精品解析：北京市第八十中学2025-2026学年第二学期4月阶段测评高一数学(B卷)

北京市第八十中学2025-2026学年第二学期4月阶段测 高一数学（B卷） （考试时间90分钟 满分100分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选择题用铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、单项选择题（共12题，每小题4分，共48分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 已知平面向量，，且，则（　　） A. B. 2 C. D. 4 2. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则是异面直线 D. 若，则或是异面直线 3. 在如图所示的方格里，向量与均为单位向量，则向量（　　） A. B. C. D. 4. 在中，，若点满足，则（　　） A. B. C. D. 5. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（ ） A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形，但不是等腰三角形 6. 正方体上的点M，N，P，Q是其所在棱的中点，则下列各图中直线MN与直线PQ是异面直线的图形是（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量满足．则（　　） A. 5 B. C. D. 8. 如图①所示，圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，在中国主要分布于西北、华东、华南、西南等地区，抗虫害能力强，其花序硕大，类似于圆锥形，因此得名．现将某圆锥绣球近似看作如图②所示的圆锥模型，已知，直线与圆锥底面直径所成角的余弦值为，则该圆锥的表面积为（　　） A. B. C. D. 9. 记内角的对边分别为，若，则（　　） A. B. C. D. 或 10. 已知是两个不共线的单位向量，向量（）．“，且”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 11. 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．设为图中7个正六边形（边长为6）的某一个顶点，为两个固定顶点，则的最大值为（　　） A. 144 B. 108 C. 96 D. 48 12. 向量集合，对于任意，以及任意，都有，则称集合是“凸集”，现有四个命题： ①集合是“凸集”； ②若为“凸集”，则集合也是“凸集”； ③若都是“凸集”，则也是“凸集”； ④若都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”. 其中，所有正确说法的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 13. 已知正方形的边长为2，且为边中点，则___________． 14. 在中，若，则___________． 15. 某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的体积为___________． 16. 如图， ，，是三个边长为1的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边上有2个不同的点，则__________． 17. 在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，动点在平面内，且．给出下列四个结论： ①平面； ②点轨迹的长度为； ③三棱锥的体积恒为定值； ④平面截正方体所得的截面面积为． 其中所有正确结论的序号是___________． 三、解答题（共3小题，共32分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 18. 如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． （1）求证：平面； （2）已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 19. 在中，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求和的值． 条件①：的面积为6； 条件②：边上中线的长为； 条件③：边上的高的长为2． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 20. 某城市公园计划将园内三角形区域（如图）．建造为多功能区，其中米，米，． （1）求的长度； （2）公园拟在边上设置休息点与不重合，同时将修建为三种不同功能的AI智慧步道，其每米造价分别为0.1万元，0.2万元，0.3万元．记，三段智慧步道的造价总和记为（单位：万元）． ①将表示为的函数； ②若不超过96万元，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第八十中学2025-2026学年第二学期4月阶段测 高一数学（B卷） （考试时间90分钟 满分100分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选择题用铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、单项选择题（共12题，每小题4分，共48分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 已知平面向量，，且，则（　　） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标表示可得方程，解方程即可得的值. 【详解】因为，，且， 所以，所以. 2. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则是异面直线 D. 若，则或是异面直线 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，若，则或相交或是异面直线，故A错误； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，若，当平面α与β相交时，m与n可能相交，故C错误； 对于D，若，则直线m, n无公共点，所以或是异面直线，故D正确。 3. 在如图所示的方格里，向量与均为单位向量，则向量（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先明确的方向，建立“格点坐标系”，再将抽象向量转化为有向线段，确定起点和终点，然后用向量减法的三角形法则/平行四边形法则化简，最后通过格数写出基底的线性组合即可. 【详解】解：如图，设，， 4. 在中，，若点满足，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由题意得. 5. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（ ） A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形，但不是等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】先由正弦定理得，进而得到，即可求解. 【详解】由正弦定理得，则，又为三角形内角， 则，则是等边三角形. 故选：B. 6. 正方体上的点M，N，P，Q是其所在棱的中点，则下列各图中直线MN与直线PQ是异面直线的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正方体的性质结合三角形中位线定理逐个分析判断 【详解】对于A，如图，连接，因为分别是正方体的棱的中点，所以∥，∥，所以∥，所以与共面，所以A不合题意， 对于B，因为平面∥平面，平面，平面，所以与无公共点，因为与不平行，所以与是异面直线，所以B符合题意， 对于C，如图，连接，因为分别是正方体的棱的中点，所以∥，∥，因为∥，所以∥，所以四点共面，所以与不是异面直线，所以C不合题意， 对于D，如图，连接，因为分别是正方体的棱的中点，所以∥，∥，所以∥，所以D不合题意， 故选：B 7. 已知向量满足．则（　　） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】． ， . 8. 如图①所示，圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，在中国主要分布于西北、华东、华南、西南等地区，抗虫害能力强，其花序硕大，类似于圆锥形，因此得名．现将某圆锥绣球近似看作如图②所示的圆锥模型，已知，直线与圆锥底面直径所成角的余弦值为，则该圆锥的表面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设底面圆的半径为， 在等腰三角形中，由余弦定理： 代入，，，得： 即，解得。 圆锥表面积. 9. 记内角的对边分别为，若，则（　　） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理结合三角形的面积公式求解,再结合余弦定理进行取舍即可. 【详解】由题意知： 所以 又因为所以或 又由余弦定理可知： 所以 所以 所以 所以. 10. 已知是两个不共线的单位向量，向量（）．“，且”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】举例验证必要性，通过向量的运算来判断充分性. 【详解】当，且时， ，充分性满足； 当时， ，当，时， 是可以大于零的， 即当时，可能有，，必要性不满足， 故“，且”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 11. 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．设为图中7个正六边形（边长为6）的某一个顶点，为两个固定顶点，则的最大值为（　　） A. 144 B. 108 C. 96 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】利用坐标法可得，设点到原点的距离为，则的最大值为，利用数形结合法可知，离原点距离最远的正六边形顶点为最外围的顶点，利用两点间的距离公式即可求解. 【详解】设点，正六边形的边长为6， 所以，， 所以，， 所以， 设点到原点的距离为，则的最大值为， 由图可知，离原点距离最远的正六边形顶点为最外围的顶点， 如图，可取， 所以， 即的最大值为. 12. 向量集合，对于任意，以及任意，都有，则称集合是“凸集”，现有四个命题： ①集合是“凸集”； ②若为“凸集”，则集合也是“凸集”； ③若都是“凸集”，则也是“凸集”； ④若都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”. 其中，所有正确说法的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定“凸集”的定义，结合集合的运算及利用举反例的方法推理判断各个命题即可 【详解】依题意，若对于任意，线段上任意一点，都有，则集合是“凸集”， 对于①，，若对于任意满足，则， 由函数的图象知，对线段上任意一点，都有，即，为“凸集”，①正确； 对于②，若为“凸集”，则对于任意，此时，其中， 对于任意，，为“凸集”，②正确； 对于③，若，， 任取，， 则对于任意任意，，集合是“凸集”， 任取，， 则对于任意任意，，集合是“凸集”， 取，，但，不是“凸集”，③错误； 对于④，若都是“凸集”， 则对于任意， 任意，则，且， 则，也是“凸集”，④正确， 所以所有正确说法的个数为3. 故选：B 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 13. 已知正方形的边长为2，且为边中点，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系， 则，，， 所以，， 所以. 14. 在中，若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】已知边，角以及角的余弦值，可先由同角三角函数关系求出，再由正弦定理求出. 【详解】在△ABC中，因为 ，所以 又因为 ，所以， 由正弦定理，得， 所以. 15. 某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的体积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正方体、棱锥的体积公式，结合石凳的结构特征求其体积. 【详解】正方体体积， 石凳体积为正方体体积减去8个被截去的正三棱锥体积，每个被截去的正三棱锥三条侧棱长为， 则一个正三棱锥体积为， 所以石凳的体积为. 16. 如图， ，，是三个边长为1的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边上有2个不同的点，则__________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据图形可得四边形为菱形，，，，，，根据平面向量的线性表示与数量积运算计算即可． 【详解】由图形知，四边形为菱形， ∴，， ∵，∴，， 从而，，， ∴． 故答案为：9． 17. 在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，动点在平面内，且．给出下列四个结论： ①平面； ②点轨迹的长度为； ③三棱锥的体积恒为定值； ④平面截正方体所得的截面面积为． 其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于①，证明，结合线面平行的判定定理即可判断；对于②，利用等体积法求出到平面的距离，即可得到点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，即可判断；对于③，的面积不为定值，即可判断③，对于④，作出平面截正方体所得的截面，截面为正六边形，求面积即可判断. 【详解】因为分别为的中点，所以， 又，所以， 又因为平面，平面， 所以平面，故①正确； 设点在平面的投影为， ，，，则， 所以， ， 所以， 而，解得， 又，所以， 所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆， 故点轨迹的长度为，故②正确； 因为点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆， 圆在平面内， 故到直线的距离不为定值，即的面积不为定值， 而到平面的距离为定值， 故的体积不恒为定值，故③错误； 取中点分别为，连接， 六边形即为平面截正方体所得的截面， 六边形的各边均为，故为正六边形， 所以正六边形的面积为，故④正确. 三、解答题（共3小题，共32分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 18. 如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． （1）求证：平面； （2）已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）作辅助线，利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论. （2）作辅助线，根据题意可证平面，平面，进而可得面面垂直. 【小问1详解】 连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 连接，因为点分别为棱的中点，则， 因为，，则， 可得，则， 且平面，平面，则平面， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则， 又因为分别为的中点，则，， 且，，则，， 可知为平行四边形，则，可得， 且平面，平面，则平面， 又因为，平面，所以平面平面. 19. 在中，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求和的值． 条件①：的面积为6； 条件②：边上中线的长为； 条件③：边上的高的长为2． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）选①或③，均有， 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化可得； （2）选①，利用面积公式以及余弦定理、正弦定理可得；选②在中利用余弦定理可判断；选③，利用面积公式得出，利用两角和差的正弦公式求出，最后利用正弦定理即可. 【小问1详解】 由以及正弦定理得， 因为，所以，则，故； 【小问2详解】 选①：因为，所以， 则由余弦定理得， 则， 由正弦定理得，，即； 选②：设边上的中点为，则， 在中利用余弦定理得， 即，即，得或， 则或，此时有两解，不符合题意； 选③：因为，即，得， 因为，，所以， 所以 ， 在中利用正弦定理得，，即； 综上，选①或③，均有， 20. 某城市公园计划将园内三角形区域（如图）．建造为多功能区，其中米，米，． （1）求的长度； （2）公园拟在边上设置休息点与不重合，同时将修建为三种不同功能的AI智慧步道，其每米造价分别为0.1万元，0.2万元，0.3万元．记，三段智慧步道的造价总和记为（单位：万元）． ①将表示为的函数； ②若不超过96万元，求的最大值． 【答案】（1）； （2）①，其中；②. 【解析】 【分析】（1）直接利用余弦定理即可求解； （2）①利用正弦定理分别求出，，从而得到表达式，再写出的表达式，最后求出范围即可；②根据解得，再结合即可得到的最大值. 【小问1详解】 在三角形中，由余弦定理得， 代入得到，解得． 【小问2详解】 ①因为， 即，， 又因为，则， 在三角形中，由正弦定理可得， 则，， 且， 所以，其中； ②若，，可得， 因为，则，化简得， 即，当，则， 则，解得， 再考虑到，其中，， 故的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $