专项08 几何综合压轴（含动点、函数综合）7大题型（大题专练）（浙江专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专项08 几何综合压轴（含动点、函数综合） 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 近两年浙江中考以以圆、特殊四边形为载体，结合动点与函数综合，考查旋转、翻折、相似、三角函数及线段与面积最值，采用基础证明、线段计算、动态探究三问结构，难度梯度明显． 命题趋势：侧重动态化与代数化结合，强化数形结合、分类讨论与方程思想，突出模型构造与逻辑推理，减少纯套路计算，注重探究过程。 2026年预测：仍为压轴解答题，以圆或四边形为背景，重点考查切线、相似、动点轨迹与线段最值，设问稳定，强调规范推理与计算能力。. 题型01 三角形几何综合 析典例·建模型 1．（2022·江苏苏州·中考真题）（1）如图1，在△ABC中，，CD平分，交AB于点D，//，交BC于点E． ①若，，求BC的长； ②试探究是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． （2）如图2，和是△ABC的2个外角，，CD平分，交AB的延长线于点D，//，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为，△CDE的面积为，△BDE的面积为．若，求的值． 2．（2026·浙江·模拟预测）如图1，中，，为中点，点在上（不与重合），过点作，垂足为，连结，过的中点．作，垂足为． (1)若，当为中点时，求的长． (2)求的值． (3)如图2，连结，过点作交于点，连结，求证：． 研考点·通技法 此类题型常围绕全等、相似、勾股、三角函数展开，结合动点、翻折、旋转，考查线段求值、角度推导、面积与最值问题。. 1. 先找相等角、相等边，判定全等或相似，得到比例关系。 2. 构造直角三角形，用勾股定理或三角函数表示线段。 3. 遇动点设边长为未知数，根据线段和差、比例列方程求解。 4. 涉及旋转、翻折时，利用对应边、角不变找等量。 5. 分类讨论动点位置，验证结果是否符合图形范围. 破类题·提能力 1．（2026·浙江·一模）如图1，在中，于点D，连接，在上截取，使，连接． (1)直接判断与的位置关系 (2)如图2，延长，交于点F，过点E作交于点G，试判断与之间的数量关系，并证明； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 2．（2026·浙江舟山·一模）问题提出 (1)如图①，为上一点，连接、，当时，__________． 问题探究 (2)如图②，在边长为6的等边中，为的中点，为边上任意一点，连接，并作，使得的一边与交于点，试求出的最大值． 问题解决 (3)如图③，四边形为某美食商业区的平面示意图，其中，，，．经过一段时间的运营，为了更好地服务消费者，打造美食街区的独特风格．市场管理者计划在美食商业区规划一片三角形区域用于美食烹饪表演． 方案：在上选取一点M，上选取一点，连接、、，构造．已知点为美食商业区的出入口，，设． （i）求与之间的函数关系式． （ii）为了不影响其他商户的经营，同时确保表演区域足够集中，需要点与点的距离足够远，请你根据需求计算出当最大时的面积． 3．（2026·浙江·一模）如图，在中，点，分别在，边上，连接，，，，，平分． (1)求证：． (2)若，，求． (3)如图，过点作的垂线交延长线于点，作，垂足为，求的值． 题型02 菱形几何综合 析典例·建模型 1．（2026·浙江温州·一模）已知菱形的面积为，． (1)如图1，求菱形的边长． (2)如图2，若点E是射线上的一点（不与端点A，D重合），连接，．点A关于的对称点为点，交射线于点F． ①当点落在线段上时，求的长． ②的最大值为______． 研考点·通技法 此类题型结合菱形四边相等、对角线垂直平分的性质，考查全等与相似证明、线段长度计算、动点最值、面积及折叠旋转综合问题. 1. 利用菱形四边相等、对角相等、对角线互相垂直平分，转化边角条件。 2. 由对角线垂直构造直角三角形，用勾股定理或三角函数计算。 3. 结合全等、相似三角形得到线段比例关系。 4. 动点问题设自变量，建立函数模型求最值或范围。 5. 分类讨论动点位置，检验结果合理性并规范书写。 破类题·提能力 1．（2026·浙江温州·模拟预测）已知菱形的面积为，． (1)如图1，求菱形的边长． (2)若点是射线上的一点（不与端点，重合），连接，． ①如图2，点关于的对称点为点，当点落在线段上时，求的长． ②如图3，求的最大值． 2．（2026·浙江·模拟预测）在菱形中， (1)如图1，求的长． (2)如图2，以点为旋转中心，逆时针转动，记点，旋转得到的对应点分别为，．当第一次平行于时，停止旋转． 当时，求的值． 如图3，设旋转停止前，直线交射线于点，连接，求的最小值． 题型03 矩形几何综合 析典例·建模型 1．（2026·浙江·模拟预测）如图，矩形中，．    (1)点E是边上一点，将沿直线翻折，得到． ①如图1，当平分时，求的长； ②如图2，连接，当时，求的面积； (2)点E为射线上一动点，将矩形沿直线进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，求的长． 研考点·通技法 此类题型结合矩形直角、对边相等、对角线相等且平分等性质，考查全等相似证明、线段求值、折叠变换、动点最值、函数关系与存在性探究. 1. 利用矩形四个直角、对边平行且相等、对角线相等构造等量关系。 2. 出现折叠时抓对应边、对应角相等，确定垂直与等腰结构。 3. 构造直角三角形，用勾股定理、三角函数或相似列比例式。 4. 动点问题设未知数，建立线段或函数模型求解长度与最值。 5. 分类讨论点的位置，验证结果合理性并规范书写推理过程. 破类题·提能力 1．（2026·浙江舟山·一模）在矩形中，，点E是对角线上任意一点，过点E作的垂线分别交于点F，G，作平行交于点H． (1)证明：． (2)连结交于点K，若，求的值． (3)作的外接圆，且． ①若与矩形的边相切时，求的长． ②作点E关于的对称点，当落在上时，直接写出的面积． 题型04正方形几何综合 析典例·建模型 1． （2026·浙江舟山·一模）在边长为的正方形中，是边的中点，点是边上的一个动点，连接并延长交射线于点． (1)如图，连接，当时，求证：； (2)过点作的垂线交射线于点，连接，． （）如图，求证：； （）如图，当时，求的值． 研考点·通技法 此类题型围绕正方形四边相等、四角为直角、对角线垂直相等的性质，结合旋转、折叠、动点，考查全等与相似证明、线段与角度计算、函数关系及最值存在性问题. 1.  利用正方形边角及对角线特性，寻找相等线段、相等角与垂直关系。 2.  旋转、折叠问题优先锁定全等三角形，确定不变量。 3.  构造直角三角形，运用勾股定理、相似或三角函数建立等式。 4.  动点问题设未知数，列出线段表达式或函数模型求解。 5. 对多位置情况分类讨论，验证结果并规范书写推理过程 破类题·提能力 1．（2026·浙江台州·一模）如图，在正方形中，点E，F分别是边上的动点（不包含端点），于点G，于点M，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，过点E作分别交于点H，N． ①求证：四边形为正方形； ②求证：； ③若，请直接写出的取值范围． 2．（2026·浙江湖州·一模）如图，正方形，直线绕点顺时针旋转至，作关于直线的对称点交于点，连接交于点，连接交于点．小明在探究与的大小关系时，发现其对应如下： ①_____ ②_____ (1)请填表，并证明结论②； (2)求证：； (3)在直线旋转过程中，试探究线段与线段的比（用含的式子表示） 题型05圆的压轴综合（动点函数类） 析典例·建模型 1．（2026·浙江衢州·一模）如图1，点E是的弦上一动点，过点E作交于点A，C，连接，过点B作于点F，交于点G． (1)如图2，若经过点O． ①求证：． ②若，，求的半径． (2) 若，，，求y关于x的函数表达式． 研考点·通技法 此类题型以圆为背景，结合动点、线段运动，考查线段长度、面积、最值的函数表达式，综合切线、相似、三角函数、勾股定理及分类讨论. 1. 挖掘圆的性质，找直角、等角、垂直等隐含条件。 2. 设出动点对应的自变量，用含未知数的式子表示线段。 3. 借助相似、三角函数或勾股定理建立函数关系。 4. 根据动点位置分段讨论，确定函数定义域。 5. 利用一次或二次函数求最值，验证结果合理性并规范作答 破类题·提能力 1．（2026·浙江衢州·一模）如图，的周长为4厘米，为的直径．动点从点出发，在圆周上按顺时针方向作匀速运动，速度为1厘米/秒，点出发1秒后，动点也从点出发，以厘米/秒的速度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点运动秒时，点，与点间的劣弧（或半圆）长分别记为，，则，关于的函数图象如图2所示． (1)试确定动点的速度． (2)当时，求关于的一次函数表达式，并求出当时，的值． (3)若图2中的点为两个函数图象的交点，求点的坐标，并求此时点，点间的劣弧长． 2．（2026·浙江宁波·一模）如图，为直径，C为圆O上一动点，且C在直径上方，连接，，点M为中点，连接，与相交于点N． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，连接，，当时，求的值； (3)如图3，作于H，，与交于点K（点K在下方），与交于点E．若，，求： ①的直径； ②的长． 3．（2026·浙江温州·一模）如图1，已知的高，点是边上的动点，以为直径作圆，交边于，交线段于，交线段于． (1)求证：． (2)如图2，连接，若恰好经过点． ①求的值． ②求的长． 4．（2026·浙江温州·一模）综合与实践 【探索发现】小温在探索“圆与相似三角形”相关知识时发现如下结论：如图1，在圆中，若弦与交于点，则有． (1)【猜想验证】请证明上述结论． (2)【实践应用】如图2，若，则的坐标为___________． (3)【综合拓展】如图3，已知二次函数的图象与轴交于两点（在轴左侧，在轴右侧），与轴负半轴交于点．经过三点的圆与轴正半轴交于点，求点的坐标． 题型06圆的几何综合 析典例·建模型 1．（2026·浙江杭州·一模）如图，内接于，，连结并延长交于点E，交于点D．连结，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． (3)若，，求的长． 研考点·通技法 此类题型以圆为核心，结合三角形、特殊四边形、相似、三角函数及动点变换，考查切线证明、角度转化、线段与面积计算、最值及存在性探究. 1. 优先运用圆周角定理、垂径定理、切线性质找等角、垂直、直角等关键条件。 2. 识别并构造相似或全等三角形，建立线段比例关系。 3. 构造直角三角形，用勾股定理或三角函数列式计算。 4. 遇动点、折叠、旋转时抓不变量，设未知数列方程求解。 5. 按位置分类讨论，检验结果是否符合题意并规范书写推理过程 破类题·提能力 1．（2026·浙江舟山·一模）如图1，在中，直径垂直弦，连结，弦平分分别交于点与的延长线交于点．    (1)求证：； (2)如图1，当时，求； (3)如图2，当时，求． 2．（2026·浙江·一模）点B，C在以点O为圆心，为半径的上，连接，． (1)如图①，求证：平分； (2)如图②，D为弦下方上一点，连接，E是上一点，，过点E作交于点F，连接，求证； (3)如图③，在（2）的条件下，若为的直径，的面积为8，，求的半径． 题型07几何综合压轴最值问题 析典例·建模型 1．（2026·浙江·二模）如图，已知正方形是上的两个动点，交于点． (1)求证：； (2)若四边形的面积为，求的长； (3)求的最小值． 研考点·通技法 此类题型为线段最值、周长最值、面积最值，结合动点、翻折、旋转，常用将军饮马、胡不归、阿氏圆、垂线段最短、函数最值模型. 1. 确定动点轨迹与不变量，判断最值模型类型。 2. 利用对称转化线段，构造两点之间线段最短或垂线段最短。 3. 结合相似、勾股、三角函数表示相关线段。 4. 建立一次或二次函数，用函数性质求最值。 5. 分类讨论动点位置，验证取值范围并规范作答 破类题·提能力 1．（2026·浙江·一模）如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求的长； ②点P为上一点，连接，是否有最小值？若有，请直接写出这个最小值；若没有，请说明理由． 2．（2026·浙江宁波·模拟预测）已知：在中，． (1)如图1，求的面积． (2)如图2，点在边上，将沿射线方向平移至，使得点与点重合． ①连接．求的面积． ②如图3，将绕点旋转至，边与线段的延长线交于点，连接．当时，求的最小值． 3．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，点在以为直径的半圆上，过点作半圆的切线交延长线于点，垂直于的延长线于点，交半圆于点，连接． (1)求证：； (2)若，， 求半圆的半径； 若是上一点，连接，，求的最小值． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项08 几何综合压轴（含动点、函数综合） 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 近两年浙江中考以以圆、特殊四边形为载体，结合动点与函数综合，考查旋转、翻折、相似、三角函数及线段与面积最值，采用基础证明、线段计算、动态探究三问结构，难度梯度明显． 命题趋势：侧重动态化与代数化结合，强化数形结合、分类讨论与方程思想，突出模型构造与逻辑推理，减少纯套路计算，注重探究过程。 2026年预测：仍为压轴解答题，以圆或四边形为背景，重点考查切线、相似、动点轨迹与线段最值，设问稳定，强调规范推理与计算能力。. 题型01 三角形几何综合 析典例·建模型 1．（2022·江苏苏州·中考真题）（1）如图1，在△ABC中，，CD平分，交AB于点D，//，交BC于点E． ①若，，求BC的长； ②试探究是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． （2）如图2，和是△ABC的2个外角，，CD平分，交AB的延长线于点D，//，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为，△CDE的面积为，△BDE的面积为．若，求的值． 【答案】（1）①；②是定值，定值为1；（2） 【分析】（1）①证明，根据相似三角形的性质求解即可； ②由，可得，由①同理可得，计算 ； （2）根据平行线的性质、相似三角形的性质可得，又，则，可得，设，则．证明，可得，过点D作于H．分别求得，进而根据余弦的定义即可求解． 【详解】（1）①∵CD平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ②∵， ∴． 由①可得， ∴． ∴． ∴是定值，定值为1． （2）∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． 设，则． ∵CD平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 如图，过点D作于H． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求余弦，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 2．（2026·浙江·模拟预测）如图1，中，，为中点，点在上（不与重合），过点作，垂足为，连结，过的中点．作，垂足为． (1)若，当为中点时，求的长． (2)求的值． (3)如图2，连结，过点作交于点，连结，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理进行求解即可； （2）设，求出，即可求出答案； （3）根据全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质进行证明即可． 【详解】（1）解：连结，如图． 因为为中点， 所以． 因为为中点， 所以， 所以． （2）连结，由（1）知， 同理得． 设， 则，， 所以， 所以． （3）证明：连结，延长至点，使，连结，分别过点作于点，于点，在上取点，使． 因为， 所以． 因为为中点，， 所以， 所以，， 所以． 由，，， 所以， 所以， 所以， 所以， 则， 所以， 所以， 所以， 所以． 研考点·通技法 此类题型常围绕全等、相似、勾股、三角函数展开，结合动点、翻折、旋转，考查线段求值、角度推导、面积与最值问题。. 1. 先找相等角、相等边，判定全等或相似，得到比例关系。 2. 构造直角三角形，用勾股定理或三角函数表示线段。 3. 遇动点设边长为未知数，根据线段和差、比例列方程求解。 4. 涉及旋转、翻折时，利用对应边、角不变找等量。 5. 分类讨论动点位置，验证结果是否符合图形范围. 破类题·提能力 1．（2026·浙江·一模）如图1，在中，于点D，连接，在上截取，使，连接． (1)直接判断与的位置关系 (2)如图2，延长，交于点F，过点E作交于点G，试判断与之间的数量关系，并证明； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)1 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，再根据余角的性质得到，即可判断； （2）过点B作交于点M，证得为等腰直角三角形，则，证明，由全等三角形的性质得出，由直角三角形的性质可得出结论； （3）设，则，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】（1）解：； 理由如下：设与交于O， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：， 证明：过点B作交于点M， ∵， ∴，，， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ，， ，又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 解得，，经检验符合题意； ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确构造全等三角形解决问题． 2．（2026·浙江舟山·一模）问题提出 (1)如图①，为上一点，连接、，当时，__________． 问题探究 (2)如图②，在边长为6的等边中，为的中点，为边上任意一点，连接，并作，使得的一边与交于点，试求出的最大值． 问题解决 (3)如图③，四边形为某美食商业区的平面示意图，其中，，，．经过一段时间的运营，为了更好地服务消费者，打造美食街区的独特风格．市场管理者计划在美食商业区规划一片三角形区域用于美食烹饪表演． 方案：在上选取一点M，上选取一点，连接、、，构造．已知点为美食商业区的出入口，，设． （i）求与之间的函数关系式． （ii）为了不影响其他商户的经营，同时确保表演区域足够集中，需要点与点的距离足够远，请你根据需求计算出当最大时的面积． 【答案】(1)90 (2)3 (3)（i）；（ii） 【分析】（1）利用直角三角形两锐角互余即可求解； （2）证明，设，利用相似三角形对应边成比例可得，整理得，利用二次函数的性质求最值即可； （3）（i）延长至点，使得，连接，过点作， 根据题意可知，，利用直角三角形的性质得出，进而证明，设，利用相似三角形对应边成比例求解即可． （ii）过点作的垂线，与的延长线交于点，与交于点．根据（i）所得关系式可知，当时，有最大值为，根据的正切值，设，，结合勾股定理得出的长，从而得出和的长，进而求出、、、，即可得解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， ． （2）解：是等边三角形，， ，．     ， ， ， ． 设，则， 为的中点， ， ，整理得， 当时，有最大值，最大值为3，即的最大值为3． （3）解：（i）如图，延长至点，使得，连接，过点作， 根据题意可知，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 设． ， ， 整理得． （ii）如图，过点作的垂线，与的延长线交于点，与交于点． 由（i）可知，， 当时，取得最大值为， 即当时，有最大值为， ， 设，， ， ， ， ． ， ， ，，，， ， ∴当最大时，的面积为． 3．（2026·浙江·一模）如图，在中，点，分别在，边上，连接，，，，，平分． (1)求证：． (2)若，，求． (3)如图，过点作的垂线交延长线于点，作，垂足为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练应用相关性质定理． （1）根据等边对等角结合角平分线的性质证明，从而证得，根据全等三角形的性质即可得证； （2）过点作交于点，通过证明，根据等腰三角形三线合一得到，进而求得，根据勾股定理依次求得和的长即可. （3）过点作的平行线交于点，作，通过证明，得到，根据等角对等边证得，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，从而得解． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 即． （2）解：如图，过点作交于点， ， ， ， ， ，即， ， ，， ，， ， ， ， . （3）解：过点作的平行线交于点，作， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 题型02 菱形几何综合 析典例·建模型 1．（2026·浙江温州·一模）已知菱形的面积为，． (1)如图1，求菱形的边长． (2)如图2，若点E是射线上的一点（不与端点A，D重合），连接，．点A关于的对称点为点，交射线于点F． ①当点落在线段上时，求的长． ②的最大值为______． 【答案】(1)10 (2)①21；② 【分析】（1）过点作于点，根据设，则，，利用菱形的面积列方程求解即可； （2）①根据菱形和等腰三角形的性质易得到，过点作于点，则，根据求出，从而求出的长，进而求出的长，证明，求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可；②作，交于点，证明，得到，进而得到，，得到当最小时，的值最大，作交的延长线于点，在射线上取一点，使，连接，证明，得到，进而得到点在以为直径的圆上运动，取的中点，连接，得到，进而得到当三点共线时，的值最小，求出的最小值即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点， ， 设，则，， 菱形的面积为， ， 解得或（舍去）， 菱形的边长为； （2）解：①点关于的对称点落在线段上， ，， 四边形为菱形， ，， ， ， ， 如图2，过点作于点，则， 由（1）知，，， ， ； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②作，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴当最小时，的值最大， 作交的延长线于点，在射线上取一点，使，连接， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， 取的中点，连接，则，， ∴当三点共线时，的值最小， 在中，由勾股定理，得， ∴的最小值为， ∴的最大值为． 研考点·通技法 此类题型结合菱形四边相等、对角线垂直平分的性质，考查全等与相似证明、线段长度计算、动点最值、面积及折叠旋转综合问题. 1. 利用菱形四边相等、对角相等、对角线互相垂直平分，转化边角条件。 2. 由对角线垂直构造直角三角形，用勾股定理或三角函数计算。 3. 结合全等、相似三角形得到线段比例关系。 4. 动点问题设自变量，建立函数模型求最值或范围。 5. 分类讨论动点位置，检验结果合理性并规范书写。 破类题·提能力 1．（2026·浙江温州·模拟预测）已知菱形的面积为，． (1)如图1，求菱形的边长． (2)若点是射线上的一点（不与端点，重合），连接，． ①如图2，点关于的对称点为点，当点落在线段上时，求的长． ②如图3，求的最大值． 【答案】(1)10 (2)①；② 【分析】本题考查菱形的性质、解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，根据设，则，，利用菱形的面积列方程求解即可； （2）①根据菱形和等腰三角形的性质易得到，过点作于点，则，根据求出，从而求出的长； ②过点作于点，过点作的垂线与的垂直平分线（点为垂足）相交于点，连接，，易证得，进而得到，进而求出、的长，根据垂直平分线的性质得到，进而得到，即，从而得到当，，三点共线时，有最大值． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点， ， 设，则，， 菱形的面积为， ， 解得或（舍去）， 菱形的边长为； （2）解：①点关于的对称点落在线段上， ， 四边形为菱形， ，， ， ， ， 如图2，过点作于点，则， 由（1）知，，， ， ； ②如图3，过点作于点，过点作的垂线与的垂直平分线（点为垂足）相交于点，连接，， ， ， ， ， ， ， 由（1）得，，， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 当，，三点共线时，的最大值为． 2．（2026·浙江·模拟预测）在菱形中， (1)如图1，求的长． (2)如图2，以点为旋转中心，逆时针转动，记点，旋转得到的对应点分别为，．当第一次平行于时，停止旋转． 当时，求的值． 如图3，设旋转停止前，直线交射线于点，连接，求的最小值． 【答案】(1)5 (2) ， 【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直且平分，结合勾股定理解答即可． （2）延长交于点，根据菱形的性质，旋转的性质，三角函数的定义解答即可． 根据勾股定理，三角函数的定义，菱形的性质解答即可． 本题考查了菱形的性质，勾股定理，垂线段最短，旋转的性质，三角函数的应用，熟练掌握性质和三角函数是解题的关键． 【详解】（1）解：在菱形中， ∴， ∴． （2）①如图1，延长交于点， 由旋转变换中每条线的旋转角都相等可知，．在菱形中， ∴， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴． ②解 ：如图2，． ∵， ∴最小时，也最小，要想最小，只需最小． ∵为定角， ∴当时，有最小值为， 此时， ∴的最小值为 题型03 矩形几何综合 析典例·建模型 1．（2026·浙江·模拟预测）如图，矩形中，．    (1)点E是边上一点，将沿直线翻折，得到． ①如图1，当平分时，求的长； ②如图2，连接，当时，求的面积； (2)点E为射线上一动点，将矩形沿直线进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，求的长． 【答案】(1)① ；②的面积 (2)的长为或 【分析】（1）①根据折叠的性质以及F平分，得出，根据勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，得出，即可求解；②延长交的延长线于点G，根据折叠的性质以及矩形的性质得出，进而在中，勾股定理求得的长，等面积法求得边上的高，进而根据三角形的面积公式即可求解； （2）分两种情况，①当E在的延长线上时，证明，②当E在线段上时，分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿直线翻折，得到， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∴； ②如图所示，延长交的延长线于点G，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将沿直线翻折，得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴，， 设中边上的高为h，则， ∴， ∴的面积； （2）当点E、、D三点共线时，分两种情况： ①当E在的延长线上时，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当E在线段上时，    由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明三角形全等是解题的关键． 研考点·通技法 此类题型结合矩形直角、对边相等、对角线相等且平分等性质，考查全等相似证明、线段求值、折叠变换、动点最值、函数关系与存在性探究. 1. 利用矩形四个直角、对边平行且相等、对角线相等构造等量关系。 2. 出现折叠时抓对应边、对应角相等，确定垂直与等腰结构。 3. 构造直角三角形，用勾股定理、三角函数或相似列比例式。 4. 动点问题设未知数，建立线段或函数模型求解长度与最值。 5. 分类讨论点的位置，验证结果合理性并规范书写推理过程. 破类题·提能力 1．（2026·浙江舟山·一模）在矩形中，，点E是对角线上任意一点，过点E作的垂线分别交于点F，G，作平行交于点H． (1)证明：． (2)连结交于点K，若，求的值． (3)作的外接圆，且． ①若与矩形的边相切时，求的长． ②作点E关于的对称点，当落在上时，直接写出的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)①或或；② 【分析】（1）证明四边形为平行四边形，即可求证； （2）过点K作于点M，则，由题意易得，然后可得，则有，进而问题可求解； （3）①由题意可分当与边相切时，当与边相切时，当与边相切时，进而分类进行求解即可； ②连接，过点H作于点R，由折叠的性质可知：，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2）解：如图，过点K作于点M，则， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①根据题意得：，， 当与边相切时，此时点H为切点， 如图，设与交于点G、R，连接，，则， ∵， ∴为的直径， ∴点O，F，R共线，且， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当与边相切时，则与边也相切，此时 F，G 为切点，为直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴； 当与边相切时，设与边的另一个交点为点Q，设切点为点N，连接，则， ∵， ∴为直径， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴，即， ∴，， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ， ∴， ∴， 在中，， 解得：或（舍去），即； 综上所述，的长为或或； ②由题意可得如下图，连接，过点H作于点R， 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型04正方形几何综合 析典例·建模型 1．（2026·浙江舟山·一模）在边长为的正方形中，是边的中点，点是边上的一个动点，连接并延长交射线于点． (1)如图，连接，当时，求证：； (2)过点作的垂线交射线于点，连接，． （）如图，求证：； （）如图，当时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)（）证明见解析； （）． 【分析】（1）利用正方形性质证明得，，连接，再结合勾股定理证明，最后利用垂直平分线的判定定理即可证明； （2）（）过点作，交的延长线于点，结合正方形性质证明四边形是矩形，得，再证明，由相似三角形性质得出，即可证明； （）由可得，，由垂直平分线性质得，结合相似三角形性质得，，设，则，建立一元一次方程，解出后可得，根据即可得解． 【详解】（1）证：连接， 是边的中点， ， 四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ，， 为的中点，，， 中，， ， 点一定在线段的垂直平分线上， 故； （2）（）证明：如图，过点作，交的延长线于点， 四边形为正方形，是边的中点， ，，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 即； （）解：由（1）可知， ，， 又， ， ， ， ，， 设，则， ， 又， 则有， 解得， 即， ． 【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂直平分线的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一元一次方程的应用、求角的正切值，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 研考点·通技法 此类题型围绕正方形四边相等、四角为直角、对角线垂直相等的性质，结合旋转、折叠、动点，考查全等与相似证明、线段与角度计算、函数关系及最值存在性问题. 1.  利用正方形边角及对角线特性，寻找相等线段、相等角与垂直关系。 2.  旋转、折叠问题优先锁定全等三角形，确定不变量。 3.  构造直角三角形，运用勾股定理、相似或三角函数建立等式。 4.  动点问题设未知数，列出线段表达式或函数模型求解。 5. 对多位置情况分类讨论，验证结果并规范书写推理过程 破类题·提能力 1．（2026·浙江台州·一模）如图，在正方形中，点E，F分别是边上的动点（不包含端点），于点G，于点M，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，过点E作分别交于点H，N． ①求证：四边形为正方形； ②求证：； ③若，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析；③ 【分析】（1）根据正方形的性质及垂直的性质得到，根据等角的补角相等得到，根据即可证明； （2）①根据，得到，根据正方形的性质得到，根据得到，进而得到，即可证明四边形为正方形； ②延长交于点K，根据正方形的性质得到，，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，进而得到，证明，得到，即可证明； ③取中点O，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，延长交于P，则四边形是矩形，得到，，根据正方形的性质得到，进而得到，证明，得到，可知，根据得到，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴； （2）①证明：∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵四边形为正方形， ∴ ∵， ∴， ∴． ∴四边形为正方形； ②证明：延长交于点K， ∵四边形为正方形， ∴． 又∵四边形为正方形， ∴． ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ③解：取中点O，连接， ∵ ∴ 延长交于P， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴ ∴ ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 2．（2026·浙江湖州·一模）如图，正方形，直线绕点顺时针旋转至，作关于直线的对称点交于点，连接交于点，连接交于点．小明在探究与的大小关系时，发现其对应如下： ①_____ ②_____ (1)请填表，并证明结论②； (2)求证：； (3)在直线旋转过程中，试探究线段与线段的比（用含的式子表示） 【答案】(1)①；②；证明见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，由轴对称性质得，，再根据等腰三角形的性质求得，，然后利用三角形的外角性质可证得结论； （2）过C作交延长线于P，证明得到，则，利用平行线的判定可得结论； （3）设与交于点K，先利用三角形的内角和定理推导出，则，再证明，则有． 【详解】（1）解：填表：①；②； 证明②：连接， 由题意，，，， 由轴对称性质得，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：过C作交延长线于P，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设与交于点K，如图， 由（2）知，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴． 题型05圆的压轴综合（动点函数类） 析典例·建模型 1．（2026·浙江衢州·一模）如图1，点E是的弦上一动点，过点E作交于点A，C，连接，过点B作于点F，交于点G． (1)如图2，若经过点O． ①求证：． ②若，，求的半径． (2)若，，，求y关于x的函数表达式． 【答案】(1)①见解析；②2.5 (2)或 【分析】（1）①证明，运用证明可得结论； ②连结，得到，证明得出，由得，．求出．令，则．，由勾股定理得，求出． （2）分当点E靠近点D和当点E靠近点B两种情况，证明和均为等腰直角三角形．分别求出和,即可求出． 【详解】（1）解：①证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ②连结， ∵，经过点O， ∴． ∴垂直平分， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴，． ∵， ∴在中，． ∴． 令，则．． ∴在中，． 解得． （2）解：①当点E靠近点D时， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴和均为等腰直角三角形． ∴． 由①得． ∵， ∴． ∴， 设，则， ∴． ∴． ∴． ∴． ②当点E靠近点B时， 同理可证和均为等腰直角三角形， 令， ∴，， ∴， ∴． ∴综合所述可得：或． 研考点·通技法 此类题型以圆为背景，结合动点、线段运动，考查线段长度、面积、最值的函数表达式，综合切线、相似、三角函数、勾股定理及分类讨论. 1. 挖掘圆的性质，找直角、等角、垂直等隐含条件。 2. 设出动点对应的自变量，用含未知数的式子表示线段。 3. 借助相似、三角函数或勾股定理建立函数关系。 4. 根据动点位置分段讨论，确定函数定义域。 5. 利用一次或二次函数求最值，验证结果合理性并规范作答 破类题·提能力 1．（2026·浙江衢州·一模）如图，的周长为4厘米，为的直径．动点从点出发，在圆周上按顺时针方向作匀速运动，速度为1厘米/秒，点出发1秒后，动点也从点出发，以厘米/秒的速度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点运动秒时，点，与点间的劣弧（或半圆）长分别记为，，则，关于的函数图象如图2所示． (1)试确定动点的速度． (2)当时，求关于的一次函数表达式，并求出当时，的值． (3)若图2中的点为两个函数图象的交点，求点的坐标，并求此时点，点间的劣弧长． 【答案】(1)厘米/秒 (2)，当秒时， (3)点，点间的劣弧长为厘米 【分析】本题主要考查一次函数的运用， （1）根据图2可知，当秒时，厘米，由此即可求解； （2）根据图2信息，运用待定系数法得到函数解析式，令代入函数解析式即可求解； （3）运用待定系数法得到的解析式，联立方程组求解得到点C的坐标，结合点C得到点，点间的劣弧长． 【详解】（1）解：点与点间的劣弧（或半圆）长分别记为， 根据图2可知，当秒时，厘米， ∴厘米/秒； （2）解：当秒时，厘米，当秒时，厘米， ∴设， ∴， 解得，， ∴， 当秒时，； （3）解：设， 由图2可知，当秒时，厘米，当秒时，厘米， ∴， 解得，， ∴， ∴当时，联立方程组得， 解得，， ∴， 当秒时，点从点A顺时针旋转到点B下方，路程为（厘米），此时点P距点A的距离为（厘米）， 点从点A顺时针旋转到直径上方，路程为厘米， ∴此时点，点间的劣弧长为（厘米）． 2．（2026·浙江宁波·一模）如图，为直径，C为圆O上一动点，且C在直径上方，连接，，点M为中点，连接，与相交于点N． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，连接，，当时，求的值； (3)如图3，作于H，，与交于点K（点K在下方），与交于点E．若，，求： ①的直径； ②的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）由垂径定理可得，再由圆周角定理得出，即可得证； （2）连接交于点，由垂径定理可得，，证明为的中位线，得出，再由垂径定理可得，由圆周角定理可得，证明，得出，求出，由勾股定理可得，即可得出，最后由正切的定义计算即可得出结果； （3）①延长交于点，由题意可得，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再证明，得出，最后再由勾股定理计算即可得出结果； ②设，则，证明，求出，，由勾股定理可得，，求出，由①可得，，过点作于点，设，则，，求出，，，由勾股定理可得，，则，连接，则，证明，得出，代入计算即可得出结果 【详解】（1）证明：∵点M为中点， ∴， ∵为直径， ∴，即， ∴； （2）解：如图，连接交于点， ∵点M为中点， ∴，， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①延长交于点， ∵点M为中点， ∴， ∵，且为直径， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②设，则， ∵为直径，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴，， ∴，， ∴， 由①可得：，， ∵， ∴， 过点作于点， 设， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， 连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·浙江温州·一模）如图1，已知的高，点是边上的动点，以为直径作圆，交边于，交线段于，交线段于． (1)求证：． (2)如图2，连接，若恰好经过点． ①求的值． ②求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到，再根据同角的余角相等得到； （2）①先求出，，再根据，得到，接着证明，则； ②由，设作于点，则，先求出，再证明，得到，代入整理得到，证明，得到，代入解得，则，最后根据计算即可． 【详解】（1）解：是直径， ，则， 为三角形的高， ， ； （2）解：①，， ，则， ∴， ∵， ∴， 解得， 四边形内接于圆， ， ， ，且， ， 则； ②， ∴设 作于点，则， ，， ，则， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ． 4．（2026·浙江温州·一模）综合与实践 【探索发现】小温在探索“圆与相似三角形”相关知识时发现如下结论：如图1，在圆中，若弦与交于点，则有． (1)【猜想验证】请证明上述结论． (2)【实践应用】如图2，若，则的坐标为___________． (3)【综合拓展】如图3，已知二次函数的图象与轴交于两点（在轴左侧，在轴右侧），与轴负半轴交于点．经过三点的圆与轴正半轴交于点，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）结合圆周角定理，证明∽即可； （2）根据求值即可； （3）根据，结合根与系数的关系求解即可. 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵，， ∴∽， ∴， 即； （2）解：由（1）知，， ∵， ∴，，， ∴， 解得， ∴； （3）解：设，， ∵， 即， 当时，由韦达定理可得，， ， 则． 题型06圆的几何综合 析典例·建模型 1．（2026·浙江杭州·一模）如图，内接于，，连结并延长交于点E，交于点D．连结，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）得出，即可； （2）连接，根据圆周角定理求出的度数，再根据等腰三角形的性质求解即可； （3）延长，交于点，连接，先证出，则，再设，则，，，证出，求出的长，则可得的长，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 由圆周角定理得：， ∴． （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， 由圆周角定理得：， ∵， ∴． （3）解：如图，延长，交于点，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（负值已舍）， 设，则， ∴， ∴，， 由圆周角定理得：， ∴，即， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得（负值已舍）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，，即， 解得或（舍去）， ∴． 研考点·通技法 此类题型以圆为核心，结合三角形、特殊四边形、相似、三角函数及动点变换，考查切线证明、角度转化、线段与面积计算、最值及存在性探究. 1. 优先运用圆周角定理、垂径定理、切线性质找等角、垂直、直角等关键条件。 2. 识别并构造相似或全等三角形，建立线段比例关系。 3. 构造直角三角形，用勾股定理或三角函数列式计算。 4. 遇动点、折叠、旋转时抓不变量，设未知数列方程求解。 5. 按位置分类讨论，检验结果是否符合题意并规范书写推理过程 破类题·提能力 1．（2026·浙江舟山·一模）如图1，在中，直径垂直弦，连结，弦平分分别交于点与的延长线交于点．    (1)求证：； (2)如图1，当时，求； (3)如图2，当时，求． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由垂径定理得，由圆周角定理得，进而可证； （2）连接，利用圆的内接四边形的性质和相似三角形的判定定理得到，利用（1）的结论得到，利用相似三角形的性质得到，，则G为AH的黄金分割点，利用黄金分割的知识解答即可； （3）连结，利用线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质得到，则；利用全等三角形的判定与性质，菱形的判定定理得到四边形为菱形，再利用圆周角定理和等边三角形的判定定理得到，为直径，最后利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】（1）证明：直径弦 又 （2）连接，    ∵四边形为圆的内接四边形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ， ， ∴， ， ， ， 为的黄金分割点， ； （3）连结，如图，    ∵直径垂直弦， ∴垂直平分， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴ ∴四边形为菱形， ∴， ∴垂直平分， ∴，为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键． 2．（2026·浙江·一模）点B，C在以点O为圆心，为半径的上，连接，． (1)如图①，求证：平分； (2)如图②，D为弦下方上一点，连接，E是上一点，，过点E作交于点F，连接，求证； (3)如图③，在（2）的条件下，若为的直径，的面积为8，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，圆的性质，四点共圆，正弦函数的应用，熟练掌握判定和性质，三角函数的应用是解题的关键． （1）连接，证明即可证明平分； （2）连接，交于点K，连接，证明四点共圆，得到，，再证明，等量代换证明即可结论． （3）先证明，得到，再根据的面积为8，得到，确定，继而得到，后利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：连接， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴平分． （2）证明：连接，交于点K，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴，， 在和中， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵的面积为8， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负的舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径． 题型07几何综合压轴最值问题 析典例·建模型 1．（2026·浙江·二模）如图，已知正方形是上的两个动点，交于点． (1)求证：； (2)若四边形的面积为，求的长； (3)求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据证明即可得出结论； （2）由得，可求出，设，其中，则，，，解得，再证明，根据相似三角形的性质列式解答即可； （3）由得，设，则，，求出，，设，则，其中，求得，得出的最小值为，可得出的最小值． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， 即， 设，其中，则， ∴， 解得或（舍）， ∵， ∴， ∴，即， ； （3）解：由（1）得， ∴， 设，则，， ∴，， 设，则，其中， ，即， ，解得， ， 的最小值为， 的最小值为． 研考点·通技法 此类题型为线段最值、周长最值、面积最值，结合动点、翻折、旋转，常用将军饮马、胡不归、阿氏圆、垂线段最短、函数最值模型. 1. 确定动点轨迹与不变量，判断最值模型类型。 2. 利用对称转化线段，构造两点之间线段最短或垂线段最短。 3. 结合相似、勾股、三角函数表示相关线段。 4. 建立一次或二次函数，用函数性质求最值。 5. 分类讨论动点位置，验证取值范围并规范作答 破类题·提能力 1．（2026·浙江·一模）如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求的长； ②点P为上一点，连接，是否有最小值？若有，请直接写出这个最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)①；②的最小值为． 【分析】本题考查与圆的性质概念，与圆有关的位置关系，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是解题关键． （1）连接、，由“直径所对的圆周角是直角”得，即有，由已知、根据“等腰三角形三线合一”得，从而得出：是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得，由已知、“一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条得，根据切线的判定定理得证； （2）①由题意证明，求出，从而得出结论； ②在中，由边角关系可以求出，从而得出：，，过点P作于点G，则由“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”得，延长到点F，使，则由线段垂直平分线的性质可知：上任意一点P到点A与点F的距离都相等，即总有，由“两点之间，线段最短”可知：当点F在直线上时，的长最小，从而的长最小，最小值为线段的长，此时，在中，由边角关系即可求出最小值． 【详解】（1）证明：连接、，如图： ∵是的直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：①若，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的长为． ②点P为上一点，连接，有最小值， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 过点P作于点G，则， 延长到点F，使，则上任意一点P到点A与点F的距离都相等，即总有， 由两点之间，线段最短可知：当点F在直线上时，的长最小，从而的长最小，最小值为线段的长， 此时，在中，， ， 即的最小值为． 2．（2026·浙江宁波·模拟预测）已知：在中，． (1)如图1，求的面积． (2)如图2，点在边上，将沿射线方向平移至，使得点与点重合． ①连接．求的面积． ②如图3，将绕点旋转至，边与线段的延长线交于点，连接．当时，求的最小值． 【答案】(1) (2)①15；② 【分析】（1）过点作于点，则：设，则，结合勾股定理可得：，进一步求解即可． （2）①如图2，连结，证明四边形是平行四边形，求解的面积的面积，可得的面积． ②如图3，过点作于点，求解，过点作于点，则的面积为：求解，结合只需最小，则最小，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点，则： ，， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴的面积为：． （2）解：①如图2，连接， ∵沿射线方向平移至， ∴，，， ∴， ∵且， ∴四边形是平行四边形， ∴的面积的面积的面积， ∵， ∴的面积的面积， ∴的面积． ②如图3，过点作于点， 由（1）得：， 当时，， ∴， ∴， 过点作于点，则的面积为：， ∵的面积为：， ∴，解得， ∴， ∵， ∴只需最小，则最小， ∵绕点旋转至， ∴， ∴的最小值， ∴的最小值为：． 3．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，点在以为直径的半圆上，过点作半圆的切线交延长线于点，垂直于的延长线于点，交半圆于点，连接． (1)求证：； (2)若，， 求半圆的半径； 若是上一点，连接，，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)半圆的半径为； 的最小值是 【分析】（1）由是直径可得，由圆内接四边形的性质可得，根据等角的余角相等即可证明； （2）①连接，由切线的性质可得，进而得到，则，结合和，计算出半径的值即可； ②作点关于直线的对称点，作于点，由和可得，则点在上，因此，当、、三点共线时，取到得最小值．使用三角函数计算出，，则，最后用勾股定理计算出． 【详解】（1）证明：∵为半圆的直径， ∴， ∴， ∵四边形内接于半圆， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图，连接， 在中，，， ∴， ∵是半圆的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即半圆的半径为； ②如图，作点关于直线的对称点，作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即是的平分线， ∴点在上， 由对称的性质可得，， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值， 在中，，，， ∴，， ∴在中，，， ∴， ∴由勾股定理可得，， ∴的最小值是． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $