图， 由图可知－4<k≤－3.故选D. 答案　D 已知零点个数求参数范围的方法 1．直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解． 2．数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围． 3．分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解． 跟踪训练2　(2024·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax.当x∈(－1，1)时，曲线y＝f(x)和y＝g(x)恰有一个交点，则a等于(　　) A．－1 B． C．1 D．2 D　[方法一　令f(x)＝g(x)， 即a(x＋1)2－1＝cos x＋2ax， 可得ax2＋a－1＝cos x， 令f(x)＝ax2＋a－1，G(x)＝cos x， 原题意等价于当x∈(－1，1)时， 曲线y＝f(x)与y＝G(x)恰有一个交点， 注意到f(x)，G(x)均为偶函数， 可知该交点只能在y轴上，可得F(0)＝G(0)， 即a－1＝1，解得a＝2， 若a＝2，令f(x)＝G(x)， 可得2x2＋1－cos x＝0， 因为x∈(－1，1)，则2x2≥0，1－cos x≥0， 当且仅当x＝0时，等号成立， 可得2x2＋1－cos x≥0， 当且仅当x＝0时，等号成立， 则方程2x2＋1－cos x＝0有且仅有一个实根0， 即曲线y＝f(x)与y＝G(x)恰有一个交点， 所以a＝2符合题意．故选D. 方法二　令h(x)＝f(x)－g(x) ＝ax2＋a－1－cos x，x∈(－1，1)， 原题意等价于h(x)有且仅有一个零点， 因为h(－x)＝a(－x)2＋a－1－cos (－x) ＝ax2＋a－1－cos x＝h(x)， 则h(x)为偶函数， 根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0， 即h(0)＝a－2＝0，解得a＝2， 若a＝2，则h(x)＝2x2＋1－cos x，x∈(－1，1)， 又因为2x2≥0，1－cos x≥0， 当且仅当x＝0时，等号成立， 可得h(x)≥0，当且仅当x＝0时，等号成立， 即h(x)有且仅有一个零点0， 所以a＝2符合题意．故选D.] 考点三　函数模型及应用 [例4]　(1)(2025·高三山东德州二模)中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是香农公式：C＝Wlog2(1＋)，它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W，将信噪比从2 000提升至10 000，则C大约增加了(lg 2≈0.301 0)(　　) A．18% B．21% C．23% D．25% 解析　由题意，将信噪比从2 000提升至10 000，则最大信息传递速率C从C1＝Wlog2(1＋2 000)增加至C2＝Wlog2(1＋10 000)，所以＝＝＝≈＝＝≈0.21＝21%.故选B. 答案　B (2)(2025·德阳模拟)如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系：y＝eax＋b(a，b为常数)，若该果蔬在7 ℃的保鲜时间为288小时，在21 ℃的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过(　　) A．14 ℃ B．15 ℃ C．13 ℃ D．16 ℃ 解析　依题意， 则e14a＝，即e7a＝，显然a<0， 设物流过程中果蔬的储藏温度为t ℃， 于是eat＋b≥96＝3e21a＋b＝e－7a·e21a＋b＝e14a＋b， 解得at＋b≥14a＋b，因此t≤14，所以物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过14 ℃.故选A. 答案　A 构建函数模型解决实际问题的失分点 (1)不能选择相应变量得到函数模型． (2)构建的函数模型有误． (3)忽视函数模型中变量的实际意义． 跟踪训练3　(2025·高三北京海淀二模)德国科学家Wilhelm Peukert于19世纪末提出蓄电池的容量C(单位：Ah)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝Ip·t，其中p为Peukert常数，不同材料的Peukert常数不一样．有两块不同材料的蓄电池，第一块蓄电池的容量为C1，Peukert常数为p1；第二块蓄电池的容量为C2，Peukert常数为p2.第一块电池测试：当放电电流I＝20 A时，放电时间t＝20 h，当放电电流I＝30 A时，放电时间t＝10 h；第二块电池测试：当放电电流I＝20 A时，放电时间t＝20 h，当放电电流I＝30 A时，放电时间t＝ h，则(　　) A．p1>p2，C1>C2 B．p1<p2，C1>C2 C．p1>p2，C1<C2 D．p1<p2，C1<C2 D　[由题意：C1＝20p1×20＝30p1×10，所以()p1＝；C2＝20p2×20＝30p2×，所以()p2＝.因为指数函数y＝()x在(－∞，＋∞)上单调递减，且>，所以p1<p2.又指数函数y＝20x在(－∞，＋∞)上单调递增，且p1<p2，所以20p1<20p2，所以20p1×20<20p2×20，即C1<C2.故选D.] 学科网（北京）股份有限公司 $