第24章 平面直角坐标系（复习课件）数学新教材沪教版五四制八年级下册

单元复习课件 第24章 平面直角坐标系 沪教版·八年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.深入理解平面直角坐标系的概念，熟练掌握点的坐标表示方法，建立清晰的空间位置观念。熟练运用点的平移、对称的坐标变化规律，快速解决位置变换问题。掌握点到坐标轴的距离、平行于坐标轴的线段长度以及两点间距离公式的计算方法与应用。 3.初步学会解决与平面直角坐标系相关的动点问题和综合题，提升分类讨论能力，深化对知识体系的整体理解。 2. 能够运用“坐标法”解决简单的几何问题，如求图形面积、判断几何图形形状等，建立数与形的直观联系。 单元学习目标 基本概念 坐标系构成 包含 x 轴、y 轴及原点 O，确立平面内点的位置基准。 点的坐标与象限 有序数对 (x,y) 表示点；明确四个象限及坐标轴上点的符号特征。 基础要素 理解有序数对含义，掌握坐标平面内点与实数对的一一对应关系。 坐标变换 平移变换规律 口诀：左减右加 (x变)，上加下减 (y变)。适用于点与图形的整体平移。 三大对称变换 x轴对称：(x,y)→(x,-y) y轴对称：(x,y)→(-x,y) 原点对称：(x,y)→(-x,-y) 距离计算 点到轴的距离 到x轴距离 = |y|， 到y轴距离 = |x|。 注意是坐标的绝对值。 特殊线段长度 平行于x轴：纵坐标相等，距离为横坐标差的绝对值；反之亦然。 两点间距离公式 d = 坐标法应用 几何面积求解 割补法结合坐标求不规则图形面积，利用坐标轴辅助计算。 几何图形判定 通过计算边长与斜率，判定三角形、四边形的形状特征。 动态问题分析 建立动点坐标模型，探究图形在运动过程中的规律。 单元知识图谱 1.7.2013 这是我们本章的知识体系思维导图。大家可以看到，整个章节围绕“平面直角坐标系”这一核心，分为基本概念、坐标变换、距离计算和坐标法应用四个主要分支。每个分支下又包含了具体的知识点。这个导图可以帮助我们构建一个清晰的知识网络，了解各个知识点之间的联系。 ‹#› 坐标系的构成要素 由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成。 横轴(x轴)向右为正，纵轴(y轴)向上为正 原点(O)是两轴交点，坐标为 (0, 0) 象限符号分布规律 第一象限：(+, +) 第二象限：(-, +) 第三象限：(-, -) 第四象限：(+, -) 核心易错点提示 坐标轴上的点不属于任何象限，请务必牢记这一特殊规则。 x y O 水平方向的坐标轴称为横轴，记作x轴，正方向向右; 两坐标轴的交点O称为平面直角坐标系的原点 竖直方向的坐标轴称为纵轴，记作y轴，正方向向上. （+，+） （-，+） （-，-） （+，-） 考点串讲 1.7.2013 我们首先回顾最基础的概念。平面直角坐标系由横轴x轴、纵轴y轴和原点O构成。这两条轴把平面分成了四个部分，也就是我们所说的象限。大家要牢记每个象限的坐标符号特征，比如第一象限是(+,+)，第二象限是(-,+)等等。特别要注意，坐标轴上的点是不属于任何象限的。 ‹#› 点的坐标定义 平面内任意一点P，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足对应的数a、b组成有序数对(a, b)，即为点P的坐标。 特殊位置点的坐标特征 x轴上的点 纵坐标为 0 → (x, 0) y轴上的点 横坐标为 0 → (0, y) 原点→ (0, 0) 一、三象限角分线 横纵坐标相等 → y = x 二、四象限角分线 互为相反数 → y = -x A M N 考点串讲 1.7.2013 接下来是点的坐标表示。如图所示，一个点的坐标就是由它向x轴和y轴作垂线后得到的两个数组成的有序数对。除了四个象限，我们还要掌握一些特殊位置点的坐标特征，比如x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0。还有在象限角平分线上的点，它们的横纵坐标也有特定的关系。 ‹#› 平移基本规律 图形在平面内沿某个方向移动一定距离，不改变图形的形状、大小和方向，只改变位置。 坐标变化法则 (x, y) ◀ 左右平移 (纵不变) 向右 +a / 向左 -a ▲ 上下平移 (横不变) 向上 +b / 向下 -b 核心口诀 “左减右加，上加下减” A A1 A2 A3 A4 考点串讲 1.7.2013 坐标变换是本章的重点之一，首先是平移。平移的关键是掌握点的坐标变化规律。大家记住这个口诀：“左减右加，上加下减”。也就是说，左右平移改变的是横坐标，向右平移就加，向左平移就减；上下平移改变的是纵坐标，向上平移就加，向下平移就减。图形的平移就是对它所有顶点进行同样的操作。 ‹#› 关于 x 轴对称 规律：横坐标保持不变，纵坐标变为相反数。 坐标公式：(x, y) ➔ (x, -y) 关于 y 轴对称 规律：纵坐标保持不变，横坐标变为相反数。 坐标公式：(x, y) ➔ (-x, y) 关于原点对称 规律：横、纵坐标同时变为相反数。 坐标公式：(x, y) ➔ (-x, -y) 记忆口诀：横同纵反 (x轴) | 横反纵同 (y轴) | 双双相反 (原点) x y O 2 3 2 3 –2 –1 –2 –1 –3 4 5 1 1 –4 –3 –5 –4 –5 4 5 A B C D A′(5，1) B′(2，1) D′(5，4) C′(2，5) A'′(–5,–1) B'′(–2,–1) D'′(–5,–4) C'′(–2,–5) 考点串讲 1.7.2013 另一种重要的变换是对称。我们主要学习三种对称：关于x轴对称、关于y轴对称和关于原点对称。 它们的坐标变化规律也可以用口诀来记：“横同纵反”是关于x轴对称，“横反纵同”是关于y轴对称，而“双双相反”则是关于原点对称。 大家可以结合左侧这幅图来直观地理解和记忆这些坐标变换的规律。 ‹#› 📐 两点间距离公式 对于平面内任意两点 P₁(x₁, y₁) 和 P₂(x₂, y₂) AB= 🧠 公式推导逻辑 利用勾股定理进行几何构造： 以两点连线为斜边，构造直角三角形。两直角边的长度分别为横坐标之差 |x₂-x₁| 和纵坐标之差 |y₂-y₁|，从而推导出距离公式。 D E 考点串讲 1.7.2013 对于平面内任意两点的距离，我们有一个通用的距离公式。这个公式是根据勾股定理推导出来的。如图所示，我们可以把两点之间的线段看作一个直角三角形的斜边，两直角边的长度分别是横坐标之差和纵坐标之差的绝对值。因此，两点间距离就是这两个差值的平方和的平方根。 ‹#› 1.为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建 了“科技创新”社团.小红将“科” “技”“创”“新”写在如 图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使 “创”“新”的坐标分别为， ，则“技”所在 的象限为( ) A A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 题型一、平面直角坐标系 题型剖析 2. 如果点的坐标满足 ，那么称点为“和谐点”. 若某个“和谐点”到轴的距离为3，则 点的坐标为______________. 或 【点拨】由题意得 ， 或，解得或 . 点的坐标为或 . 题型一、平面直角坐标系 题型剖析 11 3.坐标平面内有4个点：，，， . （1）建立平面直角坐标系，描出这4个点，顺次连接， ，，，组成四边形 ； 【解】如图所示. （2）求四边形 的面积. . 题型一、平面直角坐标系 题型剖析 12 4.［2024甘肃酒泉期中］如图所示，在长方形中，已知 ， ，在长方形外画，使 ，请建立适当的 平面直角坐标系，并求出各顶点的坐标. 【解】如图，以为坐标原点，和所在直线为轴和 轴建立 平面直角坐标系，则点的坐标是，点的坐标是， 点的 坐标是，点的坐标是.过点作交于点 ，交 于点，.在 中， ，，的坐标是 （答案不唯一） 题型一、平面直角坐标系 题型剖析 13 5.（新考法分类讨论法）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线 轴， 为直线上一点.点从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线向左移 动；同时，点 从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿 轴向右移动. （1）当点在线段 上移动时，几秒后 ？ 【解】设当点在线段上移动时， 秒后 . 由题意得，， ，， ，解得 . 当点在线段上移动时，3秒后 . 题型一、平面直角坐标系 题型剖析 （2）若以，，，为顶点的四边形的面积是10，求点 的坐标. 【解】设当以，，， 为顶点的四边形的面积是10时，点移动了秒. 点 的坐标为， 过点的直线轴， 点沿直线 向左移动， 点 的纵坐标为4， 分以下两种情况讨论：当点在轴右侧时，， , ， 解得 .当时，， 点 的坐标为 ； 当点在轴左侧时， ， , ， 解得. 当时， .又 点在 轴左侧， 点的坐标为 . 综上所述，点的坐标为 或 . 题型一、平面直角坐标系 5.（新考法分类讨论法）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线 轴，为直线上 一点.点从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线向左移动；同时，点 从原点出发，以每秒 1个单位长度的速度沿 轴向右移动. 题型剖析 15 题型二、两点间距离公式 1．（25-26八年级下·上海·月考）点和点之间的距离是_____． 解：根据勾股定理，得， 2．（25-26八年级下·上海·月考）已知三个顶点的坐标为，，，则三角形的形状为 ． 解：∵，，，∴， ，，∴，∴是直角三角形． 直角三角形 题型剖析 3．（25-26八年级下·上海·月考）按要求解答问题： (1)已知点，求两点间的距离； (2)已知点、、，判断的形状． 题型二、两点间距离公式 （1）解：∵，， ∴； （2）解：∵、、， ∴， ， ， ，， 是等腰直角三角形． 题型剖析 4．（24-25八年级下·上海松江·期中）在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标分别是，，，，为的中点，点在轴正半轴上． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若为等腰三角形，求点的坐标． （1）证明：∵，，，，∴，， ∴四边形是平行四边形． （2）解∶设，∵，，为的中点，∴，即， 在中，，，， ①当时，，∴点的坐标为； ②当时，，解得，∴点的坐标为； ③当时，，解得或（舍去），∴点的坐标为； 综上， 点的坐标为或或． 题型剖析 1.在坐标系中，将点P(－3，2)向左平移3个单位长度到P1处，则点P1的坐标为(　　) A．(－6，2) B．(0，2) C．(－3，5) D．(－3，－1) A 2.在平面坐标系中，将点（-2，-3）向上平移3个单位，则平移后的点的坐标为_________. （-2，0） 左右平移 横坐标左减右加纵不变 上下平移 纵坐标上加下减横不变 题型三、平移与对称 题型剖析 3.线段 CD 是由线段 AB 平移得到的，其中点 A(-1，4) 的对应点为 C(4，4)，则点 B(-4，-1)的对应点 D 的坐标为________. (1，-1) 4．已知△ABC，A(-3，2)，B(1,1)，C(-1，-2)，现将△ABC平移，使点A到点(1,2)的位置上，则点B，C的坐标分别为 ， ． （5，-3） （3，-6） 注意：平移是把图形上每一点沿同一方向移动相同的距离。 题型三、平移与对称 题型剖析 5．在坐标平面内，点 P 的坐标为 (a＋1，2a－4)，将点 P 向下平移 2 个单位后恰好落在 x 轴上，则 a 的值为_____． 3 由题意可知：2a－4-2=0，则a=3 6．在平面直角坐标系中，将点 P 沿 x 轴平移 3 个单位后得到点 P′(2，－3)，则点 P 的坐标是_______________________． (5，－3)或(－1，－3) 平移：方向+距离 题型三、平移与对称 题型剖析 7.在平面直角坐标系中，将点（－2，－3）向上平移3个单位，则平移后的点的坐标为        ． (-2,0) 8.如图，将一块直角三角尺的直角顶点C与原点重合，另两个顶点A,B的坐标分别为(3,0),(0,).现将三角尺沿x轴向左平移，使点A与点A'(1,0)重合，则点B的对应点B'的坐标是 . (-2,) 题型三、平移与对称 题型剖析 9.点 A（－2， 1） 关于 x 轴 的 对 称 点 为 B，点 B 关 于 y 轴 的 对 称点为C，则点C的坐标为__________。 (2，－1) A（－2， 1） B（－2， -1） C（2， -1） x 轴 y 轴 关于什么轴对称，什么坐标不变，其它坐标变为相反数。 (－2，9) 10.在坐标系中有两个图形成轴对称，若点A(3，－1)和点A1(3，1)是一对对称点，则图形上另一点C(－2，－9)的对称点C1的坐标为________． 题型三、平移与对称 题型剖析 11.点 P (-5，6) 与点 Q 关于原点对称，则点 Q 的坐标为__________. (5，-6 ) 12.已知点A（2a+3b,-2）和点B（8,3a+2b）关于原点对称，那么a+b=_____. 由题可知2a+3b+8=0，-2+3a+2b=0，所以5a+5b=-6. 关于原点对称，横、纵坐标全变为相反数。 13. （1）如果点A（-4，a）与点A′（-4，-2）关于x轴对称， 求a的值. （2）如果点B（-2，2b+1）与点B′（2，3）关于y轴对称， 求b的值. 解：（1）由题意得a－2=0，解得a=2. （2）由题意得2b+1=3，解得b=1. 关于什么轴对称，什么坐标不变，其它坐标变为相反数。 题型三、平移与对称 题型剖析 题型三、平移与对称 14．（25-26八年级下·上海·月考）在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且，点的坐标为． (1)求，的值及点关于轴对称的点的坐标； (2)若轴上的点坐标为，求的面积； 【详解】（1）解：∵， ∴，解得，∵点的坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标为； （2）解：由（1）可得，如图： ∴； 题型剖析 14．（25-26八年级下·上海·月考）在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且，点的坐标为． (3)若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．（直接写出坐标） （3）解：由（1）知，，而， ∵四边形是平行四边形时， 如图：当，时，则，， ∴，； ②当时，， ∵，，， ∴点向左平移3个单位，向下平移4个单位得到点， ∴点向左平移3个单位，向下平移4个单位得到点， ∴，即， 综上：点的坐标为或或． 题型三、平移与对称 题型剖析 1．（25-26八年级下·上海·月考）已知点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：∵点在第二象限， 第二象限点的坐标特征为横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴，，∵，∴，∵， ∴， ∴点B的横坐标小于0，纵坐标也小于0， ∴点B在第三象限，故C正确． 针对训练 2．（25-26八年级下·上海·月考）将点先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后到达点，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 解：将点向左平移3个单位长度可得点的坐标为，即，再将点向下平移4个单位长度得到点，即． 针对训练 3．（25-26八年级下·上海·月考）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为这样依次得到点 ．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 解：∵ 点的伴随点为，且 ∴ 依次计算得： 的坐标为 的坐标为 的坐标为 的坐标为，与坐标相同，∴ 伴随点的坐标每4次变换为一个周期循环 ∵ ∴ 的坐标与周期中第2个点的坐标相同，为 针对训练 4．（25-26八年级下·上海·月考）点沿轴翻折后与点重合，那么点的坐标为______． 解：∵点沿轴翻折后与点重合，∴点的坐标为． 5．（25-26八年级下·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上．若点的坐标为．则点的坐标为______ 解：∵点C的坐标为，∴， ∵四边形是菱形，∴， ∵， ∴B点的坐标为，即． 针对训练 6．（25-26八年级下·上海·月考）在平面直角坐标系中，点、、，判断的形状． 解：∵点、、， ∴，，，∴， ∴是直角三角形． 针对训练 7．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图1，点，，的坐标分别是，， (1)如图1，过点作于点，的值为___________； (2)如图2，点为线段的延长线上的一动点，当点在的延长线上向下运动时，作于点，于点，式子的值是否发生变化，若不变，求出其值；若变化，写出其值的取值范围． （1）解： ，，， ，，，． ， ， ． 针对训练 （2）解：不变， ，，， ， ．如图所示，连接， ，，， ． ，， ， ． 12．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图1，点，，的坐标分别是，， (1)如图1，过点作于点，的值为___________； (2)如图2，点为线段的延长线上的一动点，当点在的延长线上向下运动时，作于点，于点，式子的值是否发生变化，若不变，求出其值；若变化，写出其值的取值范围． 针对训练 核心知识回顾 一个核心 · 数形桥梁 平面直角坐标系是连接几何图形与代数计算的重要桥梁。 两种变换 · 运动规律 平移（左减右加，上加下减）与对称（关于轴、原点对称）。 三种距离 · 坐标运算 点到轴的距离、平行于轴的线段长、平面内两点间的距离。 四个象限 · 符号特征 熟记第一至第四象限及坐标轴上的点的坐标符号。 数学思想方法 数形结合思想 (核心) 将直观的几何图形与抽象的代数方程紧密结合，互相转化。 转化与化归思想 将复杂问题简单化，如利用“割补法”将不规则图形面积转化为规则图形。 分类讨论思想 针对点的位置不确定或动点问题，分不同情况进行分析求解。 方程思想 通过设未知数，建立方程模型来求解未知点的坐标。 课堂总结 1.7.2013 复习接近尾声，我们来总结一下。本章的核心知识可以概括为“一个核心、两种变换、三种距离、四个象限”。更重要的是，我们要掌握本章蕴含的数学思想方法，特别是数形结合思想，它是整个初中数学的重要基石。同时，转化与化归、分类讨论和方程思想也在本章中得到了充分体现。 ‹#› 易错点提醒 平移方向混淆 “左减右加”针对横坐标，“上加下减”针对纵坐标，注意区分变化维度。 对称点坐标记错 严格区分关于x轴、y轴、原点对称的三种规则，切勿混淆横纵坐标的变化。 距离与坐标的关系 距离是非负数，务必加绝对值。点到x轴距离是纵坐标绝对值，到y轴是横坐标绝对值。 坐标轴上的点归属 坐标轴上的点不属于任何象限。在讨论平面内点的位置分布时，容易遗漏这一特殊情况，需格外留意。 两点间距离公式应用 套用公式前，务必确认两个点的横、纵坐标的对应关系，避免因坐标代入顺序错误导致结果偏差。 课堂总结 1.7.2013 最后，我提醒大家几个常见的易错点。比如平移方向和坐标变化的对应关系，各种对称点的坐标规则，距离与坐标绝对值的关系，以及坐标轴上的点不属于任何象限等。这些细节往往决定了我们解题的成败，希望大家在今后的练习中多加注意，避免犯错。 ‹#› 感谢聆听! $