第十章 二元一次方程组（必备知识+5大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材人教版七年级下册

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第十章二元一次方程组 思维导图 1.二元一次方程组定义 2.二元一次方程组定义 二元一次方程（组）定义 3.二元一次方程（组）的解 1消元思想 二元一次方程组 2.代入消元法 解二元一次方程组 3.加减消元法 1基本步绿：审题、设元、列代数式 和方程组、解方程组、检验、作答 二元一次方程（组）的应用 2基本公式 知识清单 【清单01】二元一次方程（组）定义 1.二元一次方程组定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程. 2.二元一次方程组定义 方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是1，并且一共有西个方程，像这样的方程组叫 做二元一次方程组.如：把x+y=2和y=0合在一起写成 x+y=2, x-y=0 3.二元一次方程（组）的解 (1)使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解， (2)二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解， 【清单02】解二元一次方程组 (1)消元思想 1/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的 一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数.像这种将未知数的个数由多化少、 逐一解决的思想，叫做消元思想 (2)代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现 消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法。 (3)加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减， 就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法， 【清单03】二元一次方程（组）的应用 一. 解题步骤 1.审题：透彻理解题意，弄清问题中的己知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2. 设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数： 3.列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程 步组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 骤 4. 解方程组： 5.检验：检验方程的根是否符合题意； 6.作签：检验后作出符合题目要求的答案 二、基本公式 单价×数量=总价 利润=实际售价-成本 利润 实际售价=标价（原价）×折扣 利润率= 成本×100 易错总结 易错点1利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 易错总结 1.对“一次”和“二元”概念理解不清：易忽略未知数的次数为1且系数不为0，或漏看方程中含两个未知 2/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 数。 2.忽视方程组中每个方程的定义要求：在二元一次方程组中，每个方程都需满足二元一次方程的定义，易 只关注一个方程而忽略另一个。 解题技巧总结 1.紧扣定义列条件：明确二元一次方程需满足“含有两个未知数、未知数次数都是1、整式方程且未知数系 数不为0”，据此列出关于参数的不等式和等式 2.结合方程组整体分析：对于方程组，分别对每个方程应用二元一次方程定义，联立条件求解参数，同时 检验解是否使整个方程组符合定义 例题1-1：(25-26七年级下·江苏苏州·月考)若方程(m+4)xm-3-(n-2)y-3=0是关于x,y的二元一次方程， 则m-n的值 例题1-2：(25-26九年级上山东青岛月考)已知方程2x-3-(b-2)y=4是关于x,y的二元一次方程， 则a-2b= 易错点2己知二元一次方程（组）的解求参数或代数式的值 易错总结 1.代入时符号或系数出错：将方程组的解代入代数式时，易因符号（如负号）或系数（如漏乘、错乘）计 算失误导致结果错误。 2.忽视代数式的变形要求：有时需先对代数式变形（如因式分解、整体代入)，若直接代入未变形，会增加 计算量且易出错。 解题技巧总结 1.精准代入，分步计算：将解代入代数式时，分步骤代入每个未知数，注意符号和系数，每一步计算后及 时检查。 2.优先代数式变形，整体代入：观察代数式结构，利用因式分解、合并同类项等方法变形，结合方程组的 整体关系（如x+y、x-y的值）进行整体代入，简化计算。 x=2 例题2-1：(25-26七年级下·湖南衡阳·月考)已知 y=1 是方程ax+by=3的一组解，则4a+2b+4= 例题2-2：(2026八年级上山东青岛专题练习)己知关于x、y的方程组 3x+2y=m+2 2x+3y=3m 的解满足x=y,则 3/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 m的值是 例题2-3：(24-25七年级下·吉林四平.期末)已知关于x、y的二元一次方程组 [x+y=1-a x-y=3a+5’给出下列结 论： (1)当a=1时，方程组的解为 (2)当x+2y=0时，请求出a的值： (3)请说明不论a取什么有理数，2x+y的值始终不变. 易错点3二元一次方程组之同解问题 方法技巧总结： 1.重组方程组，求解公共解：从两个原方程组中，各拿出一个不含参数的方程，组成一个新的方程组。 解这个新方程组，得到的x和y的值，就是两个原方程组的公共解。 2.代入求参，回代验证：将求出的公共解（飞，y),代入到含有参数的两个方程中。这样就得到了关于参数 的一元一次方程，解出参数即可。为确保正确，可将参数值和公共解回代到原方程组中进行验证。 x+y=3 例题3-1：（2026七年级下·四川泸州学业考试)已知关于x,y的方程组 mr-=g和 y+x=2 有相同的 x-y=1 解，则m-n= x=4 例题3-2：(25-26八年级上重庆·月考)若关于x,y的方程组 ax+by=G的解是 y=3' 则方程组 a,x+bay=c2 「2ax-3by=4的解是一。 2a2x-3b2y=4c2 易错点4二元一次方程组中特殊解法问题 方法技巧总结： 1.整体代入法：当方程组中某个代数式（如x+y或xy)在两个方程中都出现时，可以把它看作一个整 体。先求出这个整体的值，再代入求解。这样能避免复杂的计算。 2.参数法：对于比例形式的方程组（如x2=y3),可设它们的比值等于一个新参数k。这样x和y 都可用k表示，代入另一个方程就能解出k,进而求出x和y。 3.轮换对称方程组：当方程组中x和y地位对称时，可先将两式相加或相减。得到x+y或xy的 4/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 值，再用加减法求解。 3(2x+y)-2(x-2y)=26 例题4-1：（25-26七年级下·山东聊城月考)我们在解二元一次方程组 2(2x+川+3x-2=13时，若假设 2x+y=m 2m+3n=l13,解之 3m-2n=26, m=8 2x+y=8 x=3 x-2y=n’ 则原方程组可化为 n=-'即 r-2y=-1'解之 y=2'在上面的 解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元 法. (6r+ay=3的解为r=-2 ax+by=6 (1)已知关于x、y的二元一次方程组 少=4，求关于m、的二元一次方程组 a(m+n+b(m-n)=6 b(m++am-n=3的解： x+y_x-Y=4 (2)请用上面的换元法解方程组{23 2(x+y)+x-y=16 (a-1)+2(b+2)=6 例题4-2：(25-26七年级下·河南南阳·月考)阅读探索：解方程组 2(a-1)+(b+2)=6 x+2y=6 [x=2 解：设a-1=x,b+2=y,原方程组可以化为 解得 2x+y=6 y=2 a-1=2,a=3 即 b+2=2b=0 【此种解方程组的方法叫做换元法】 (x-2)+3(y+1)=6 (1)运用上述方法解方程组 2(x-2)+(y+1)=2 x=6 (2)已知关于x,y的方程组 (a,x+b,y=G的解为 =7,求关于m,的方程组 (m-2)+bn+3)=G的 azx+bay=c2 2(m-2)+b,(n+3)=c2 解。 易错点5二元一次方程组中新定义型探究问题 方法技巧总结： 1.彻底理解新定义：这是第一步，也是最关键的一步。你需要仔细阅读题目，完全搞懂这个新定义是什么 意思。它可能是一种新的运算符号，也可能是一个新概念。可以试着用具体数字代入新定义，亲手算一算， 5/9 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 帮助理解。 2.转化为数学等式：理解新定义后，你需要把题月中的文字描述或新符号，翻译成我们熟悉的数学语言。 通常是列出一个或几个二元一次方程，组成方程组。剩下的工作，就是用我们己经掌握的代入法或加减法 来求解了。 例题5-1：(25-26七年级下·浙江金华.月考)对于有理数x,y,定义新运算：x#y=ax+by,x⊕y=ax-by, 其中a,b是常数，己知1#1=1,3⊕2=8， (1)求a,b的值： x#y=4-m (2)若关于x,y的方程组 x⊕y=5m 的解x,y互为相反数，求m的值； 例题5-2：(25-26七年级上·湖南娄底期末)新趋势·新定义对于未知数为x,y的二元一次方程组，如果 方程组的解x,y满足x-y=1.我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系” (1)请写出一个x与y具有“邻好关系”的二元一次方程组： (2)方程组 x-二1的解是香具有邻好关系”？说明你的理由： x+2y=7 (3)若方程组 2x-y=6 的解x与y具有“邻好关系”，求m的值 4x+y=6m 易错训练 一、单选题 1.