专项07 圆中的基本常考4大题型（大题专练）（浙江专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专项07 圆中的基本常考题型 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 近两年浙江中考以固定考查角度计算、切线判定、垂径定理，常结合勾股、相似与三角函数，侧重基础证明与线段计算，难度适中． 命题趋势：逐步趋向综合化与动态化，以圆为载体融合相似、三角函数，重视辅助线构造，强调逻辑推理与数形结合。 2026年预测：仍以“角度、证明、计算”结构为主，重点考查切线性质、圆周角定理及动态弦长、面积最值，注重规范书写。. 题型01 圆中的角度问题 析典例·建模型 1．（2026·浙江温州·一模）如图，以为直径作半圆O，过点B作半圆的切线，连接交半圆O于点D，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形的外角性质以及等角的余角相等即可证明； （2）利用（1）的结论求得，再利用等边对等角结合邻补角的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵是半圆O的切线， ∴， ∴． ∵为半圆O的直径， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 研考点·通技法 此类题型常考题型围绕圆周角定理、圆心角定理、直径所对圆周角、圆内接四边形对角互补、切线与弦夹角等角度转化与计算展开。. 1. 观察图形，找准圆心角、圆周角、弦切角及对应弧。 2. 利用同弧或等弧所对圆周角相等、圆心角是圆周角两倍进行转化。 3. 结合直径所对圆周角为直角、圆内接四边形对角互补推导角度。 4. 借助平行线、三角形内角与外角性质进一步计算。 5. 整理逻辑链条，规范写出角度推导过程 破类题·提能力 1．（2026·浙江嘉兴·一模）如图，为外一点，，分别与相切于点，，连接，．已知，的半径为18． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据切线的性质和四边形内角和定理进行解答即可； （2）利用弧长公式进行解答即可． 【详解】（1）解：∵，分别与相切于点，， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，的半径为18， ∴． 2．（2026·浙江·模拟预测）如图，中，，以为直径的交边于点D，过点D作的切线交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，则，再根据切线的性质得到，所以； （2）过O点作于H点，连接，如图，根据垂径定理得到，根据等腰三角形的性质得到，再证明，利用相似比可计算出，则利用勾股定理可计算出，利用正切的定义得到，然后 【详解】（1）解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：过O点作于H点，连接，如图，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质和解直角三角形． 题型02 角平分线的证明与求线段的值 析典例·建模型 1．（2026·浙江湖州·一模）如图，在中，，点是边上一点，以点为圆心，为半径的半圆交边于点，与相切于点，连接，． (1)求证：平分； (2)若，求该圆的直径． 【答案】(1)见详解； (2) 【分析】（1）根据相切的性质，平行线的性质，圆心角等于圆周角的一半即可求证； （2）设半径，证，根据相似比求解即可． 【详解】（1）证明：∵与半圆相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵是所对的圆心角，是所对的圆周角， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：设半径， ∵以点为圆心，为半径的半圆交边于点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 即直径． 研考点·通技法 此类题型考题型为利用圆周角、弧相等证明角平分线，结合角平分线性质、相似三角形、勾股定理、垂径定理求线段长度. 1. 观察角平分线与圆的关系，优先转化为等弧对等角进行证明。 2. 由角平分线推出弧相等、弦相等，构造等腰三角形或垂直关系。 3. 结合垂径定理、相似三角形或勾股定理建立线段比例与等式。 4. 设未知数，利用线段和差或比例式列方程求解。 5. 检验结果合理性，规范书写证明与计算过程。 破类题·提能力 1．（2026·浙江丽水·一模）如图，在中，，点D在边上，以为直径的与相切于点E． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用切线性质证明，再结合角平分线性质和等腰三角形性质分析证明，即可解题； （2）作，证明四边形为矩形，进而求出，再利用勾股定理求解，即可解题． 【详解】（1）证明：如图，，与相切，连接， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图，，作， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 题型03 切线的证明与求线段综合 析典例·建模型 1．（2026·浙江舟山·一模）如图，点是外一点，的延长线交于点，点在圆上，连接，且，． (1)求证：为切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过证明得以论证为切线； （2）利用直角三角形的性质求解即可. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴为切线； （2）解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 研考点·通技法 此类题型题型以切线判定与性质为核心，结合垂直、等腰、相似、勾股定理、三角函数进行线段长度、弦长、半径求解，是浙江中考圆解答题必考题型. 1. 证切线：连半径，证垂直；或作垂直，证半径，利用角度互余、等腰、平行线推导垂直。 2. 由切线性质得直角，构造直角三角形或相似三角形。 3. 识别基本模型，利用射影定理、相似比例、勾股定理建立等式。 4. 设半径或线段为未知数，列方程求解。 5. 检验线段长度合理性，规范书写证明与计算步骤 破类题·提能力 1．（2026·浙江·二模）如图，为的直径，C，E为上的两点，若平分，于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】（1）通过连接半径，利用角平分线性质和等腰三角形性质证明平行，进而证垂直得切线； （2）通过构造辅助线，利用矩形的性质和勾股定理即可求得线段长． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ∵平分， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线． （2）解：如图，过O作于点F， ∴， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ． 2．（2026·浙江·一模）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作的垂线交于点E．    (1)请画出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：是的切线； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据圆周角定理可知是的外接圆的直径，所以作的垂直平分线，交于点O，以O为圆心以为半径画圆即可； （2）连接，由为直径、可得出点D在上且，根据平分可得出，进而得出，再结合即可得出，进而即可证出是的切线； 【详解】（1）解：如图1所示，即为所求；    （2）证明：如图2，连接，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、平行线的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 3．（2026·浙江金华·一模）如图，在矩形中，以为直径的交于点E，F，连接，过点O作交于点G，过点G作于点H，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若是的切线，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据圆周角定理得出，根据直角三角形两锐角互余得出，证明，根据等角对等边即可证明结论； （2）延长交于点M，过E作于点N，证明四边形为矩形，得出，，说明四边形为矩形，得出，，证明，得出，根据勾股定理求出，即可得出答案； （3）设，，根据解析（2）得出，，，证明，得出，求出，得出，再求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：延长交于点M，过E作于点N，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 同理可得：四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，根据勾股定理得： ， ∴； （3）解：设，， 则根据解析（2）可得： ，，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型04圆与其它图形综合 析典例·建模型 1．（2026·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，是中点，以点为圆心，长为半径在矩形内画半圆，切半圆于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）结合矩形的性质，以及切线的性质，证明，得， 则同理，得，故，即可作答． （2）先得，结合，故，又因为，则运用勾股定理得，根据矩形的性质得，则，再列式计算求出四边形的面积，即可作答． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵切半圆于点， ∴． 又∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 则同理 ∴， ∵， ∴， 即． （2）解：由（1）得，， ∴，，， 由（1）得， 则，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， 则， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形的相关应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 研考点·通技法 此类题型为圆与三角形、四边形、相似、三角函数结合，考查切线、角度转化、线段计算、面积最值及动点存在性问题. 1. 挖掘圆的基本性质，优先找直角、等角、等弧条件。 2. 识别相似三角形或全等三角形，建立线段比例。 3. 构造直角三角形，运用勾股定理或三角函数列式。 4. 设未知数建立方程，求解半径、弦长或线段长度。 5. 结合图形范围检验结果，完整书写推理与计算过程 破类题·提能力 1．（2026·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，以为直径作半圆O，切线的延长线交于点F，E为切点，对角线恰好过E点． (1)求证：F为中点； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证、CD为的切线，再根据切线长定理得出，从而得出，然后根据平行线的性质与对顶角性质证得，得出，最后由切线长定理得出，即可得出结论； （2）设，则，，再在中，由勾股定理得出，解得：，即可求解． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∵为半圆O的直径， 、CD为的切线， 又AE为切线， ， ， 在矩形ABCD中，， ， ， ， 、FC为切线， ， ， 为CD中点． （2）解：、AE为切线 ， 设 则， ∴， ∵矩形， ∴， 在中 ， 即， 又， ， ． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项07 圆中的基本常考题型 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 近两年浙江中考以固定考查角度计算、切线判定、垂径定理，常结合勾股、相似与三角函数，侧重基础证明与线段计算，难度适中． 命题趋势：逐步趋向综合化与动态化，以圆为载体融合相似、三角函数，重视辅助线构造，强调逻辑推理与数形结合。 2026年预测：仍以“角度、证明、计算”结构为主，重点考查切线性质、圆周角定理及动态弦长、面积最值，注重规范书写。. 题型01 圆中的角度问题 析典例·建模型 1．（2026·浙江温州·一模）如图，以为直径作半圆O，过点B作半圆的切线，连接交半圆O于点D，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 研考点·通技法 此类题型常考题型围绕圆周角定理、圆心角定理、直径所对圆周角、圆内接四边形对角互补、切线与弦夹角等角度转化与计算展开。. 1. 观察图形，找准圆心角、圆周角、弦切角及对应弧。 2. 利用同弧或等弧所对圆周角相等、圆心角是圆周角两倍进行转化。 3. 结合直径所对圆周角为直角、圆内接四边形对角互补推导角度。 4. 借助平行线、三角形内角与外角性质进一步计算。 5. 整理逻辑链条，规范写出角度推导过程 破类题·提能力 1．（2026·浙江嘉兴·一模）如图，为外一点，，分别与相切于点，，连接，．已知，的半径为18． (1)求的度数． (2)求的长． 2．（2026·浙江·模拟预测）如图，中，，以为直径的交边于点D，过点D作的切线交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，，求的值． 题型02 角平分线的证明与求线段的值 析典例·建模型 1．（2026·浙江湖州·一模）如图，在中，，点是边上一点，以点为圆心，为半径的半圆交边于点，与相切于点，连接，． (1)求证：平分； (2)若，求该圆的直径． 研考点·通技法 此类题型考题型为利用圆周角、弧相等证明角平分线，结合角平分线性质、相似三角形、勾股定理、垂径定理求线段长度. 1. 观察角平分线与圆的关系，优先转化为等弧对等角进行证明。 2. 由角平分线推出弧相等、弦相等，构造等腰三角形或垂直关系。 3. 结合垂径定理、相似三角形或勾股定理建立线段比例与等式。 4. 设未知数，利用线段和差或比例式列方程求解。 5. 检验结果合理性，规范书写证明与计算过程。 破类题·提能力 1．（2026·浙江丽水·一模）如图，在中，，点D在边上，以为直径的与相切于点E． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 题型03 切线的证明与求线段综合 析典例·建模型 1．（2026·浙江舟山·一模）如图，点是外一点，的延长线交于点，点在圆上，连接，且，． (1)求证：为切线； (2)若，求的长． 研考点·通技法 此类题型题型以切线判定与性质为核心，结合垂直、等腰、相似、勾股定理、三角函数进行线段长度、弦长、半径求解，是浙江中考圆解答题必考题型. 1. 证切线：连半径，证垂直；或作垂直，证半径，利用角度互余、等腰、平行线推导垂直。 2. 由切线性质得直角，构造直角三角形或相似三角形。 3. 识别基本模型，利用射影定理、相似比例、勾股定理建立等式。 4. 设半径或线段为未知数，列方程求解。 5. 检验线段长度合理性，规范书写证明与计算步骤 破类题·提能力 1．（2026·浙江·二模）如图，为的直径，C，E为上的两点，若平分，于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 2．（2026·浙江·一模）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作的垂线交于点E．    (1)请画出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：是的切线； 3．（2026·浙江金华·一模）如图，在矩形中，以为直径的交于点E，F，连接，过点O作交于点G，过点G作于点H，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若是的切线，求证：． 题型04圆与其它图形综合 析典例·建模型 1．（2026·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，是中点，以点为圆心，长为半径在矩形内画半圆，切半圆于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 研考点·通技法 此类题型为圆与三角形、四边形、相似、三角函数结合，考查切线、角度转化、线段计算、面积最值及动点存在性问题. 1. 挖掘圆的基本性质，优先找直角、等角、等弧条件。 2. 识别相似三角形或全等三角形，建立线段比例。 3. 构造直角三角形，运用勾股定理或三角函数列式。 4. 设未知数建立方程，求解半径、弦长或线段长度。 5. 结合图形范围检验结果，完整书写推理与计算过程 破类题·提能力 1．（2026·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，以为直径作半圆O，切线的延长线交于点F，E为切点，对角线恰好过E点． (1)求证：F为中点； (2)求的长． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $