7.3二元一次方程组的应用 培优作业 2025--2026学年鲁教版七年级数学下册

第七章二元一次方程组 3 二元一次方程组的应用 第 1 课时 古代方程趣题 分基础 1.“龟鹤同池,龟鹤共 100 只,共有脚 350 只,问龟鹤各多少只?”设龟有 x 只，鹤有 y 只，则下列方程组中正确的是 ( ) A. B. C. D. 2.我国古代数学名著《九章算术》中有一题：“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十.问家数、牛价各几何?”其意思为：今有人合伙买牛，每7家共出190钱，还差330钱;每9 家共出 270 钱,又多了 30 钱.问家数、牛价各是多少?若设共有 x 户人家共同买牛，牛的价格为y钱，则可列方程组为( ) A. B. C. D. 3.《孙子算经》是中国南北朝数学著作，是《算经十书》之一，书中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何.”意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余 4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余 1尺，问木头长多少尺.如果设绳子长x 尺，木头长y 尺，那么所列方程组正确的是 ( ) A. B. C. D. 4.我国古代数学名著《九章算术》中，记载了利用算筹表示方程组的方法，算筹 图 表 示 的 方 程 组 是 那么算筹图 表示的方程组是 . 5.《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛，音hú，是古代一种容量单位)，1个大桶加上5 个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛?设1个大桶可以盛酒x 斛、1个小桶可以盛酒 y 斛.根据题意，可列方程组为 . 6.《孙子算经》记载：今有3人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何?译文：今有若干人乘车，若每三人共乘一辆车，最终剩余 2 辆车；若每2 人共乘一辆车，最终剩余9人无车可乘.问共有多少人?多少辆车?若设有 x 人，y辆车，则可列方程组为 . 7.今有甲、乙怀钱，各不知其数.甲得乙十钱，多乙余钱五倍.乙得甲十钱，适等.问甲、乙怀钱各几何?(选自《张丘建算经》) 题目大意：甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等.甲、乙两人各带了多少钱? 8.古代数学文化《九章算术》中的“玉石问题”：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤.问玉、石重各几何(斤、两是古代的质量单位，这里 1 斤=16 两；寸是古代的长度单位).意思是1立方寸玉重7两，1立方寸石料重 6 两.现有一块形状为正方体的石头，里面含有玉，棱长是3寸，质量是 11斤.请问这块石头中玉和石料各重多少? 练能力 9.《九章算术》在“方程”章中记载有“方程术”，“方”指数据左右并排，其行方正，“程”指考查相关数据构成的比率关系.具体何谓“方程术”呢?请欣赏《九章算术》中的问题：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两.问牛羊各值金几何?”译文:今有牛 5 头,羊2 头,共值金 10两；牛2头，羊5头，共值金8两，问牛、羊每头各值金多少? (1)列二元一次方程组解决以上问题； (2)依“方程术”求解时，将“牛5头，羊2 头，共值金 10 两”列在右方,“牛2 头,羊5 头,共值金8两”列在左方，用右牛数遍乘左方各数(“遍乘”)得到左方新数，将所得左方新数连续减去右方对应数的适当倍数，直到左方头位数为零为止(“直除”)，如图 1 所示.左方未尽之数，用上面的数作除数，下面的数作被除数，所得 商 即 为 每 头 羊 值 金数.(羊1头，值金 两) ①上述“方程术”推算“羊值金几何”的过程中，“遍乘”和“直除”体现了解二元一次方程组的 思想(填“消元”或“分类”)； ②依“方程术”解，采用“遍乘”和“直除”推算“牛值金几何”，在图2 直接填写数据，并写出牛值金几两. 第2课时 营销与配套问题 夯基础 1.某中学现有学生 4 200人，计划一年后初中在校学生增加8%，高中在校学生增加11%.这样会使在校学生共增加10%，这所学校初中现在的在校生人数是 ( ) A.1400人 B.1900人 C.2 800人 D.2 300人 2.某社区活动中心计划出资500元全部用于购进跳棋、象棋、围棋，其进货情况如表，如果每一种棋类都要购买，购买方案有 ( ) 种类 单价/元 套数 跳棋 16 5 象棋 40 x 围棋 60 y A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 3.我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个?”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果、苦果各买几个?若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为( ) A. B. C. D. 4.期中考试后，老师计划购买笔记本和圆珠笔给表现优秀的同学作为奖品，笔记本和圆珠笔的单价均为正整数.若购买3本笔记本，5支圆珠笔，共需要23元，则购买4本笔记本和5支圆珠笔的费用为 ( ) A.24元或29元 B.29元 C.34元或21元 D.24元 5. 2025年亚洲冬季运动会于2月 7日至 2月 14日在哈尔滨举行，某经销店调查发现：吉祥物“滨滨”和“妮妮”深受青少年喜爱.已知购进3个“滨滨”比购进2个“妮妮”多用80元；购进 1个“滨滨”和2个“妮妮”共用160元.该商店决定购进“滨滨”和“妮妮”各 100个，其总费用为 ( ) A.11 000元 B.10 200元 C.10 000元 D.9 900元 6.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数鸡价各几何?译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差 16 钱.问人数、买鸡的钱数各是 . 7. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.某商场从6月 12 日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需 360元.轩轩同学想在今天中考结束后，为敬老院送肉粽和白粽各5盒，则他 6月 13 日购买的花费比在打折前购买节省 元. 8. 现用 190张铁皮做盒,一张可以做 8个盒身或 22个盒底，1个盒身与2个盒底配一个盒子，问用多少张铁皮制盒身、多少张铁皮制盒底，可制成一批完整的盒子?若设用x张铁皮制盒身，y张铁皮制盒底，列方程组为 9. 中国瓷器以其精湛的工艺和精美的图案享誉世界.某瓷器厂一车间有 14名工人，每名工人每天可以加工 10 只茶壶或30 只茶杯.1只茶壶需要配 4 只茶杯，为使每天加工的茶壶和茶杯刚好配套，该车间应安排 名工人加工茶壶. 10.某品牌制衣厂现有 240 名制作服装的工人，每天都制作某款运动服装 T 恤和短裤，每名工人每天可制作这种T 恤 3件或短裤5 条. (1)若该厂要求每天制作的 T恤和短裤数量相等，则应各安排多少名工人制作 T恤和短裤? (2)已知制作1 件 T 恤可获利25元，制作1条短裤可获利 18元.若该厂要求每天获得利润18 900元，则需要安排多少名工人制作 T恤? 练能力 11.如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，这家工厂从 A 地购买一批每吨 1 000 元的原料运回工厂，制成每吨 8 000 元的产品运到B 地.已知公路运价为1.5元/(吨·千米)，铁路运价为1.2元/(吨·千米)，这两次运输共支出公路运费 15 000 元，铁路运费97 200元，请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元? (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲： 乙： 根据甲，乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数 x，y表示的意义，然后在等式右边补全甲、乙两名同学所列方程组. 甲:x表示 , y 表示 ; 乙:x表示 , y 表示 ; (2)甲同学根据他所列方程组解得 x =300，请你帮他解出 y 的值，并解决该实际问题. 第3课时 几何及行程问题 夯基础 1.有一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为9，十位上的数字比个位上的数字大3，则这个两位数是 ( ) A.47 B.56 C.63 D.84 2.老师利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照如图1所示的方式放置，再交换两木块的位置，按照如图 2 所示的方式放置，测量的数据如图所示，则桌子的高度是 ( ) A.88 cm B.90 cm C.92 cm D.96 cm 3.有一座桥长2 000 米,一列火车匀速行驶，从车头上桥到车尾离桥用了1分钟，完全在桥上的时间为 40秒，则火车长度和行驶速度分别为 ( ) A.400 m,20 m/s B.200 m,40 m/s C.200 m,20 m/s D.400 m,40 m/s 4.如图,ABCD 为一长条形纸带,AB∥CD,将ABCD 沿EF 折叠,A,D两点分别与A',D'对应,若∠CFE=2∠BEA',设∠BEA'=x°,∠CFE=y°,根据题意可得 ( ) A. B. C. D. 5.已知甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时速度为 20 km/h，下坡时速度为35 km/h，车从甲地开往乙地需 9小时，若从乙地返回甲地上下坡的速度不变，时间为7.5小时，那么甲乙两地的公路长 ( ) A.300 km B.210 km C.200 km D.150 km 6.甲、乙两人从相距 18千米的两地同时出发，相向而行，经 小时相遇.如果甲比乙先出发 小时，那么在乙出发后经 小时两人相遇.则甲的速度为( ) A.2k m/h B.4.5 km/h C.5k m/h D.5.5 km/h 7.小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，如表是小明每隔1 小时看到的里程情况. 时刻 12:00 13:00 14:00 里程表上的数 是一个两位数，它的两个数之和为7 十位与个位数字与 12:00 时所看到的正好互换了 比 12:00 时看到的两位数中间多了一个0 小明在 13：00时看到的数是 ( ) A.16 B.61 C.72 D.94 8.一个两位数，减去它的各位数之和的 3倍，结果是23，这个两位数除以它的各位数之和，商是 5，余数是 1.这两位数是 . 9.一条船顺流航行，每小时行40千米；逆流航行，每小时行35千米.若设这条船在静水中的速度为 x km/h，水的流速为y km/h,则所列方程组是 . 10.如图，用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个矩形纸片围成如图1的正方形，其阴影部分的面积为 25；8个矩形纸片围成如图2的正方形，阴影部分的面积为 16；12个矩形纸片围成如图3的正方形，其阴影部分的面积为 . 11.某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工.甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程.若已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，则甲工程队每天施工 米，乙工程队每天施工 米. 12.聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1(岁)刚好是自己岁数加1(岁)的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7，你能知道聪聪和他妈妈现在的年龄吗? 13.一个各位数字都不为0且互不相等的四位自然数m，若千位与个位数字之和等于百位与十位数字之和，则称这个四位数m为“均衡数”，最大的均衡数是 ；将“均衡数”m的千位与百位数字对调，十位与个位数字对调得到新数n.记 F(m)，G(m)均为整数，则满足条件的m的最大值为 . 14.周末，小明和他的爸爸来到环形运动场进行跑步锻炼，绕环运动场一圈的路程为400米. (1)若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180秒后，爸爸首次从后面又追上小明，问小明和他的爸爸的速度各为多少? (2)假设爸爸的速度是 6m /s，小明的速度是5m /s.两人进行400米赛跑，同时同起点同向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为 4m /s.按此继续比赛，小明能否在400米终点前追上爸爸，如果能，求追上时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由. 第1课时古代方程趣题 1. B 2. B 3. D 7.解：设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，根据题意，得 解得 答：甲带了38钱，乙带了18钱. 8.解：设玉的质量为x两，石料的质量为y两.根据题意，得 解得 答：玉的质量为98两，石料的质量为78两. 9.解：(1)设牛每头值金 x 两，羊每头值金y两, 由题意，得 解得 答：牛每头值金 两，羊每头值金 两； (2)①消元; ②如图，用右羊数遍乘左方每个数，将所得左方数连续减去右方对应各数的5倍，令左羊数为0，用左金数除以作牛数即可求解.(方法不唯一) 所以每头牛值金 第2课时 营销与配套问题 1. A 2. B 3. C 4. A 5. A 6.9人,70钱7.145 9.6 10.解：(1)设安排x名工人制作T恤，y名工人制作短裤. 根据题意，得 解得 答：应安排150名工人制作 T恤，90名工人制作短裤； (2)设需要安排m名工人制作 T恤，n名工人制作短裤. 根据题意，得解得 答：需要安排180名工人制作 T恤. 11.解：(1)产品的重量，原料的重量； 产品销售额，原料费； 15 000,97 200; 15 000,97 200; (2)将x=300代入原方程组解得y=400,产品销售额为300×8000=2400000(元),原料费为400×1000=400 000(元),所以运费为15000+97200=112200(元),所以2 400 000-(400 000+112 200)=1887800(元). 答：这批产品的销售额比原料费和运费的和多1887 800元. 第3课时几何及行程问题 1. C 2. C 3. D 4. D 5. B 6. B 7. B8.56 10.9 11.44.5. 42.5 12.解：设聪聪现在的年龄是(10x+y)岁，则妈妈现在的年龄是(10y+x)岁， 依题意得： 解得 所以10x+y=10×1+4=14,10y+x=10×4+1=41. 答：聪聪现在的年龄是14岁，妈妈现在的年龄是41岁. 13.9876 8721 解析：设m 的千位，百位，十位，个位数字分别为a,b,c,d,则有a+d=b+c,且各位数字都不为0且互不相等， 所以当这个均衡数最大时，a=9，b=8，则c=7,d=6, 所以最大的均衡数为9876； 因为 m 的千位与百位数字对调，十位与个位数字对调得到新数n， 所以m=1000a+100b+10c+d, n=1000b+100a+10d+c, 不妨设(a+d=b+c=t, 则 当t=9,即a+d=b+c=9时,F(m)为整数： 当4(a+b)+3被7 整除时G(m)为整数,可得a+b最大等于15， 因为各位数字都不为0且互不相等，且t=a+d=9, 所以排除a,b为9和6,只能是a=8和b=7,再根据均衡数的定义，求得c=9-7=2，d=9-8=1, 所以满足条件的 m 的最大值是8721. 14.解:(1)设小明的速度为 x m/s,爸爸的速度为y m/s, 由题意，得 解得 答：小明的速度为 爸爸的速度为 (2)能.因为小明到400米终点需要的时间为400÷5=80(秒),他的爸爸到400米终点需要的时间为 (秒),因为 所以小明能在400米终点前追上爸爸，设小明追上爸爸需要的时间为m 秒，则追上时距离终点还有(400-5m)米， 由题意，得 解得 所以 答：小明能在 400米终点前追上爸爸，追上时距离终点还有 米. 学科网（北京）股份有限公司 $