(25-26八年级上河南期末)若(m-2)x-3y=6是关于x,y的二元一次方程，则m满足() A.m≠2 B.m=3 C.m≠3 D.m=2 2（2526七年级下浙江金华月考)若，2是关于，少的方程=倒解。测2-6的信为{) A.1 B.2 C.-1 D.-2 =2定关于y的方程组2红84的解，期6的雀为) x=-1 ax+3y=1 3.(25-26八年级上山西运城期末)己知 A.-8 B.-2 C.2 D.4 6/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(24-25七年级下·山东威海期中)定义运算“*”，规定x*y=ax2+by,其中a,b为常数，且1*2=5， 2*1=6,则2*3=() A.8 B.4 C.3 D.10 5.(25-26八年级上·全国期末)小明求得方程组 x+y=■ x=5 (2x-y=7'的解为 y=★ 由于不小心滴下了两滴墨水， 刚好把两个数“■”和“★”遮住了，则■”和“★”表示的数分别为() A.8,3 B.8,5 C.5,3 D.3,8 二、填空题 6.(25-26八年级上，重庆月考)如果(a-2)x-3y=2是关于x,y的二元一次方程，则a的值为 7.(25.26七年级上湖南永州期末)若x=1 y=-1 是二元一次方程ax+by=3的一个解，则2a-2b的值等于 2x-5y=3a+7 8.(25-26七年级上·安微准北期末)已知关于x,y的二元一次方程组 的解互为相反数， x-3y=4 则a= [ax+by=2024 x=1 9.(24-25六年级下·上海期末)已知关于x,y的二元一次方程组 bx+ar=2025的解为 y=2,那么关于 a(2m+n+bm-n=2024 m,n的二元一次方程组 b2m+川j+am-m=2025的解为 10.(25-26七年级下.福建泉州月考)对于关于x,y的二元一次方程组 ∫ax+by=G(其中a,b,G, azx+bay=c2 42,b2,C2是常数)，给出如下定义：若该方程组的解满足x-y=1,则称这个方程组为“郡一”方程组.若 对于任意的无理数m,关于x,y的方程组 2amx+(b-1)y=m 都是“郡一”方程组，则ab的值为 x+2y=4 三、解答题 11.(2025八年级上全国.专题练习)若(m-2025)xm2024+(n+8y7=2025是关于x,y的二元一次方程， 7/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则() A.m=±2025，n=±8 B.m=-2025,n=±8 C.m=±2025，n=-8 D.m=-2025,n=8 下面是马虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确答案，并说明理由. 解：因为(m-2025)x2024+(n+8)y47=2025是关于x,y的二元一次方程， 所以m-2024=1,n-7=1. 解得m=±2025，n=±8.故选A. 2x+y-6=0 12.(2026七年级下福建泉州专题练习)己知关于x,y的方程组 2x-y+my-5=01 (1)无论数m取何值，方程2x-y+my-5=0总有一个固定的解，请直接写出这个解； (2)若方程组的解中y恰为整数，m也为整数，求m的值， 13.(25-26七年级下·河南南阳·月考)解方程组的应用： (1)如果方程组 x+y=3 与方程组 x-y=1 ,有相同的解，那么m-n= x+y=8 mx-ny= ax+3y=4① x=1 (2)甲、乙两人同时解关于x、y的方程组 5x=by-7② 时，甲看错了方程①中的a,解得 y=12 乙看错了 x=-3 方程②中的b, 解得 10,求原方程组的正确解。 y= 3 14.(25-26七年级下·山东聊城月考)我们把关于x,y的两个二元一次方程x+y=b与kx+y=b(k≠1)叫 x+ky=b. 作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组 叫作共轭二元一次方程组. kx+y=b (1)若关于x,y的二元一次方程组 x+(b+y=4+0为共轭二元一次方程组，则a=一h=- 1-ax+y=b+2 (2)若二元一次方程x+y=b中x,y的值满足表格：则这个方程的共轭二元一次方程是_； 0 x+ky=b x=m (3)发现：若共轭二元一次方程组 +y=b的解是 ,则m,n之间的数量关系是- y =n 8/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3(2x+y-2(x-2y)=26 15.(25-26八年级下山东淄博·月考)解方程组 2(2x+y)+3(x-2y)=13 时若设2x+y=m,x-2y=n,则 3m-2n=26 m=8 n=-1'所以 2x+y=8 x=3 原方程组化为 2m+3n=13'解得 x-2y=-1'解得 =2'我们把某个式子看成一个整体， 用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法 x+y_x-y=4 (1)知识迁移：请用这种方法解方程组 23 2(x+y)+x-y=16 x=4 (2)拓展应用：已知关于x,y的二元一次方程组 a,x+by=G的解 a,x+bay=cz y=-3’求关于x,y的方程组 2ax+3动，y=5C的解. 2a2x+3b2y=5c2 9/9 第十章 二元一次方程组 【清单01】二元一次方程（组）定义 1.二元一次方程组定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． 2.二元一次方程组定义 方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 如：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ， 3.二元一次方程（组）的解 （1）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【清单02】 解二元一次方程组 （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 【清单03】二元一次方程（组）的应用 一．解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 二、基本公式 单价×数量=总价 利润=实际售价-成本 实际售价=标价（原价）×折扣 利润率= ×100 易错点1 利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 易错总结 1. 对“一次”和“二元”概念理解不清：易忽略未知数的次数为1且系数不为0，或漏看方程中含两个未知数。 2. 忽视方程组中每个方程的定义要求：在二元一次方程组中，每个方程都需满足二元一次方程的定义，易只关注一个方程而忽略另一个。 解题技巧总结 1. 紧扣定义列条件：明确二元一次方程需满足“含有两个未知数、未知数次数都是1、整式方程且未知数系数不为0”，据此列出关于参数的不等式和等式。 2. 结合方程组整体分析：对于方程组，分别对每个方程应用二元一次方程定义，联立条件求解参数，同时检验解是否使整个方程组符合定义 例题1-1：（25-26七年级下·江苏苏州·月考）若方程是关于x，y的二元一次方程，则的值________． 【答案】0 【分析】只含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴， ∴， ∴． 例题1-2：（25-26九年级上·山东青岛·月考）已知方程是关于，的二元一次方程，则______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，代数式求值，只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此列式求出a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 易错点2 已知二元一次方程（组）的解求参数或代数式的值 易错总结 1. 代入时符号或系数出错：将方程组的解代入代数式时，易因符号（如负号）或系数（如漏乘、错乘）计算失误导致结果错误。 2. 忽视代数式的变形要求：有时需先对代数式变形（如因式分解、整体代入），若直接代入未变形，会增加计算量且易出错。 解题技巧总结 1. 精准代入，分步计算：将解代入代数式时，分步骤代入每个未知数，注意符号和系数，每一步计算后及时检查。 2. 优先代数式变形，整体代入：观察代数式结构，利用因式分解、合并同类项等方法变形，结合方程组的整体关系（如x + y、x - y的值）进行整体代入，简化计算。 例题2-1：（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）已知是方程的一组解，则______． 【答案】10 【分析】将方程的解代入原方程得到, 再对所求代数式变形, 整体代入计算即可． 【详解】解：∵是关于、的方程的一组解， 代入得：， ． 例题2-2：（2026八年级上·山东青岛·专题练习）已知关于x、y的方程组的解满足，则m的值是______． 【答案】1 【分析】本题考查求含参数的二元一次方程组中的参数． 由条件，代入原方程组，得到，消去，即可求解． 【详解】解：将代入方程组，得，即， ∴， 解得，． 故答案为：1． 例题2-3：（24-25七年级下·吉林四平·期末）已知关于、的二元一次方程组，给出下列结论： (1)当时，方程组的解为__________； (2)当时，请求出的值； (3)请说明不论取什么有理数，的值始终不变． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）将代入，通过加减消元法进行计算即可； （2）先求出关于的表达式，再进行计算即可； （3）通过化简即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入，得：， ①②得：， 解得， 将代入①，得， 故； （2）解：， ①②得：， 解得， 将代入①，得， 故， ， ， 解得； （3）解：由（2）得， ， 故的值始终不变． 易错点3 二元一次方程组之同解问题 方法技巧总结： 1. 重组方程组，求解公共解：从两个原方程组中，各拿出一个不含参数的方程，组成一个新的方程组。 解这个新方程组，得到的  x  和  y  的值，就是两个原方程组的公共解。 2. 代入求参，回代验证：将求出的公共解  (x, y) ，代入到含有参数的两个方程中。这样就得到了关于参数的一元一次方程，解出参数即可。为确保正确，可将参数值和公共解回代到原方程组中进行验证。 例题3-1：（2026七年级下·四川泸州·学业考试）已知关于的方程组和有相同的解，则______． 【答案】5 【分析】本题主要考查解方程组，根据两个方程组有相同的解，则公共解满足所有方程，因此先联立不含参数的二元一次方程，求出公共解，再代入含参数的方程得到关于的方程组，求解后计算即可． 【详解】解：关于的两个方程组有相同的解， 联立不含参数的方程得， 两式相加，得， 解得， 将，代入得， 将代入得， 解得，， ， 故答案为：． 例题3-2：（25-26八年级上·重庆·月考）若关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是_____． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程组问题，利用已知方程组的解，代入得到系数关系，通过比较新方程组与已知方程组系数，求解新方程组的解即可． 【详解】解：已知方程组 的解为 ，则 ，； 对于方程组， 将， 代入得：， 整理得：， 由于， ， ，不全为零（方程组有意义）， 且， 解得，， 故答案为：，． 易错点4 二元一次方程组中特殊解法问题 方法技巧总结： 1. 整体代入法：当方程组中某个代数式（如  x+y  或  x-y ）在两个方程中都出现时，可以把它看作一个整体。先求出这个整体的值，再代入求解。这样能避免复杂的计算。 2. 参数法：对于比例形式的方程组（如  x/2 = y/3 ），可设它们的比值等于一个新参数  k 。这样  x  和  y  都可用  k  表示，代入另一个方程就能解出  k ，进而求出  x  和  y 。 3. 轮换对称方程组：当方程组中  x  和  y  地位对称时，可先将两式相加或相减。得到  x+y  或  x-y  的值，再用加减法求解。 例题4-1：（25-26七年级下·山东聊城·月考）我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法． (1)已知关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的二元一次方程组的解； (2)请用上面的换元法解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，得到，然后解方程组即可； （2）设，得到，然后解方程组即可； 【详解】（1）解：设， 则原方程组可化为， ， 解得：； （2）设， 则原方程组可化为， 化简整理得， 解得：， ， 解得． 例题4-2：（25-26七年级下·河南南阳·月考）阅读探索：解方程组 解：设，，原方程组可以化为解得 即【此种解方程组的方法叫做换元法】 (1)运用上述方法解方程组 (2)已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照题干方法，利用换元法解方程组即可； （2）根据题意易得方程组的解满足，进行求解即可． 【详解】（1）解：设，原方程组可化为， 解得，即， ∴； （2）解：∵关于，的方程组的解为， ∴关于，的方程组的解满足， 解得. 易错点5 二元一次方程组中新定义型探究问题 方法技巧总结： 1. 彻底理解新定义：这是第一步，也是最关键的一步。你需要仔细阅读题目，完全搞懂这个新定义是什么意思。它可能是一种新的运算符号，也可能是一个新概念。可以试着用具体数字代入新定义，亲手算一算，帮助理解。 2. 转化为数学等式：理解新定义后，你需要把题目中的文字描述或新符号，翻译成我们熟悉的数学语言。通常是列出一个或几个二元一次方程，组成方程组。剩下的工作，就是用我们已经掌握的代入法或加减法来求解了。 例题5-1：（25-26七年级下·浙江金华·月考）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数，已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解x，y互为相反数，求m的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义可得方程组，解之即可得到答案； （2）根据（1）所求和新定义可得，解方程组得到，根据相反数的定义得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，且，， ∴， ∴； （2）解：∵，且， ∴ 得，解得， 把代入②得，解得， ∴关于x、y的方程组的解为， ∵关于x，y的方程组的解x，y互为相反数， ∴， ∴， ∴． 例题5-2：（25-26七年级上·湖南娄底·期末）新趋势・新定义    对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足.我们就说方程组的解与具有“邻好关系”. (1)请写出一个与具有“邻好关系”的二元一次方程组； (2)方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： (3)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值. 【答案】(1)答案不唯一，如等 (2)方程组的解具有“邻好关系” (3)或6 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）根据“邻好关系”的定义求解即可； （2）利用代入消元法求得方程组的解，再利用具有“邻好关系”的定义判定即可； （3）利用加减消元法求得方程组的解，再利用具有“邻好关系”的定义列出关于m的方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）解：具有“邻好关系”的二元一次方程组为（答案不唯一）； （2）解：具有“邻好关系”.理由如下： 解方程组， 解得， 再代入，符合条件， 所以方程组的解具有“邻好关系”； （3）解：解方程组得 因为方程组的解具有“邻好关系”， 所以， 所以，即， 所以或， 所以或6． 一、单选题 1．（25-26八年级上·河南·期末）若是关于x，y的二元一次方程，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程，熟练掌握二元一次方程的定义：只含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，运用二元一次方程满足的条件是解题的关键． 根据二元一次方程的定义，要求未知数的系数不能为零，因此需满足． 【详解】解：∵方程是关于,的二元一次方程， ∴的系数， ∴， 故选A． 2．（25-26七年级下·浙江金华·月考）若是关于x，y的方程的解，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】将方程的解代入原方程，变形即可得到所求代数式的值． 【详解】解：∵是关于，的方程的解， ∴将代入，得：， 等式两边同乘，得：． 3．（25-26八年级上·山西运城·期末）已知是关于x，y的方程组的解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据方程组解的定义，将已知解代入方程组，即可求出a和b的值，进而计算得到的值． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴将代入方程组，得， 解得， ∴． 4．（24-25七年级下·山东威海·期中）定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，，则（     ） A．8 B．4 C．3 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能求出a、b的值是解此题的关键． 根据题意得出方程组，求出a、b的值，得到，再代入求出答案即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 即， ∴. 故选：D． 5．（25-26八年级上·全国·期末）小明求得方程组，的解为由于不小心滴下了两滴墨水，刚好把两个数“■”和“★”遮住了，则“■”和“★”表示的数分别为（    ） A．8，3 B．8，5 C．5，3 D．3，8 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将已知解代入方程求出y，再代入求■． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴，． 故选：A． 二、填空题 6．（25-26八年级上·重庆·月考）如果是关于的二元一次方程，则的值为____ 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有个未知数，方程中未知数和的次数都必须为，且的系数不能为零． 【详解】解：由题意，方程是关于的二元一次方程， ∴的次数，且的系数， 解得，且， ∴． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·湖南永州·期末）若是二元一次方程的一个解，则的值等于__________． 【答案】 6 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，代数式求值，得出是解题的关键．根据二元一次方程的解的定义得出，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·安徽淮北·期末）已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则___________． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解的定义是关键．由于方程组的解互为相反数，因此，利用此条件与方程组联立求解． 【详解】解：由解互为相反数，得．与方程联立， 解得． 将代入方程， 得， 即2+5=3a+7，7=3a+7， 解得． 故答案为0． 9．（24-25六年级下·上海·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么关于m，n的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键，观察两个二元一次方程组可得，由于，得到，解得即可得到答案． 【详解】解：∵与的形式相同； ∴， ∵二元一次方程组的解为， ∴， 解得：， 故答案为：． 10．（25-26七年级下·福建泉州·月考）对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“郡一”方程组．若对于任意的无理数，关于，的方程组都是“郡一”方程组，则的值为______． 【答案】或 【分析】先根据题意得，求出或，再分别代入，可求出，的值，即可求解． 【详解】解：关于，的方程组都是“郡一”方程组， ， 则有， 解得或， 把代入得， ， 为任意无理数， ， 解得， ； 把代入得， ， 为任意无理数， ， 解得， ． 综上所述，的值为或． 三、解答题 11．（2025八年级上·全国·专题练习）若是关于的二元一次方程，则（   ） A．        B． C．        D． 下面是马虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确答案，并说明理由． 解：因为2025是关于的二元一次方程， 所以． 解得．故选A． 【答案】马虎的解法不正确．正确选项为D，见解析 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解答本题的关键．方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程． 马虎的解法未考虑未知数的系数不能为0，故错误；根据二元一次方程的定义求解即可. 【详解】解：马虎的解法不正确．正确选项为D．理由如下： 因为是关于，的二元一次方程， 所以 解得 故选D． 12．（2026七年级下·福建泉州·专题练习）已知关于的方程组． (1)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (2)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【详解】（1）解：， 整理得， ∵该方程的解与的取值无关， ∴且， 解得：， 即固定的解为； （2）解：方程组， 得：， ∴， ∴， ∵恰为整数，也为整数， ∴或， 故或． 13．（25-26七年级下·河南南阳·月考）解方程组的应用： (1)如果方程组与方程组有相同的解，那么__________． (2)甲、乙两人同时解关于x、y的方程组时，甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得，求原方程组的正确解． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）两个方程组有相同的解，因此该相同解同时满足两个只含x，y的方程，先求出x，y的值，再代入含m，n的方程求出m，n，即可计算得到的值； （2）甲看错a得到的解满足正确的方程②，乙看错b得到的解满足正确的方程①，分别代入求出正确的a，b，再解原方程组即可得到正确解． 【详解】（1）解：∵两个方程组有相同的解， ∴x、y满足方程组，解得， 将，代入， 得，解得， ∴． （2）解：将代入方程②，得：，解得， 将代入方程①，得：，解得， 把，代入原方程组，得到， 解得， ∴原方程组的正确解为． 14．（25-26七年级下·山东聊城·月考）我们把关于x，y的两个二元一次方程与叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组叫作共轭二元一次方程组． (1)若关于x，y的二元一次方程组为共轭二元一次方程组，则 ， ； (2)若二元一次方程中x，y的值满足表格：则这个方程的共轭二元一次方程是 ； x 2 0 y 0 1 (3)发现：若共轭二元一次方程组的解是，则m，n之间的数量关系是 ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）由定义得到方程组，再解方程组即可； （）将，； ，，代入方程中，求出这个二元一次方程，即可写出这个方程的共轭二元一次方程； （）将方程组的解代入，再由加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：是共轭二元一次方程组， 则， 解得； （2）解：将，； ，，代入方程中， ，， ∴， ∴二元一次方程是， ∴共轭二元一次方程是； （3）解：∵的解为， ∴， 得， ∴， ∵， ∴， 即． 15．（25-26八年级下·山东淄博·月考）解方程组时若设，，则原方程组化为，解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)知识迁移：请用这种方法解方程组； (2)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， 解得， r， 解得， 即：方程组的解为； （2）解：设，，则原方程组可化为， 化简，得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴， ∴， 解得：， 故方程组的解为：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $