专题二 突破计算题练3 数学归纳法解决多次碰撞问题　-【创新大课堂】2026年高考二轮物理专题复习

突破计算题练(三)　数学归纳法解决多次碰撞问题　 1．(2025·山东省烟台市高三二模)如图所示，水平地面上固定放置一轨道ABC，轨道斜面AB部分与水平BC部分在B点平滑连接，紧靠轨道右侧有一质量为m0＝1 kg的小车，其上表面与轨道BC部分等高，在C点放置一质量为m1＝2 kg滑块N(可视为质点).水平地面右侧有一固定的竖直墙壁，小车右端距离墙壁足够远．现将另一质量为m2＝2 kg滑块M(可视为质点)从轨道顶端A点由静止滑下，与滑块N发生弹性碰撞，碰撞时间极短，碰撞后滑块N滑上小车，小车与墙壁相碰时碰撞时间极短，每次碰撞后小车反向，速度大小变为碰撞前的一半．已知A、C两点竖直高度差为h＝5 m，水平距离为L＝1.9 m，滑块M与轨道ABC间动摩擦因数均为μ0＝0.5，滑块N与小车上表面间的动摩擦因数为μ＝0.1，滑块N始终未离开小车，水平地面光滑，重力加速度g＝10 m/s2，求： (1)滑块M运动到C点时(还未与滑块N碰撞)的速度大小； (2)小车与墙壁第1次碰撞后到与墙壁第2次碰撞前的过程中，滑块N与小车间由于摩擦产生的热量； (3)小车与墙壁发生第1次碰撞后直至停止运动的过程中，小车运动的总路程． 解　(1)滑块M由A运动到C的过程，由动能定理有m2gh－μ0m2gL＝m2v，解得v0＝9 m/s； (2)滑块M与滑块N发生弹性碰撞，规定向右为正方向，则有m2v0＝m2v′2＋m1v m2v＝m2v′22＋m1v2，解得v′2＝0；v＝9 m/s 小车和墙壁第一次碰前，滑块N与小车达到的共同速度为v1，规定向右为正方向，由动量守恒 m1v＝(m1＋m0)v1 第一次碰后小车变为－v1，滑块N速度仍为v1，由动量守恒－m0v1＋m1v1＝(m＋m0)v2 解得v2＝v1 由分析可知，当滑块N和小车第2次共速后恰好发生第2次碰撞；小车与墙壁第1次碰撞后到与墙壁第2次碰撞前，滑块N与小车之间产生的热量为Q.根据能量守恒m0(v1)2＋m1v＝Q＋(m1＋m0)v，解得：Q＝27 J； (3)小车第一次与墙壁碰撞后，根据牛顿第二定律μm1g＝m0a 小车与墙壁第1次碰撞后至第2次碰撞前，运动的路程为s1＝×2 小车与墙壁第2次碰撞后至第3次碰撞前，运动的路程为s2＝×2，解得s2＝s1 小车与墙壁第n次碰撞后到第n＋1次碰撞前过程中有sn＝()n－1s1，总路程s＝s1＋s2＋s3＋…＋sn 解得：s＝6 m 2．(2025·重庆卷·12)如图所示，长度为d的水平传送带M顺时针匀速运动．质量为m的小物块A在传送带左端M由静止释放．A还未与传送带达到相同速度时就从右端N平滑地进入光滑水平面NO，与向右运动的小物块B发生碰撞(碰撞时间极短).碰后A、B均向右运动，从O点进入粗糙水平地面．设A与传送带间的动摩擦因数和A、B与地面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g. (1)求A在传送带上的加速度大小及离开传送带时的速度大小； (2)若碰前瞬间，B的速度大小为A的一半，碰撞为弹性碰撞，且碰后A、B在粗糙地面上停下后相距d，求B的质量； (3)若B的质量是A的n倍，碰前B的速度忽略不计，碰后瞬间A和B的动量相同，求n的取值范围及碰后瞬间B的速度大小范围． 解　(1)小物块A在传送带上滑动，设加速度的大小为a； 根据牛顿第二定律μmg＝ma 解得加速度大小为a＝μg 小物体A在传送带上做匀加速直线运动，设离开传送带时的速度为v0 根据运动学公式v＝2ad 联立解得v0＝； (2)碰前瞬间，B的速度大小为vB＝v0，设碰撞后A的速度大小为v1、B的速度大小为v2，B的质量为M； 取向右为正方向，根据动量守值定律可得mv0＋M×＝mv1＋Mv2 根据机械能守恒定律mv＋()2＝mv＋Mv A、B与地面间的动摩擦因数均为μ，则碰撞后二者减速运动过程中加速度大小均为a＝μg 根据运动学公式，小物体A的位移xA＝ 小物体B的位移xB＝ 根据题意xB－xA＝－＝(v－v)＝d 联立解得v1＝v0，v2＝v0 B的质量为M＝m； (3)B的质量是A的n倍，则M＝nm 碰后瞬间A和B的动量相同，根据题意mv1＝nmv2 化简得v1＝nv2 根据碰撞原则，速度要合理，因此v1≤v2 解得n≤1； 根据动量守恒定律mv0＝mv1＋nmv2＝2nmv2 化简得v0＝2nv2 碰撞后动能不增，则mv≥mv＋nmv 代入数据化简得v≥(n2＋n)v，解得n≥ 因此n的取值范围为≤n≤1 碰后瞬间B的速度大小v2＝＝ 解得碰后瞬间B的速度大小范围为≤v2≤ 学科网（北京）股份有限公司 $