精品解析：河南驻马店市新蔡县第一高级中学2025-2026学年高一下学期精英部数学期中模拟试题

2025－2026下学期精英部数学期中模拟试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在中，若，，，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知函数，则的一条对称轴方程可以为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 设向量，是两个不共线的单位向量，，，，则（ ） A. A，B，C三点共线 B. A，B，D三点共线 C. A，C，D三点共线 D. B，C，D三点共线 5. 如图，在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数满足，且在内至少有3个零点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 7. 如图，在矩形中，分别为中点，为线段上的一点，且，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 8. 如图，函数的图象与轴交于点，与直线的两个交点为，若，则（ ） A. B. C. D. -1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则与的长度相等且方向相同或相反 B. 向量的长度与向量的长度相等 C. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 D. 若与同向，且，则 10. 中，，，则（ ） A. B. 的角平分线交AB于D，则 C. D. 在上的投影向量是 11. 函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则下列结论正确的是（　　） A. 函数的最小正周期为 B. C. 函数的定义域为 D. 函数图象的对称中心为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则与的夹角为_____． 13. 圆心角为，面积为的扇形的弧长为______． 14. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图2中正六边形的边长为，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，为圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，． （1）设，求； （2）若与垂直，求的值； 16. 已知. （1）化简； （2）若，求的值； （3）若，求. 17. 在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且． （1）若，求的大小； （2）设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度. 18. 如图，在平行四边形中，为的中点，、分别为、的一个三等分点，点靠近点，点靠近点，记，． （1）把放到平面直角坐标系中，若、，求点的坐标； （2）用、表示、； （3）若，，求． 19. 已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为． （1）求在上的单调减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； （3）对于（2）中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026下学期精英部数学期中模拟试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在中，若，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知结合余弦定理即可求解． 【详解】由余弦定理可得 ，故． 2. 已知函数，则的一条对称轴方程可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的对称轴方程，然后逐项验证可得答案. 【详解】令，则， 对于A，当时，即，解得，故错误； 对于B，当时，即，解得，故错误； 对于C，当时，即，解得，故正确； 对于D，当时，即，解得，故错误； 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，， 则. 4. 设向量，是两个不共线的单位向量，，，，则（ ） A. A，B，C三点共线 B. A，B，D三点共线 C. A，C，D三点共线 D. B，C，D三点共线 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量共线的基本定理依次判断求解. 【详解】对于A，若A，B，C三点共线，则，， 即，则，此时无解，故A错误； 对于B，若A，B，D三点共线，则，， 而，即， 则，解得，故B正确； 对于C，若A，C，D三点共线，则，， 而，即， 则，此时无解，故C错误； 对于D，若B，C，D三点共线，则，， 即，则，此时无解，故D错误. 5. 如图，在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点， 所以 6. 已知函数满足，且在内至少有3个零点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先由是函数最小正周期的整数倍求出，再根据时至少有 3 个零点，列不等式求解的最小值. 【详解】由题意知π是的最小正周期的整数倍，则，得. 由，得， 而在内至少有3个零点，则，得， 又由，得，则的最小值为2，得的最小值为4. 7. 如图，在矩形中，分别为中点，为线段上的一点，且，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得， ， 又， 则由平面向量基本定理可知，，得， 则. 8. 如图，函数的图象与轴交于点，与直线的两个交点为，若，则（ ） A. B. C. D. -1 【答案】C 【解析】 【详解】由，可知，在处函数单调递减，则， 因为时相邻两解差的绝对值的最小值为， 所以，解得，则， 所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则与的长度相等且方向相同或相反 B. 向量的长度与向量的长度相等 C. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 D. 若与同向，且，则 【答案】BC 【解析】 【详解】A：向量的模相等只能说明长度相等，但方向可以任意，不一定相同或相反，错； B：向量和的长度都等于线段AB的长度，因此相等，对； C：两个相等的向量具有相同的长度和方向，若起点相同，则终点必然重合，对； D：由向量的性质知，向量不能比较大小，错. 10. 中，，，则（ ） A. B. 的角平分线交AB于D，则 C. D. 在上的投影向量是 【答案】ACD 【解析】 【详解】由余弦定理，得，故，A正确； 因为，所以是等腰三角形，平分， 所以是的垂直平分线，所以，所以，所以B不正确； 由，，所以， 因为是等腰三角形，所以， ，所以C正确； 向量在上的投影向量为 ， ，故投影向量为，所以D正确. 11. 函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则下列结论正确的是（　　） A. 函数的最小正周期为 B. C. 函数的定义域为 D. 函数图象的对称中心为 【答案】ABC 【解析】 【详解】根据题意，由对称性可知阴影部分面积为两条水平虚线与三条竖直虚线围成矩形面积的一半， 对于A，易知，解得， 因此函数的最小正周期为，即A正确； 对于B，易知函数图象过点，即， 又，所以，可得，即，可得B正确； 对于C，根据已有分析可知， 因此需满足，即，也即，所以C正确； 对于D，令，所以， 即函数图象的对称中心为，即D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则与的夹角为_____． 【答案】 【解析】 【详解】因，，， 则， 又因，故. 即与的夹角为. 13. 圆心角为，面积为的扇形的弧长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式以及弧长公式，简单计算可得结果. 【详解】因为，所以，解得． 所以弧长． 14. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图2中正六边形的边长为，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，为圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由图可推得，结合点的位置分析，求出的范围即得. 【详解】由题可知，， 故 ； 由图可知，当点位于正六边形的某个顶点时，取最大值， 当点为正六边形各边的中点时，取得最小值，即， 所以，，从而. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，． （1）设，求； （2）若与垂直，求的值； 【答案】（1）0；（2）. 【解析】 【分析】（1）求出，然后按向量数量积的坐标运算规则进行求解；（2）求出的坐标，根据垂直向量的坐标表示列出等式求解. 【详解】（1）∵，， ∴，， ∴． （2）， 与垂直，∴，∴． 【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算、已知向量垂直求参数，属于基础题. 16. 已知. （1）化简； （2）若，求的值； （3）若，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为， 所以. 【小问3详解】 . 17. 在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且． （1）若，求的大小； （2）设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度. 【答案】（1）； （2）2 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得到，根据，结合三角形面积公式建立关于的方程，再结合余弦定理求解； （2）同（1）建立关于的方程，再结合基本不等式求解最值，进而根据等腰三角形性质求解即可. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得. 因为的角平分线交于点，所以， 由，得， 则， 即，所以. 在中，由余弦定理得， 即； 【小问2详解】 由，得， 得， 化简得，即， 所以，即， 当且仅当时等号成立，取得最小值，面积取得最小值， 此时为等腰三角形，为中点，则既是中线也是角平分线. 即重合，故. 18. 如图，在平行四边形中，为的中点，、分别为、的一个三等分点，点靠近点，点靠近点，记，． （1）把放到平面直角坐标系中，若、，求点的坐标； （2）用、表示、； （3）若，，求． 【答案】（1） （2），. （3） 【解析】 【分析】（1）设点，由题意得出，结合平面向量的坐标运算可得出、的值，即可得出点的坐标； （2）利用平面向量的线性运算可得出、关于、的表达式； （3）利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【小问1详解】 设点，由得， 即，解得，，即点. 【小问2详解】 ，. 【小问3详解】 由已知，，所以， 所以. 19. 已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为． （1）求在上的单调减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； （3）对于（2）中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据条件，求得，再利用正弦函数的性质，即可求解； （2）利用图象平移变换得，再利用正弦函数的性质，即可求解； （3）令，在同一坐标系中作出和的图象，数形结合，即可求解. 【小问1详解】 因为函数为奇函数，则， 所以，又，所以， 又图象的相邻两对称轴间的距离为，则，又，所以， 故，由，得到， 又，令，得到，所以在上的单调减区间为. 【小问2详解】 由（1）知，将函数的图象向右平移个单位长度，得到， 再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到， 所以，当时，，所以， 故函数的值域为. 【小问3详解】 因为，由，得到，即， 令，又，则， 在同一坐标系中作出和的图象，如图所示， 又，由图知与有四个交点， 且， 又，所以的值为， 且 故 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $