微专题03 用二元一次方程组解决问题题型归纳（专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

微专题03 用二元一次方程组解决问题题型归纳 题型一 和差倍分问题 1. 设两个未知数，分别表示两个相关量； 2. 依据 “和、差、倍、分” 的文字描述列两个等量关系； 3. 联立二元一次方程组求解。 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）某酒店客房部有三人间、双人间客房．三人间的价格为元/天，双人间的价格为元/天．为吸引游客，该酒店推出了团体入住五折优惠的活动．一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间和双人间．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费3020元，则该旅游团住了三人间和双人间客房各多少间？ 2．某微型货车最大载重量为，现接到装运一批设备的任务，已知1个A部件和3个B部件总质量为．2个A部件和1个B部件的质量相等，求1个A部件和1个B部件的质量各是多少千克． 3．学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．已知一包A食品含热量和蛋白质，一包B食品含热量和蛋白质，若要从这两种食品中恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 4．为落实2023年10月15日吕梁市人民政府办公室《关于印发吕梁市贯彻新发展理念全面提升城镇园林绿化水平实施方案》的通知，某小区积极进行小区绿化，计划种植A，B两种苗木共600株，已知种植A种苗木的数量比种植B种苗木的数量的一半多60株，求种植A，B两种苗木各多少株． 题型二 古代数学问题 1. 翻译古文为现代数学语言，提取两个等量关系； 2. 设两个未知量； 3. 按题意列二元一次方程组并解答。 1．（23-24七年级下·江苏南通·期中）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九十四文钱，甜果苦果买九十个，甜果一个三文钱，苦果三个一文钱，试问甜苦果各几个？ 2．（24-25七年级下·江苏常州·期末）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”请你用二元一次方程组解决该问题． 3. （23-24七年级下·江苏连云港·期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十二两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：现有甲袋子中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋子中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋子比乙袋子轻了12两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？ 4．（24-25七年级下·江苏南京·期中）列二元一次方程组解下面问题 鸡兔同笼，鸡和兔一共有56条腿，如果把鸡和兔的数量互换，一共有64条腿，那么原来有几只鸡，几只兔呢？ 题型三 行程问题 1. 路程 = 速度 × 时间，相遇：路程和 = 总路程；追及：路程差 = 相距路程；2. 设速度、时间或路程为未知数； 3. 按行程类型列两个方程组成方程组。 1．（2024秋•铁西区期末）列二元一次方程组解应用题： 小明早上骑自行车上学，中途因道路施工步行了一段路，到学校共用20分钟．他骑自行车的平均速度是200米/分，步行的平均速度是70米/分，他从家到学校的路程是3350米．求小明骑自行车和步行的时间分别为多少分钟？ 2．聪聪家离学校，他上学的路上，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用了，已知聪聪在上坡路上的平均速度是，在下坡路上的平均速度是．聪聪上坡、下坡各用了多长时间？ 3．小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路．假设他始终保持上坡路每分钟走，平路每分钟走，下坡路每分钟走，则他从家里到学校需，从学校到家里需．试问：小华家离学校多远？ 4．甲、乙二人在一环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4分钟两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长． 题型四 工程问题 1. 工作总量 = 工作效率 × 工作时间，常把总工作量看作 1； 2. 设工作效率、工作时间为未知数； 3. 依据合作 / 单独完成工作量列方程组。 1．（23-24七年级下·江苏·月考）甲、乙两个工人同时接受一批任务，上午工作的小时中，甲用了小时改装机器以提高工效，因此，上午工作结束时，甲比乙少做个零件；下午两人继续工作小时后，全天总计甲反而比乙多做个零件，问这一天甲、乙各做多少个零件？ 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙两人共同加工一批零件，原计划两人一起加工，11天可以完成．结果两人一起加工了7天后，乙另有任务，剩下的零件由甲单独完成．如果甲仍按原来的工作效率，那么还需7天才能完成．为了能按原计划完成任务，甲把工作效率提高了80%，这样不仅按计划完成了任务，还多加工了4个零件．请问原计划一共加工多少个零件？ 3．甲、乙两个工程队共同为某贫困村修建了米的村路，甲队单独修建一段时间后，乙队再继续单独修建，共用天完成任务．已知甲队每天修建米，乙队每天修建米．求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)张红同学根据题意，列出了二元一次方程组，那么这个方程组中未知数表示的是 ，未知数表示的是 ； (2)李芳同学设甲队修建了天，乙队修建了天，请你按照她的思路解答老师的问题． 4．安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天． (1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； (2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的； (3)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21800元，求甲工程队参加工作多少天？ 题型五 配套问题 1. 设生产两种配套物件的数量为未知数； 2. 抓住配套比例列等量关系（如 1 个 A 配 2 个 B，则 B 数量 = 2×A 数量）；3. 结合总数量列方程组求解。 1．一张学生课桌由一个桌面和四条桌腿组成．若1立方米木料可制作桌面50个或桌腿300条，现有15立方米木料，请你设计一下用多少木料制作桌面，用多少木料制作桌腿恰好配套． 2．某工厂车间有28个工人，生产A零件和零件，每人每天可生产A零件18个或零件12个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个零件，且每天生产的A零件和零件恰好配套．工厂将零件批发给商场时，求该工厂有多少工人生产A零件？ 3．某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只．现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 4．（23-24七年级·全国·课后作业）某服装厂生产一批运动服，6米长的布料可做上衣4件或裤子6条，计划用300米长的布料生产该批次运动服， (1)分别用多少米布料生产上衣和裤子才能恰好配套？ (2)在（1）的条件下，若该布料的价格是25元/米，运动服售价80元/套，则生产该批次运动服能盈利多少元？ 题型六 几何图形问题 1. 利用周长、面积、边长关系列等式； 2. 设图形边长、长宽等为未知数； 3. 结合几何公式与题目条件列方程组。 1．（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图，在长为，宽为的矩形空地上，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，求其中一个小矩形花圃的长与宽． 2．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图） (1)求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽； (2)求图中阴影部分的面积． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，由五个形状大小一样的小长方形木板拼成一个大的长方形．已知大长方形的周长为16． (1)请求出小长方形的周长； (2)在原来大长方形的基础上，再拼加三个小长方形木板（与原先五个小长方形木板形状大小相同）成为一个新的长方形，求所有可能拼成的大长方形的周长． 4．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为1的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求出每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起，此时高度是 ； (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 题型七 商品销售问题 1. 利润 = 售价 - 进价，售价 = 标价 × 折扣； 2. 设进价、售价、数量等为未知数； 3. 依据总价、利润关系列方程组。 1．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）端午节前夕，海口某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元？ 2．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）根据以下信息，解决问题． 信息1 某商店有哪吒盲盒、卡片、冰箱贴三种商品．已知1个盲盒的售价为40元． 信息2 小红在该商店购买了1个盲盒、1盒卡片和3个冰箱贴，一共花费146元． 信息3 2盒卡片的售价比1个冰箱贴的售价高16元． 问题：该商店1盒卡片和1个冰箱贴的售价分别是多少元？ 3．（23-24七年级下·江苏·期末）某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元． (1)求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？ (2)某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），该同学只带了400元钱，他能否在这两家超市都可以买下看中的这两样商品？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？ 4．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）元旦期间，某超市第一次用3800元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品40件，乙种商品160件．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵5元．甲种商品售价为20元/件，乙种商品售价为25元/件． (1)甲、乙两种商品每件进价各多少元？ (2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完，可获得多少利润？ (3)该超市第二次又购进同样数量的甲、乙两种商品，其中甲种商品每件的进价不变，乙种商品每件的进价少3元．甲种商品按原售价提价销售，乙种商品按原售价降价销售，如果第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多160元，求的值． 题型八 数字问题 1. 两位数 = 10× 十位数字 + 个位数字，三位数同理； 2. 设十位、个位等数位数字为未知数； 3. 按数字和、数字差、数的大小列方程组。 1．有一个两位正整数，十位数字的8倍比原数小9，将十位数字与个位数字对换位置后所形成的新两位数的3倍比原数大1，求原来的两位数．（列方程组解答） 2．（2025·江苏徐州·二模）算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数，个位数字与十位数字之和是百位数字的2倍；个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数． 3．有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字的和为8．若把十位数字和个位数字互换位置后，得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数小． (1)原来的两位数为_____，新的两位数为_____．（用含，的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 4．小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每过一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，它的个位数字比十位数字的倍大 也是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好互换了 是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个 如果设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为．那么： (1)小明时看到的两位数为 ； (2)小明时看到的两位数为 ；时看到的三位数为 ； (3)请你列二元一次方程，求小明在时看到里程碑上的两位数． 题型九 年龄问题 1. 年龄差始终不变；2. 设两人现在年龄为未知数，依据过去 / 未来年龄关系列方程；3. 联立方程组求解。 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）今年父亲的年龄是玲玲的倍，年后父亲的年龄是玲玲的倍，今年父亲、玲玲的年龄各是多少岁？ 3．根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 4．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 题型十 球场积分问题 1. 设胜、负 / 平场数为未知数，明确胜、负、平积分规则； 2. 依据 “总场数”“总积分” 列两个方程； 3. 解方程组并验证合理性。 1．某区中学生足球赛共赛8轮（即每队均需参赛8场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．在这次足球联赛中，猛虎队踢平的场数是所负场数的2倍，共得17分，求该队共胜多少场？ 2.（24-25七年级下·河南周口·期中）“消防安全”主题班会后，某学校举行了以“消防安全知多少”为主题的知识竞赛，竞赛分笔试和面试两个环节，两个环节的竞赛题都是25道，满分100分．计分规则：每道题答对得4分，答错扣1分，未答得0分． (1)笔试环节，甲同学答对的题数是未答的题数的5倍，得分为79分，则甲同学答对、答错、未答的题分别为多少道？ (2)面试环节，规定参赛者每道题都必须作答，总得分不少于90分可以被评为“消防安全小达人”．乙同学答对了23道题，他能被评为“消防安全小达人”吗？请说明理由． 3．（2026七年级下·江苏·专题练习）一次知识竞赛，共设20道选择题，每题必答．下表记录了3名参赛同学在这次比赛中的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 93 C 18 2 86 (1)在这次比赛中，答对一道题得 分，答错一道题扣 分； (2)同学G说他得了82分，你认为可能吗？通过列方程计算说明理由． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）明星队参加“希望杯”篮球比赛，在前8场比赛中的部分积分情况如表： 比赛场次 胜场 负场 积分 m 0 m m 8 3 5 11 (1)求本次比赛中，胜一场和负一场各积多少分？ (2)前8场比赛结束时，某队是否存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况？为什么？ (3)8场比赛以后还剩余m场比赛，当比赛结束时，该队是否存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况？如果存在，求出胜场场次；如果不存在，请说明理由． 题型十一 增长率（下降率问题） 1. 现量 = 原量 ×(1 + 增长率)，现量 = 原量 ×(1 - 下降率)； 2. 设原量、增长率 / 下降率为未知数； 3. 按变化前后数量关系列方程组。 1．近年来，随着新能源汽车保有量日益增多，某地大力推进公共充电桩的建设，计划今年第一季度新建快充桩与普充桩共计个，第二季度新建这两种充电桩的总量比第一季度增加，其中快充桩增加，普充桩增加，该地计划在第一季度新建快充桩与普充桩各多少个？ 2．某企业为了在复杂多变的市场环境中实现跨越式发展，争取通过增收减支使得今年企业的利润是去年的2倍，该企业的具体目标如下：保证今年总产值比去年增加，总支出比去年减少．已知该企业去年的利润（利润＝总产值-总支出）为200万元，求去年的总产值和总支出． 3．有两块试验田，原来可产花生470千克，改用良种后共产花生532千克，已知第一块田的产量比原来增加，第二块田的产量比原来增加，问这两块试验田原来各产花生多少千克？ 4．在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的菠萝喜获丰收．去年出售菠萝的利润是12000元，今年出售菠萝的收入比去年增加了，支出减少了，预计今年出售菠萝获得的利润比去年多11400元． (1)若设去年的收入为x元，支出为y元，则今年的收入为________元，支出为________元；（以上两空用含x，y的式子表示） (2)根据题意列方程组，求出x，y的值． 题型十二 分段收费问题 1. 明确收费分段标准，确定未知数对应分段区间； 2. 依据不同段费用和总费用列等量关系； 3. 列方程组计算对应量。 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）苏锡常南部高速已于2021年12月30日下午正式通车．过路费由太湖隧道收费和高速路段收费两部分组成：太湖隧道收费标准为每辆车一次性收费a元（太湖隧道全长10.8公里）：高速路段收费标准为每辆车b元/公里．下表是王老师两次驾车在苏锡常南部高速途经太湖隧道的行驶路程和收费情况： 第一次 第二次 行驶路程（公里） 30.8 70.8 交费（元） 26 48 (1)求a、b的值； (2)王老师第三次驾车在苏锡常南部高速途经太湖隧道时行驶50.8公里，需交多少元过路费？ 2．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 (1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元 及以下 a 0.80 超过不超过的部分 b 0.80 超过的部分 6.0 0.80 已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元． (1)求的值； (2)6月份小王家用水，应交水费多少元？ 4．某市快递收费标准因快递公司、包裹重量、目的地（省内/省外）和是否轻抛件（体积较大而重量较轻）而异，以下是2026年快递公司收费规则： 快递公司 省内 省外 首重（） 续重 首重（） 续重 顺丰 12元 2元/kg 22元 8元/kg 德邦 11元 3元/kg 11元 10元/kg 轻抛件计费规则：取实际重量和体积重的较大值进行计费，其中体积重体积． 例如：用顺丰寄往省内的轻抛件实际重量，体积为，其体积重，由于，则按收费共需支付元． 某商家需采购省内外的乒乓球（轻泡件）和乒乓球拍（非轻泡件），由于厂家不同，乒乓球与球拍需分开计算快递费用，其3月进货量如下： 种类 省内 省外 重量/kg 体积/ 重量/kg 体积/ 乒乓球 2 24000 0.5 6000 乒乓球拍 15 / 10 / (1)若该商家3月与顺丰合作，请计算3月的快递费用共需多少钱？ (2)因乒乓球热销，该商家计划于5月再采购一批乒乓球，由于仓库容量有限，暂拟采购，省内外均有订货，且全部发轻泡件并按体积重计费，预计用顺丰比德邦便宜50元，问该商家省内与省外的体积重分别是多少kg？ 题型十三 图表信息问题呢 1. 从表格、图像中提取两组关键数据； 2. 设变量，用图表信息建立两个方程； 3. 解方程组并还原到实际问题。 1．自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下表： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为元、元和元．求此行程的高速费实付多少元？比原价优惠了多少元？（用代数式表示） (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 2．（23-24七年级下·江苏·期末）团体购买公园门票票价如下： 购票人数 100人以上 每人门票（元） 13元 11元 9元 今有甲、乙两个旅行团，已知甲团人数少于50人，乙团人数不超过100人． 若分别购票，两团共计应付门票费1392元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费1080元． (1)请你判断乙团的人数是否也少于50人． (2)求甲、乙两旅行团各有多少人？ 3．某工厂将一批纸板按照甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形A板块和正方形B板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒，设有块纸板按甲方式进行加工，有y块纸板按乙方式进行加工； (1)补全表格 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 __________ 板块 __________ (2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，能做多少个礼盒？ (3)若现共有纸板块，还有之前剩余的板块4块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，则的最小值为__________．（请直接写出答案） 4．如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连．这家工厂从A地购买每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路的运价为1.5元／（吨·），铁路的运价为1.0元／（吨·）．设这批原料有吨，生产成的产品有吨． (1)完成下列表格的填写： A地 B地 公路运费／元 _________ 铁路运费／元 _________ (2)这批原料从A地运回，到生产成产品运到B地，若两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元，问这批原料有多少吨？ (3)已知生产这批产品，其它成本费为100000元，每吨的生产费为3000元，若这批产品的毛利润为元，直接写出的值．（规定：每月的毛利润=销售额原料费其它成本费生产费运输费） 题型十四 方案选择问题 1. 设两种方案的相关量为未知数； 2. 列方程组求临界值 / 最优解； 3. 比较不同方案结果，确定最佳方案。 1．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）已知：用3辆型车和1辆型车载满货物一次可运货13吨；用2辆型车和2辆型车载满货物一次可运货14吨，某物流公司现有31吨货物，现计划用、型车载运货物，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若型车每辆需租金50元/次，型车每辆需租金60元/次．请选出最省钱车方案，并求出最少租车费． 2．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 型机器人台数 型机器人台数 总费用（单位：万元） (1)求两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业用了万元购进以上型号智能机器人（两种型号智能机器人均有购买），请你求出所有购买方案 3．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元． (1)求甲、乙两种免洗手消毒液的单价． (2)该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将的散装免洗手消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中，两种空瓶均需装，且每瓶均装满，通过计算列出所需两种空瓶数量的购买方案． 4．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，6辆A型汽车、5辆B型汽车的进价共计980万元；3辆A型汽车、7辆B型汽车的进价共计940万元． (1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若端午节搞活动，该公司了解到A、B两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利0.6万元，销售1辆B型汽车可获利0.4万元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题03 用二元一次方程组解决问题题型归纳 题型一 和差倍分问题 1. 设两个未知数，分别表示两个相关量； 2. 依据 “和、差、倍、分” 的文字描述列两个等量关系； 3. 联立二元一次方程组求解。 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）某酒店客房部有三人间、双人间客房．三人间的价格为元/天，双人间的价格为元/天．为吸引游客，该酒店推出了团体入住五折优惠的活动．一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间和双人间．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费3020元，则该旅游团住了三人间和双人间客房各多少间？ 【答案】三人间客房和双人间客房分别为8间和13间 【分析】本题考查二元一次方程组的应用；设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间，理解题意，根据每间客房正好住满，共50人，住宿费3020元列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间， 依题意，得， 解这个方程组，得， 答：该旅游团住了三人间普通客房8间，双人间普通客房13间． 2．某微型货车最大载重量为，现接到装运一批设备的任务，已知1个A部件和3个B部件总质量为．2个A部件和1个B部件的质量相等，求1个A部件和1个B部件的质量各是多少千克． 【答案】1个A部件的质量为，1个B部件的质量为 【分析】设1个A部件的质量是，1个B部件的质量是，根据“1个A部件和3个B部件总质量为，2个A部件和1个B部件的质量相等”建立二元一次方程组求解 【详解】解：设1个A部件的质量是，1个B部件的质量是，根据题意得： ， ∴， 答：1个A部件的质量为，1个B部件的质量为． 3．学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．已知一包A食品含热量和蛋白质，一包B食品含热量和蛋白质，若要从这两种食品中恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 【答案】应选用A种食品4包，B种食品2包 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意列二元一次方程组计算即可． 【详解】解：设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意，得： ， 解得． 答：应选用A种食品4包，B种食品2包． 4．为落实2023年10月15日吕梁市人民政府办公室《关于印发吕梁市贯彻新发展理念全面提升城镇园林绿化水平实施方案》的通知，某小区积极进行小区绿化，计划种植A，B两种苗木共600株，已知种植A种苗木的数量比种植B种苗木的数量的一半多60株，求种植A，B两种苗木各多少株． 【答案】A种240株，B种360株 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设种植种苗木有株，种植种苗木有株，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】解：设种植种苗木有株，种植种苗木有株． 根据题意，得 解，得 答：种植A种苗木有240株，种植B种苗木有360株． 题型二 古代数学问题 1. 翻译古文为现代数学语言，提取两个等量关系； 2. 设两个未知量； 3. 按题意列二元一次方程组并解答。 1．（23-24七年级下·江苏南通·期中）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九十四文钱，甜果苦果买九十个，甜果一个三文钱，苦果三个一文钱，试问甜苦果各几个？ 【答案】甜果24个，苦果66个． 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，解题的关键在于能够准确读懂题意．设甜果x个，苦果y个，列方程组求解即可． 【详解】解：设甜果x个，苦果y个． 解得： 答：甜果24个，苦果66个． 2．（24-25七年级下·江苏常州·期末）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”请你用二元一次方程组解决该问题． 【答案】绳长尺，竿长尺 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“若用绳去量竿，则绳比竿长尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短尺”，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设绳长尺，竿长尺， 根据题意得： 解得： 答：绳长尺，竿长尺． 3．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十二两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：现有甲袋子中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋子中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋子比乙袋子轻了12两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？ 【答案】黄金每枚重33两、白银每枚重27两 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设黄金每枚重x两、白银每枚重y两，根据“黄金9枚白银11枚的重量相等，两袋互相交换1枚后，甲袋子比乙袋子轻了12两”建立二元一次方程组求解． 【详解】解：设黄金每枚重x两、白银每枚重y两． 由题意，得： 解得： 答：黄金每枚重33两、白银每枚重27两． 4．（24-25七年级下·江苏南京·期中）列二元一次方程组解下面问题 鸡兔同笼，鸡和兔一共有56条腿，如果把鸡和兔的数量互换，一共有64条腿，那么原来有几只鸡，几只兔呢？ 【答案】原来有12只鸡，8只兔 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设原来有x只鸡，y只兔，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】解：设原来有x只鸡，y只兔， 根据题意有：， 解得：， 则原来有12只鸡，8只兔 题型三 行程问题 1. 路程 = 速度 × 时间，相遇：路程和 = 总路程；追及：路程差 = 相距路程；2. 设速度、时间或路程为未知数； 3. 按行程类型列两个方程组成方程组。 1．（2024秋•铁西区期末）列二元一次方程组解应用题： 小明早上骑自行车上学，中途因道路施工步行了一段路，到学校共用20分钟．他骑自行车的平均速度是200米/分，步行的平均速度是70米/分，他从家到学校的路程是3350米．求小明骑自行车和步行的时间分别为多少分钟？ 【分析】设小明骑自行车的时间为x分钟，步行的时间为y分钟，利用路程＝速度×时间，结合小明到校所用时间及从家到学校的路程，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设小明骑自行车的时间为x分钟，步行的时间为y分钟， 根据题意得：， 解得：． 答：小明骑自行车的时间为15分钟，步行的时间为5分钟． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．聪聪家离学校，他上学的路上，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用了，已知聪聪在上坡路上的平均速度是，在下坡路上的平均速度是．聪聪上坡、下坡各用了多长时间？ 【答案】聪聪上坡用了，下坡用了 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设聪聪上坡用了，下坡用了，根据他跑步去学校共用了，已知聪聪在上坡路上的平均速度是，在下坡路上的平均速度是．列出方程组求解即可． 【详解】解：， 设聪聪上坡用了，下坡用了． 根据题意，得 解得 答：聪聪上坡用了，下坡用了． 3．小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路．假设他始终保持上坡路每分钟走，平路每分钟走，下坡路每分钟走，则他从家里到学校需，从学校到家里需．试问：小华家离学校多远？ 【答案】小华家离学校 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小华家到学校的上坡路长，平路长，根据时间路程速度结合小华从家里到学校需，从学校到家里需，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设小华家到学校的上坡路长，平路长， 根据等量关系，得：， 解得， 于是，上坡路与平路的长度之和为， 答：小华家离学校． 4．甲、乙二人在一环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4分钟两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长． 【分析】设乙的速度为x米/分，则甲的速度为2.5x米/分，环形场地的周长为y米，根据环形问题的数量关系，同时、同地、同向而行首次相遇快者走的路程﹣慢者走的路程＝环形周长建立方程求出其解即可． 【详解】解：设乙的速度为x米/分，则甲的速度为2.5x米/分，环形场地的周长为y米，由题意，得 ， 解得：， 乙的速度为：150米/分， 甲的速度为：2.5×150＝375米/分； 答：乙的速度为150米/分，甲的速度为375米/分，环形场地的周长为900米． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解环形问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时运用环形问题的数量关系建立方程是关键． 题型四 工程问题 1. 工作总量 = 工作效率 × 工作时间，常把总工作量看作 1； 2. 设工作效率、工作时间为未知数； 3. 依据合作 / 单独完成工作量列方程组。 1．（23-24七年级下·江苏·月考）甲、乙两个工人同时接受一批任务，上午工作的小时中，甲用了小时改装机器以提高工效，因此，上午工作结束时，甲比乙少做个零件；下午两人继续工作小时后，全天总计甲反而比乙多做个零件，问这一天甲、乙各做多少个零件？ 【答案】这一天甲做了个零件，乙做了个零件． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲每小时做个零件，乙每小时做个零件，由题意得，然后解方程组即可，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 【详解】解：设甲每小时做个零件，乙每小时做个零件， 由题意得， 解得：， 则甲一天做，乙一天做， 答：这一天甲做了个零件，乙做了个零件． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙两人共同加工一批零件，原计划两人一起加工，11天可以完成．结果两人一起加工了7天后，乙另有任务，剩下的零件由甲单独完成．如果甲仍按原来的工作效率，那么还需7天才能完成．为了能按原计划完成任务，甲把工作效率提高了80%，这样不仅按计划完成了任务，还多加工了4个零件．请问原计划一共加工多少个零件？ 【答案】385个 【分析】设甲原来每天做个，乙原来每天做个，根据甲工作效率提高之前和之后完成任务的两个等量关系列方程组即可． 【详解】解:设甲原来每天做个，乙原来每天做个，则原来任务数是个，根据题意，得 ： 解这个方程组得： (个) 答：原计划一共加工385个零件． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解应用题，解题的关键是从题中找出两个等量关系，再设未知数列方程组即可解题． 3．甲、乙两个工程队共同为某贫困村修建了米的村路，甲队单独修建一段时间后，乙队再继续单独修建，共用天完成任务．已知甲队每天修建米，乙队每天修建米．求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)张红同学根据题意，列出了二元一次方程组，那么这个方程组中未知数表示的是 ，未知数表示的是 ； (2)李芳同学设甲队修建了天，乙队修建了天，请你按照她的思路解答老师的问题． 【答案】(1)甲工程队共修建的米数，乙工程队共修建的米数 (2)甲工程队修建了天，乙工程队修建了天 【分析】（1）根据方程组中的等量关系结合题意，即可求解； （2）设甲队修建了天，乙队修建了天，根据题意，建立方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）甲工程队共修建的米数，乙工程队共修建的米数 （2）根据题意得：， 解得，． 答：甲工程队修建了天，乙工程队修建了天． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系是解题的关键． 4．安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天． (1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； (2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的； (3)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21800元，求甲工程队参加工作多少天？ 【答案】(1)40，15 (2)6 (3)16 【分析】（1）设乙队单独完成此项工程需要天，甲队单独完成此项工程需要天，依题意得，，解得，，则； （2）由（1）可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为，设还需要再合作天可完成此项工程的，依题意得，，计算求解即可； （3）设甲单独工作天，甲乙合作工作天，依题意得，，计算求出的值，然后根据，计算求解甲工程队参加工作的天数． 【详解】（1）解：设乙队单独完成此项工程需要天，甲队单独完成此项工程需要天， 依题意得，， 解得，， ∴， ∴甲、乙两队单独完成此项工程各需要40、15天； （2）解：由（1）可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为， 设还需要再合作天可完成此项工程的， 依题意得，， 解得，， ∴还要再合作6天可完成此项工程； （3）解：设甲单独工作天，甲乙合作工作天， 依题意得，， 解得，， ∵， ∴甲工程队参加工作16天． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程（组）． 题型五 配套问题 1. 设生产两种配套物件的数量为未知数； 2. 抓住配套比例列等量关系（如 1 个 A 配 2 个 B，则 B 数量 = 2×A 数量）；3. 结合总数量列方程组求解。 1．一张学生课桌由一个桌面和四条桌腿组成．若1立方米木料可制作桌面50个或桌腿300条，现有15立方米木料，请你设计一下用多少木料制作桌面，用多少木料制作桌腿恰好配套． 【答案】用9立方米木料制作桌面，用6立方米木料制作桌腿恰好配套． 【分析】设用x立方米木料制作桌面，用y立方米木料制作桌腿恰好配套，根据条件的数量关系建立方程组求出其解即可． 【详解】设用x立方米木料制作桌面，用y立方米木料制作桌腿恰好配套，由题意得： ， 解得：． 答：用9立方米木料制作桌面，用6立方米木料制作桌腿恰好配套． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解决实际问题，寻找配套问题的等量关系建立方程是关键． 2．某工厂车间有28个工人，生产A零件和零件，每人每天可生产A零件18个或零件12个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个零件，且每天生产的A零件和零件恰好配套．工厂将零件批发给商场时，求该工厂有多少工人生产A零件？ 【答案】该工厂有7名工人生产A零件． 【分析】设该工厂有x名工人生产A零件，共生产A零件18x个，则有（28-x）名工人生产B零件，共生产B零件12（28-x）个，根据一个A零件配两个B零件可知，每天生产的两种零件恰好配套，则生产B零件的个数是A零件个数的2倍，根据这一相等关系列方程求出x的值即可． 【详解】解：设该工厂有x名工人生产A零件，共生产A零件18x个，则有（28-x）名工人生产B零件，共生产B零件12（28-x）个， 根据题意得2×18x=12（28-x），解得x=7， 答：该工厂有7名工人生产A零件． 【点睛】本题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解题的关键是通过分析探究找出配套问题的相等关系且列方程求解． 3．某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只．现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 【答案】用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖 【分析】设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍（注意：别把2倍的关系写反了），根据这两个等量关系列出方程组解答即可． 【详解】解：设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套， 根据题意，列方程组得， 解方程组得， 答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套． 【点睛】本题属于二元一次方程组中的配套问题，生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等． 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键． 4．（23-24七年级·全国·课后作业）某服装厂生产一批运动服，6米长的布料可做上衣4件或裤子6条，计划用300米长的布料生产该批次运动服， (1)分别用多少米布料生产上衣和裤子才能恰好配套？ (2)在（1）的条件下，若该布料的价格是25元/米，运动服售价80元/套，则生产该批次运动服能盈利多少元？ 【答案】(1)用180米布料生产上衣，120米布料生产裤子 (2)2100元 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用以及有理数混合运算的实际应用． （1）设用x米布料生产上衣，y米布料生产裤子，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案． （2）先计算出总的运动服套数，再根据利润等于总盈利减去总成本计算即可． 【详解】（1）解：设用x米布料生产上衣，y米布料生产裤子， 由题意可得： ， 解得：， 答：用180米布料生产上衣，120米布料生产裤子． （2）由（1）可得300米布料可生产上衣（件），生产裤子（件）， ∴可生产120套运动服， （元）． 答：生产该批次运动服能盈利2100元． 题型六 几何图形问题 1. 利用周长、面积、边长关系列等式； 2. 设图形边长、长宽等为未知数； 3. 结合几何公式与题目条件列方程组。 1．（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图，在长为，宽为的矩形空地上，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，求其中一个小矩形花圃的长与宽． 【答案】一个小花圃的长为，宽为 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设小花圃的长为，宽为，根据大矩形的长和宽与小矩形的长和宽之间的关系，列出方程组，进行求解即可． 【详解】解：设小花圃的长为，宽为，由题意和图，可得： ， 解得， 答：一个小花圃的长为，宽为． 2．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图） (1)求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)小长方形的长为10，宽为3 (2)82 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用； （1）设小长方形的长为，宽为，结合图形性质建立方程组解题即可； （2）利用割补法可得阴影部分的面积等于大的长方形面积减去9个形状、大小都相同的小长方形面积，进一步列式计算即可. 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得，解得， 答：小长方形的长为10，宽为3. （2）解：． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，由五个形状大小一样的小长方形木板拼成一个大的长方形．已知大长方形的周长为16． (1)请求出小长方形的周长； (2)在原来大长方形的基础上，再拼加三个小长方形木板（与原先五个小长方形木板形状大小相同）成为一个新的长方形，求所有可能拼成的大长方形的周长． 【答案】(1)小长方形的周长为8 (2)所有可能拼成的大长方形的周长为22或20 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系列出方程组是解题的关键． （1）设小长方形的长为，宽为，根据图形列出方程组，解出的值，即可求出小长方形的周长； （2）根据题意拼出符合题意的图形，再求出大长方形的周长即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 由图可得，， 解得：， 小长方形的长为3，宽为1， 小长方形的周长为． （2）解：如图1的摆放方式： 则大长方形的周长为； 如图2的摆放方式： 则大长方形的周长为； 如图3的摆放方式： 则大长方形的周长为； 综上所述，所有可能拼成的大长方形的周长为22或20． 4．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为1的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求出每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起，此时高度是 ； (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 【答案】(1)15 (2)20 (3)64 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出每个小长方形的面积； （2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，根据图示数据列二元一次方程组，求出a，b的值，即可求解； （3）设小长方形的长为x，宽为y，根据长方形的长为19，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 每个小长方形的面积为：； （2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为， 根据题意，得， 解得， 则13个纸杯整齐叠放在一起的高度为：， 故答案为：20； （3）解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得， 解得， ∴阴影部分的面积为：． 题型七 商品销售问题 1. 利润 = 售价 - 进价，售价 = 标价 × 折扣； 2. 设进价、售价、数量等为未知数； 3. 依据总价、利润关系列方程组。 1．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）端午节前夕，海口某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元？ 【答案】A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程组．设A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，根据“第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元”列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元， 根据题意得，， 解得， 故A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）根据以下信息，解决问题． 信息1 某商店有哪吒盲盒、卡片、冰箱贴三种商品．已知1个盲盒的售价为40元． 信息2 小红在该商店购买了1个盲盒、1盒卡片和3个冰箱贴，一共花费146元． 信息3 2盒卡片的售价比1个冰箱贴的售价高16元． 问题：该商店1盒卡片和1个冰箱贴的售价分别是多少元？ 【答案】一盒卡片的售价为22元，一个冰箱贴的售价为28元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是读懂题意，列出方程组； 设1盒卡片的售价为x元，1个冰箱贴的售价为y元，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设1盒卡片的售价为x元，1个冰箱贴的售价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：一盒卡片的售价为22元，一个冰箱贴的售价为28元． 3．（23-24七年级下·江苏·期末）某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元． (1)求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？ (2)某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），该同学只带了400元钱，他能否在这两家超市都可以买下看中的这两样商品？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？ 【答案】(1)该同学看中的随身听单价是360元，书包单价是92元 (2)在这两家超市都可以买下看中的这两样商品，且在A超市购买比较省钱 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用以及最优化方案问题，正确理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设该同学看中的随身听单价是元，书包单价是元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可获得答案； （2）结合题意分别计算在超市A、超市B买下看中的这两样商品所需费用，即可获得答案． 【详解】（1）解：设该同学看中的随身听单价是元，书包单价是元， 根据题意，可得，解得， 答：设该同学看中的随身听单价是360元，书包单价是92元； （2）解：根据题意，在超市A买下看中的这两样商品，费用为（元）， 在超市B买下看中的这两样商品，可有， （元）， 因为都不过400元， 所以在这两家超市都可以买下看中的这两样商品， 由于， 所以在A超市购买比较省钱． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）元旦期间，某超市第一次用3800元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品40件，乙种商品160件．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵5元．甲种商品售价为20元/件，乙种商品售价为25元/件． (1)甲、乙两种商品每件进价各多少元？ (2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完，可获得多少利润？ (3)该超市第二次又购进同样数量的甲、乙两种商品，其中甲种商品每件的进价不变，乙种商品每件的进价少3元．甲种商品按原售价提价销售，乙种商品按原售价降价销售，如果第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多160元，求的值． 【答案】(1)甲15元/件，乙20元/件 (2)1000元 (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意、搞清楚进价、销售量、利润之间的关系，属于中考常考题型． （1）设该超市第一次购进甲种商品每件x元，乙种商品每件y元．由题意可得：，求解即可解决问题． （2）求出甲、乙两种商品的利润和即可． （3）根据第二次的利润元，列出方程即可． 【详解】（1）解：设甲种商品每件进价x元，乙种商品每件进价y元， 由题意可得：， 解得：， 答：甲种商品每件进价15元，乙种商品每件进价20元； （2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得的利润元． 答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得1000元的利润． （3）由题意， 解得． 答：m的值是10． 题型八 数字问题 1. 两位数 = 10× 十位数字 + 个位数字，三位数同理； 2. 设十位、个位等数位数字为未知数； 3. 按数字和、数字差、数的大小列方程组。 1．有一个两位正整数，十位数字的8倍比原数小9，将十位数字与个位数字对换位置后所形成的新两位数的3倍比原数大1，求原来的两位数．（列方程组解答） 【答案】原来两位数为41． 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系． 设个位数字是x，十位数字是y，根据题意即可列出二元一次方程组进行求解． 【详解】解：设原数的个位数字是x，十位数字是y． 根据题意，得， 解得． 故原来两位数为41． 2．（2025·江苏徐州·二模）算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数，个位数字与十位数字之和是百位数字的2倍；个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数． 【答案】这个三位数是648 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键； 由题意可知：这个三位数的百位数字是6，设这个三位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出关于x、y的方程组，解方程组即可． 【详解】解：由题意可知：这个三位数的百位数字是6， 设这个三位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意可得： ，即， 解得：， ∴这个三位数是648； 答：这个三位数是648． 3．有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字的和为8．若把十位数字和个位数字互换位置后，得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数小． (1)原来的两位数为_____，新的两位数为_____．（用含，的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了列代数式和二元一次方程组的应用，正确理解题意，掌握数字的表示方法即可； （1）根据数字的表示方法即可求解； （2）由题意，得即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：原来的两位数为；新的两位数为； 故答案为：； （2）解：由题意，得         解得             答：原来的两位数为 4．小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每过一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，它的个位数字比十位数字的倍大 也是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好互换了 是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个 如果设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为．那么： (1)小明时看到的两位数为 ； (2)小明时看到的两位数为 ；时看到的三位数为 ； (3)请你列二元一次方程，求小明在时看到里程碑上的两位数． 【答案】(1)； (2)，； (3)，小明在时看到里程碑上的两位数为． 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列代数式即可； （）根据题意列代数式即可； （）由题意得，然后解方程组即可． 【详解】（1）解：设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为， ∴小明时看到的两位数为， 故答案为：； （2）解：由题意可得，小明时看到的两位数为，时看到的三位数为， 故答案为：，； （3）解：由题意得：， 解得：， ∴小明在时看到里程碑上的两位数为． 题型九 年龄问题 1. 年龄差始终不变；2. 设两人现在年龄为未知数，依据过去 / 未来年龄关系列方程；3. 联立方程组求解。 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 【答案】小明现在8岁，小亮现在12岁 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解答的关键． 设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁，根据题意列出方程组，然后解方程组即可解答． 【详解】解：设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁， 根据题意，得 解得 答：小明现在8岁，小亮现在12岁． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）今年父亲的年龄是玲玲的倍，年后父亲的年龄是玲玲的倍，今年父亲、玲玲的年龄各是多少岁？ 【答案】今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁，根据题意列出方程，然后解出方程即可． 【详解】解：设今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁， 根据题意得，，解得：， 答：今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁． 3．根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 【答案】大头儿子现在的年龄为10岁 【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可． 【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁， 由题意得：， 解得：， 答：大头儿子现在的年龄为10岁． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组． 4．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子 【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可． （2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案． 【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． 题型十 球场积分问题 1. 设胜、负 / 平场数为未知数，明确胜、负、平积分规则； 2. 依据 “总场数”“总积分” 列两个方程； 3. 解方程组并验证合理性。 1．某区中学生足球赛共赛8轮（即每队均需参赛8场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．在这次足球联赛中，猛虎队踢平的场数是所负场数的2倍，共得17分，求该队共胜多少场？ 【答案】该队共胜5场． 【分析】设负的场数为x，胜的场数为y，则平的场数为2x，等量关系为：胜的场数的得分+平的场数的得分＝17，胜场数+平场数+负场数＝8，把相关数值代入求解即可． 【详解】解：设负的场数为x场，胜的场数为y场，由题意得 ， 解得． 答：该队共胜5场． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． 2.（24-25七年级下·河南周口·期中）“消防安全”主题班会后，某学校举行了以“消防安全知多少”为主题的知识竞赛，竞赛分笔试和面试两个环节，两个环节的竞赛题都是25道，满分100分．计分规则：每道题答对得4分，答错扣1分，未答得0分． (1)笔试环节，甲同学答对的题数是未答的题数的5倍，得分为79分，则甲同学答对、答错、未答的题分别为多少道？ (2)面试环节，规定参赛者每道题都必须作答，总得分不少于90分可以被评为“消防安全小达人”．乙同学答对了23道题，他能被评为“消防安全小达人”吗？请说明理由． 【答案】(1)甲同学答对20道题，答错1道题，未答4道题 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键． （1）设甲同学答对x道题，答错y道题，则未答道题，根据甲同学答对的题数是未答的题数的5倍，得分为79分，即可列出二元一次方程组，即可解答． （2）根据题意，求出乙同学的总得分，即可解答． 【详解】（1）解：设甲同学答对x道题，答错y道题，则未答道题． 根据题意，得， 解得， ． 答：甲同学答对20道题，答错1道题，未答4道题． （2）根据题意，乙同学答对了23道题，答错了2道题． 他的总得分． 因为乙同学的总得分为90， 所以，乙同学能被评为“消防安全小达人”． 3．（2026七年级下·江苏·专题练习）一次知识竞赛，共设20道选择题，每题必答．下表记录了3名参赛同学在这次比赛中的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 93 C 18 2 86 (1)在这次比赛中，答对一道题得 分，答错一道题扣 分； (2)同学G说他得了82分，你认为可能吗？通过列方程计算说明理由． 【答案】(1)5；2 (2)同学G不可能得82分，见解析 【分析】（1）设答对一道题得x分，答错一道题扣y分，根据表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）假设同学G得了82分，设同学G答对了m道题，则答错了道题，根据得分答对题目数答错题目数，列出关于m的一元一次方程，解之可得出m值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设答对一道题得x分，答错一道题扣y分， 由题意得：， 解得：， 即答对一道题得5分，答错一道题扣2分， 故答案为：5；2； （2）解：同学G不可能得82分，理由如下： 假设同学G得了82分， 设同学G答对了m道题，则答错了道题， 根据题意得：， 解得， 又∵m为自然数， ∴不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 即同学G不可能得82分． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）明星队参加“希望杯”篮球比赛，在前8场比赛中的部分积分情况如表： 比赛场次 胜场 负场 积分 m 0 m m 8 3 5 11 (1)求本次比赛中，胜一场和负一场各积多少分？ (2)前8场比赛结束时，某队是否存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况？为什么？ (3)8场比赛以后还剩余m场比赛，当比赛结束时，该队是否存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况？如果存在，求出胜场场次；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)胜一场积2分，负一场积1分 (2)不存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况，理由见解析 (3)存在，胜场次数是 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答，联系实际情况． （1）根据表格中的数据可以列出相应的方程组，从而可以求得胜一场和负一场各积多少分； （2）先判断，然后说明理由，可以用假设存在，求出相应的胜场次数，注意胜场次数必须是整数； （3）首先判断，然后根据题意求出相应的胜场次数，本题得以解决． 【详解】（1）解：设胜一场积分，负一场积分， ，得， 答：胜一场积2分，负一场积1分； （2）解：不存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况， 理由：假设当前8场胜场时，胜场总积分等于它的负场总积分， ， 解得，， 是整数， 不存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况； （3）解：存在胜场总积分等于它的负场总积分的情况， 设在比赛结束后，胜了场， ， 解得，， 当是正整数且是3的倍数时，胜场总积分等于它的负场总积分，胜场次数是． 、 题型十一 增长率（下降率问题） 1. 现量 = 原量 ×(1 + 增长率)，现量 = 原量 ×(1 - 下降率)； 2. 设原量、增长率 / 下降率为未知数； 3. 按变化前后数量关系列方程组。 1．近年来，随着新能源汽车保有量日益增多，某地大力推进公共充电桩的建设，计划今年第一季度新建快充桩与普充桩共计个，第二季度新建这两种充电桩的总量比第一季度增加，其中快充桩增加，普充桩增加，该地计划在第一季度新建快充桩与普充桩各多少个？ 【答案】设该地计划在第一季度新建快充桩个，则新建普充桩个 【分析】设该地计划在第一季度新建快充桩x个，普充桩y个，根据该地第一季度及第二季度新建这两种充电桩数量之间的关系，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设该地计划在第一季度新建快充桩x个，普充桩y个， 根据题意得：， 解得：． 答：该地计划在第一季度新建快充桩200个，普充桩300个． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．某企业为了在复杂多变的市场环境中实现跨越式发展，争取通过增收减支使得今年企业的利润是去年的2倍，该企业的具体目标如下：保证今年总产值比去年增加，总支出比去年减少．已知该企业去年的利润（利润＝总产值-总支出）为200万元，求去年的总产值和总支出． 【答案】去年的总产值为600万元，总支出为400万元 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用， 设去年的总产值为万元，总支出为万元，则今年的总产值为万元，总支出为万元，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设去年的总产值为万元，总支出为万元，则今年的总产值为万元，总支出为万元， 根据题意得 解得 答：去年的总产值为600万元，总支出为400万元． 3．有两块试验田，原来可产花生470千克，改用良种后共产花生532千克，已知第一块田的产量比原来增加，第二块田的产量比原来增加，问这两块试验田原来各产花生多少千克？ 【答案】第一块试验田原来产花生250千克，第二块试验田原来产花生220千克 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据已知条件列出方程组是解题的关键． 设第一块试验田原来产花生千克，第二块试验田原来产花生千克，根据题意列方程组，解方程组即可． 【详解】解：设第一块试验田原来产花生千克，第二块试验田原来产花生千克， 根据题意列方程组得： 解得 答：第一块试验田原来产花生250千克，第二块试验田原来产花生220千克． 4．在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的菠萝喜获丰收．去年出售菠萝的利润是12000元，今年出售菠萝的收入比去年增加了，支出减少了，预计今年出售菠萝获得的利润比去年多11400元． (1)若设去年的收入为x元，支出为y元，则今年的收入为________元，支出为________元；（以上两空用含x，y的式子表示） (2)根据题意列方程组，求出x，y的值． 【答案】(1)， (2)去年的收入为元，支出为元 【分析】（1）根据今年出售菠萝的收入比去年增加了，支出减少了，可以表示出今年的收入和支出； （2）依题意，先列出方程组，再解出x，y的值，即可作答． 本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的知识解答． 【详解】（1）解：今年的收入为：（元）， 支出为：（元）， 故答案为：，； （2）解：由题意可得， ， 解得， ∴去年的收入为元，支出为元． 题型十二 分段收费问题 1. 明确收费分段标准，确定未知数对应分段区间； 2. 依据不同段费用和总费用列等量关系； 3. 列方程组计算对应量。 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）苏锡常南部高速已于2021年12月30日下午正式通车．过路费由太湖隧道收费和高速路段收费两部分组成：太湖隧道收费标准为每辆车一次性收费a元（太湖隧道全长10.8公里）：高速路段收费标准为每辆车b元/公里．下表是王老师两次驾车在苏锡常南部高速途经太湖隧道的行驶路程和收费情况： 第一次 第二次 行驶路程（公里） 30.8 70.8 交费（元） 26 48 (1)求a、b的值； (2)王老师第三次驾车在苏锡常南部高速途经太湖隧道时行驶50.8公里，需交多少元过路费？ 【答案】(1)a的值是15，b的值是0.55； (2)37元 【分析】（1）根据表格数据列方程组即可解答； （2）由（1）的结果即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 解得， 答：a的值是15，b的值是0.55； （2）解：在苏锡常南部高速途经太湖隧道时行驶50.8公里，需交过路费为15＋（50.8−10.8）×0.55＝15＋22＝37（元）， 答：需交37元过路费． 【点睛】本题考查了一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组解决问题． 2．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 (1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 【答案】(1)a的值为，b的值为 (2)度 【分析】（1）根据“小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设小明家7月份用电量为x度，根据7月份小明家缴纳电费元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：a的值为，b的值为． （2）解：若一个月用电量为度，电费为（元）， ∵， ∴小明家7月份用电量超过度． 设小明家7月份用电量为x度， 依题意得：， 解得：． 答：小明家7月份的用电量为度． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 每户每月用水量 每吨自来水销售价格/元 每吨污水处理价格/元 及以下 a 0.80 超过不超过的部分 b 0.80 超过的部分 6.0 0.80 已知小王家2024年4月份用水，交水费83元；5月份用水，交水费108元． (1)求的值； (2)6月份小王家用水，应交水费多少元？ 【答案】(1)a值为值为4.2 (2)146.6元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组． （1）根据题意和表格可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出a、b的值； （2）根据题意可以列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ， 解得，， 即a值为值为4.2； （2）根据题意知，吨的水费为：， 答：6月份小王家用水，应交水费元． 4．某市快递收费标准因快递公司、包裹重量、目的地（省内/省外）和是否轻抛件（体积较大而重量较轻）而异，以下是2026年快递公司收费规则： 快递公司 省内 省外 首重（） 续重 首重（） 续重 顺丰 12元 2元/kg 22元 8元/kg 德邦 11元 3元/kg 11元 10元/kg 轻抛件计费规则：取实际重量和体积重的较大值进行计费，其中体积重体积． 例如：用顺丰寄往省内的轻抛件实际重量，体积为，其体积重，由于，则按收费共需支付元． 某商家需采购省内外的乒乓球（轻泡件）和乒乓球拍（非轻泡件），由于厂家不同，乒乓球与球拍需分开计算快递费用，其3月进货量如下： 种类 省内 省外 重量/kg 体积/ 重量/kg 体积/ 乒乓球 2 24000 0.5 6000 乒乓球拍 15 / 10 / (1)若该商家3月与顺丰合作，请计算3月的快递费用共需多少钱？ (2)因乒乓球热销，该商家计划于5月再采购一批乒乓球，由于仓库容量有限，暂拟采购，省内外均有订货，且全部发轻泡件并按体积重计费，预计用顺丰比德邦便宜50元，问该商家省内与省外的体积重分别是多少kg？ 【答案】(1)3月的快递费用共需174元 (2)该商家省内体积重是，省外体积重是 【分析】本题考查有理数混合运算与二元一次方程组的实际应用. （1）先根据轻抛件计费规则确定各包裹的计费重量，再结合顺丰的收费标准分别计算各部分费用，求和得到总费用； （2）设省内和省外的体积重分别为未知数，根据总体积和费用差列出二元一次方程组，求解即可得到结果． 【详解】（1）解：计算省内乒乓球费用：体积重，，按计费，费用（元）； 计算省外乒乓球费用：体积重，，按计费，费用（元）； 计算省内乒乓球拍费用：非轻抛件按计费，费用（元）； 计算省外乒乓球拍费用：非轻抛件按计费，费用（元）； 总费用（元）； 答：3月的快递费用共需174元； （2）解：， 设该商家省内体积重为，省外体积重为， 由体积重公式可得总体积满足， 整理得， 计算顺丰总费用：， 计算德邦总费用：， 由顺丰比德邦便宜50元，可得， 整理得， 联立方程组得 解得， 答：该商家省内体积重是，省外体积重是． 题型十三 图表信息问题呢 1. 从表格、图像中提取两组关键数据； 2. 设变量，用图表信息建立两个方程； 3. 解方程组并还原到实际问题。 1．自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下表： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为元、元和元．求此行程的高速费实付多少元？比原价优惠了多少元？（用代数式表示） (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 【答案】(1)实际支付高速费用元，比原价优惠了元． (2)此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是45.9元和55.1元 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：此次行程高速费原价总共为：元， 实际支付高速费用：元， 优惠了元； （2）解：设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元， 由题意得： 解得： 答：此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是元和元． 【点睛】本题考查了代数式、二元一次方程组，掌握二元一次方程是解题的关键． 2．（23-24七年级下·江苏·期末）团体购买公园门票票价如下： 购票人数 100人以上 每人门票（元） 13元 11元 9元 今有甲、乙两个旅行团，已知甲团人数少于50人，乙团人数不超过100人． 若分别购票，两团共计应付门票费1392元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费1080元． (1)请你判断乙团的人数是否也少于50人． (2)求甲、乙两旅行团各有多少人？ 【答案】(1)乙旅行团的人数超过50 (2)甲旅行团有36人，乙旅行团有84人 【分析】本题考查解应用题，涉及逻辑推理、二元一次方程组解应用题等知识，读懂题意，根据题意描述计算推理，准确列出二元一次方程组是解决问题的关键． （1）假设乙旅行团的人数也少于50，根据题意，结合票价，计算一起购票的花费即可得出答案. （2）由（1）知乙旅行团的人数超过50，设甲旅行团有人，乙旅行团有人，则当时，列方程组，根据即可判断，重新列方程组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：假设乙团人数也少于50人， 因为甲团人数少于50人， 所以两团分开购票，票价均为13元。则总花费为元。 可得两团总人数为，不是整数，与实际不符。 所以假设不成立，乙团的人数超过50人。 （2）解：由（1）知乙旅行团的人数超过50， 设甲旅行团有人，乙旅行团有人，则 当时， ， ，不是整数，故 ， 解得， 答：甲旅行团有36人，乙旅行团有84人． 3．某工厂将一批纸板按照甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形A板块和正方形B板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒，设有块纸板按甲方式进行加工，有y块纸板按乙方式进行加工； (1)补全表格 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 __________ 板块 __________ (2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，能做多少个礼盒？ (3)若现共有纸板块，还有之前剩余的板块4块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，则的最小值为__________．（请直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)使加工出的A，B板块恰好用完，能做个礼盒 (3)9 【分析】本题考查认识立体图形，列代数式以及求代数式的值，理解“裁剪方式与A，B板块恰好用完”之间的关系是解决问题的关键． （1）根据甲、乙两种加工方式所裁剪的A版块、B版块的数量进行计算即可； （2）设未知数，列方程组求解即可； （3）利用二元一次方程组的正整数解进行解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 板块 （2）解：由题意可得， ， 解得：， 即有8块采用甲方式进行加工，6块采用乙方式加工，使加工出的A，B板块恰好用完， 此时，礼盒的个数为（个）； （3）解：由题意得，， 解得， ∵x、a都是正整数， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，是整数，符合题意， ∵x、a都是正整数， ∴a的最小整数值为9，此时，A、B分别有32块和16块，这样使礼盒制作完毕后的板块恰好用完． 4．如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连．这家工厂从A地购买每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路的运价为1.5元／（吨·），铁路的运价为1.0元／（吨·）．设这批原料有吨，生产成的产品有吨． (1)完成下列表格的填写： A地 B地 公路运费／元 _________ 铁路运费／元 _________ (2)这批原料从A地运回，到生产成产品运到B地，若两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元，问这批原料有多少吨？ (3)已知生产这批产品，其它成本费为100000元，每吨的生产费为3000元，若这批产品的毛利润为元，直接写出的值．（规定：每月的毛利润=销售额原料费其它成本费生产费运输费） 【答案】(1)； (2)500吨 (3)790500元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）利用从A地到工厂的铁路运费=铁路的运价×从A地到工厂的铁路长度×这批原料的质量，可用含x的代数式表示出从A地到工厂的铁路运费；利用从工厂到B地的公路运费=公路的运价×从工厂到B地的公路长度×生产成的产品的质量，可用含y的代数式表示出从工厂到B地的公路运费； （2）根据“两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）利用这批产品的毛利润=销售额原料费其它成本费生产费运输费，即可求出w的值． 【详解】（1）解：∵公路的运价为1.5元/（吨•），铁路的运价为1.0元/（吨•），这批原料有x吨，生产成的产品有y吨， ∴从A地到工厂的铁路运费为（元），从工厂到B地的公路运费为（元）． 故答案为：；． （2）解：根据题意得： ， 解得：， 答：这批原料有500吨． （3）解：根据题意得： ． 答：w的值为790500元． 题型十四 方案选择问题 1. 设两种方案的相关量为未知数； 2. 列方程组求临界值 / 最优解； 3. 比较不同方案结果，确定最佳方案。 1．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）已知：用3辆型车和1辆型车载满货物一次可运货13吨；用2辆型车和2辆型车载满货物一次可运货14吨，某物流公司现有31吨货物，现计划用、型车载运货物，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若型车每辆需租金50元/次，型车每辆需租金60元/次．请选出最省钱车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨 (2)有3种租车方案：方案一：A型车9辆，B型车1辆；方案二：A型车5辆，B型车4辆；方案三：A型车1辆，B型车7辆． (3)最省钱的租车方案是方案三：A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为470元 【分析】（1）根据“用3辆型车和1辆型车载满货物一次可运货13吨；用2辆型车和2辆型车载满货物一次可运货14吨”，列方程组求解即可； （2）设租A型车a辆，B型车b辆，则，解此二元一次方程，求出其整数解，得到三种租车方案； （3）根据（2）中所求方案，利用A型车每辆需租金50元/次，B型车每辆需租金60元/次，分别求出租车费用比较即可． 【详解】（1）解：设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨， 依题意列方程组得： ， 解方程组，得：， 答：1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨． （2）解：设租A型车a辆，B型车b辆， 则， ∵a、b都是正整数， ∴或或 答：有3种租车方案： 方案一：A型车9辆，B型车1辆； 方案二：A型车5辆，B型车4辆； 方案三：A型车1辆，B型车7辆． （3）∵A型车每辆需租金50元/次，B型车每辆需租金60元/次， ∴方案一需租金：（元） 方案二需租金：（元） 方案三需租金：（元） ∵ ∴最省钱的租车方案是方案三：A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为470元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，解题的关键是理解题意，找出题中的数量关系，正确列出方程或方程组． 2．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 型机器人台数 型机器人台数 总费用（单位：万元） (1)求两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业用了万元购进以上型号智能机器人（两种型号智能机器人均有购买），请你求出所有购买方案 【答案】(1)型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元 (2)方案一：购进型智能机器人台，型智能机器人台；方案二：购进型智能机器人台，型智能机器人台 【分析】（）设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元，根据题意列出方程组即可求解； （）设购进型智能机器人台，型智能机器人台，根据题意列出二元一次方程，求出二元一次方程的解即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元， 由题意得，， 解得， 答：型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元； （2）解：设购进型智能机器人台，型智能机器人台， 由题意得，， 化简得，， ∵为正整数， ∴或， ∴共有种购买方案： 方案一：购进型智能机器人台，型智能机器人台； 方案二：购进型智能机器人台，型智能机器人台． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元． (1)求甲、乙两种免洗手消毒液的单价． (2)该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将的散装免洗手消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中，两种空瓶均需装，且每瓶均装满，通过计算列出所需两种空瓶数量的购买方案． 【答案】(1)甲种免洗手消毒液的单价为18元，乙种免洗手消毒液的单价为25元． (2)见详解 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，根据“购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． （2）设购买a个最大容量的空瓶， b个最大容量的空瓶，根据要分装的免洗手消毒液共，即可得出关于a、b的二元一次方程，结合a、b均为正整数，即可得到各购买方案． 【详解】（1）解：设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元． 依题意得： 解得： 答：甲种免洗手消毒液的单价为18元，乙种免洗手消毒液的单价25元． （2）解：设购买a个最大容量300ml的空瓶， b个最大容量的空瓶． 依题意得： ∴ 又∵a、b均为正整数 ∴ ∴共有3种购买方案 方案1：购买15个最大容量的空瓶，3个最大容量的空瓶． 方案2：购买10个最大容量的空瓶，6个最大容量的空瓶． 方案3：购买5个最大容量的空瓶，9个最大容量的空瓶． 4．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，6辆A型汽车、5辆B型汽车的进价共计980万元；3辆A型汽车、7辆B型汽车的进价共计940万元． (1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若端午节搞活动，该公司了解到A、B两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利0.6万元，销售1辆B型汽车可获利0.4万元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元； (2)共3种购买方案，方案一：购进型车5辆，型车12辆；方案二：购进型车10辆，型车8辆；方案三：购进型车15辆，型车4辆 (3)购进型车15辆，型车4辆获利最大，最大利润是元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②找准等量关系，正确列出二元一次方程；③利用总利润每辆利润数量求出三种购车方案获得的利润． （1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据“6辆型汽车、5辆型汽车的进价共计980万元；3辆型汽车、7辆型汽车的进价共计940万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论； （3）利用利用总利润每辆利润数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 依题意，得：， 解得：． 答：型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元； （2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆， 依题意，得：， 解得：． ，均为正整数， ，， 共3种购买方案，方案一：购进型车5辆，型车12辆；方案二：购进型车10辆，型车8辆；方案三：购进型车15辆，型车4辆. （3）解：方案一获得利润：（万元； 方案二获得利润：（万元； 方案三获得利润：（万元． ， 购进型车15辆，型车4辆获利最大，最大利润是万元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $