数学（全国一卷04）学易金卷：2026年高考考前最后一卷

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考考前最后一卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考考前最后一卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，若，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（新情境）已知，若（i为虚数单位），则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知向量，，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 4．（热点）已知，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（改编题）已知等比数列的公比为，甲：数列是递增数列，乙：，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 6．（热点）人工智能（AI）领域中，神经网络是用于模仿神经元，用来学习规律做预测和识别的数学模型.神经网络中的激活函数能把线性输入变成非线性输出．是最常用的激活函数，下面关于表述错误的是（   ） A． B． C． D． 7．已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 8．（新情境）不全为的实数对满足关系式，则这样的实数对共有（    ）组. A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记为等差数列的前n项和．已知，则（   ） A． B． C．为等差数列 D．为等比数列 10．（新情境）在圆锥中，轴截面是边长为2的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（ ） A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为 C．抛物线的焦点到准线的距离为1 D．双曲线的离心率为 11．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，为偶函数，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．数学兴趣小组对具有线性相关的两个变量x和y进行了统计分析，得到了下表： x 4 6 8 10 12 y a 2 b c 6 并由表中数据求得y关于x的回归方程为，若a，b，c成等差数列，则_________． 13．已知随机变量，且，若（为有理数），则________． 14．（新情境）如图，在平行四边形中，已知，，，现将沿折起，得到三棱锥，且三棱锥外接球的表面积为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 某市高三学生学习强度指数Q的概率分布情况如下表所示． 学习强度指数Q 概率 0.2 0.5 0.3 应对情况 轻松应对 勉强应对 困难应对 (1)从该市随机选取3名高三的学生，记学习强度指数的人数为X，求及X的数学期望． (2)定义为在事件M发生的条件下事件N发生的优势．记事件“该学生学习有压力”（勉强应对和困难应对都被认为是学习有压力，轻松应对被认为是学习无压力），事件“该学生困难应对”，求在事件A发生的条件下事件B发生的优势． 16．（15分） （热点）如图1，平面五边形由等边三角形与矩形拼接而成，且，现沿进行翻折，使得平面平面，得到如图2所示的四棱锥，其中为棱的中点，点分别在棱上（含端点），且平面． (1)求的值； (2)若平面与平面所成角的余弦值为，求的长． 17．（15分） 设 (1)若.求的单调区间，并分析是何种单调. (2)分析的零点数量和的关系. 18．（17分） （新情境）△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 (1)证明： (2)求△ABC的内切圆半径r的取值范围； (3)若的内切圆上有一点P，求点P到A，B，C三点的距离的平方和的最大值. 19．（17分） 已知是坐标原点，双曲线左顶点，直线过点交的右支于两点，记的面积分别为，．且当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线交轴于点， （i）若，求证：为定值； （ii）在（i）条件下，若，当时，求的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前最后一卷 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B D C D D B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD AD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．3 13．2 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）解：由表可知，学习强度指数的概率为： , 从该市随机选取名学生，记学习强度指数的人数为，则服从二项分布，（3分） 所以； 的数学期望为：；（5分） （2）解：由题意可知，事件为“该学生学习有压力”，事件为“该学生困难应对”. ，， 因为事件包含于事件中，所以，（7分） 在事件发生的条件下事件发生的概率为：， 在事件发生的条件下事件发生的概率为：，（10分） 所以在事件发生的条件下事件发生的优势为：.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）由题意，，，为等边三角形，为中点，故， 又平面平面，平面平面，所以底面. 以为原点，所在直线为轴，过平行的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设，则， ，，设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的法向量，由∥平面得， 即，解得 故；（6分） （2）由(1)得，设，，因为， 所以，所以 则，则， ， 设平面的法向量，则，即，令，则， 所以平面的法向量，.（8分） 设平面的法向量，则，即， 令，则， 所以平面的法向量，.（10分） 设平面与平面所成角为，则，化简得， 解得或（舍），故.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）当时，. 注意到，从而的正负只和有关，从而可作出下表： + 0 — 0 + 从而的单调递增区间是，单调递减区间是.（3分） （2）当时注意到恒成立，从而没有零点.（5分） 当时，注意到所求可以化为的解的数量. 设，，则，从而可以作下图： 0 + + + 0 — — 0 0 0 1 — — 0 + + + 0 0 当时，注意到， 注意到， 从而单调递增，零点若有则至多有一个， 注意到设时有，，从而， 设时有，从而， 从而在上必然有一个零点.从而总是有一个零点.（9分） 当时，我们考虑，注意到，从而可作出下表： 1 0 — 0 + + + 1 从而其在之间有一个零点，设其为，从而考虑， 其在上的正负性和一样，从而先单调减少后单调递增， 其极小值点就是最小值点，在处取到. 注意到，从而此处， 从而当时的最小值比0大，此时没有零点； 当时的最小值恰好就是0，从而只有一个零点； 当时在处小于0，在时， 从而在上有一个零点. 注意到）， 当时， 从而在时， 从而在上有一个零点， 从而此时共有两个零点. 综上，当时没有零点， 当或者时有一个零点；当时有两个零点.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由，得，，结合已知， 由余弦定理得，化简得， 所以， 要证，即证， 因为，等价于，即， 又，即，解得， 所以，故成立，得证；（4分） （2）三角形面积，内切圆半径​， 代入化简得，， 是开口向下的二次函数，对称轴，最大值为，且， 故的取值范围是；（9分） （3）当时，得，，三边长满足， 则△ABC为直角三角形，为直角，内切圆半径， 建立坐标系，如图所示 则，，，内心， 内切圆方程：，（12分） 设，则，即， 平方和， 展开化简得​， 由内切圆的范围​，当时最大，最大值为.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）由题意得， 当直线与轴垂直时，，即，即， 故，将其代入中，得， 所以双曲线方程为；（3分） （2）（i）显然直线不为0，故设直线为， 又直线交轴于点，故直线与轴不垂直，故， 与联立可得， ， 设，则，（5分） 过点交的右支于两点，故，不妨设， ，即， 即，解得，， ，同理可得 ，， 则；（8分） （ii）由于，由几何关系可得， 其中，故，整理可得， 又，， 所以，（10分） 由（i）知，，， 故，又，， 故，整理得，， 令，则，， 所以，（15分） 由对勾函数可知在上单调递增， 故.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2026年高考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 40 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 阙 4[A]B][C][D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) D B B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高考考前最后一卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，若，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（新情境）已知，若（i为虚数单位），则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知向量，，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 4．（热点）已知，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（改编题）已知等比数列的公比为，甲：数列是递增数列，乙：，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 6．（热点）人工智能（AI）领域中，神经网络是用于模仿神经元，用来学习规律做预测和识别的数学模型.神经网络中的激活函数能把线性输入变成非线性输出．是最常用的激活函数，下面关于表述错误的是（   ） A． B． C． D． 7．已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 8．（新情境）不全为的实数对满足关系式，则这样的实数对共有（    ）组. A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记为等差数列的前n项和．已知，则（   ） A． B． C．为等差数列 D．为等比数列 10．（新情境）在圆锥中，轴截面是边长为2的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（ ） A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为 C．抛物线的焦点到准线的距离为1 D．双曲线的离心率为 11．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，为偶函数，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．数学兴趣小组对具有线性相关的两个变量x和y进行了统计分析，得到了下表： x 4 6 8 10 12 y a 2 b c 6 并由表中数据求得y关于x的回归方程为，若a，b，c成等差数列，则_________． 13．已知随机变量，且，若（为有理数），则________． 14．（新情境）如图，在平行四边形中，已知，，，现将沿折起，得到三棱锥，且三棱锥外接球的表面积为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 某市高三学生学习强度指数Q的概率分布情况如下表所示． 学习强度指数Q 概率 0.2 0.5 0.3 应对情况 轻松应对 勉强应对 困难应对 (1)从该市随机选取3名高三的学生，记学习强度指数的人数为X，求及X的数学期望． (2)定义为在事件M发生的条件下事件N发生的优势．记事件“该学生学习有压力”（勉强应对和困难应对都被认为是学习有压力，轻松应对被认为是学习无压力），事件“该学生困难应对”，求在事件A发生的条件下事件B发生的优势． 16．（15分） （热点）如图1，平面五边形由等边三角形与矩形拼接而成，且，现沿进行翻折，使得平面平面，得到如图2所示的四棱锥，其中为棱的中点，点分别在棱上（含端点），且平面． (1)求的值； (2)若平面与平面所成角的余弦值为，求的长． 17．（15分） 设 (1)若.求的单调区间，并分析是何种单调. (2)分析的零点数量和的关系. 18．（17分） （新情境）△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 (1)证明： (2)求△ABC的内切圆半径r的取值范围； (3)若的内切圆上有一点P，求点P到A，B，C三点的距离的平方和的最大值. 19．（17分） 已知是坐标原点，双曲线左顶点，直线过点交的右支于两点，记的面积分别为，．且当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线交轴于点， （i）若，求证：为定值； （ii）在（i）条件下，若，当时，求的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前最后一卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，若，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．【答案】C 【解析】因式分解得；可得， 故集合； 因为且，所以，解得. 所以的取值范围是. 2．（新情境）已知，若（i为虚数单位），则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．【答案】B 【解析】因为，， 所以，所以，所以， 解得或，所以实数a的取值范围是. 3．已知向量，，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 3．【答案】D 【解析】因为向量，，且，所以，解得， 所以，所以． 4．（热点）已知，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 4．【答案】C 【解析】因为，所以， 对于A，易得，所以，故A成立. 对于B，因为，所以，故B成立. 对于C，， 当且仅当时，等号成立， 显然等号不成立，所以，故C不成立. 对于D，因为且， 所以，故D成立. 故选：C. 5．（改编题）已知等比数列的公比为，甲：数列是递增数列，乙：，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5．【答案】D 【解析】如时，等比数列是递增数列，公比，由甲不能推出乙； 当时，如，时，，不是递增数列， 乙不能推出甲，所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件， 故选：D． 6．（热点）人工智能（AI）领域中，神经网络是用于模仿神经元，用来学习规律做预测和识别的数学模型.神经网络中的激活函数能把线性输入变成非线性输出．是最常用的激活函数，下面关于表述错误的是（   ） A． B． C． D． 6．【答案】D 【解析】，故A正确； 恒成立，故，则，故，故B正确； ，， ，故C正确； ，又，，， ，故D错误. 7．已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 7．【答案】B 【解析】因为，所以， 所以，即， 则 . 故选：B. 8．（新情境）不全为的实数对满足关系式，则这样的实数对共有（    ）组. A．1 B．2 C．3 D．4 8．【答案】D 【解析】由可得， 即点与点到直线的距离都为， 分别以、为圆心，作半径为的圆、圆， 由，故两圆外离，则两圆共四条公切线， 由图可得，两圆公切线都不过原点，故有对这样的实数对， 使得点与点到直线的距离都为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记为等差数列的前n项和．已知，则（   ） A． B． C．为等差数列 D．为等比数列 9．【答案】ACD 【解析】设等差数列的公差为，由题意可得，解得，故. 对于A，由通项易得，故A正确； 对于B，因，而，即，故B错误； 对于C，因，则，由，可得数列为等差数列，故C正确； 对于D，因，则，由，可得为等比数列，故D正确. 10．（新情境）在圆锥中，轴截面是边长为2的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（ ） A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为 C．抛物线的焦点到准线的距离为1 D．双曲线的离心率为 10．【答案】AD 【解析】由题意底面半径为1，圆锥高， 对于A，为母线的中点，截面圆的半径为底面圆的半径的， 即截面圆半径为，则圆的面积为，A正确； 对于B，如图，在圆锥的轴截面中，作，垂足为， 为母线的中点，，， 椭圆的长轴长，B错误； 对于C，如图，设抛物线与底面圆的一个交点为， 以为原点，为x轴，在平面中建立平面直角坐标系， 则，， 设抛物线方程为，则，解得：， 则抛物线的焦点到准线的距离为，C错误. 对于D，如图，在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系， 坐标原点与点到底面的距离相等，且在轴上， 则点坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为，其坐标为， 设双曲线方程为， 则，将代入双曲线方程得，解得， 所以，故双曲线的离心率为，D正确. 11．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，为偶函数，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 11．【答案】ACD 【解析】对于A，由，可得， 两式相减可得，故A正确； 对于B，由为偶函数，可得， 即，所以的图象关于直线对称， 由，两边求导得，即， 所以是以4为周期的周期函数， 则有，无法推出，故B错误； 对于C，由，两边求导得， 即，令，可得， 又，令，可得， 并联立，解得，故C正确； 对于D，由，当时，，又，可得， 当时，可得， 由，即， 所以，令，可得， 所以，令，可得，，， 由A知的周期为4，则，所以， ，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．数学兴趣小组对具有线性相关的两个变量x和y进行了统计分析，得到了下表： x 4 6 8 10 12 y a 2 b c 6 并由表中数据求得y关于x的回归方程为，若a，b，c成等差数列，则_________． 12．【答案】3 【解析】由题意得，代入回归方程得， 则，所以， 又，所以， 故答案为：3 13．已知随机变量，且，若（为有理数），则________． 13．【答案】2 【解析】由正态分布的对称性知，则，所以， 由的展开式通项为， 由题设，， 所以. 14．（新情境）如图，在平行四边形中，已知，，，现将沿折起，得到三棱锥，且三棱锥外接球的表面积为，则______． 14．【答案】 【解析】如图，过作，且，过作，且， 连接，，，，根据题意可知，， 由题意知，，，所以， 又，是平面内的两条相交直线，所以⊥平面， 所以三棱柱为直三棱柱． 则三棱锥与直三棱柱的外接球相同，设其半径为． 由，知，设三角形的外接圆半径为， 则，求得． 设，则，在中，设，， 则，， 代入，解得或（舍），． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 某市高三学生学习强度指数Q的概率分布情况如下表所示． 学习强度指数Q 概率 0.2 0.5 0.3 应对情况 轻松应对 勉强应对 困难应对 (1)从该市随机选取3名高三的学生，记学习强度指数的人数为X，求及X的数学期望． (2)定义为在事件M发生的条件下事件N发生的优势．记事件“该学生学习有压力”（勉强应对和困难应对都被认为是学习有压力，轻松应对被认为是学习无压力），事件“该学生困难应对”，求在事件A发生的条件下事件B发生的优势． 15．【解析】（1）解：由表可知，学习强度指数的概率为： , 从该市随机选取名学生，记学习强度指数的人数为，则服从二项分布， 所以； 的数学期望为：； （2）解：由题意可知，事件为“该学生学习有压力”，事件为“该学生困难应对”. ，， 因为事件包含于事件中，所以， 在事件发生的条件下事件发生的概率为：， 在事件发生的条件下事件发生的概率为：， 所以在事件发生的条件下事件发生的优势为：. 16．（15分） （热点）如图1，平面五边形由等边三角形与矩形拼接而成，且，现沿进行翻折，使得平面平面，得到如图2所示的四棱锥，其中为棱的中点，点分别在棱上（含端点），且平面． (1)求的值； (2)若平面与平面所成角的余弦值为，求的长． 16．【解析】（1）由题意，，，为等边三角形，为中点，故， 又平面平面，平面平面，所以底面. 以为原点，所在直线为轴，过平行的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设，则， ，，设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的法向量，由∥平面得， 即，解得 故； （2）由(1)得，设，，因为， 所以，所以 则，则， ， 设平面的法向量，则，即，令，则， 所以平面的法向量，. 设平面的法向量，则，即， 令，则， 所以平面的法向量，. 设平面与平面所成角为，则，化简得， 解得或（舍），故. 17．（15分） 设 (1)若.求的单调区间，并分析是何种单调. (2)分析的零点数量和的关系. 17．【解析】（1）当时，. 注意到，从而的正负只和有关，从而可作出下表： + 0 — 0 + 从而的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）当时注意到恒成立，从而没有零点. 当时，注意到所求可以化为的解的数量. 设，，则，从而可以作下图： 0 + + + 0 — — 0 0 0 1 — — 0 + + + 0 0 当时，注意到， 注意到， 从而单调递增，零点若有则至多有一个， 注意到设时有，，从而， 设时有，从而， 从而在上必然有一个零点.从而总是有一个零点. 当时，我们考虑，注意到，从而可作出下表： 1 0 — 0 + + + 1 从而其在之间有一个零点，设其为，从而考虑， 其在上的正负性和一样，从而先单调减少后单调递增， 其极小值点就是最小值点，在处取到. 注意到，从而此处， 从而当时的最小值比0大，此时没有零点； 当时的最小值恰好就是0，从而只有一个零点； 当时在处小于0，在时， 从而在上有一个零点. 注意到）， 当时， 从而在时， 从而在上有一个零点， 从而此时共有两个零点. 综上，当时没有零点，当或者时有一个零点；当时有两个零点. 18．（17分） （新情境）△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 (1)证明： (2)求△ABC的内切圆半径r的取值范围； (3)若的内切圆上有一点P，求点P到A，B，C三点的距离的平方和的最大值. 18．【解析】（1）由，得，，结合已知， 由余弦定理得，化简得， 所以， 要证，即证， 因为，等价于，即， 又，即，解得， 所以，故成立，得证； （2）三角形面积，内切圆半径​， 代入化简得，， 是开口向下的二次函数，对称轴，最大值为，且， 故的取值范围是； （3）当时，得，，三边长满足， 则△ABC为直角三角形，为直角，内切圆半径， 建立坐标系，如图所示 则，，，内心， 内切圆方程：， 设，则，即， 平方和， 展开化简得​， 由内切圆的范围​，当时最大，最大值为. 19．（17分） 已知是坐标原点，双曲线左顶点，直线过点交的右支于两点，记的面积分别为，．且当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线交轴于点， （i）若，求证：为定值； （ii）在（i）条件下，若，当时，求的取值范围． 19．【解析】（1）由题意得， 当直线与轴垂直时，，即，即， 故，将其代入中，得， 所以双曲线方程为； （2）（i）显然直线不为0，故设直线为， 又直线交轴于点，故直线与轴不垂直，故， 与联立可得， ， 设，则， 过点交的右支于两点，故，不妨设， ，即， 即，解得，， ，同理可得 ，， 则； （ii）由于，由几何关系可得， 其中，故，整理可得， 又，， 所以， 由（i）知，，， 故，又，， 故，整理得，， 令，则，， 所以， 由对勾函数可知在上单调递增， 故. / 学科网（北京）股份有限公司 $