8.4.空间点、直线、平面之间的位置关系【八大题型】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.4.空间点、直线、平面之间的位置关系 【考点梳理】 · 考点一：图形语言、文字语言、符号语言的相互转换 · 考点二：平面的基本性质 · 考点三：点、线确定平面数量问题 · 考点四：证明点共线、线共点问题 · 考点五：空间中两直线位置关系 · 考点六：空间中直线与平面的位置关系 · 考点七：、空间中平面与平面的位置关系 · 考点八：点线面位置关系综合问题 【知识梳理】 知识点一　平面 几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周无限延展的. 1.平面的画法 我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图①. 如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来，如图②. 2.平面的表示法：图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD. 知识点二　点、线、面之间的位置关系 1.直线在平面内的概念 如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l. 2.一些文字语言与符号语言的对应关系： 文字语言表达 符号语言表示 文字语言表达 符号语言表示 点A在直线l上 A∈l 点A在直线l外 A∉l 点A在平面α内 A∈α 点A在平面α外 A∉α 直线l在平面α内 l⊂α 直线l在平面α外 l⊄α 直线l，m相交于点A l∩m＝A 平面α，β相交于直线l α∩β＝l 知识点三　平面的基本性质及作用 1. 基本事实 内容 图形 符号 作用 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l ①判定两平面相交的依据 ②判定点在直线上 2.利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论： 推论1　经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面. 知识点三　空间两直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线. (2)异面直线的画法(衬托平面法) 如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托. (3)判断两直线为异面直线的方法 ①定义法；②两直线既不平行也不相交. 2.空间两条直线的三种位置关系 知识点四　直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有无数个公共点 只有1个公共点 没有公共点 符合表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 知识点五　平面与平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 【题型归纳】 题型一：图形语言、文字语言、符号语言的相互转换 【典例1】．（24-25高一下·福建龙岩·期末）用符号语言表述“若直线在平面内，则直线上的一点必在平面内”，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用点与线、线与面、点与面的关系的集合表示，逐项判断. 【详解】由直线在平面内，得；由点在直线上，得；由点在平面内，得， 选项A正确，选项BCD都错. 故选：A 【变式1】．（23-24高一下·广东广州·期中）如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点、线、面的位置关系，及其符号表示逐一判断即可. 【详解】点和面、点和线的关系用“”或“”表示，故A错误； 线面关系用“”或“”表示，故BD错误； 根据图形有，C正确. 故选：C 【变式2】．．（24-25高一下·山东聊城·期末）基本事实2；如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．可用符号表示为（    ） A．，，且， B．，，且， C．，，且， D．，，且， 【答案】B 【分析】根据定义判断是元素与集合的关系还是集合与集合的关系决定符号的用法. 【详解】因为、是点，是元素，是直线、平面的元素，所以用“”，而是点的集合，和平面是集合与集合的关系，是平面的子集关系，所以用“”. 故选：B. 题型二：平面的基本性质 【典例2】．（24-25高二上·上海·月考）给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面；                ②一条直线和一个点确定一个平面； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面；     ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用平面公理及推论即可判断. 【详解】由三个不在同一直线不同的点确定一个平面，故①错误； 一条直线和直线外一个点确定一个平面，故②错误； 空间两两相交的三条不能交于同一点的直线确定一个平面，故③错误； 两条平行直线确定一个平面，故④正确. 故选：C 【变式1】．（24-25高一下·上海·期中）已知下列命题：①三点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面：③两条直线确定一个平面、其中不正确的命题个数有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据平面的基本性质和推论即可判断. 【详解】由公理有不共线的三点可以确定一个平面，但是共线的三点不能确定唯一的平面，故①错误； 一条直线和直线外一点可以确定唯一一个平面，但是一条直线和直线上的点不能确定唯一的平面，故②错误； 两条异面直线不能确定一个平面，故③错误. 故选：D. 【变式2】．（24-25高二·上海·课堂例题）对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点②三条直线两两平行③三条直线共点④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，哪些是使三条直线确定一个平面的充分条件（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据确定平面的依据，即可判断选项. 【详解】①三条直线两两相交且不共点，则三条直线可以确定一个平面，故①正确； ②三条直线两两平行，有可能确定三个平面，故②错误； ③三条直线共点，有可能确定三个平面，故③错误； ④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交，则三条直线确定一个平面，故④正确. 故选：D 题型三：点、线确定平面数量问题 【典例3】．（24-25高一下·全国·课后作业）空间中有三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是（    ） A．1或2 B．3或4 C．1或2或3 D．1或3或4 【答案】C 【分析】分三种情况讨论即可求解. 【详解】如图，在正方体中， ①，，直线，与可以确定1个平面（平面）； ②，，直线，与可以确定2个平面（平面和平面）； ③三条直线，，交于一点，它们可以确定3个平面（平面，平面和平面）． 故选：C. 【变式1】．（2024高一下·全国·专题练习）下列命题是真命题的是（    ） A．空间任意三个点确定一个平面 B．一个点和一条直线确定一个平面 C．两两相交的三条直线确定一个平面 D．两两平行的三条直线确定一个或三个平面 【答案】D 【分析】根据题意，结合确定平面的依据，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，当三个点共线时，可作无数个平面，所以A是假命题； 对于B中，如果这个点在这条直线上，这时有无数个平面， 如果这个点不在这条直线上，由推论1知，有且只有一个平面，所以B是假命题． 对于C中，当三条直线可能交于同一点，可能确定三个平面；当三条直线有三个不同的交点，可以确定一个平面，所以C是假命题； 对于D中，两两平行的三条直线，根据推理（3）可以确定一个或三个平面，所以D正确； 故选：D. 【变式2】．（22-23高一下·北京通州·期末）下列命题正确的是（    ） A．一条线段和不在这条线段上的一点确定一个平面 B．两条不平行的直线确定一个平面 C．三角形上不同的三个点确定一个平面 D．圆上不同的三个点确定一个平面 【答案】D 【分析】根据平面的确定情况即可得到答案. 【详解】对A，若这个点位于这条线段所在的直线上，则无法确定一个平面，故A错误， 对B，若两条直线异面，则无法确定一个平面，故B错误； 对C，若三点位于一条直线上，则无法确定一个平面，故C错误； 对D，圆上不同的三点一定构成一个三角形，则可确定一个平面. 故选：D. 题型四：证明点共线、线共点问题 【典例4】．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知：，，，，，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】运用平面当中的点，线，面相关定理证明即可. 【详解】  ，与确定一个平面． 直线，点．，，． 又，与重合，． 【变式1】．（25-26高一下·全国·课后作业）在正方体中，E，F分别为，的中点，，，如图． (1)求证：D，B，E，F四点共面； (2)作出直线与平面的交点R的位置． 【详解】（1）由于和在同一个平面内且不平行，故必相交． 如图，设交点为O，因为F为的中点，所以且，即是的中位线，则． 同理直线与也相交，设交点为，则，故与O重合． 由此可证得，故D，B，F，E四点共面． （2）设平面为．由于， 所以，A，C，四点共面（设为）． 因为，，所以． 又，，所以， 所以． 同理可证得，从而有． 连接，交于点R，因为， 所以与平面的交点就是与的交点． 所以与的交点R就是所求的交点． 【变式2】．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点； 【答案】证明见解析 【分析】先证明，可推得相交于点，再证明即可. 【详解】在正方体中，连接， 由，得四边形是平行四边形，则， 由分别是的中点，得，则，即四点共面， 而，则相交，设交点为，则，而平面，则平面， 同理平面，而平面平面 则，即点在直线上，所以直线交于同一点. 题型五：空间中两直线位置关系 【典例5】．（25-26高一下·吉林·月考）已知a，b，c是空间中的三条直线，下列说法中错误的是（   ） A．若，，则 B．若a与b垂直，b与c垂直，则a与c可能相交、平行或异面 C．若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面 D．若a与c相交，b与c异面，则a与b异面 【答案】D 【详解】对于A，由平行的传递性知A正确； 对于B，如图①，在正方体中， 当，时，与相交； 当，时， ； 当，时，与异面； 所以由，可得a与c可能相交、平行或异面，故B正确； 对于C，若 a ，b 分别在两个相交平面内，如图所示， 可知这两条直线可能平行、相交或异面，故C正确； 对于D，如图①，在正方体中， 与相交，与异面，此时与平行； 与相交，与异面，此时与相交； 与相交，与异面，此时与异面； 所以a与c相交，b与c异面，则a与b可能相交、平行或异面，故D错误. 【变式1】．（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，三棱柱中，点分别为的中点，则下列说法错误的是（   ）.    A．四点共面 B．与是异面直线 C．∠=∠ D．三线共点 【答案】C 【分析】由中位线性质可判断选项A，由异面直线的特点可判断选项B，由梯形的性质可判断选项C，由平面基本性质可判断选项D. 【详解】因为分别为的中点，所以，； 所以，所以四点共面，A正确. 因为平面，平面且，平面，所以与是异面直线，B正确. 由，且可知，四边形是梯形， 若∠=∠，则梯形是等腰梯形，而题设条件无法得出， 所以C不一定正确. 如图：    设，则，又平面，所以平面； 同理可得平面，即一定在平面与平面的交线上， 因为平面平面，所以，即三线共点.故D正确. 故选：C 【变式2】．（24-25高一下·甘肃天水·期末）某正方体的展开图如图所示，则在原正方体中（    ）    A．直线与相交，且直线与的夹角为 B．直线与相交，且直线与的夹角为 C．直线与异面，且直线与的夹角为 D．直线与异面，且直线与的夹角为 【答案】D 【分析】将展开图还原为正方体，连接，结合可得为直线与所成角，进而求解即可. 【详解】还原的正方体如图所示，连接，显然直线与异面， 在正方体中，， 则为直线与所成角， 又，则为等边三角形，即. 故选：D.    题型六：空间中直线与平面的位置关系 【典例6】．（24-25高一下·广东清远·期中）若一直线上有两点到一个平面的距离都等于2，则该直线与这个平面的位置关系是（    ） A．直线在平面内 B．直线平行平面 C．直线与平面相交 D．直线与平面相交或平行 【答案】D 【分析】根据直线与平面的位置关系，结合题意即可判断． 【详解】由题，设直线为，平面为， 要使一条直线的两点到一个平面的距离为2，则由线面位置关系可得， 当时，可满足题意， 当与相交时，在面的异侧各有一个点可满足题意， 当时，无法满足题意， 故直线与平面相交或平行． 故选：D． 【变式1】．（2025高一·全国·专题练习）已知直线，为直线外一点，下列叙述中正确的是（    ）. ①过点有且只有一条直线与平行； ②过点有且只有一个平面与平行； ③过点有且只有一条直线与垂直； ④过点有且只有一个平面与垂直． A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】A 【分析】根据直线，平面间的位置关系逐项判断即可. 【详解】直线，为直线外一点，所以过点有且只有一条直线与平行；过点有无数个平面与平行； 过点有无数条直线与垂直；过点有且只有一个平面与垂直， 所以②③错误，①④正确， 故选：A． 【变式2】．（24-25高一下·陕西渭南·期末）直线与平面相交，则下列结论成立的是（    ） A．内的所有直线与都相交 B．内不存在与平行的直线 C．内的所有直线与都是异面直线 D．内存在唯一一条直线与平行 【答案】B 【分析】根据线面相交关系，结合平面的基本性质及各项的描述，即可得. 【详解】由题设，平面内的直线与直线只有相交或异面两种位置情况，不可能有平行的情况，A、C、D错、B对； 故选：B 题型七：、空间中平面与平面的位置关系 【典例7】．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知平面平面，，点，则下列结论正确的是（   ） A．过和垂直的直线在内 B．过和垂直的直线在内 C．过和垂直的直线必与垂直 D．过和垂直的平面必与垂直 【答案】B 【分析】利用空间中线线，线面，面面的位置关系逐项判断可得结论. 【详解】对于A，过点与垂直的直线，若在平面内，则不在平面内，故A错误； 对于B，根据面面垂直的性质定理，过点作平面的垂线必在平面内，故B正确； 对于C，过点与垂直的直线，若在平面内，则该直线不与垂直，故C错误； 对于D，平面过点且垂直于平面，但，所以平面与直线不垂直，故D错误. 故选：B. 【变式1】．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【分析】根据空间直线与平面，直线与直线，平面与平面不同位置的定义，判定定理及性质定理，以及几何特征，逐项分析即可． 【详解】选项A，若，，， 则直线与直线可能平行，可能相交，可能异面，故A选项不正确； 选项B，若，，， 则平面与平面可能平行，可能相交；故B选项不正确； 选项C，若，，，则，故C选项正确； 选项D，，，， 则直线与直线可能平行，可能相交，可能异面，故D选项不正确； 故选：C. 【变式2】．（24-25高一下·天津·期末）已知三个不同的平面，，和三条不同的直线，，，下列命题中为假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】利用空间线面的位置关系逐个判断即可. 【详解】因为，，所以，A正确； 若，，则或，B不正确； 因为，，，所以， 因为，，，根据线面平行的性质定理，所以，又，所以，C正确； 因为，，所以，D正确. 故选：B 题型八：点线面位置关系综合问题 【典例8】．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图正方体中，，，分别是，，的中点．画出过，，的平面与平面的交线以及与平面的交线． 【答案】作图见解析 【分析】连接并延长交的延长线于一点，设为，连接，设，连接即得. 【详解】设，，三点确定的平面为，则与平面交于． 连接并延长交的延长线于一点，设为，连接，则为平面与平面的交线． 设，则是与平面的交线，如下图所示． 【变式1】．（25-26高三·上海·一轮复习）如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点，求证：，O，M三点共线． 【答案】证明见解析 【分析】由题意得平面，又可证平面，根据基本事实，即可得证． 【详解】由题意得平面， 又，平面， 所以平面， 由基本事实3可得，点在平面和平面的交线上， 所以三点共线． 【变式2】．（25-26高二上·四川内江·月考）如图，在正四棱台中，分别为棱，，，的中点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)证明，，相交于一点． 【答案】(1)相交，理由见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用中位线和棱台的结构特征，证明，可得以E，F，G，H四点共面，进而得出为梯形，则与必相交； （2）由为梯形，则与必相交，证明交点在上即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图所示， 因为为正四棱台，所以， 又E，F，G，H分别为棱，，，的中点，所以，， 则，所以E，F，G，H四点共面，因为，所以， 所以为梯形，则与必相交． （2）因为为梯形，则与必相交． 设，因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面， 又平面平面， 所以，则，，交于一点． 【双基达标】 一、单选题 1．（25-26高一下·广东·期中）如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必通过（　　） A．点 B．点 C．点但不过点 D．点和点 【答案】D 【详解】∵直线，且，所以，由，则； 又因为且. 所以. 所以与的交线必通过点和点. 2．（2026高一·全国·专题练习）已知直线，与平面，其中，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】以正方体为例，举例可说明充分性不成立，根据线面垂直的性质定理可说明必要性成立，即可得. 【详解】 如图，正方体中，，，平面为平面， 其中，平面，显然与平面不垂直，故“”不是“”的充分条件； 若，且，根据线面垂直的性质定理，可知成立，所以“”是“”的必要条件. 所以，“”是“”的必要不充分条件. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如果点在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用点、线、面的关系判断即得. 【详解】点是一个元素，直线和平面是一个集合，点在直线上可表示为：，AB错误； 而直线在平面内表示为，C错误，D正确． 故选：D 28．（25-26高一下·全国·课堂例题）图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据两平面相交的特点判断. 【详解】两平面相交画出公共直线作为交线， 且看不到的直线为虚线，故只有D正确. 故选：D 4．（25-26高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（   ） A．空间中没有交点的两条直线是平行直线 B．一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条也相交 C．已知空间中四条直线a，b，c，d，如果，，且，那么 D．分别在两个平面内的直线是平行直线 【答案】C 【分析】由空间直线的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A：空间中没有交点的两条直线可能平行，也可能异面，故错误， 对于B，一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条可能相交，也可能异面，故错误， 对于C，因为，且，则，又，则，正确， 对于D，分别在两个平面内的直线，可能平行，也可能相交，也可能异面，故错误， 故选：C 5．（25-26高一下·全国·课后作业）下列命题正确的是（   ） A．若两个平面，有一个公共点，则 B．两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 C．过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行 D．和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线 【答案】C 【分析】应用平面基本性质判断A，应用线面角得出直线关系判断B，应用直线与平面位置关系判断C，结合两条直线位置关系判断D. 【详解】对A选项，因为两个平面，有一个公共点，所以两个平面必有一条交线，所以A选项错误； 对B选项，若圆锥的顶点在某平面内，且该圆锥的顶点与底面圆心的连线垂直该平面， 则该圆锥的母线与平面所成角都相等，所以B选项错误； 对C选项，因为点在平面外，所以过该点的直线与这个平面只能相交或平行， 所以C选项正确； 对D选项，在如图所示的正方体中，与为一对异面直线， 显然，均与两异面直线相交，而，为共面直线，故D选项错误． 故选：C． 6．（25-26高二上·上海·期末）已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】采用截面扩展法找出截面与各条棱的交点，即可得到截面形状. 【详解】 延长，交的延长线于点，延长，交的延长线于点， 连接，交于，连接，交于， 连接，. 则五边形即为过与该正方体的截面. 故选：C. 二、多选题 7．（25-26高一下·全国·课后作业）下列命题中，错误的是（   ） A．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面 B．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面 C．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面 D．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面 【答案】ACD 【分析】根据经过两条相交直线有且只有一个平面判断B，根据异面直线定义判断A，C，D. 【详解】经过正方体两条异面的面对角线的平面不存在，A选项错误； 因为正方体的四条体对角线相交于同一点正方体的中心， 因此经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面，B选项正确； 经过正方体异面的两条棱的平面不存在，C选项错误； 经过正方体一条体对角线和一条与之异面的面对角线的平面不存在，，D选项错误； 故选：ACD． 8．（24-25高一下·安徽淮北·月考）已知不重合直线，不重合平面，则下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】若，则存在直线，根据面面垂直的判定定理，，选项A正确； 如图所示，可知，但与相交，则选项B错误； 如图所示，设，过平面内一点，作， 由面面垂直的性质定理可知，，所以， 因为，所以，选项C正确； 如图所示，可知，但与相交，选项D错误； 9．（24-25高一下·江苏南通·月考）下列结论错误的有（    ） A．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面． B．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线． C．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． D．没有公共点的两条直线是异面直线． 【答案】BCD 【分析】通过分情况并画图分析可判断A正确；由基本事实3可判断B错误；由两个相交的平面有无数个公共点可判断C错误；根据空间两直线的位置关系可判断D错误. 【详解】对于A，当两两相交的三条直线不经过同一点，如图1，根据推论，这三条直线可以确定一个平面; 当两两相交的三条直线经过同一点且不共面，如图2，则确定一个平面， 确定一个平面，确定一个平面.共确定3个平面. 所以两两相交的三条直线最多可确定3个平面.故A正确； 对于B，由基本事实3，两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过A点的公共直线，而不是任意一条过点的直线都是两平面的交线，故B错误； 对于C，若这三个公共点共线，两平面可能相交，但不一定重合，故C错误； 对于D，没有公共点的两条直线可能平行也可能异面.故D错误 故选：BCD. 10．（24-25高一下·四川眉山·期末）下列命题中为真命题的是（   ） A．若直线平面，直线，则 B．两条异面直线被两个平行平面截得的线段的中点连线平行于这两个平面 C．若平面平面，直线平面，直线平面，则 D．若直线平面，直线平面，直线平面，直线平面，则 【答案】BC 【分析】根据线面位置关系及面面位置关系判断各个选项即可. 【详解】对于A，若直线平面，直线，则或，A选项错误； 对于B，如图，平面且为两条异面直线， 分别为的中点， 过点作交平面于，连接， 设是的中点，则， 又，所以， 因为，所以， 又平面， 所以平面平面， 又，所以平面平面， 又平面，所以， 即夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面， 故B选项正确； 对于C，若平面平面，设，直线平面，直线平面， 所以所成角为所成面面角，则，C选项正确； 对于D，若直线平面，直线平面，，直线平面，直线平面，则可以是相交平面，D选项错误； 故选：BC. 11．（24-25高一下·陕西西安·期末）如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（   ） A．，E，F，B四点共面 B．直线与直线为异面直线 C．该正方体的外接球和内切球的表面积之比为 D．三棱锥的体积是三棱锥的两倍 【答案】ABD 【分析】对于A，由可得四点共面；对于B，由异面直线的定义判断即可；对于C，根据正方体内切球与外接球的特征及体积公式可判定；对于D，由三棱锥的高是三棱锥的高的两倍，可得三棱锥的体积是三棱锥的两倍. 【详解】对于A，如图所示，连接， 因为，则四边形是平行四边形， 所以，又E，F分别为棱，的中点， 所以，则， 所以，E，F，B四点共面，故A正确； 对于B，如图所示， 取的中点，连接， 则，则四边形是平行四边形， 所以， 因为，所以直线与直线为异面直线，故B正确； 对于C，根据正方体的特征可知其内切球直径为棱长，外接球直径为体对角线， 设正方体的棱长为1，则内切球的半径为，外接球的半径为， 故外接球与内切球的表面积之比为，故C错误； 对于D，根据正方体的特征与已知可知，点到底面的距离是点到底面的距离2倍， 即三棱锥的高是三棱锥的高的两倍，由两个三棱锥的底面积相等， 所以三棱锥的体积是三棱锥的体积两倍，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（25-26高一下·全国·课前预习）已知，则_________． 【答案】或 【分析】结合两直线平行相关的等角定理即可求解． 【详解】若两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，如图所示， 因为，所以或． 13．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知三条互相平行的直线，，中，，，，则与的位置关系是______________． 【答案】平行或相交 【分析】结合图形判断. 【详解】 所以两个平面的关系可能平行，也可能相交， 故答案为：平行或相交 14．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在正方体中，设线段与平面交于点，则三点的位置关系是_____________． 【答案】共线 【详解】如图，连接，，显然平面，平面， 平面．同理，平面， ∴平面平面． 平面， 平面． 又平面，平面． 在平面与平面的交线上，即， ，，三点共线． 故答案为：共线. 15．（25-26高一下·全国·课后作业），，为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则下列命题中不正确的是______________． ①；②；③；④； ⑤；⑥． 【答案】②③⑤⑥ 【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系逐一判断. 【详解】由平行的传递性可知①④正确； 若，则可以相交、平行、异面，故②错误； 若，则可以相交、平行，故③错误； 若，则或，故⑤错误； 若，则或，故⑥错误. 故答案为：②③⑤⑥ 四、解答题 16．（25-26高一下·全国·课堂例题）用符号表示下列点、线、面的关系． (1)点不在平面内． (2)直线与直线相交于点． (3)直线与平面相交于点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据点与平面，直线与直线，以及直线与平面的位置关系的表示方法，即可求解. 【详解】（1）解：根据点与平面的位置关系，点不在平面内，可表示为； （2）解：根据直线与直线的位置关系，直线与直线相交于点，可表示为； （3）解：根据直线与平面的位置关系，直线与平面相交于点，可表示为. 17．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，观察正方体，证明直线与与为异面直线． 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，利用异面直线的判定，结合正方体的结构特征推理得证. 【详解】在正方体中，， 直线平面，点平面，点直线，而点平面， 因此直线与直线是异面直线； 直线平面，点平面，点直线，而点平面， 因此直线与直线是异面直线. 18．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在空间四边形（不共面的四边形称为空间四边形）中，，，，分别为，，，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1)利用中位线性质证明与平行且相等即四边形是平行四边形. (2)由(1)知道四边形是平行四边形，因为即可得到平行四边形邻边相等，所以四边形是菱形. 【详解】（1）空间四边形中,,,,分别为,,,的中点， 所以,,. 所以, 所以四边形是平行四边形． （2）因为空间四边形中，,,,分别为,,,的中点， 所以，, , 因为，所以． 又因为是平行四边形，所以四边形是菱形． 19．（24-25高一下·湖北·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H分别是棱，，，的中点. (1)求证：E，F，G，H四点共面.记过这四点的平面为，在图中画出平面与该正方体各面的交线（不必说明画法和理由）； (2)求证：，，三线共点. 【答案】(1)证明及作图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）平行于同一条直线的两条直线互相平行，通过证明与都平行于正方体中的某条棱，进而证明，E，F，G，H四点共面； （2）通过分别找出与延长线的交点，与延长线的交点，证明这两个交点重合. 【详解】（1）如图①，连接，，， 因为E，H分别是棱，的中点，所以， 又F，G分别是棱，的中点，所以， 故， 所以E，F，G，H四点共面. 平面与该正方体各面的交线如图①（多边形）所示. （2）如图②，易知，且，所以与必相交，设交点为P， 又由，平面，得平面， 同理平面， 又因为平面∩平面，所以， 所以，，三线共点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.4.空间点、直线、平面之间的位置关系 【考点梳理】 · 考点一：图形语言、文字语言、符号语言的相互转换 · 考点二：平面的基本性质 · 考点三：点、线确定平面数量问题 · 考点四：证明点共线、线共点问题 · 考点五：空间中两直线位置关系 · 考点六：空间中直线与平面的位置关系 · 考点七：、空间中平面与平面的位置关系 · 考点八：点线面位置关系综合问题 【知识梳理】 知识点一　平面 几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周无限延展的. 1.平面的画法 我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图①. 如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来，如图②. 2.平面的表示法：图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD. 知识点二　点、线、面之间的位置关系 1.直线在平面内的概念 如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l. 2.一些文字语言与符号语言的对应关系： 文字语言表达 符号语言表示 文字语言表达 符号语言表示 点A在直线l上 A∈l 点A在直线l外 A∉l 点A在平面α内 A∈α 点A在平面α外 A∉α 直线l在平面α内 l⊂α 直线l在平面α外 l⊄α 直线l，m相交于点A l∩m＝A 平面α，β相交于直线l α∩β＝l 知识点三　平面的基本性质及作用 1. 基本事实 内容 图形 符号 作用 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l ①判定两平面相交的依据 ②判定点在直线上 2.利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论： 推论1　经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面. 知识点三　空间两直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线. (2)异面直线的画法(衬托平面法) 如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托. (3)判断两直线为异面直线的方法 ①定义法；②两直线既不平行也不相交. 2.空间两条直线的三种位置关系 知识点四　直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有无数个公共点 只有1个公共点 没有公共点 符合表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 知识点五　平面与平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 【题型归纳】 题型一：图形语言、文字语言、符号语言的相互转换 【典例1】．（24-25高一下·福建龙岩·期末）用符号语言表述“若直线在平面内，则直线上的一点必在平面内”，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（23-24高一下·广东广州·期中）如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．．（24-25高一下·山东聊城·期末）基本事实2；如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．可用符号表示为（    ） A．，，且， B．，，且， C．，，且， D．，，且， 题型二：平面的基本性质 【典例2】．（24-25高二上·上海·月考）给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面；                ②一条直线和一个点确定一个平面； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面；     ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】．（24-25高一下·上海·期中）已知下列命题：①三点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面：③两条直线确定一个平面、其中不正确的命题个数有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】．（24-25高二·上海·课堂例题）对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点②三条直线两两平行③三条直线共点④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，哪些是使三条直线确定一个平面的充分条件（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 题型三：点、线确定平面数量问题 【典例3】．（24-25高一下·全国·课后作业）空间中有三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是（    ） A．1或2 B．3或4 C．1或2或3 D．1或3或4 【变式1】．（2024高一下·全国·专题练习）下列命题是真命题的是（    ） A．空间任意三个点确定一个平面 B．一个点和一条直线确定一个平面 C．两两相交的三条直线确定一个平面 D．两两平行的三条直线确定一个或三个平面 【变式2】．（22-23高一下·北京通州·期末）下列命题正确的是（    ） A．一条线段和不在这条线段上的一点确定一个平面 B．两条不平行的直线确定一个平面 C．三角形上不同的三个点确定一个平面 D．圆上不同的三个点确定一个平面 题型四：证明点共线、线共点问题 【典例4】．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知：，，，，，求证：．    【变式1】．（25-26高一下·全国·课后作业）在正方体中，E，F分别为，的中点，，，如图． (1)求证：D，B，E，F四点共面； (2)作出直线与平面的交点R的位置． 【变式2】．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点； 题型五：空间中两直线位置关系 【典例5】．（25-26高一下·吉林·月考）已知a，b，c是空间中的三条直线，下列说法中错误的是（   ） A．若，，则 B．若a与b垂直，b与c垂直，则a与c可能相交、平行或异面 C．若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面 D．若a与c相交，b与c异面，则a与b异面 【变式1】．（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，三棱柱中，点分别为的中点，则下列说法错误的是（   ）.    A．四点共面 B．与是异面直线 C．∠=∠ D．三线共点 【变式2】．（24-25高一下·甘肃天水·期末）某正方体的展开图如图所示，则在原正方体中（    ）    A．直线与相交，且直线与的夹角为 B．直线与相交，且直线与的夹角为 C．直线与异面，且直线与的夹角为 D．直线与异面，且直线与的夹角为 题型六：空间中直线与平面的位置关系 【典例6】．（24-25高一下·广东清远·期中）若一直线上有两点到一个平面的距离都等于2，则该直线与这个平面的位置关系是（    ） A．直线在平面内 B．直线平行平面 C．直线与平面相交 D．直线与平面相交或平行 【变式1】．（2025高一·全国·专题练习）已知直线，为直线外一点，下列叙述中正确的是（    ）. ①过点有且只有一条直线与平行； ②过点有且只有一个平面与平行； ③过点有且只有一条直线与垂直； ④过点有且只有一个平面与垂直． A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【变式2】．（24-25高一下·陕西渭南·期末）直线与平面相交，则下列结论成立的是（    ） A．内的所有直线与都相交 B．内不存在与平行的直线 C．内的所有直线与都是异面直线 D．内存在唯一一条直线与平行 题型七：、空间中平面与平面的位置关系 【典例7】．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知平面平面，，点，则下列结论正确的是（   ） A．过和垂直的直线在内 B．过和垂直的直线在内 C．过和垂直的直线必与垂直 D．过和垂直的平面必与垂直 【变式1】．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【变式2】．（24-25高一下·天津·期末）已知三个不同的平面，，和三条不同的直线，，，下列命题中为假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 题型八：点线面位置关系综合问题 【典例8】．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图正方体中，，，分别是，，的中点．画出过，，的平面与平面的交线以及与平面的交线． 【变式1】．（25-26高三·上海·一轮复习）如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点，求证：，O，M三点共线． 【变式2】．（25-26高二上·四川内江·月考）如图，在正四棱台中，分别为棱，，，的中点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)证明，，相交于一点． 【双基达标】 一、单选题 1．（25-26高一下·广东·期中）如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必通过（　　） A．点 B．点 C．点但不过点 D．点和点 2．（2026高一·全国·专题练习）已知直线，与平面，其中，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一下·全国·课后作业）如果点在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（   ） A．， B．， C．， D．， 28．（25-26高一下·全国·课堂例题）图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（    ） A．B．C． D． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（   ） A．空间中没有交点的两条直线是平行直线 B．一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条也相交 C．已知空间中四条直线a，b，c，d，如果，，且，那么 D．分别在两个平面内的直线是平行直线 5．（25-26高一下·全国·课后作业）下列命题正确的是（   ） A．若两个平面，有一个公共点，则 B．两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 C．过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行 D．和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线 6．（25-26高二上·上海·期末）已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 二、多选题 7．（25-26高一下·全国·课后作业）下列命题中，错误的是（   ） A．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面 B．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面 C．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面 D．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面 8．（24-25高一下·安徽淮北·月考）已知不重合直线，不重合平面，则下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（24-25高一下·江苏南通·月考）下列结论错误的有（    ） A．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面． B．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线． C．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． D．没有公共点的两条直线是异面直线． 10．（24-25高一下·四川眉山·期末）下列命题中为真命题的是（   ） A．若直线平面，直线，则 B．两条异面直线被两个平行平面截得的线段的中点连线平行于这两个平面 C．若平面平面，直线平面，直线平面，则 D．若直线平面，直线平面，直线平面，直线平面，则 11．（24-25高一下·陕西西安·期末）如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（   ） A．，E，F，B四点共面 B．直线与直线为异面直线 C．该正方体的外接球和内切球的表面积之比为 D．三棱锥的体积是三棱锥的两倍 三、填空题 12．（25-26高一下·全国·课前预习）已知，则_________． 13．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知三条互相平行的直线，，中，，，，则与的位置关系是______________． 14．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在正方体中，设线段与平面交于点，则三点的位置关系是_____________． 15．（25-26高一下·全国·课后作业），，为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则下列命题中不正确的是______________． ①；②；③；④； ⑤；⑥． 四、解答题 16．（25-26高一下·全国·课堂例题）用符号表示下列点、线、面的关系． (1)点不在平面内． (2)直线与直线相交于点． (3)直线与平面相交于点． 17．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，观察正方体，证明直线与与为异面直线． 18．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在空间四边形（不共面的四边形称为空间四边形）中，，，，分别为，，，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，求证：四边形是菱形． 19．（24-25高一下·湖北·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H分别是棱，，，的中点. (1)求证：E，F，G，H四点共面.记过这四点的平面为，在图中画出平面与该正方体各面的交线（不必说明画法和理由）； (2)求证：，，三线共点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $