专题03 一次函数的综合与新定义型探究问题的六种模型（高效培优专项训练）数学新教材湘教版八年级下册

专题03 一次函数的综合与新定义型探究问题的六种模型 目录 题型一：一次函数含参数中的图象与性质 1 题型二：一次函数中的规律探究问题 8 题型三：一次函数中求线段和最值问题 14 题型四：一次函数中折叠综合问题 27 题型五：一次函数中的新定义型综合问题 40 题型六：一次函数中分段函数探究问题 48 题型一：一次函数含参数中的图象与性质 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知，是直线上的两点，且，则的取值范围是_________________． 【答案】 【分析】先比较点、的横坐标大小，再结合的条件，利用一次函数的增减性确定系数的符号，进而求出k的取值范围． 【详解】解：∵，， ∴． 已知、在直线上，且，说明当增大时，减小． ∴． 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的增减性，解题关键是通过横坐标与函数值的变化关系，确定一次函数斜率的符号，进而求解参数的范围． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知一次函数，（，k，b为常数）的图象分别记为，，当时，． (1)求b的值； (2)若点在上，点在上． ①当时，若，，比较p、q大小，并说明理由； ②当时，．若k，m都为整数，求q的最大值． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②q的最大值为6 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． （1）将代入两函数解析式得到，，根据列方程求解即可； （2）①根据“点在上，点在上”得到，，根据得到，计算得到，结合，判断正负即可； ②同①得到，根据得到，求出，可知为整数，即是2的因数，根据可知，求出m最大值即可求出q的最大值． 【详解】（1）解：当时，，， ， ， ； （2）解：①，理由如下： 由题意：，， ， ， ， ，， ，， ， ， ； ②由题意：，， ， ∴， ， ， ， k，m都为整数，1为整数， 为整数， 是2的因数， 或或2或， 或0或3或， 又且， 当时，，不合题意，故舍去， 的取值为0，2，3， ， 又， q随m的增大而增大， 当时，q的最大值为6． 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知一次函数过定点，另一个一次函数为． (1)请你判断是否过定点，并说明理由． (2)点和点分别在一次函数和的图象上，求证：． (3)设函数，当时，函数有最大值，求的值． 【答案】(1)一次函数过定点，理由见解析 (2)见解析 (3)的值为或 【分析】本题考查了一次函数的性质． （1）根据题意得出，将代入，得出，即可求解； （2）将点和点分别代入一次函数和的解析式，得出，结合，即可得证． （3）先求得，根据当时，函数有最大值，分和，结合一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：因为一次函数过定点， 所以，； 当时，， 所以一次函数过定点． （2）解：因为点和点分别在一次函数和的图象上， 所以，，即； 因为，所以； 因为，所以，即； （3）解：， ①若，随的增大而增大，当时，，解得； ②若，随的增大而减小，当时，，解得； 所以的值为或． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知直线，当m为何值时： (1)此直线与直线平行． (2)此直线与直线交于点． (3)此直线不经过第三象限． (4)函数值y随x的增大而减小且与y轴的交点在x轴下方． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）两直线平行，比例系数相等，即，求出方程的解即可； （2）先将点代入直线求出，然后再将该点代入，即可求出的值； （3）①当时，直线不经过第三象限，那么直线经过第二、四象限或第一、二、四象限，即满足，，由此可得到关于的不等式组，求出不等式组的解即可；②当时，直线不经过第三象限，即满足，由此可得到关于的不等式组，求出不等式组的解即可； （4）根据函数值随的增大而减小且与轴的交点在轴下方，可得，，由此可得到关于的不等式组，求出不等式组的解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：将点代入直线，得， 解得，即交点坐标为． 将点代入，得， 解得． （3）解：直线不经过第三象限，则其斜率且在轴上的截距 因此有 解得 （4）解：依题意，得 解得． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，两条直线平行的条件，解题的关键是掌握一次函数的性质． 5．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，一次函数、的图象交于轴上的点，其中为常数且，．点为正半轴上的一点，过点作轴的平行线分别交的图象于点、，过点、作轴的平行线分别交的图象于点、． 【特例探究】当时 （1）若点的纵坐标为3，则　　，　　，　　； （2）求的值； （3）求的值． 【归纳猜想】请运用特殊到一般的数学思想和归纳法进行猜想（不需要证明）： 　　；　　．（用含有的代数式表示） 【答案】特例探究：（1）4，4，12；（2）；（3）；归纳猜想：， 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解决本题的关键． 特例探究：（1）当时，则，，令求出点B和点C的坐标，再根据题意分别令和时，即可求出点D和点E的坐标，进而即可求出、和的值； （2）设点的纵坐标为，根据题意求出点B和点C的坐标，再求出和的值，进而即可求解； （3）由（2）进而求出和的值，进而即可求解； 归纳猜想：设P的纵坐标为m，根据题意求出点B和点C的坐标、点D和点E的纵坐标，进而求解即可． 【详解】解：特例探究：（1）当时，则，， 当点的纵坐标为3时，则 解得， 解得， ∴点B为，点C为， ∵过点、作轴的平行线分别交的图象于点、， ∴当时， ， 当时， ， ∴点D为，点E为， ∴，，， 故答案为：4，4，12； （2）设点的纵坐标为，则直线的方程为， 令，得， 解得， ∴点B为， 令，得 解得， ∴点C为， ∴，， ∴， ∴； （3）∵过作轴平行线（），交于D， ∴代入得， ∴点D为， ∴， ∵过作轴平行线（），交于E， ∴代入得， ∴点E为， ∴， ∴， ∴； 归纳猜想：∵，（，），点P在y正半轴上， ∴设P的纵坐标为m（）， ∵点B是l与的交点， ∴当时，得 解得， ∴点B为， ∵点C是l与的交点， ∴当时，得 解得， ∴点C为， ∴，， ∴， ∵过点B作y轴平行线（），交于D， ∴点D的纵坐标为， ∴ ∵过点C作y轴平行线（），交于E， ∴点E的纵坐标为， ∴， ∴， 故答案为：，． 题型二：一次函数中的规律探究问题 6．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“，，，（为自然数）”，依此规律结合即可找出点的坐标． 【详解】解：当时，， 所以点的坐标为． 当时，， 所以点的坐标为． 同理可得，，，，，，， 所以，，，（为自然数）． 因为， 所以点的坐标为，即． 故选：C． 7．（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，直线与轴相交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，再过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，，依此类推，得到直线上的点、，，，与直线上的点，，，，则的长为______． 【答案】 64 【分析】根据一次函数解析式求出相关点的坐标，然后找出的长的规律，对于直线，令求出的值，确定出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，由与的横坐标相等得出的横坐标，代入求出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，同理求出，，，归纳总结即可得到的长． 【详解】解：对于直线，令，求出，即， 轴， 的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 轴， 的横坐标为， 将代入直线中得：，即， 与的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 同理，，， 则的长为． 8．（2026·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，，，都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，依据图形所反映的规律，______． 【答案】 【分析】利用等腰直角三角形的性质得到线段长度，再结合点在直线上的坐标关系，归纳出等腰直角三角形的面积规律，进而求出面积． 【详解】解：如图，分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为点，，， ∵且是等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∴， 将的坐标代入得：， 解得：， ∴，， 同理可得：，， ∴，，， ， ∴． 9．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，直线与y轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，依此类推，得到直线上的点，与直线上的点． （1）的纵坐标为_____； （2）的长为_____（用含有n的式子表示）． 【答案】 2 【分析】本题考查了一次函数的性质及点的坐标求解． （1）先求出的坐标，再根据平行于x轴求出的纵坐标； （2）通过求出前几个的长度，找出规律，进而得到的表达式． 【详解】解：（1）∵平行于x轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同， 当时，， ∴， ∴点的纵坐标为2， 故答案为：2； （2）把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， 把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， 通过观察可得：，， ∴， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，按此规律进行下去，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标变化规律及正比例函数的性质，能通过计算得出是解题的关键．根据题意，依次求出，，，…，发现规律即可解决问题． 【详解】解：∵点，且轴， ∴点的横坐标为2， 将代入得，， ∴点的坐标为， 则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 将分别代入和得，，， ∴， 依次类推，，，…， ∴． 当时，． 故选：B． 题型三：一次函数中求线段和最值问题 11．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，两点的坐标为，，点在轴上，当取最小值时，点的横坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称性质，两点之间线段最短，待定系数法求一次函数解析式，解题的关键在于熟练掌握将军饮马模型． 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，由对称的性质，以及两点之间线段最短，可知当与重合时，取最小值，且最小值为的长，根据对称得到坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求出点的横坐标． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， 由对称的性质可知，， ， 结合两点之间线段最短，可知当与重合时，取最小值，且最小值为的长， ，两点的坐标为，， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 解得， 点的横坐标为 故答案为：． 12．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，一次函数第一象限的图象上有一点，过点作轴的垂线段，垂足为，连接，则的周长的最小值是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数的图象与坐标轴的交点，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积，垂线段最短．设一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，令，可求得点B的坐标，令可求出点C的坐标，从而得到，的长，的面积．设点P的坐标为（），则，当垂直一次函数的图象时，取得最小值时，的周长为最小．根据的面积可求得的最小值，即可解答． 【详解】如图，设一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C， 把代入函数中，得， 解得， ∴点B的坐标为， 把代入函数中，得， ∴点C的坐标为， ∵点P是一次函数第一象限的图象上的一点， ∴设点P的坐标为（）， ∵轴于点A， ∴，， ∴ ∴当垂直一次函数的图象时，取得最小值，的周长为最小． ∵，， ∴，， ∴， ， ∵，即， ∴， 即的最小值为，的最小值为． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·甘肃张掖·期末）如图，已知直线与y轴交于点，直线与x轴交于点，直线与直线交于点． (1)求四边形的面积： (2)若动点在轴上，当为最小值时，求这个最小值及直线的表达式； (3)在平面内直线的左侧是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)， (3)或 【分析】（1）根据题意，得到，点C到y轴的距离为2，点C到x轴的距离为4，连接，根据解答即可． （2）作点A关于x轴的对称点E，则，连接交x轴于点M，则点M即为使值为最小的点，利用待定系数法确定，利用两点间距离公式，待定系数法解答即可． （3）过点C作轴于点D，过点P作轴于点E，根据三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，确定此时点；过点C作轴于点D，过点作轴于点，过点C作于点，交轴于点，根据三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，确定此时坐标，解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，根据坐标求面积，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握待定系数法，分类思想是解题的关键． 【详解】（1）解：直线与y轴交于点A，直线与x轴交于点，直线与直线交于点． 故点， 故，点C到y轴的距离为2，点C到x轴的距离为4， 如图，连接， 则 故． （2）解：根据（1）得，， 作点A关于x轴的对称点E，则， 连接交x轴于点M，则点M即为使值为最小的点， 设直线的解析式为， 根据题意，得 解得， 故直线的解析式为； 当时，， 解得， 故， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得 解得， 故直线的解析式为． （3）解：①当，时， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵点P在第二象限， ∴点； ②当，时， 过点C作轴于点D，过点作轴于点，过点C作于点，交轴于点， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∵点P在第二象限， ∴点； 综上所述，点P的坐标为或． 14．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图1，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以为直角顶点在第一象限内作等腰，其中． (1)求直线的解析式和点的坐标； (2)如图2，点是的中点，点是直线上一动点，连接、，求的最小值，并求出当取最小值时点的坐标； (3)在（2）的条件下，当取最小值时．直线上存在一点，使，求点坐标．（直接写出答案） 【答案】(1)； (2)5； (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出直线的解析式，过点作轴，则，证明，得到，则，即可得到点的坐标； （2）延长至，使得，即点为的中点，当点在直线上时，即直线与直线相交，联立解析式即可求出答案； （3）分三种情况进行解答即可． 【详解】（1）， ， 设直线的解析式为， 将，，代入得， ， 解得：， ， 过点作轴，则， ， ， 又， ， ， ， 则点的坐标为； （2）由（1）可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 点是的中点， 点的坐标为，即：， 延长至，使得，即点为的中点， 点的坐标为，即， ， 垂直平分， 连接，则， ，当点在直线上时取等号， 由勾股定理可得：， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 直线的解析式为：， 当点在直线上时，即直线与直线相交， 得，解得：， 即此时点的坐标为， 综上，的最小值为5，此时点的坐标为； （3）， 则， 过点作轴交直线于， 此时，则，即， ，则， 当点在点右侧时，， ， 解得：， 当时，， 即此时点的坐标为； 当点在点、点之间时，，不符合题意； 当点在点左侧时，， 解得：， 当时，， 即此时点的坐标为； 综上，存在点的坐标为或时，． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数的交点坐标，待定系数法求一次函数的表达式，利用轴对称的性质求短路线，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，理解一次函数的图象，熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，利用轴对称的性质求短路线的方法，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 15．（24-25八年级上·河南郑州·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．这里包含了一个有趣的数学问题，通常称之为“将军饮马”． 【问题描述】 如图，在直线上找一点使得最小? 【问题解决】 作点关于直线的对称点，连接，则，所以，当、、三点共线的时候，，此时为最小值（两点之间线段最短） 【应用模型】 （1）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，则四边形周长的最小值为_____． （2）如图，长方形中，，，点、、、分别在矩形各边上，且，，求四边形周长的最小值? 【拓展延伸】 如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，、为函数的图象上的两个动点，则的最小值为_____． 【答案】应用模型：（1）；（2）；拓展延伸： 【分析】应用模型：（1）根据已知条件得到，求得，得到，，作D关于直线的对称点E，连接交于P，则此时四边形周长最小，，求得直线的解析式为，解方程组即可得到结论； （2）作点E关于的对称点，连接交于点F，此时四边形周长取最小值，过点G作于点，由对称结合矩形的性质可知：，，利用勾股定理即可求出的长度，进而可得出四边形周长的最小值； 拓展延伸：如图所示直线、y轴关于直线对称，直线、直线关于y轴对称，点是点A关于直线的对称点，作垂足为E，交y轴于点P，交直线于M，作直线垂足为N，此时最小（垂线段最短），在中利用勾股定理即可解决． 【详解】解：【应用模型】（1）解：∵，， ∴， ∵，点D为的中点， ∴， ∴， 作D关于直线的对称点E，连接交于P， 则此时，四边形周长最小，，且四边形周长的最小值为， ∵， ∴四边形周长的最小值为， 故答案为：； （2）作点E关于的对称点，连接交于点F，此时四边形周长取最小值，， 过点G作于点，则如图所示． ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， 同理可证, ∴． 答：四边形周长的最小值为； 【拓展延伸】如图所示，直线、y轴关于直线对称，直线、直线关于y轴对称，点是点A关于直线的对称点，作垂足为E，交y轴于点P，交直线于M，作直线垂足为N， ∵， ∴最小（垂线段最短）， ∵正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为， ∴， 在中，， ∴，． ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的性质，垂线段最短、直角三角形30度角的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用轴对称性质正确找到点P的位置． 题型四：一次函数中折叠综合问题 16．（25-26八年级上·辽宁辽阳·期末）已知直线与轴，轴分别交于点和点，点是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数表达式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法确定一次函数解析式、勾股定理、轴对称折叠的性质等知识点，根据勾股定理构建方程求解线段长是解题的关键． 根据直线解析式得出，，，，利用勾股定理得出，根据折叠性质得出，，，设，利用勾股定理求出的值，得出，利用待定系数法即可求出直线的函数表达式． 【详解】解：∵直线与轴，轴分别交于点和点， ∴当时，，当时，， ∴，，，， ∴， ∵将沿折叠，点恰好落在轴上的点处， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， ∵点是上的一点，， ∴， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为． 故答案为： 17．（2025·天津河东·二模）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点．P是边上的一点（点P不与点A，O重合），沿着折叠该纸片，得点O的对应点C． (1)填空：如图①，当点C在边上时，点P的坐标为________，的面积为________； (2)如图②，当轴时，与交于点D，求点D的坐标； (3)设点A到直线的距离为d，在折叠过程中，当时，求的长（直接写出结果即可）． 【答案】(1)，； (2) (3)或8 【分析】（1）根据折叠的性质，得，，设，则，结合，得到，得到，解答即可． （2）根据折叠的性质，结合轴，证明四边形是正方形，再利用三角形的中位线定理，解答即可． （3）解答时，分轴和不平行x轴两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴， 根据折叠的性质，得， 设， 则 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点， 故答案为：； ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：∵点，点， ∴， 根据折叠的性质，得， 设， 则， ∵轴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：当轴时， ∵点，点， ∴， 根据折叠的性质，得， 设， 则， ∵轴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，此时； ∴； 当不平行x轴时，如图所示， 过点A作于点G，根据题意，得， 设的交点为M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， 此时， 故或8． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 18．（24-25八年级上·四川成都·期中）将矩形纸片放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，，． (1)如图①，沿折叠矩形，点落在处，交于点，求点F的坐标； (2)如图②，点D是中点，点E在上，求的最小值； (3)如图③，折叠该纸片，使点C落在边上的点为，折痕为，点M在边上，求直线的函数解析式． 【答案】(1) (2)15 (3) 【分析】（1）先根据平行线和折叠的性质得：，设，根据勾股定理得解出可解答； （2）作点关于的对称点，连接，交于，此时的值最小，即的长，根据勾股定理可解答； （3）过作轴于，设，根据勾股定理列方程得求得点，然后利用待定系数法求得的解析式． 【详解】（1）解：由折叠得：， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 设，则，， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， ； （2）解：如图②，作点关于的对称点，连接，交于，此时的值最小，即， 过作轴于， ， 是的中点， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值是15； （3）解：如图③，过作轴于， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， ， ． 设的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 的解析式为． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质、矩形的性质及最短路径的知识，综合性较强，难度适中，注意掌握折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，本题辅助线的作法是关键． 19．（24-25八年级下·四川宜宾·期末）将一矩形纸片放在直角坐标系中，O为原点，点C在x轴正半轴上，点，点． (1)如图1，在上取一点E，将沿折叠，使O点落至边上的D点，求的长度； (2)如图2，在边上选取适当的点M、F，将沿折叠，使点O落在边上的处，过点作于点G，交于点T． ①求证：； ②设，探求y与x满足的等量关系式，并将y用含x的代数式表示（指出变量x的取值范围）． (3)在（2）的条件下，当时，点P在直线上，问：在坐标轴上是否存在点Q，使以M、、Q、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①见解析；②， (3)存在，或或 【分析】（1）在中，根据，设，在中，利用勾股定理求出即可． （2）①只要证明，即可． ②如图3中，连接，在中利用勾股定理即可解决问题． （3）分为对角线，为边两种情形讨论即可． 【详解】（1）解：如图1中，，， ,， ，， 是由翻折得到， ，， 在中，， ∴， ， 设， 在中，， 解得，即； （2）①证明：如图2中， 由折叠性质得，， ∵， ， ， ， ， ， ． ②解：如图3中，连接， 由折叠性质可得， 由勾股定理可得， 得． 结合（1）可得时，最小，从而， 当恰好平分时，最大即最大， 此时点、点与点重合，点M与点A重合，此时，， 故最大为9．从而， ． （3）解：存在．当时，， ∴，， ∴，， ∵以M，，Q，P为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为对角线时，，如图1，，重合， ∴， 由平移的性质可得，； 当为边，为对角线时，，如图1，，重合，则， 由平移的性质可得，； 当为边，为边时，，如图1，， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴ 直线的解析式为， 令，则， 解得，， ∴； 当点在第二象限点时，同①点坐标； 综上所述，在坐标轴上存在点Q，使以M，，Q，P为顶点的四边形是平行四边形， Q点坐标为或或． 【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、翻折变换、勾股定理、等角对等边、平行四边形的判定、求一次函数解析式等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题． 20．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P的坐标为． (1)如图1，连接，将沿直线折叠，点O的对应点点C恰好落在上，则 ； (2)如图2，取线段的中点E，连接，过点E作，交x轴于点Q．将沿所在直线折叠，点B的对应点记作点D，连接． ①猜想的度数，并证明； ②求证：； (3)连接，请直接写出直线的解析式（用含有a的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；②证明见解析 (3) 【分析】（1）求出直线与两坐标轴的交点，易得是等腰直角三角形，由折叠的性质可得是等腰直角三角形，进而得，则由勾股定理建立方程即可求得a的值； （2）①由折叠性质得，；由则可得；由E是中点，则得，从而可证，则，最后可得； ②连接，证明，则这两个三角形面积相等，从而可求证； （3）过点D作y轴的垂线，垂足为H，证明，则其面积相等，设，由面积关系求得m与n的关系，再设解析式，即可求得解析式． 【详解】（1）解：在中，令，得；令，得； ∴， ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴； 由折叠的性质：， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 在中，由勾股定理得：， 解得：或（舍去）, 故答案为：； （2）解：①猜想； 理由如下： 由折叠性质得，； ∵， ∴，， ∴； ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，连接， ∵E是的中点， ∴，，； ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵ ； （3）解：如图，过点D作y轴的垂线，垂足为H， 由折叠知，，由（2）知，， ∴， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 设， 则，即， 即； 设直线解析式为，则， ∴， ∴直线解析式为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，求函数解析式等知识，证明三角形全等是解题的关键． 题型五：一次函数中的新定义型综合问题 21．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）新定义：关于x的一次函数与叫做一对交换函数．例如：一次函数与就是一对交换函数．若一次函数过点，则一次函数与它的交换函数和y轴围成的三角形的面积为________． 【答案】4 【分析】本题考查了新定义以及一次函数的图象和性质，正确理解新定义是解题的关键．根据点在函数上，可求出k的值，进而得到原函数和交换函数的解析式．再求两函数与y轴的交点坐标及两函数的交点坐标，最后利用三角形面积公式计算面积． 【详解】解：∵一次函数过点，代入得，解得． ∴原函数为，其交换函数为． ，令时，，∴点． ，令时，，∴点． 联立方程，解得 ∴点， ∴． ∵点A和点B在y轴上，线段的长度为． 因此，三角形面积为． 故答案为：4． 22．（25-26八年级上·山西晋中·期中）定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“不动点”．例如求的“不动点”： 令，解得；把代入得，．则的“不动点”为． (1)由定义可知，一次函数的“不动点”为________； (2)若一次函数的“不动点”为，求m、n的值； (3)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”． ①求出点A和点B的坐标． ②若P点为x轴上一个动点，使得，请直接写出满足条件点P的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)①，；②或 【分析】（1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“不动点”为，代入求得，进而代入求得即可； （3）①先根据题意可得，再求出点A、B的坐标即可； ②先求出，设，得出，根据，得出，求出t的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“不动点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 联立 解得， 一次函数的“不动点”为； （2）解：∵一次函数的“不动点”为， ∴， ∴， ∴“不动点”为， ∴， 解得：； （3）解：①∵直线上没有“不动点”， ∴直线与直线平行， ∴， ∴， ∴，； ②， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，掌握一次函数的性质是解题的关键． 23．（24-25八年级下·河南南阳·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“闪光点”．例如求：的“闪光点”：联立方程，解得，则的“闪光点”为． (1)由定义可知，一次函数的“闪光点”为______； (2)若一次函数的“闪光点”为，求m、n的值； (3)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“闪光点”，若点P为平面内一个动点，使得以点A、B、O、P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】本题考查了平行四边形的性质，一次函数的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意，联立方程，求解即可； （2）根据题意，一次函数的“闪光点”为，先求出n的值，得到“闪光点”的坐标，再将坐标代入一次函数求解即可； （3）先根据直线与正比例函数无交点，得出k的值，分别求出A，B的坐标，设，分别讨论、、为对角线，再根据 平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：联立方程，解得， 则的“闪光点”为， 故答案为：； （2）解：∵一次函数的“闪光点”为， ∴， 解得， ∴一次函数的“闪光点”为， ∴， 解得； （3）解：∵直线上没有“闪光点”， ∴直线与正比例函数无交点， ∴， ∴， 当时，，则， 当时，，则， 如图所示，点P为平面内一个动点，使得以点A、B、O、P为顶点的四边形是平行四边形， 设， ①当为对角线， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ②当为对角线， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ③当为对角线， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 综上，或或． 24．（23-24八年级下·贵州铜仁·期末）我们把关于x的一次函数（且m、n都不为0）与一次函数定义为交换函数． (1)根据交换函数的定义，一次函数的交换函数是______； (2)试说明一次函数与其交换函数的交点坐标为； (3)如图，若点是一次函数与其交换函数的交点，与y轴交于点A，点P为上一动点，当取得最小值时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)点P的坐标为． 【分析】本题主要考查了一次函数的性质以及根据一次函数求解其与坐标轴的交点等知识，掌握一次函数的性质以及新定义交换函数的含义是解答本题的关键． （1）根据交换函数的定义，直接写出即可； （2）联立求解即可； （3）先求得，当时，取得最小值，作于点，得到是等腰直角三角形，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得一次函数的交换函数是； 故答案为：； （2）解：由题意得一次函数的交换函数是； 联立得，解得， ∴， ∴一次函数与其交换函数的交点坐标为； （3）解：∵点是一次函数与其交换函数的交点， ∴，解得， ∴，， 令，则，， ∴直线与轴的交点坐标为，直线与轴的交点坐标为， 令，则，解得， ∴直线与轴的交点坐标为， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当时，取得最小值， ∵， ∴，， 作于点， 此时是等腰直角三角形， ∴，， ∴点P的坐标为． 25．（25-26八年级上·广东佛山·期中）新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴不平行，点为直线外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即． 定义理解 (1)如图2，若直线的表达式为，与轴和轴分别交于，两点，求．（点为坐标原点） (2)定义运用，如图3，将直线l：向左平移个单位长度后得到直线m：，与轴和轴分别交于，两点，当时（点O为坐标原点），求平移距离的值； (3)定义拓展，在（2）的条件下，轴上是否存在点，使得△QAB为等腰三角形，且点关于直线的“L路径”与直线有交点．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握求一次函数与坐标轴交点的方法以及讨论等腰三角形的存在性． （1）求出点A和点B的坐标，即可解答； （2）求出点C和点D的坐标，根据，列出方程，即可解答； （3）根据等腰三角形的性质，进行分类讨论：当点Q在y轴上时，分3种情况进行讨论，结合“L路径”的定义，即可解答． 【详解】（1）把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ； （2）把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ， ， 解得：； （3）， 、， 根据勾股定理可得：， 点Q在y轴上，共分为三种情况： 第一种情况，当时， 或， 点关于直线l的“L路径”与直线m没有交点，故不符合题意， 即只有符合题意； 第二种情况，当时， ， ， ； 第三种情况，当时， 设， ， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：， ； 综上所述，存在，点的坐标为或或． 题型六：一次函数中分段函数探究问题 26．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，水费按分段收费标准收取，居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系如图所示．请你观察函数图象，回答下列相关问题． (1)若用水不超过10吨，水费为______元/吨； (2)当用水超过10吨时，求该函数图象对应的一次函数的表达式； (3)若某户居民8月共交水费85元，求该户居民8月共用水多少吨？ 【答案】(1)2.5 (2) (3)该户居民8月共用水25吨 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据，可以计算出用水不超过10吨时，每吨的水费； （2）根据图象中的数据，可以计算出当用水超过10吨时，该函数图象对应的一次函数的表达式； （3）先判断用水的范围，再代入一次函数计算即可． 【详解】（1）解：由图象可得， 若用水不超过10吨，水费为（元/吨）， 故答案为：2.5； （2）解：设当用水超过10吨时，该函数图象对应的一次函数的表达式为， ∵点，在该函数图象上， ∴， 解得， ∴当用水超过10吨时，该函数图象对应的一次函数的表达式为； （3）解：∵， ∴该户居民用水量超过10吨， 将代入， 得， 解得， 答：该户居民8月共用水25吨． 27．（25-26七年级上·山东淄博·月考）为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 (1)当时，写出用气费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的用气费； (3)某户去年一年的用气费是1147元，求该户去年一年的用气量． 【答案】(1) (2)该户这一年的用气费为1475元 (3)该户去年一年的用气量为400m3 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式， （1）第一档用气总费用加上超过第一档用气量的费用可得关系式； （2）直接将代入（1）关系式，可得答案； （3）先求出第一档的最高费用，第二档的最高费用，可知该用气费用属于第二档，可得一元一次方程，求出解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，当时，． 所以y与x的函数关系式为； （2）解：当时，． 该户这一年的用气费为1475元； （3）解：第一档的最高费用为（元），第二档的最高费用为（元）， 因为，所以该户的年用气量属于第二档， 所以， 解得：， 答：该户去年一年的用气量为． 28．（24-25八年级下·河南安阳·期末）问题：探究函数的图象与性质．数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． (1)在函数中，自变量可以是任意实数，如表是与的几组对应值． ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 0 1 2 3 4 2 1 0 ．．． ①表格中的值为___________； ②若为该函数图象上的点，则___________． (2)在平面直角坐标系中，描出上表中的各点，画出该函数的图象． (3)结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为___________； ②写出该函数的一条性质：___________． 【答案】(1)①3；② (2)图见解析 (3)①4，②关于轴对称 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）①代入的值计算即可得出的值；②把代入函数解析式计算即可得解； （2）描点，连线即可； （3）①根据函数图象即可得解；②根据函数图象即可得解． 【详解】（1）解：①当时，，即； ②∵为该函数图象上的点， ∴， 解得：； （2）解：描点，画出函数的图象如图： （3）解：①由函数图象可得：函数的最大值为4； ②由函数图象可得：该函数的一条性质：关于轴对称（答案不唯一）． 29．（25-26八年级上·山西运城·期末）学习一次函数时，我们从“数”和“形”两个方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． 【初步感知】 x … 0 1 2 … … 6 m 2 n 2 4 6 … (1)表格中m的值为________，n的值为________； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． (3)【探究性质】观察函数的图象，判断下面关于该函数图象性质的命题： ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，y的值随x值的增大而增大； ③当时，该函数存在最小值，最小值为0； ④当时，． 其中的正确的是_________．（请填写正确命题的序号） (4)在同一坐标系中画出一次函数的图象，并根据图象直接写出方程组的解_________． 【答案】(1)m的值为4，n的值为0 (2)作图见解析 (3)①②③ (4)作图见解析；， 【分析】（1）分别将和代入求解即可； （2）利用描点法作图即可； （3）根据画出的函数图象分析即可； （4）方程组的解就是两个函数图象的交点坐标，求出交点坐标即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 故； 把代入， 得， 故； （2）解：作图如图： （3）解：由图可知 函数图象关于直线对称，是轴对称图形，故①正确； 由图可知 当时，，随的增大而增大，故②正确； 由图可知当时，取得最小值，故③正确； 当时，，解得或，并非只有，故④错误； 综上，正确的是①②③； （4）解：作图如图： 当时，，解得， 当时，，解得， 方程组的解就是两个函数图象的交点坐标， 因此方程组的解为： 和 ． 30．（24-25八年级下·山东潍坊·月考）综合与实践 小颖探究了一个新的函数图象，请你帮助她完成探究. ①列表： … 0 1 2 … … 3 1 3 … 表格中_________，_________； ②在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； ③函数有最大值和最小值吗，如果有分别是多少？ ④观察你所画函数的图象，写出关于该函数的两条性质． ⑤若两点都在该函数图象上，且，则_________． 【答案】①，；②函数图象见解析；③由图象知该函数有最小值为，没有最大值；④当时，随的增大而增大，函数图象是轴对称图形，关于直线对称；（答案不唯一）；⑤． 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，正确的画出函数图象，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： ①将和代入解析式求出的值即可； ②根据表格，描点，连线，画出函数图象即可； ③根据图象可得答案； ④根据图象写出两条性质，即可； ⑤根据题意可得关于对称，进而即可求解． 【详解】解：①∵， ∴当时，，当时，， ∴； ②画出函数图象如图： ③由图象知该函数有最小值为，没有最大值； ④当时，随的增大而增大，函数图象是轴对称图形，关于直线对称；（答案不唯一）； ⑤，两点都在该函数图象上，且， ∴关于直线对称， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03一次函数的综合与新定义型探究问题的六种模型 题型归纳 目录 题型一：一次函数含参数中的图象与性质 .1 题型二：一次函数中的规律探究问题 .8 题型三：一次函数中求线段和最值问题.14 题型四：一次函数中折叠综合问题.27 题型五：一次函数中的新定义型综合问题..40 题型六：一次函数中分段函数探究问题…48 题型专练 题型一：一次函数含参数中的图象与性质 1.(25-26八年级下·全国·课后作业)在平面直角坐标系中， y=(2k-1)x+6上的两点，且m<n,则k的取值范围是 2.(25-26八年级上江苏泰州期末)己知一次函数1=kx+2-k,y2=x+b(k≠0，k,b为常数)的图象 分别记为4，马，当x=1时，片=y2· (1)求b的值： (②)若点A(m,p)在4上，点B(n,q)在上 ①当n=m时，若k>1,m<1,比较p、q大小，并说明理由； ②当n=m+2时，p=9.若k,m都为整数，求q的最大值. 3.(25-26八年级上浙江宁波期末)己知一次函数y,=ax+b(a≠0)过定点(2,0，另一个一次函数为 y2=bx+a. (0)请你判断%=x+口是否过定点[G0, 并说明理由， (2)点A(m,p)和点B(n,p)分别在一次函数y和的图象上，求证：m+2n=3. (3)设函数y=片-为2，当-1≤x≤5时，函数y有最大值12，求a的值. 4.(25-26八年级下·全国课后作业)己知直线y=(3m-10)x+2-m,当m为何值时： (1)此直线与直线y=-x-4平行. (2)此直线与直线y=-2x-4交于点(a,2). (3)此直线不经过第三象限. (4)函数值y随x的增大而减小且与y轴的交点在x轴下方. 1/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(25-26八年级上江苏泰州月考)如图，一次函数y,=kx+b、y2=kx+b的图象交于y轴上的点A,其 中kk2、b为常数且k,>k2>0,b<0.点P为y正半轴上的一点，过点P作x轴的平行线I分别交、y2的 图象于点B、C,过点B、C作y轴的平行线分别交y2、的图象于点D、E. 【特例探究】当k=3,k2=1,b=-3时 (1)若点P的纵坐标为3，则BC=一，BD=,CE=一 (2)求BC:BP的值； (3)求CE:BD的值. 【归纳猜想】请运用特殊到一般的数学思想和归纳法进行猜想（不需要证明）： BC:BP=;CE:BD=·(用含有k、k2的代数式表示) 题型二：一次函数中的规律探究问题 6.(25-26八年级上全国·单元测试)如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=-x的图象分别为直线 1,l2,过点(1,0)作x轴的垂线交于点A,过A点作y轴的垂线交☑于点A,过点A作x轴的垂线交☑于点 A,过点A作y轴的垂线交马于点A4,…依次进行下去，则点A2s的坐标为（) 14 A.(1012,-1013)B.（-10122,10132）C.(202,2o1) D.(2o2,-20o） 7.(25-26八年级上·广东梅州期末)如图，直线y=x+2与y轴相交于点A,过点A作x轴的平行线交直 线y=0.5x+1于点B，,过点B作y轴的平行线交直线y=x+2于点A,再过点A作x轴的平行线交直线 y=0.5x+1于点B,过点B作y轴的平行线交直线y=x+2于点A,…,依此类推，得到直线y=x+2上 2/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的点A、A,A,…,与直线y=0.5x+1上的点B,B,B,…,则AB。的长为 A A3 y=x+2 … A B3 y=0.5x+1 A A0 B B2 8.(2026山东东营一模)如图，在平面直角坐标系中，△POA,△PA,A,,△P4,A,,都是等腰直角 三角形，其直角顶点P(3,3),B,B,,均在直线y=-。x+4上.设aP0A1,△AA2,△PAA, 3 的面积分别为S,S2,S3,,依据图形所反映的规律，S26=一· A2 A3 9.（25-26八年级上·安徽六安期末)如图，直线y=x+2与y轴相交于点A,过点A作x轴的平行线交直 线y=0.5x+1于点B,过点B作y轴的平行线交直线y=x+2于点A,再过点A作x轴的平行线交直线 y=0.5x+1于点B,过点B作y轴的平行线交直线y=x+2于点A,…,依此类推，得到直线y=x+2上的 点A,A2,A3…An,与直线y=0.5x+1上的点B,B2,B3…Bn. A3 y=x+2 … A y=0.5x+1 A B3 BB (1)B的纵坐标为； (2)AnBn的长为 (用含有n的式子表示). 10.(25-26八年级上浙江宁波期末)如图，点4(2,2在直线y=x上，过点4作4B,∥y轴交直线y=x 2 于点B,以点A为直角顶点，AB,为直角边在AB的右侧作等腰直角△AB,C,再过点C作AB2∥y轴， 分别交直线y=和y=方于4，B两点，以点4为直角顶点，4品为直角边在4品的右侧作等腰直角 A,B,C2,按此规律进行下去，则A26B2026的长为() 3/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y=x B 2024 3 2025 2027 B C. D. 3-2 题型三：一次函数中求线段和最值问题 11.(25-26八年级上安微安庆期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，己知A,B两点的坐标为2,3)， (-1,2),点C在x轴上，当AC+BC取最小值时，点C的横坐标为· VA B 12.(25-26八年级上·河南郑州期末)如图，一次函数y=-x+2第一象限的图象上有一点P,过点P作x轴 的垂线段，垂足为A,连接OP,则Rt△OAP的周长的最小值是 OA 13.(25-26八年级上·甘肃张掖期末)如图，己知直线y=x+2与y轴交于点A,直线y=x+b与x轴交于 点B(1,0),直线y=x+2与直线y=kx+b交于点C(2,4). OB (1)求四边形AOBC的面积： 4/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)若动点M在x轴上，当MA+MC为最小值时，求这个最小值及直线AM的表达式： (3)在平面内直线BC的左侧是否存在点P,使得以点P、B、C为顶点的三角形是以BC为腰的等腰直角三 角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 14.(24-25七年级下·黑龙江大庆期末)如图1，已知直线1与x轴交于点A1,0),与y轴交于点B(0,3), 以A为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△ABC,其中∠BAC=90°，AB=AC. 人 图1 图2 备用图 (1)求直线1的解析式和点C的坐标； (②)如图2，点M是BC的中点，点P是直线1上一动点，连接PM、PC,求PM+PC的最小值，并求出当 PM+PC取最小值时点P的坐标； 句在2)的条牛下，当PM+PC取最小值时、直线PW上行在一点0，使Sm9心，求Q点坐标 (直接写出答案) 15.(24-25八年级上·河南郑州·期中)“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.这里包含了一个有趣的数学问 题，通常称之为“将军饮马” 【问题描述】 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？ B A端点 P折点 图1 图2 【问题解决】 作点A关于直线的对称点，连接PA',则PA=PA,所以PA+PB=PA'+PB,当A、P、B三点共线的 时候，P'+PB=A'B,此时为最小值（两点之间线段最短） 【应用模型】 (1)如图，在Rt△AB0中，∠0BA=90°，A4,4),点C在边AB上，且AC:CB=1:3,点D为OB的中点， 点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，则四边形PDBC周长的最小值为， 5/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B (2)如图，长方形ABCD中，AB=8,BC=4,点E、F、G、H分别在矩形ABCD各边上，且 AE=CG,BF=DH,求四边形EFGH周长的最小值？ E B D G 【拓展延伸】 如图，已知正比例函数y=kx(k>0)的图象与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为(0,4)，P为y轴 上的一个动点，M、N为函数y=kx(k>O)的图象上的两个动点，则AM+MP+PN的最小值为： 题型四：一次函数中折叠综合问题 16.(25.26八年级上辽宁辽阳期末)已知直线y=4x-4与x轴，y轴分别交于点A和点B,点C是OB上 3 的一点，若将ABC沿AC折叠，点B恰好落在x轴上的点B处，则直线B'C的函数表达式为 VA 17.(2025·天津河东·二模)将一个直角三角形纸片AB0放置在平面直角坐标系中，点A(16,0),点B(0,8), 点O(00).P是边OA上的一点（点P不与点A,O重合），沿着BP折叠该纸片，得点O的对应点C. 6/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B C D A 图① 图② (1)填空：如图①，当点C在边AB上时，点P的坐标为 ,△ACP的面积为 (2)如图②，当BC∥x轴时，PC与AB交于点D,求点D的坐标： (3)设点A到直线PC的距离为d,在折叠过程中，当d=BC时，求OP的长（直接写出结果即可）. 18.(24-25八年级上·四川成都期中)将矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上， 点C在y轴上，0A=12,0C=6. 图① 图③ (I)如图①，沿OB折叠矩形，点C落在C处，BC'交OA于点F,求点F的坐标； (2)如图②，点D是OC中点，点E在OA上，求BE+DE的最小值； (3)如图③，折叠该纸片，使点C落在边OA上的点为C'(4,0),折痕为MW,点M在边BC上，求直线C'M的 函数解析式 19.(24-25八年级下.四川宜宾期末)将一矩形纸片0ABC放在直角坐标系xoy中，O为原点，点C在x轴 正半轴上，点A(0,9),点C(15,0)。 D B B A A A M E M G C 0 F 图1 图2 备用图 (I)如图1，在OA上取一点E,将△EOC沿EC折叠，使O点落至AB边上的D点，求BD、ED的长度； (2)如图2，在OA、OC边上选取适当的点M、F,将△MOF沿MF折叠，使点O落在AB边上的D处，过 点D作D'G⊥CO于点G,交MF于点T. ①求证：TG=AM; ②设T(x,y),探求y与x满足的等量关系式，并将y用含x的代数式表示（指出变量x的取值范围） (3)在(2)的条件下，当x=6时，点P在直线MF上，问：在坐标轴上是否存在点Q,使以M、D、Q、P 7/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由， 20.(23-24八年级上·江苏泰州期末)在平面直角坐标系x0y中，直线AB:y=-x+1与x轴、y轴分别交于 点A、点B,点P的坐标为(0，a)0<a<2 B 图1 图2 备用图 (1)如图1，连接PA,将△AOP沿直线AP折叠，点O的对应点点C恰好落在AB上，则a=-: (②)如图2，取线段AB的中点E,连接PE,过点E作EQ⊥EP,交x轴于点Q.将△BPE沿EP所在直线折 叠，点B的对应点记作点D,连接PD、QD. ①猜想∠PDQ的度数，并证明； ②求证：S四边形P0e=4: 1 (3)连接OD,请直接写出直线OD的解析式（用含有α的代数式表示）. 题型五：一次函数中的新定义型综合问题 21.(25-26八年级上甘肃武威期中)新定义：关于x的一次函数y=x+b与y=bx+k(b≠0)叫做一对交 换函数.例如：一次函数y=3x+5与y=5x+3就是一对交换函数，若一次函数y=kx-6过点(2，-2)，则一 次函数y=kx-6与它的交换函数和y轴围成的三角形的面积为 22.(25-26八年级上山西晋中期中)定义：我们把一次函数y=x+b(k≠0)的图象与正比例函数y=x的 图象的交点称为一次函数y=kx+b(k≠0)图象的“不动点”.例如求y=2x-1的“不动点”： 令2x-1=x,解得x=1;把x=1代入y=x得，y=1.则y=2x-1的“不动点”为1,1). (1)由定义可知，一次函数y=3x-2的“不动点”为 ; (2)若一次函数y=mx+n的“不动点”为2,2n-1),求m、n的值； (3)若直线y=kx-3(k≠0)与x轴交于点A,与y轴交于点B,且直线y=kx-3(k≠0)上没有“不动点”. ①求出点A和点B的坐标. ②若P点为x轴上一个动点，使得S△4B=4S△4Bo,请直接写出满足条件点P的坐标。 23.(2425八年级下河南南阳期末)定义：我们把一次函数y=x+b(k≠0)与正比例函数y=x的交点称 为一次函数)=虹+b(k0)的闪光点”.例如求：y=2x-1的闪光点：联立方程y=2r-1, x=1 y=x ，解得 y=1 8/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ,则y=2x-1的“闪光点”为1,1. (1)由定义可知，一次函数y=-3x+2的“闪光点”为 (2)若一次函数y=mx+n的“闪光点”为3，n-1),求m、n的值； (3)若直线y=kx-3(k≠0)与x轴交于点A,与y轴交于点B,且直线y=x-3上没有“闪光点”，若点P为平 面内一个动点，使得以点A、B、O、P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P的坐标. 24.(23-24八年级下·贵州铜仁期末)我们把关于x的一次函数y=mx+n(m≠n且m、n都不为0)与一 次函数y=nx+m定义为交换函数 y.=mx I y=x+m (1)根据交换函数的定义，一次函数y=2x-3的交换函数是： (2)试说明一次函数y=mx+n与其交换函数的交点坐标为1，m+n): (3)如图，若点B(1,3)是一次函数乃=-x+m与其交换函数y2=mx-1的交点，与y轴交于点A,点P为 上一动点，当AP取得最小值时，求点P的坐标 25.(25-26八年级上广东佛山期中)新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线1与坐标轴不平行，点 P为直线I外一点.过点P分别作PE∥x轴交直线1于点E,作PF∥y轴交直线I于点F,我们称折线EPF 为点P关于直线I的“L路径”，“L路径”的长度称为点P关于直线1的“L距离”，记为Lp-,即Lp1=PE+PF. B B 图1 图2 图3 备用图 定义理解 ()如图2，若直线1的表达式为y=3x-山，与轴和y轴分别交于A,B两点，求L。·（点0为坐标原点) 1 (2)定义运用，如图3，将直线1：y=x-1向左平移n个单位长度后得到直线m:y=(x+m川-1，与x轴 和y轴分别交于D,C两点，当Lo-m=Lo-1时（点O为坐标原点），求平移距离的值； (3)定义拓展，在(2)的条件下，y轴上是否存在点9，使得△QAB为等腰三角形，且点Q关于直线1的L 路径”与直线m有交点.若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 题型六：一次函数中分段函数探究问题 9/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 26.(25-26八年级上浙江杭州月考)某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，水费按分段收费标准收取， 居民每月应交水费y(元)与用水量x(吨)之间的函数关系如图所示.请你观察函数图象，回答下列相关 问题 元 25 1015吨 (1)若用水不超过10吨，水费为 元/吨； (②)当用水超过10吨时，求该函数图象对应的一次函数的表达式： (3)若某户居民8月共交水费85元，求该户居民8月共用水多少吨？ 27.(25-26七年级上·山东淄博·月考)为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天 然气费用.下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量x/m 单价/（元/m3) 第一档 0<x≤300 2.73 第二档 300<x≤600 3.28 第三档 x>600 3.82 (1)当300<x≤600时，写出用气费y(单位：元)与x之间的关系式： (2)某户一年用气量是500m3,求该户这一年的用气费； (3)某户去年一年的用气费是1147元，求该户去年一年的用气量， 28.(24-25八年级下·河南安阳·期末)问题：探究函数y=-x+4的图象与性质.数学兴趣小组根据学习一 次函数的经验，对函数y=-x+4的图象与性质进行了探究， (I)在函数y=-x+4中，自变量x可以是任意实数，如表是y与x的几组对应值 -4 3 -2 -1 0 2 0 3 4 a 0 ①表格中a的值为 ②若(b,-6为该函数图象上的点，则b= (2)在平面直角坐标系中，描出上表中的各点，画出该函数的图象， 10/12 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4 4-------4- 2 5-43-2-10 2345元 (3)结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为 ②写出该函数的一条性质： 29.（25-26八年级上山西运城期末)学习一次函数时，我们从“数”和“形”两个方面研究一次函数的性质.请 运用积累的经验和方法对函数y=2x+2的图象与性质进行探究，并解决相关问题， 【初步感知】 -4 -3 -2 y=|2x+2 6 m 2 7 6 5 4 2 76-5432-10 1234 56x (1)表格中m的值为 n的值为 (2)在平面直角坐标系中画出函数y=2x+2的图象 (3)【探究性质】观察函数y=2x+2的图象，判断下面关于该函数图象性质的命题： ①该函数图象是轴对称图形； ②当x≥-1时，y的值随x值的增大而增大： ③当x=-1时，该函数存在最小值，最小值为0； ④当y=4时，x=1. 其中的正确的是 ,(请填写正确命题的序号) 11/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (4)在同一坐标系中画出一次函数y=x+4的图象，并根据图象直接写出方程组 y=2x+2的解 y=x+4 30.(24-25八年级下·山东潍坊·月考)综合与实践 小颖探究了一个新的函数y=2x+1-3图象，请你帮助她完成探究 ①列表： -4 -3 -2 -1 0 3 m 3 表格中n= ； ②在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； 3 6-5-4-3-211 O123456x ③函数y=2x+1-3有最大值和最小值吗，如果有分别是多少？ ④观察你所画函数的图象，写出关于该函数的两条性质 ⑤若(e,q),(f,q)两点都在该函数图象上，且e≠f,则e+f= 12/12