25.1 变量与函数（课件）-【满分全攻略备课系列】-2025-2026学年（新教材沪教版五四制）数学八年级下册教学课件

八年级沪教版数学下册 第二十五章 一次函数 25.1 变量与函数 布置作业 3 学习目标 1 5 课堂小结 习题巩固 4 知识详解 2 6 布置作业 典例分析 学习目标 1、理解变量、自变量、常量、函数、函数解析式的含义,初步感知函数表示方法。 2、知道用运动、变化的观点看待事物,理解变化过程中的两个变量之间的相互依赖的含义,从而理解函数的概念。 3、通过寻找生活中所存在的函数关系,将数学融入生活,感受数学的实用性。 考察下面的例子: (1)一辆汽车以80km/h的速度匀速行驶,它行驶的路程s(单位:km)与行驶的时间t(单位:h)之间的关系是s=80t; (2)一个圆的面积S(单位:cm2)与它的半径r(单位:cm)之间的关系是S= 可以发现:在(1)中,利用公式s=80t计算汽车在不同的时间内所行驶的路程时,t、s可以取不同的数值,而速度的数值保持不变;在(2)中,利用公式S= 计算不同半径的圆的面积时,r、S可以取不同的数值,而 的数值保持不变. 在考察某个问题的过程中,保持数值不变的量称为常量,如上例中的80km/h、 均为常量;可以取不同数值的量称为变量,如上例中的时间t、路程s、半径r、面积S. 在很多问题中,一个变量往往依赖于另外一个变量,在上例中,行驶的路程会随着行驶的时间的变化而变化,当行驶的时间确定时,行驶的路程也随之唯一确定,即变量s依赖于变量t,两者的依赖关系为s=80t.圆的面积会随着半径的变化而变化,当半径确定时,圆的面积也随之唯一确定,即变量S依赖于变量r,两者的依赖关系为S= . 一般地,若在某个变化过程中有两个变量,设为x和y.当x在取值范围内变化时,y随着z的变化而变化;当x的值确定时,y的值也随之唯一确定.变量y关于变量x的这种依赖关系叫作函数,或者说变量y是变量x的函数,x称为自变量. 在上例(1)中,我们用y=80x表示y随着x的变化而变化的规律.像这种左边是y而右边是关于。的代数式的等式常用于表示函数,通常称为函数的表达式. 如果当x=a时y=b,那么称b为函数在x=a时相应的函数值. 教材P86-87 例题 例1 设某地的气温为x摄氏度( C),又可以表示为y华氏度(F),其中x与y可以按如图25-1-1的方式转化.问:y是不是x的函数?为什么? 解 在把摄氏度转化为华氏度的过程中, y随着x的变化而变化;当x取定一个值时, y的值随之唯一确定,如表25-1所示: 事实上,y是x的函数,y=x+32是这个函数的表达式. 如表25-1所示,我们可以通过列表展示自变量的值与相应的函数值之间的依赖关系. 例2求下列函数当x=4时的函数值: (1) y=2x-5; (2)y= 解 (1)把x=4代人函数y=2x-5的表达式,得y=2x-5=2X4-5=8-5=3. 所以,当x=4时,y=2x-5的函数值为3. (2)把x=4代人函数y= 的表达式,得y= = =2. 所以,当x=4时,y= 的函数值为2. 教材P87 例题 (1)已知函数y= ,自变量x的取值范围是什么? (2)设正方形的边长为xm,面积为y,那么y关于x的函数表达式为y= ,自变量x的取值范围是什么? 思考 对于思考中的问题(1),由于x取负实数时.没有意义,函数y= 中的自变量x只能取大于等于0的实数,因此自变量的取值范围是x≥0;对于问题(2),的取值范围不仅要保证函数的表达式有意义,还必须符合问题的实际意义,因此自变量x的取值范围是x>0. 例3 某气象站测得当地某一天的气温变化情况,如图25-1-2所示 (1)如何选取两个变量,使得其中一个变量是另一个变量的函数? (2)根据图25-1-2的信息,填写表25-2: 解 (1)设这一天中t时的气温为T C.根据图25-1-2, 当时刻t变化时,相应的气温T也随之变化;当某一时刻t确定时,该时刻的气温T也随之唯一确定,由此可见,T是t的一个函数. (2)根据图25-1-2的信息,表25-2填写如下(表25-3): 教材P89 练习 课内练习 1.下列各表述中,哪些量是自变量?哪些量是自变量的函数?试写出函数的表达式, (1)圆的周长C(单位:cm)随着半径r(单位:cm)的变化而变化; (2)等腰三角形中,顶角的度数y随着底角的度数x的变化而变化; (3)一支笔的单价为2元,购买n支笔的总价S(单位:元)随着购买笔的数量n(单位:支)的变化而变化. 解:(1)C=2 r(r>0) (2)y=180-2x(0<x<90) (3)S=2n(n为非负整数) 2.如图,线段AB=a,D为AB上一定点,在垂直于AB的射线DE上有一个动点C(点C与点D不重合),分别连接CA、CB,得到 ABC. (1)指出在点C运动使 ABC的面积发生变化的过程中,线段AB、CD的长哪一个是常量?哪一个是变量? (2)设CD的长为h, ABC的面积为S,试写出S关于h的函数表达式. 解:(1)线段AB的长是常量,线段CD的长是变量 (2) 根据三角形面积公式,三角形面积等于底乘以高除以2,这里底AB的长为a,高CD的长为h,所以S=xABxCD= ah 知识点1 常量与变量 1.在圆的周长公式 中,常量与变量分别是( ) B A.2是常量,, ,是变量 B. 是常量,, 是变量 C.,2是常量,是变量 D.2是常量,, 是变量 【解析】在圆的周长公式中, 是常量,, 是变量,故选B. 2.笔记本每本a元,买3本笔记本共支出y元,在这个问题中:①a是常量时,y是变量; ②a是变量时,y是常量;③a是变量时,y也是变量;④a,y可以都是常量或都是变量. 上述判断正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 知识点2 函数的概念 3.下列选项中,两个变量间的关系不是函数关系的是( ) B A.直角三角形的两个锐角 B.等腰三角形的底边长与面积 C.圆的周长与半径 D.正方形的周长与边长 【解析】A选项,直角三角形的两个锐角的度数之和为90度,其中一个锐角确定的时候,另外一个锐 角也确定,是函数关系,不符合题意;B选项,等腰三角形的面积 底边长 高,由于高不确定, 存在同一个底边长对应多个面积,不是函数关系,符合题意;C选项,圆的周长 半径,对于 每个半径值,圆的周长都有唯一值与半径对应,是函数关系,不符合题意;D选项,正方形的周 长 边长,对于每个边长值,正方形的周长都有唯一值与边长对应,是函数关系,不符合题意. 故选B. 14 4.下列关于变量,的关系,其中不是 的函数的是( ) D A. B. C. D. 【解析】根据函数的定义可知,对于的每一个值, 都有唯一的值与它对应,所 以选项D中不是 的函数.故选D. 15 5.下列式子:; ;;, 具有函数关系(自变量为 )的是_.(填序号) ①② 思路分析 判断一个关系是否为函数关系的步骤 【解析】对于;,当取一个值时, 有唯一的值与之对应, 故具有函数关系(自变量为 )的是①②.故答案为①②. 16 知识点3 函数自变量的取值范围 6.已知等腰三角形的底边长与腰长 的关系式是,则其自变量 的取值范围是( ) B A. B. C.一切实数 D. 【解析】根据三角形的三边关系及边长大于0得解得. 故选B. 7.在函数中,自变量 的取值范围是_. 【解析】由题意可得且,解得且.故答案为 且 . 且 17 8.在学习地理后,我们知道:“海拔越高,气温越低”,如表是海拔高度(千米)与此高度处气温 的关系. 海拔高度 (千米) 0 1 2 3 4 5 … 气温 20 14 8 2 … 根据上表,回答以下问题: (1)自变量是_; 【解析】由题意得,自变量是海拔高度,故答案为海拔高度 . (2)写出气温与海拔高度 之间的表达式:_; 【解析】由题意得,海拔高度每增加1千米,气温就下降, , 气温与海拔高度之间的表达式为,故答案为 . (3)当海拔是10千米时,求气温是多少. 【解】由(2)得,当时, .故当海拔是10千米时, 气温是 . 知识点4 函数值 18 9.行驶中的汽车,在刹车后由于惯性的作用,还将继续向前滑行一段距离才能停止,这段距离称为“刹车距离”,为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过140千米/时),对这种汽车进行测试,测得数据如下表: 刹车时车速 (千米/时) 20 40 60 80 100 120 刹车距离(米) 1.0 3.6 7.8 13.6 21 30 回答下列问题: (1)上表反映了哪两个变量之间的关系? (2)如果刹车时车速为60千米/时,那么刹车距离是多少米? 解:(1)表中反映了刹车时车速与刹车距离之间的关系 (2)如果刹车时车速为60千米/时,那么刹车距离是7.8米 能力提升题 10.如图,圆柱的底面半径是,当圆柱的高 发生变 化时,圆柱的体积 随之发生变化. (1)在这个变化过程中,自变量是_,因变量是 _. 圆柱的高 圆柱的体积 (2)这个变化过程中,圆柱的体积与高 之间的关系式为_. (3)当由变化到时, 是怎样变化的? 解:当时, ; 当时, . 当由变化到时,由变化到 . 20 11.如图,已知的面积是, ,在边上有一动点,连接, 设长为 ,的面积为 . (1)求与 之间的函数关系式; 解:的面积是,,边上的高为 , 的面积为, . (2)用表格表示在的值从1增加到6的过程中(每次增加1), 的对应值; 解:用表格表示如下: 1 2 3 4 5 6 2 4 6 8 10 12 (3)当时, 的值等于多少?说明了什么? 解:当时,,说明此时点与点 重合. 12. 由于惯性的作用,行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停 止,这段距离称为“刹车距离”.为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能(车速不超过 ), 对该种型号汽车进行了测试,测得的数据如下表: 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 … 请回答下列问题: (1)在这个变化过程中,自变量是_,因变量是_; 刹车时车速 刹车距离 (2)当刹车时车速为时,刹车距离是_ ; (3)根据上表反映的规律写出该种型号汽车的与 之间的关系式:_; 15 (4)该种型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故,现场测得刹车距离为 ,推测刹车时车速 是多少?并说明事故发生时,汽车是超速行驶还是正常行驶?(《中华人民共和国道路交通安全法实 施条例》第七十八条规定:高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时 ) 解:当时, ,, 推测刹车时车速是 . , 事故发生时,汽车是超速行驶. 2.函数 概念:函数在某个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与它对应,那么x是自变量,y是x的函数. 函数值 自变量的取值范围 1.使函数解析式有意义 2.符合实际意义 1.常量与变量 常量:保持数值不变的量 变量:在问题研究过程中,可以取不同数值的量 课堂小结 教科书第89页练习 第1,2题 布置作业 $