专项05 一次函数与实际应用5大题型（大题专练）（浙江专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专项05 一次函数与实际应用 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 近两年浙江中考以分段函数（计费、行程）、方案选择/最值（利润、工程）、图像信息提取，在加工、行程、收费、销售中较为常用，比较贴近生活． 命题趋势：情境更真实：长文本、图像信息，重建模；跨学科：结合物理运动、生活数据； 重思维：计算简化，强调理解、取值范围、验证。 2026年预测：仍为解答题中档题， 热点为分段计费、行程图像、方案优化、跨学科小综合. 题型01 函数的相关概念与性质 析典例·建模型 1．（2026·浙江舟山·一模）在长跑、骑行等耐力运动中，运动员常用“配速”来评估运动强度．配速是指运动时间与运动距离的比值（即每公里的运动耗时），单位通常为“分钟/公里”（），配速数值越高，代表运动速度越慢．小海参加了一场公里的健身跑活动，他的配速与已完成路程（单位：）之间的关系如图所示． (1)是关于的函数吗?请说明理由． (2)在、、三个位置中，运动速度最慢的是________． (3)若点，求小海完成公里健身跑的时间． 研考点·通技法 此类题型常考察围绕自变量取值范围求解、函数图像识别与点坐标代入、函数增减性对称性及最值判断、结合实际情境判断函数类型展开。. 1. 确定自变量取值范围，注意分母不为零、二次根式被开方数非负及实际问题限制。 2. 将已知点坐标代入解析式，求系数或函数值。 3. 根据系数特征判断增减性、最值等函数性质。 4. 分析函数图像关键点与变化趋势，结合题意理解实际意义。 5. 检验结果是否符合取值范围与题目要求. 破类题·提能力 1．在一条笔直的公路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发．下图表示甲、乙两车之间的距离s（km）与行驶时间t（）的函数关系图象．请根据图象信息解答下列问题： (1)求出乙车的速度． (2)两车相遇后，继续行驶，当两车之间距离为30km时，求甲车行驶的时间． (3)若保持乙车先行的时间不变、甲车的速度不变，要使两车同时到达各自的目的地，请你判断乙车的速度是应该增加还是减小？并求出速度增加或减小的数量． 题型02 一次函数的图象与性质 析典例·建模型 1．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知y是关于x的一次函数，且当x＝1时，y＝﹣4；当x＝2时，y＝﹣6． (1)求y关于x的函数表达式； (2)若﹣2＜x＜4，求y的取值范围； (3)试判断点（2，﹣4）是否在一次函数的图像上，并说明理由． 研考点·通技法 此类题型围绕解析式求解、图像位置与系数关系判断、增减性应用、交点与平移问题、结合图像比较函数值大小展开. 1. 利用待定系数法，代入两点坐标求出一次函数解析式 y=kx+b。 2. 根据 k、b 符号判断图像经过的象限及大致走势。 3. 由 k 的正负确定函数增减性，k>0 递增，k<0 递减。 4. 求与坐标轴交点，令 x=0 得纵截距，令 y=0 得横截距。 5. 结合图像或性质比较函数值、解方程与不等式，最后验证结果。 破类题·提能力 1．已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点． (1)若，求一次函数的表达式． (2)若该一次函数的图象经过第四象限，且，求S的取值范围． 2．在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出m的取值范围． 题型03 一次函数与工程问题 析典例·建模型 1．（2026·浙江台州·一模）为顺利完成某条直道上的光缆铺设工程，甲、乙两个工程队计划分别以直道两端为开工起点，各自以预定速度同时相向铺设光缆，直至工程完工．开工几天后，甲队有若干名工人因故离队，造成施工速度下降，导致整个工程工期延长．设铺设光缆时间为x（单位：天），此时，工程队铺设光缆的地点到甲队开工起点的距离为y（单位：米），甲、乙两队y关于x的函数关系分别如图所示． (1)完成这个光缆铺设工程用了多少天? (2)求乙队y关于x的函数关系式． (3)甲队若干名工人离队导致工期比原计划延长了多少天? 研考点·通技法 此类题型围绕工作总量、工作效率与时间建立一次函数模型，结合工程进度求解析式，根据函数关系判断完成时间、比较施工方案、计算费用或工作量最值. 1. 梳理工程总量、各队效率、工作时间等关键量，设出函数自变量与因变量。 2. 根据“工作量=效率×时间”列出一次函数关系式。 3. 利用已知进度或数据，用待定系数法确定函数解析式。 4. 结合函数增减性与取值范围，求解完工时间、最优方案或费用最值。 5. 检验结果是否符合实际工程限制，规范作答. 破类题·提能力 1．为了让AI更精准地理解用户需求并生成有价值的输出，通常要对人工智能进行训练．已知当一个AI模型的数据量超过条时，其训练时间（单位：分）与训练的数据量（条）成一次函数关系．当训练的数据量为条时，训练时间为分钟；当训练的数据量为条时，训练时间为分钟． (1)当时，求与之间的函数表达式；（不要求写出自变量的范围） (2)若某次训练的数据量为条，求该AI模型的训练时间． 2．某小区需要为一段路面重新铺设地砖，由A、B两个小组共同完成．A小组先单独铺设路面，一段时间后，B小组也赶来和A小组一起铺设路面．A、B两个小组每小时铺设路面的长度不变，B小组每小时铺设路面40米．A、B两小组铺设路面的总长度y（米）与A小组铺设路面所用的时间x（时）之间的函数图象如图所示． (1)A小组每小时铺设路面______米，m的值为______； (2)求B小组加入后，y与x之间的函数关系式； (3)当铺设完路面总长度的一半时，求A小组铺设路面的长度． 题型04一次函数与行程问题 析典例·建模型 1．（2026·浙江湖州·一模）甲骑车从A地到B地，乙骑车从B地到A地，甲的速度小于乙的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与甲的行驶时间之间的函数关系．请你根据图象进行探究： (1)求甲和乙的速度； (2)C点的坐标是______； (3)当甲乙两人相距时，求的值． 研考点·通技法 此类题型考察路程、速度、时间建立函数关系，结合图像分析相遇、追及、往返等场景，求函数解析式、判断运动状态、计算相遇时间与相距距离，以及比较不同行程方案. 1. 明确自变量（时间）与因变量（路程），提取速度、方向、起点等关键信息。 2. 根据“路程=速度×时间”，分段或直接列出一次函数关系式。 3. 代入图像关键点或已知数据，用待定系数法求解析式。 4. 联立函数方程求交点，确定相遇或追及时间，利用增减性分析距离变化。 5. 结合实际行程限制检验结果，完整作答. 破类题·提能力 1．（2026·浙江宁波·模拟预测）某校九年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目（如图1）的规则是：每班选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上从起点出发，侧身走到终点，再原路返回至起点，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续行进．用时少者胜．甲、乙两班比赛过程中，甲班途中掉了球，乙班顺利走完了全程，两个班级同学到起点的距离与比赛时间的函数关系如图2． (1)求乙班返回时的速度． (2)求的函数表达式． (3)求甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，的值． 2．（2026·浙江杭州·一模）2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示． (1)分别求出小丽和小明骑行的速度． (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程． 3．（2026·浙江舟山·一模）甲、乙两辆满载水果的运输车同时从A地出发前往B地，甲车匀速行驶至距离A地的地时发生故障原地维修，后维修完毕，于是甲车匀速行驶到达B地．乙车匀速行驶到达距离A地的地，接着花费卸载水果，然后立即原路匀速返回A地，结果乙车回到A地时恰好甲车到达B地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距离A地的距离（单位：）与它们离开A地的时间（单位：）之间的函数图象如图所示． 请结合图象信息，解答下列问题： (1)填表： 甲车离开A地的时间（单位：） 1 4 6.4 8 甲车离A地的距离（单位：） ______ 160 ______ ______ (2)请直接写出乙车行驶的全过程中与的函数关系式； (3)①图中的值为___________； ②在整个行驶过程中，求出当甲、乙两车相距时的值． 甲车离开A地的时间（单位：） 1 4 6.4 8 甲车离A地的距离（单位：） 40 160 160 240 题型05一次函数与其它问题 析典例·建模型 1．（2026·浙江绍兴·模拟预测）为了做好“新冠肺炎”疫情防控工作，柯桥区某校准备购买一批消毒液．已知A型消毒液和B型消毒液的单价分别是12元和8元．需购买这两种消毒液共300瓶，并且购买A型消毒液的数量要少于B型消毒液数量的，但又不少于B型消毒液数量的．设买A型消毒液x瓶，买两种消毒液的总费用为y元． (1)写出y（元）关于x（瓶）的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． (2)购买这两种消毒液各多少瓶时，费用最少？最少的费用是多少元？ 研考点·通技法 此类题型考察分段计费、几何面积、方案选择、表格信息转化等展开，通过建立一次函数模型求解费用最值、取值范围及最优决策问题. 1. 读懂题目情境，确定自变量和因变量，梳理数量关系。 2. 根据题意列出一次函数表达式，分段问题需分别写清各段解析式。 3. 用待定系数法或直接计算确定函数解析式。 4. 利用函数增减性求最值、求交点或解不等式，得出方案或范围。 5. 结合实际意义检验结果，规范写出结论 破类题·提能力 1．（2026·浙江舟山·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， (1)求和的值． (2)横坐标为的点是反比例函数图象上的一点．现将点向下平移．当点落在一次函数图象上时，求向下平移的距离． 2．（2026·浙江绍兴·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，动点B在第一象限，连结． (1)如图，当时，以为直角边且在x轴上方作等腰直角三角形，使，求点C的坐标和直线的函数表达式． (2)以为直角边作等腰直角三角形，使，连结，若的面积为，求点B的坐标． (3)以为边作等腰直角三角形，当点P落在直线上时，请直接写出a的值． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项05 一次函数与实际应用 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 近两年浙江中考以分段函数（计费、行程）、方案选择/最值（利润、工程）、图像信息提取，在加工、行程、收费、销售中较为常用，比较贴近生活． 命题趋势：情境更真实：长文本、图像信息，重建模；跨学科：结合物理运动、生活数据； 重思维：计算简化，强调理解、取值范围、验证。 2026年预测：仍为解答题中档题， 热点为分段计费、行程图像、方案优化、跨学科小综合. 题型01 函数的相关概念与性质 析典例·建模型 1．（2026·浙江舟山·一模）在长跑、骑行等耐力运动中，运动员常用“配速”来评估运动强度．配速是指运动时间与运动距离的比值（即每公里的运动耗时），单位通常为“分钟/公里”（），配速数值越高，代表运动速度越慢．小海参加了一场公里的健身跑活动，他的配速与已完成路程（单位：）之间的关系如图所示． (1)是关于的函数吗?请说明理由． (2)在、、三个位置中，运动速度最慢的是________． (3)若点，求小海完成公里健身跑的时间． 【答案】(1)是关于的函数，因为对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应． (2) (3)分钟 【分析】（1）根据函数的定义判断即可； （2）根据配速越高运动速度越慢判断即可； （3）根据配速乘以路程等于时间计算即可. 【详解】（1）答：是关于的函数，理由如下： ∵在配速与已完成路程之间的变化过程中，有两个变量且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应， ∴是关于的函数； （2）解：∵ ∴运动速度最慢的是； （3）解：∵， ∴小海完成公里健身跑的时间是分钟. 研考点·通技法 此类题型常考察围绕自变量取值范围求解、函数图像识别与点坐标代入、函数增减性对称性及最值判断、结合实际情境判断函数类型展开。. 1. 确定自变量取值范围，注意分母不为零、二次根式被开方数非负及实际问题限制。 2. 将已知点坐标代入解析式，求系数或函数值。 3. 根据系数特征判断增减性、最值等函数性质。 4. 分析函数图像关键点与变化趋势，结合题意理解实际意义。 5. 检验结果是否符合取值范围与题目要求. 破类题·提能力 1．在一条笔直的公路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发．下图表示甲、乙两车之间的距离s（km）与行驶时间t（）的函数关系图象．请根据图象信息解答下列问题： (1)求出乙车的速度． (2)两车相遇后，继续行驶，当两车之间距离为30km时，求甲车行驶的时间． (3)若保持乙车先行的时间不变、甲车的速度不变，要使两车同时到达各自的目的地，请你判断乙车的速度是应该增加还是减小？并求出速度增加或减小的数量． 【答案】(1) (2) (3)乙车的速度应减小，减小的值为km/h 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，从函数图象中获取信息， 对于（1），根据图象可知A，B两地相距100km，乙车先出发行驶到两车相距70km时，用时0.5h，再根据路程，时间，速度的关系求出答案； 对于（2），先求出甲车的速度，再根据相遇后距离为30km，相当于甲，乙共同行驶了100km，即可求出行驶时间； 对于（3），先根据两车同时到达目的地，乙行驶的总时间为1.75，求出乙车速度，再作差可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：，故乙先到目的地， ． ∵相遇后距离为30km， ∴甲，乙共同行驶了100km， ∴甲行驶时间为：； （3）解：由题可得：要使两车同时到达目的地，乙行驶的总时间为：1.75， ∴此时乙车速度应为：100÷1.75＝（km/h）， （km/h）， ∴乙车的速度应减小，减小的值为km/h． 题型02 一次函数的图象与性质 析典例·建模型 1．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知y是关于x的一次函数，且当x＝1时，y＝﹣4；当x＝2时，y＝﹣6． (1)求y关于x的函数表达式； (2)若﹣2＜x＜4，求y的取值范围； (3)试判断点（2，﹣4）是否在一次函数的图像上，并说明理由． 【答案】(1)函数解析式是：y＝−2x−2 (2)y的范围是：−10＜y＜2 (3)点（2，﹣4）不在一次函数的图像上 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）求得x＝−2和x＝4时，对应的y的值，从而求得y的范围； （3）把（2，﹣4）代入函数解析式进行判断即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数解析式是y＝kx＋b， 根据题意得：， 解得：， 函数解析式是：y＝−2x−2； （2）解：函数解析式是：y＝−2x−2， 当x＝−2时，y＝2；当x＝4时，y＝−10， y的范围是：−10＜y＜2； （3）解：函数解析式是：y＝−2x−2， 当x＝2是，，则点（2，﹣4）不在一次函数的图像上． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数的解析式，先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解即可得到函数解析式，当已知函数解析式时，求函数中字母的值就是求关于字母系数的方程的解． 研考点·通技法 此类题型围绕解析式求解、图像位置与系数关系判断、增减性应用、交点与平移问题、结合图像比较函数值大小展开. 1. 利用待定系数法，代入两点坐标求出一次函数解析式 y=kx+b。 2. 根据 k、b 符号判断图像经过的象限及大致走势。 3. 由 k 的正负确定函数增减性，k>0 递增，k<0 递减。 4. 求与坐标轴交点，令 x=0 得纵截距，令 y=0 得横截距。 5. 结合图像或性质比较函数值、解方程与不等式，最后验证结果。 破类题·提能力 1．已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点． (1)若，求一次函数的表达式． (2)若该一次函数的图象经过第四象限，且，求S的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，得到，再结合，解二元一次方程组求解即可； （2）根据，即，进而得到，再根据一次函数的图象经过第四象限，可得到，由不等式的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点， ∴将点代入一次函数解析式得：， 联立得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：根据题意：，即， ∴， ∴， ∵， ∴，即； ∵一次函数的图象经过第四象限，且，则， ∴， ∴ ∴． 2．在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2)且． 【分析】（1）根据平移得到，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据一次函数图象的性质求解即可． 【详解】（1）解：函数的图象是由函数的图象平移得到， ∴， ∵函数经过点， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为； （2）解：函数中，当时，，当时，， 函数的图象如下， ∵当时，的图象平行于， 又∵当时，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值， ∴且 ∴在成立 ∴ 解得：， ∴，且． 题型03 一次函数与工程问题 析典例·建模型 1．（2026·浙江台州·一模）为顺利完成某条直道上的光缆铺设工程，甲、乙两个工程队计划分别以直道两端为开工起点，各自以预定速度同时相向铺设光缆，直至工程完工．开工几天后，甲队有若干名工人因故离队，造成施工速度下降，导致整个工程工期延长．设铺设光缆时间为x（单位：天），此时，工程队铺设光缆的地点到甲队开工起点的距离为y（单位：米），甲、乙两队y关于x的函数关系分别如图所示． (1)完成这个光缆铺设工程用了多少天? (2)求乙队y关于x的函数关系式． (3)甲队若干名工人离队导致工期比原计划延长了多少天? 【答案】(1)14天 (2) (3)2天 【分析】（1）由函数图象即可得到答案； （2）用待定系数法求函数解析式即可； （3）由原计划甲队y关于x的函数解析式，得到，求出，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由图象得完成这个光缆铺设工程用了天； （2）解：设乙队y关于x的函数关系式为， 把，代入得， 解得， 则乙队y关于x的函数解析式； （3）解：， 原计划甲队y关于x的函数解析式， 甲、乙两队完成光缆工程需满足， 解得， （天）， 答：甲队工人离队导致工期比原计划延长了2天． 研考点·通技法 此类题型围绕工作总量、工作效率与时间建立一次函数模型，结合工程进度求解析式，根据函数关系判断完成时间、比较施工方案、计算费用或工作量最值. 1. 梳理工程总量、各队效率、工作时间等关键量，设出函数自变量与因变量。 2. 根据“工作量=效率×时间”列出一次函数关系式。 3. 利用已知进度或数据，用待定系数法确定函数解析式。 4. 结合函数增减性与取值范围，求解完工时间、最优方案或费用最值。 5. 检验结果是否符合实际工程限制，规范作答. 破类题·提能力 1．为了让AI更精准地理解用户需求并生成有价值的输出，通常要对人工智能进行训练．已知当一个AI模型的数据量超过条时，其训练时间（单位：分）与训练的数据量（条）成一次函数关系．当训练的数据量为条时，训练时间为分钟；当训练的数据量为条时，训练时间为分钟． (1)当时，求与之间的函数表达式；（不要求写出自变量的范围） (2)若某次训练的数据量为条，求该AI模型的训练时间． 【答案】(1) (2)分钟 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，涉及用待定系数法求一次函数表达式、一次函数的函数值计算，熟练运用一次函数的相关公式与方法是解答本题的关键． （1）根据题意设出一次函数的一般形式，再将已知的两组数据代入，通过解二元一次方程组求出、的值，进而确定函数表达式； （2）将题目给定的数据量代入（1）中求出的函数表达式，计算对应的函数值，得到训练时间． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数表达式为， 将，代入， 得， 解得， 与之间的函数表达式为； （2）解：将代入， 得． 该AI模型的训练时间为分钟． 2．某小区需要为一段路面重新铺设地砖，由A、B两个小组共同完成．A小组先单独铺设路面，一段时间后，B小组也赶来和A小组一起铺设路面．A、B两个小组每小时铺设路面的长度不变，B小组每小时铺设路面40米．A、B两小组铺设路面的总长度y（米）与A小组铺设路面所用的时间x（时）之间的函数图象如图所示． (1)A小组每小时铺设路面______米，m的值为______； (2)求B小组加入后，y与x之间的函数关系式； (3)当铺设完路面总长度的一半时，求A小组铺设路面的长度． 【答案】(1)50，150 (2) (3)米 【分析】（1）根据图象列出方程解答即可； （2）设y与x之间的函数关系式为．利用待定系数法解答即可．将点，代入，即可求解； （3）根据时，求出A的时间，进而求出各自各自铺设路面的长度． 【详解】（1）解：由图象可知：A小组每小时铺设路面米． ， 解得：， ∴A小组每小时铺设路面米． 故答案为：50，150； （2）解：设y与x之间的函数关系式为． 将点，代入，得 由题意，得． 解得． ∴y与x之间的函数关系式为． （3）解：当时，． ∴（米）， ∴A铺设路面的长度为米． 题型04一次函数与行程问题 析典例·建模型 1．（2026·浙江湖州·一模）甲骑车从A地到B地，乙骑车从B地到A地，甲的速度小于乙的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与甲的行驶时间之间的函数关系．请你根据图象进行探究： (1)求甲和乙的速度； (2)C点的坐标是______； (3)当甲乙两人相距时，求的值． 【答案】(1)甲的速度为，乙的速度为 (2) (3)或 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以分别求得甲和乙的速度； （2）根据（1）中的结果和图象中的数据可以求得点C的坐标； （3）分甲和乙相遇前两人相距和当甲和乙相遇后两人相距两种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：（1）从可以看出：两人从相距的两地相遇用了一个小时时间， 则， ∵甲的速度小于乙的速度， ∴甲用了3小时走完了的全程， ∴， ∴； （2）解：C点的意义是乙骑车从B地到A地用了，此时甲和乙的距离是， ∴C点坐标是； （3）解：当甲和乙相遇前两人相距时，则， 解得； 当甲和乙相遇后两人相距时，则， 解得， 综上，甲乙两人相距时，的值为或． 研考点·通技法 此类题型考察路程、速度、时间建立函数关系，结合图像分析相遇、追及、往返等场景，求函数解析式、判断运动状态、计算相遇时间与相距距离，以及比较不同行程方案. 1. 明确自变量（时间）与因变量（路程），提取速度、方向、起点等关键信息。 2. 根据“路程=速度×时间”，分段或直接列出一次函数关系式。 3. 代入图像关键点或已知数据，用待定系数法求解析式。 4. 联立函数方程求交点，确定相遇或追及时间，利用增减性分析距离变化。 5. 结合实际行程限制检验结果，完整作答. 破类题·提能力 1．（2026·浙江宁波·模拟预测）某校九年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目（如图1）的规则是：每班选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上从起点出发，侧身走到终点，再原路返回至起点，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续行进．用时少者胜．甲、乙两班比赛过程中，甲班途中掉了球，乙班顺利走完了全程，两个班级同学到起点的距离与比赛时间的函数关系如图2． (1)求乙班返回时的速度． (2)求的函数表达式． (3)求甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，的值． 【答案】(1) (2) (3)甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，或 【分析】（1）根据函数关系图，利用速度路程时间即可解答； （2）利用待定系数法求解即可； （3）先求出的函数表达式为，的函数表达式为，再根据函数关系图列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴乙班返回共用走完， ∴乙班返回时的速度为：． （2）解：∵， 设的表达式为，把代入得： ， 解得：， ∴的表达式为． （3）解：∵， 设的函数表达式为，则， 解得：， ∴的函数表达式为， 由图象可得：和的交点表示甲、乙两班同学在途中第一次到起点的距离相同， ∴， 解得：． ∵， 设的函数表达式为，则 ， 解得：， ∴的表达式为， 由图象可得：和的交点表示甲、乙两班同学在途中第二次到起点的距离相同， ∵的表达式为， ∴，解得：． 综上所述，甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，或． 2．（2026·浙江杭州·一模）2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示． (1)分别求出小丽和小明骑行的速度． (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程． 【答案】(1)小丽，小明 (2) (3)8 【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，函数的图象，待定系数法求函数解析式．理解横轴和纵轴表示的实际意义是解题的关键． （1）结合函数图象，根据速度=路程÷时间，求解即可； （2）先求出B点坐标，再用待定系数法求解即可； （3）用待定系数法求出小丽的函数解析式，再联立两函数解析式，求出交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：小丽的速度： 小丽到达点A的时间为， 小明到达点A的时间为：， 小明的速度：； （2）解：点B到点C所用时间为， 则点B的时间为， 点 设线段的函数表达式为 把和代入， 得 解得，， 则线段的函数表达式为； （3）解：设小丽的函数解析式为， 把点代入，得， ， ， 解得，代入， ∴， 离山庄的路程为． 3．（2026·浙江舟山·一模）甲、乙两辆满载水果的运输车同时从A地出发前往B地，甲车匀速行驶至距离A地的地时发生故障原地维修，后维修完毕，于是甲车匀速行驶到达B地．乙车匀速行驶到达距离A地的地，接着花费卸载水果，然后立即原路匀速返回A地，结果乙车回到A地时恰好甲车到达B地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距离A地的距离（单位：）与它们离开A地的时间（单位：）之间的函数图象如图所示． 请结合图象信息，解答下列问题： (1)填表： 甲车离开A地的时间（单位：） 1 4 6.4 8 甲车离A地的距离（单位：） ______ 160 ______ ______ (2)请直接写出乙车行驶的全过程中与的函数关系式； (3)①图中的值为___________； ②在整个行驶过程中，求出当甲、乙两车相距时的值． 【答案】(1)40；160；240 (2) (3)①144；②或或 【分析】（1）根据题意，结合图象先计算当时，甲车的速度，即可得到对应的路程，其余两空可直接由图象获取数据； （2）利用待定系数法，分，，时，分别求解即可； （3）先求得乙车的时，，然后分，，，时，根据两车的距离列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，当时，甲车的速度为， ∴甲车离开A地时，离A地的距离为， 由图象可知，甲车离开A地和时，离A地的距离分别为和； ∴填表如下： 甲车离开A地的时间（单位：） 1 4 6.4 8 甲车离A地的距离（单位：） 40 160 160 240 （2）解：当时，设乙车的与的函数关系式为， 代入，得，则； ∵， 则当时，此时； 当，设乙车的与的函数关系式为， 代入和，得， 解得， 综上，乙车行驶的全过程中与的函数关系式为； （3）解：①由（2）可知，； ②令， 解得， 当时，两车相遇， 当时，甲车的速度为， 根据题意得：， 解得： 当时，甲、乙两车相距； 当时， 根据题意得：， 解得； 当时， 根据题意得：， 解得 综上所述，当或或时，两车相距． 题型05一次函数与其它问题 析典例·建模型 1．（2026·浙江绍兴·模拟预测）为了做好“新冠肺炎”疫情防控工作，柯桥区某校准备购买一批消毒液．已知A型消毒液和B型消毒液的单价分别是12元和8元．需购买这两种消毒液共300瓶，并且购买A型消毒液的数量要少于B型消毒液数量的，但又不少于B型消毒液数量的．设买A型消毒液x瓶，买两种消毒液的总费用为y元． (1)写出y（元）关于x（瓶）的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． (2)购买这两种消毒液各多少瓶时，费用最少？最少的费用是多少元？ 【答案】(1)，且x为正整数 (2)购买A型消毒液75瓶，B型消毒液225瓶时，费用最少，最少费用为2700元 【分析】由题意可得等量关系：总费用=A型消毒液所需费用＋B型消毒液所需费用，根据等量关系列出方程即可，根据购买A型消毒液的数量要少于B型消毒液数量的，但又不少于B型消毒液数量的，可列出不等式，解出不等式的解集即可知x的取值范围； 根据（1）可知费用与评述之间的关系式为：，进而根据函数图像的变化趋势，以及自变量的取值确定费用的最小值． 【详解】（1）解：∵A型消毒液为x瓶，共需要买300瓶， ∴B型消毒液的数量为（300-x）瓶 据题意得，， ∵购买A型消毒液的数量要少于B型消毒液数量的，但又不少于B型消毒液数量的， 则可列不等式组：， 解得：， 故x的取值范围为：且x为正整数． （2）∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y取最小值，最小， 答：购买A型消毒液75瓶，B型消毒液225瓶时，费用最少，最少费用为2700元． 【点睛】本题考查一次函数的解析式和图像，以及列不等式解决实际问题，能够根据题意列出一次函数和不等式是解决本题的关键． 研考点·通技法 此类题型考察分段计费、几何面积、方案选择、表格信息转化等展开，通过建立一次函数模型求解费用最值、取值范围及最优决策问题. 1. 读懂题目情境，确定自变量和因变量，梳理数量关系。 2. 根据题意列出一次函数表达式，分段问题需分别写清各段解析式。 3. 用待定系数法或直接计算确定函数解析式。 4. 利用函数增减性求最值、求交点或解不等式，得出方案或范围。 5. 结合实际意义检验结果，规范写出结论 破类题·提能力 1．（2026·浙江舟山·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， (1)求和的值． (2)横坐标为的点是反比例函数图象上的一点．现将点向下平移．当点落在一次函数图象上时，求向下平移的距离． 【答案】(1)， (2)向下平移的距离为 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数，点的平移，掌握待定系数法求解析式，平移规律是解题的关键． （1）把代入一次函数，反比例函数解析式即可求解； （2）根据题意得到，根据点的平移得到平移后，代入一次函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ∴， 解得，，则一次函数解析式为， ∴， 解得，，则反比例函数解析式为； （2）解：点的横坐标为，且点在反比例函数图象上， ∴，即， 设点向下平移了个单位， ∴， ∴， 解得，， ∴向下平移的距离为． 2．（2026·浙江绍兴·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，动点B在第一象限，连结． (1)如图，当时，以为直角边且在x轴上方作等腰直角三角形，使，求点C的坐标和直线的函数表达式． (2)以为直角边作等腰直角三角形，使，连结，若的面积为，求点B的坐标． (3)以为边作等腰直角三角形，当点P落在直线上时，请直接写出a的值． 【答案】(1)； (2) (3)6， 【分析】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了一次函数的解析式求解、与等腰直角三角形有关的全等问题，构造“一线三垂直”型全等是解题关键. （1）作轴于轴于，证得即可求解； （2）由的面积为可得，分类讨论当点的横坐标小于3时，当点的坐标大于3时，两种情况即可求解； （3）分类讨论①当时，②当时，③当时，三种情况即可求解； 【详解】（1）解：如图，作轴于轴于， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为，将代入， 得：， 解得：， 直线的解析式为； （2）解： 的面积为， ，即， ， 当点的横坐标小于3时， 分别过点作直线的垂线，垂足分别为， 同理可证， 点的横坐标为， ， ， 点的坐标为， ，解得， ； 当点的坐标大于3时，如图， 同理可得，点的坐标为， ，解得， 点的坐标为：． （3）解：①当时，由（2）可知与重合， 点的坐标为或， 当点落在直线上时，或，解得：或（舍去）； ②当时，过点作轴的垂线，垂足为，过点作于点， 同理可证明， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 当点落在直线上时，， 解得：； ③当时，如图， 设点的坐标为， 则， ， 显然，故此时不成立； 综上可知， 或． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $