专题三 突破计算题3 带电粒子在交变场和立体空间中的运动-【创新大课堂】2026年高考二轮物理专题复习

突破计算题3　带电粒子在交变场和立体空间中的运动 【备考要求】　1.掌握带电粒子在交变电、磁场中运动问题的分析方法，熟悉带电粒子运动的常见模型．2.会分析带电粒子在立体空间中的组合场、叠加场的运动问题，通过受力分析、运动分析，转换视图角度，充分利用分解的思想降维处理相关问题． (一)带电粒子在交变场中的运动 　此类问题是场在时间上的组合，电场或磁场往往具有周期性，粒子的运动也往往具有周期性．这种情况下要仔细分析带电粒子的受力情况和运动过程，弄清楚带电粒子在每一时间段内在电场、磁场中各处于什么状态，做什么运动，画出一个周期内的运动轨迹，确定带电粒子的运动过程，选择合适的规律进行解题． [例1]　(2025·黑龙江省哈尔滨九中高三模拟)如图甲所示，在xOy平面的第一象限内(含x轴和y轴的正半轴)存在周期性变化的磁场，规定垂直纸面向内的方向为正，磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示．某质量为m、电荷量为＋q的粒子，在t＝0时刻沿x轴正方向从坐标原点O射入磁场．图乙中T0为未知量．已知B0＝k，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求： (1)0～T0时间内粒子做匀速圆周运动的角速度ω； (2)若粒子不能从y轴正半轴射出磁场，磁感应强度变化周期的最大值T0m； (3)若粒子能沿x轴正方向通过坐标为(3d，4d)的D点，其射入磁场时速率v. 解　(1)设粒子进入磁场的速度为v0，根据洛伦兹力提供向心力可得qv0·3B0＝m，解得轨道半径为r＝，则粒子做匀速圆周运动的角速度为ω＝＝＝＝3kπ； (2)要使得粒子不从y轴正半轴射出，则轨迹如图(a)所示： 　　 在前T0内的运动半径为r1＝，在后T0内的运动半径为r2＝，可得3r1＝2r2 由几何关系可知sin θ＝，联立解得θ＝37°，粒子做圆周运动的周期为T＝＝＝ 则在0～T0时间内有T＝T0m，解得磁感应强度变化周期的最大值为T0m＝； (3)使粒子经过D点且平行x轴射出，在T0时刻达到D点的轨迹如图(b)所示：由几何关系可得tan α＝＝，可得α＝37°，根据周期性，在nT0时刻达到D点可满足题意，由几何关系可得n(2r1cos 37°＋2r2cos 37°)＝＝5d(n＝1，2，3…) 又有3r1＝2r2，根据洛伦兹力提供向心力可得qv·3B0＝m，联立解得v＝(n＝1，2，3…).、 (二)带电粒子在立体空间中的运动 　带电粒子在立体空间中的运动问题，往往通过降维思想进行简化，常见示例及解题策略如下表： 运动类型 解题策略 在三维坐标系中运动，每个轴方向都是常见运动模型 将粒子的运动分解为三个方向的运动 一维加一面，如旋进运动 旋进运动将粒子的运动分解为一个轴方向的匀速直线运动或匀变速直线运动和垂直该轴所在面内的圆周运动 运动所在平面切换，粒子进入下一区域偏转后曲线不在原来的平面内 把粒子运动所在的面隔离出来，转换视图角度，把立体图转化为平面图，分析粒子在每个面的运动 [例2]　(2025·八省联考云南卷·15)某小组基于“试探电荷”的思想，设计了一个探测磁感应强度和电场强度的装置，其模型如图所示．该装置由粒子加速器、选择开关和场测量模块(图中长方体区域)组成．MNPQ为场测量模块的中截面．以PQ中点O为坐标原点，QP方向为x轴正方向，在MNPQ平面上建立Oxy平面直角坐标系．带电粒子经粒子加速器加速后可从O点沿y轴正方向射入．选择开关拨到S1挡可在模块内开启垂直于Oxy平面的待测匀强磁场，长为2d的PQ区间标有刻度线用于表征磁感应强度的大小和方向；拨到S2挡可在模块内开启平行于x轴的待测匀强电场，长为l的NP和QM区间(l>)标有刻度线用于表征电场强度的大小和方向．带电粒子以速度v入射，其质量为m、电荷量为＋q，带电粒子对待测场的影响和所受重力忽略不计． (1)开关拨到S1挡时，在PO区间(x0，0)处探测到带电粒子，求磁感应强度的方向和大小； (2)开关拨到S2挡时，在(d，y0)处探测到带电粒子，求电场强度的方向和大小； (3)求该装置PO区间和NP区间的探测量程．若粒子加速器的电压为U，要进一步扩大量程，U应增大还是减小？请简要说明． 解　(1)带正电的粒子向右偏转，受洛伦兹力方向向右，由左手定则可知，磁感应强度的方向垂直纸面向外．由几何关系，可知粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径R与x0的关系为2R＝x0，根据牛顿第二定律，得qvB＝，解得B＝ (2)由带正电粒子向右偏转，故电场力水平向右，可判断电场方向水平向右．带正电的粒子射入电场中做类平抛运动．由水平方向、竖直方向位移公式y0＝vt，d＝at2 牛顿第二定律可得Eq＝ma，联立解得E＝ (3)①若测量磁感应强度的大小和方向：设磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律得qvB＝，由动能定理得qU＝mv2，由几何关系得r＝，联立解得B＝ 由磁感应强度表达式可知，r越大B越小，根据左右对称性关系，所以量程为(－∞，]∪[，＋∞). 若粒子加速器的电压为U，则磁感应强度的表达式为B＝ 可知U应减小，B最小值越小，从而进一步扩大量程． ②若表征电场强度大小和方向：当运动时间最长，水平位移最大时，电场强度最小．由水平方向、竖直方向位移公式l＝vt，d＝at2，牛顿第二定律可得Eq＝ma，联立解得E＝ 由根据左右对称性关系，所以量程为(－∞，]∪[，＋∞) 当电压为U时，由动能定理qU＝mv2，整理得E＝ 可知U应减小，E最小值越小，从而进一步扩大量程． [例3]　(2025·晋、陕、宁、青卷·14)电子比荷是描述电子性质的重要物理量．在标准理想二极管中利用磁控法可测得比荷，一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图(a)所示，圆筒足够长．在O点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为v0的电子，某时刻起筒内加大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图(b)所示，当磁感应强度大小调至B0时，恰好没有电子落到筒壁上，不计电子间相互作用及其重力的影响．求：(R、v0、B0均为已知量) (1)电子的比荷； (2)当磁感应强度大小调至B0时，筒壁上落有电子的区域面积S. 解　(1)电子的发射速度方向与中心轴线的夹角为θ时，平行于磁场方向的分速度大小为：vy＝v0sin θ，垂直于磁场方向的分速度大小为：vx＝v0sin θ.电子在平行于磁场的方向上做匀速直线运动，在垂直于磁场方向的平面内以线速度大小为vx做匀速圆周运动(当θ≠90°时电子的轨迹为螺旋线).对于圆周运动，设其运动半径为r，根据洛伦兹力提供向心力得：evxB0＝m，解得：r＝，恰好没有电子落到筒壁上，说明r最大时，圆周运动轨迹的直径等于R.当θ＝90°时r最大，可得：rmax＝ ＝，解得：＝； (2)磁感应强度调整为时，参照(1)的解答，对于恰好打到筒壁上的电子有：＝，其中：＝，解得：sin θ＝，即θ＝30°，圆周运动的周期为：T＝＝ ，恰好打到筒壁上所需时间为：t＝＝ ，恰好打到筒壁上的电子在平行于磁场方向上的位移大小为：y＝vyt＝v0cos θ·t＝πR，因电子源向空间中各个方向发射电子，故筒壁上落有电子的区域沿中心轴线方向的宽度等于2y，可得：S＝2πR×2y＝2π2R2. 学科网（北京）股份有限公司 $