10.4三元一次方程组 导学案 2025-2026学年苏科版七年级数学下册

《10.4三元一次方程组》导学案 学科 数学 年级册别 七年级下册 共1课时 教材 苏科版 授课类型 新授课 第1课时 教材分析 教材分析 本节内容是在学生已经掌握了二元一次方程组及其解法的基础上，进一步学习含有三个未知数的一次方程组。教材从实际问题引入，引导学生通过类比二元一次方程组的概念，得出三元一次方程组的定义。 在解法上，教材强调“消元”思想的延续与深化，即将三元转化为二元，再将二元转化为一元，这一过程体现了化归的数学思想。具体方法包括代入消元法和加减消元法，学生需根据方程组的特点选择合适的消元策略。 通过本节学习，学生不仅能拓展方程知识体系，更能提升分析问题、解决问题的能力，为后续学习更复杂的数学模型奠定基础。教材编排注重与实际生活的联系，通过解决含有三个未知量的实际问题，让学生感受数学的应用价值。 课时教学目标 1.知识与技能：理解三元一次方程组的概念，能正确辨别三元一次方程组；掌握三元一次方程组的解法，会用代入消元法或加减消元法解简单的三元一次方程组。 2.过程与方法：经历从实际问题抽象出三元一次方程组的过程，体会数学建模思想；通过将三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而转化为一元一次方程的求解过程，深刻理解“消元”思想和化归思想。 3.情感态度与价值观：通过运用三元一次方程组解决实际问题，感受数学的实用性，激发学习兴趣；在解题过程中培养运算能力和逻辑思维能力，体验成功的喜悦。 教学重点、难点 重点 1.三元一次方程组的概念。 2.用代入消元法和加减消元法解三元一次方程组。 难点 1.根据方程组的特点，选择合适的消元方法和消元对象，将三元一次方程组有效地转化为二元一次方程组。 2.消元过程中的符号处理及求解的准确性。 【课前预习·自主探究】 活动一：三元一次方程组概念辨析 1. 类比二元一次方程组的定义，请你尝试给出三元一次方程组的定义： · 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的三个整式方程所组成的方程组，叫做三元一次方程组。 1. 判断下列方程组是否为三元一次方程组，并说明理由： · （1） · 答：是，理由：它含有三个未知数 、、，每个方程都是整式方程，且含有未知数的项的次数都是 1。 · （2） · 答：否，理由：它含有四个未知数 、、、。 · （3） · 答：否，理由：方程 中 的次数是 2。 活动二：消元思想回顾与迁移 1. 解二元一次方程组的基本思想是消元，常用方法有代入消元法和加减消元法。 1. 解方程组： · 解：由①得 ④，将④代入②得 ，，，。将 代入④得 。所以原方程组的解为 1. 思考：如果方程组中有三个未知数，例如： · ①②③ · 你能借鉴解二元一次方程组的思路，想办法消去一个未知数，将其转化为二元一次方程组吗？写出你的消元方法和步骤： · 我的方法：（方法不唯一，合理即可）例如：由方程② 可得 ④；由方程③ 可得 ⑤；将④、⑤代入方程①，即可消去 、，得到关于 的一元一次方程。 活动三：尝试解简单的三元一次方程组 尝试解方程组： ①②③ 解：将① 代入②得 ，解得 。将 ， 代入③得 ，解得 。所以原方程组的解为 【课堂检测·巩固提升】 1. 下列方程组中，是三元一次方程组的是（ B ） · A. · B. · C. · D. 1. 解下列三元一次方程组： · （1） · ①②③ · 解：将③ 代入①得 ，即 ④；将③代入②得 ，即 ⑤。 · 由④得 ⑥，将⑥代入⑤得 ，，，。 · 将 代入③得 。将 代入⑥得 。 · 所以原方程组的解为 · （2）①②③ · 解：② × 3 + ③ 得 ， ④。 · ① × 5 得 ⑤，④ × 2 得 ⑥。 · ⑥ - ⑤ 得 ，。将 代入①得 ，，，。 · 将 ， 代入②得 ，，，。 · 所以原方程组的解为 1. 若关于 、、 的方程组 · 的解是 · 则 3， 1， 0。 1. 一个三位数，个位、十位、百位上的数字之和为 12，个位数字是十位数字的 2 倍，百位数字是十位数字的 3 倍，求这个三位数。 · 解：设个位数字为 ，十位数字为 ，百位数字为 。 · 根据题意，可列方程组： · 解这个方程组得： · 答：这个三位数是 624。 1. 拓展题：已知方程组 · 与方程组 · 的解相同，求 、 的值。 · 解：解第一个方程组：① + ② 得 ，。将 代入①得 ，，。所以第一个方程组的解为 · 将 ， 代入第二个方程组得 · 即③④ · ③ + ④ 得 ，。将 代入③得 ，，，。 · 所以 ，。 【课后拓展·实践应用】 1. 解方程组： · ①②③ · 解：① + ② + ③ 得 ，即 ④。 · ④ - ① 得 ；④ - ② 得 ；④ - ③ 得 。 · 所以原方程组的解为 1. 有甲、乙、丙三种货物，若购买甲 3 件、乙 7 件、丙 1 件，共需 315 元；若购买甲 4 件、乙 10 件、丙 1 件，共需 420 元。现在购买甲、乙、丙各 1 件，共需多少元？ · 解：设购买甲 1 件需 元，乙 1 件需 元，丙 1 件需 元。 · 根据题意得 · ①② · ② - ① 得 ③。 · ① - 2 × ③ 得 ，。 · 所以购买甲、乙、丙各 1 件共需 105 元。 1. 在等式 中，当 时，；当 时，；当 时，。求 、、 的值。 · 解：根据题意得 · ①②③ · ② - ① 得 ④；③ - ① 得 ，。 · 将 代入④得 ，，。 · 将 ， 代入①得 ，。 · 所以 1. 一个足球的表面是由 32 块黑色五边形和白色六边形皮围成的，黑色皮和白色皮块数的比是 ，求黑色皮和白色皮各有多少块？（提示：可设黑色皮有 块，白色皮有 块，根据题意列二元一次方程组求解，体会有时未知数个数与方程个数并非绝对对应） · 解：设黑色皮有 块，白色皮有 块。则 · 由 得 ，即 。 · 解方程组 · 由 代入 ，，，。则 。 · 答：黑色皮 12 块，白色皮 20 块。 1. 编一道可以用三元一次方程组解决的实际问题，并写出解答过程。 · 我的应用题：小明去买文具，买了 1 支钢笔，2 本笔记本，3 块橡皮共花了 20 元；若买 2 支钢笔，3 本笔记本，1 块橡皮共花了 25 元；若买 3 支钢笔，1 本笔记本，2 块橡皮共花了 30 元。求钢笔、笔记本、橡皮的单价各是多少？ · 解答过程：设钢笔单价 元，笔记本单价 元，橡皮单价 元。 · 根据题意得方程组： · ①②③ · 解：① + ② + ③ 得 ，即 ④。 · ② - ① 得 ⑤。 · ④ - ⑤ 得 ，。将 代入④得 ⑥。 · 将 代入①得 ， ⑦。 · ⑦ - ⑥ 得 ，代入⑥得 。 · 所以方程组的解为 · 答：钢笔单价 7.5 元，笔记本单价 2.5 元，橡皮单价 2.5 元。 学科网（北京）股份有限公司 $