专题03多边形与平行四边形（期中复习讲义，4重难点题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下学期期中复习专项训练（人教版）

专题03 多边形与平行四边形 （期中复习讲义，4重难点题型+过关检测） 题型1 多边形内角和、外角和相关计算（基础重点） 3 题型2 平行四边形性质的应用（中档重点） 5 题型3 平行四边形的判定（中档必考） 12 题型4 平行四边形综合题（难点突破） 19 1. 熟记多边形内角和、外角和公式，能熟练进行相关计算；掌握平行四边形的定义、性质及判定定理，能准确区分性质与判定的用途。 2. 能熟练解决基础题型（多边形边角计算、平行四边形性质应用、判定证明），确保步骤规范、计算准确。 3. 能应对平行四边形综合题，学会结合多边形、三角形知识，运用转化思想突破解题难点，提升综合解题能力。03 期中知识•梳理 知识点1：四边形的基本概念 由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接围成的封闭图形，叫做四边形；四边形有4个顶点、4条边、4个内角，内角和为360°（任意四边形内角和均为360°，与形状无关）。 知识点2：多边形的定义及分类 1. 定义：由n（n≥3，n为整数）条不在同一直线上的线段首尾顺次相接围成的封闭图形，叫做n边形（三角形是最简单的多边形）； 2. 分类：按边数分，可分为三角形、四边形、五边形……；按内角大小分，可分为凸多边形（所有内角都小于180°）和凹多边形（至少有一个内角大于180°），初中阶段重点研究凸多边形。 知识点3：多边形的内角和公式 n边形的内角和为（n≥3，n为整数）；推导思路：将n边形分割成（n-2）个三角形，每个三角形内角和为180°，进而得出多边形内角和。 知识点4：多边形的外角和性质 1. 定义：多边形的每个内角相邻的外角（与内角互补，和为180°），叫做多边形的外角； 2. 性质：任意多边形的外角和都为360°，与边数n无关（无论是三角形、四边形，还是n边形，外角和恒为360°）。 知识点5：正多边形的定义及性质 1. 定义：各边相等、各内角也相等的多边形，叫做正多边形（如正三角形、正方形、正五边形）； 2. 性质：正n边形的每个内角为，每个外角为。 知识点6：平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形，用符号“▱”表示，如平行四边形ABCD记作“▱ABCD”；核心特征：两组对边分别平行（AB∥CD，AD∥BC）。 知识点7：平行四边形的性质（重点） 1. 边的性质：平行四边形的两组对边分别平行且相等（AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC）； 2. 角的性质：平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补（∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°）； 3. 对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分（对角线AC、BD相交于点O，则AO=CO，BO=DO）； 4. 对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点（绕交点旋转180°后与自身重合）。 知识点8：平行四边形的判定定理（必考） 1. 定义判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（AB∥CD，AD∥BC ⇒ ▱ABCD）； 2. 边判定1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（AB=CD，AD=BC ⇒ ▱ABCD）； 3. 边判定2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（AB∥CD且AB=CD ⇒ ▱ABCD）； 4. 角判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（∠A=∠C，∠B=∠D ⇒ ▱ABCD）； 5. 对角线判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形（AO=CO，BO=DO ⇒ ▱ABCD）。 知识点9：平行四边形的面积公式 平行四边形的面积 = 底 × 高（S=ah），其中底是任意一条边，高是这条边对应的垂线段长度（注意：底和高必须对应，不能混淆不同边的高）。 04 期中题型•汇总 题型1 多边形内角和、外角和相关计算（基础重点） 解题核心 核心是牢记两个核心公式：n边形内角和，任意多边形外角和360°；关键是判断题目所求（求内角和、求边数、求单个内角/外角），灵活代入公式，注意正多边形的特殊性（各角相等）。 【典例1】．历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是匠心，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据边形的内角和为，进行求解即可. 【详解】解：. 【变式1】．在剪纸活动中，小花同学想用一张长方形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正五边形的内角和公式和邻补角的性质即可得到结论． 【详解】解：． 【变式2】．一个多边形的内角和与外角和的和是，则以这个多边形的一个顶点为端点的对角线有_______条． 【答案】5 【分析】先根据多边形外角和等于建立方程，解方程求出这个多边形的边数，再根据以边形的一个顶点为端点的对角线有条求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵一个多边形的内角和与外角和的和是，多边形的外角和等于， ∴， 解得， ∴以这个多边形的一个顶点为端点的对角线条数为（条）． 【变式3】．一个多边形被一条直线截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．10或11 B．9或10或11 C．11或12或13 D．10或11或12 【答案】D 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截出一个角后的多边形的边数，再根据截出一个角后边数增加，不变，减少讨论得解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少， 原来多边形的边数是10或11或12． 【变式4】．若在一张正五边形纸片上剪去一个三角形（只剪一下），则剩余多边形的边数是______． 【答案】4或5或6 【分析】本题考查的知识点是多边形的内角与外角，解题关键是列举出所有可能的情况． 一个五边形剪去一个三角形后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个五边形剪去一个三角形后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变，如图： 故答案为：4或5或6． 【变式5】．请根据对话回答问题： (1)多加的外角是________°；这个凸多边形的边数是________． (2)求这个多边形的内角和及其对角线条数． 【答案】(1)，13； (2)内角和是，对角线有65条 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和以及多边形的对角线问题． （1）根据多边形的内角和公式可得内角和一定是180的倍数，用2024除以180，得到的余数即为多加的外角，再根据多边形的内角和公式可得边数； （2）用2024减去多加的外角即可得到内角和；根据n边形的对角线条数为求解即可． 【详解】（1）解：∵n边形的内角和是， ∴多边形的内角和一定是180的倍数， ∵， ∴多加的外角是， 这个凸多边形的边数是； （2）这个多边形的内角和为， 对角线条数为（条）， 答：这个多边形的内角和是，对角线有65条． 题型2 平行四边形性质的应用（中档重点） 解题核心 核心是熟练运用平行四边形的边、角、对角线性质，将未知线段、角度转化为已知条件，重点掌握“对边相等、对角相等、对角线互相平分”的应用，结合方程思想（设未知数）解决计算问题。 【典例2】．如图，在平行四边形中，点E为边上一点，连接，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边对等角得到，再由平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】解：，， ， 平行四边形， ． 【变式1】．如图，在中，，相交于点O．下列结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用平行四边形的性质判断所给结论即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， 无法根据已知条件得到， 所以正确的是①②④⑤． 【变式2】．如图，在平行四边形中，，，的垂直平分线交于点E，则的周长是______． 【答案】10 【分析】由平行四边形的性质可得，，由线段垂直平分线的性质可得，由此计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， 由线段垂直平分线的性质可得：， ∴的周长是． 【变式3】．在中，对角线交于点平分交于F，交于点E，连接为AD上一点，连．下列结论： ①； ②； ③若，则的面积为； ④当时，的最小值为9； 其中结论正确的序号为__________． 【答案】①②③④ 【分析】证明是等边三角形，从而证明，可以判断①正确；根据平行四边形的性质可以判断②正确；过点O作于点M，于点X，根据，得到，设，则，，根据勾股定理，求得，可以判断③正确；作点O关于的对称点Q，连接交于点N，连接交于点Ｈ，故当G与点N重合时，取得最小值，根据勾股定理求解可以判断④正确． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，故①正确； 四边形是平行四边形，， ∴，故②正确； ③， ，， ， ，， ， ， ， ， 过点O作于点M，于点X， ∴，， ∴， ， ， 设，则，， 根据勾股定理，得，即， 整理，得， 解得，， 故或，大于，舍去． 故， 的面积为，故③正确； 当时，则， ， ， ， 作点O关于的对称点Q，连接交于点N，连接交于点H， 故当G与点N重合时，取得最小值， 根据题意，得，， 延长交于点P，， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 的最小值为9，故④正确． 【变式4】．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，分别过点，作，，垂足分别为，，平分 (1)若，求的度数； (2)求证：. 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用三角形内角和定理求出，利用角平分线的定义求出，再利用平行线的性质解决问题即可． （2）证明可得结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， 平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， （2）证明：四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ． 【变式5】．如图，在平行四边形中，点是的中点，连接，交的延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质结合已知条件，证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，即    ， 点是的中点， 在和中，      题型3 平行四边形的判定（中档必考） 解题核心 核心是根据题目已知条件，选择最简便的判定定理（优先选“一组对边平行且相等”“对角线互相平分”，可简化证明步骤），牢记判定定理的条件，避免遗漏（如仅用“一组对边平行”或“一组对边相等”不能判定平行四边形）。 【典例3】．如图，在中，对角线，相交于点，，，为直线上的两个动点（点，始终在的外面），连接，，，． (1)若，，求证：四边形为平行四边形； (2)若，，四边形________平行四边形；（填“是”或“不是”） (3)若，（为大于的正整数），四边形________平行四边形．（填“是”或“不是”） 【答案】(1)证明见解析 (2)是 (3)是 【分析】（1）由平行四边形的性质可知，再证明，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）（3）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形分别判定即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形； （2）解：， ， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形， 即若，，四边形是平行四边形； （3）解：∵，，， ， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形， 即若，，四边形为平行四边形． 【变式1】．如图，点是线段的中点，点、在的同侧，． (1)求证：； (2)连接，求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由B是的中点得，结合，得出，根据即可证明； （2）由（1）中得，得，再结合，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴． ∵， ∴， 在和中， ∴． （2）证明：∵， ∴，， ∴． ∴四边形是平行四边形． 【变式2】．如图，在四边形中，，对角线，交于点，且，点为上一点，延长交于点． (1)求证：； (2)四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行线的性质结合证明即可； （2）证明得到，再由即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 【变式3】．如图，为的对角线，的平分线交于F，延长交于，连接，当时． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，写出图中所有与长度相等的线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质，等量代换思想求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ； ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式4】．如图， 在四边形中， ，是边的中点，连接并延长，交延长线于点 ．若，求证：四边形 是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】先根据证明，得，从而得，结合根据对边平行的四边形是平行四边形得证． 【详解】证明：是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形． 【变式5】．某数学学习小组要在的对角线上找点E，F，使四边形是平行四边形．现有甲、乙两种方案，如下表： 方案 甲 乙 作法 作和的平分线，与分别交于点E，F 作边，的垂直平分线，分别交于点E，F 图示 (1)请你选择其中一种方案，判断其是否可以得到四边形是平行四边形，若可以，写出证明过程；若不可以，请说明理由； (2)若，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）可选择甲方案，由平行四边形的性质得，，，则，由角平分线的定义可得到，再通过可证明，通过全等三角形的性质得到，，进而可得到，即可证明四边形为平行四边形．另外，此题也可能选择乙方案，由垂直平分线的性质可得，，进而得到，再通过可证明，通过全等三角形的性质得到，，进而可得到，即可证明四边形为平行四边形． （2）连接交于点O，则，．由可得到，进而得到，由此可求出的面积，最后可求出平行四边形的面积 【详解】（1）解：答案一：选择甲方案，甲方案可以得到四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ，，， ． 平分，平分， ，， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 答案二：选择乙方案，乙方案可以得到四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ，， ． 由垂直平分线的性质可得，， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形． （2）解：连接交于点O，则，． ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，证明是解题的关键，还应注意本题有多种解法． 题型4 平行四边形综合题（难点突破） 解题核心 核心是“转化思想”，将平行四边形问题与多边形、三角形（全等、等腰）知识结合，通过作辅助线（连接对角线、作高）构造直角三角形或全等三角形，灵活运用平行四边形的性质与判定，分步突破难点。 【典例4】．如图，在四边形中，是边的中点，，互相平分并相交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】连接，证明四边形为平行四边形，得到，，继而推出，四边形为平行四边形，即可得到结论， 【详解】证明：连接， 、互相平分并交于点，即，， 四边形为平行四边形， ，． 又为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， ． 【变式1】．如图，，分别是平行四边形的对角线上两点，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】连接，，由平行四边形得出，，证出，可证明四边形为平行四边形，即可得出． 【详解】解：连接，，如下图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 【变式2】．在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点． (1)当点在边上时，如图，求证：； (2)当点在边的延长线上时，请直接写出图中，，之间的数量关系______； (3)若，，则______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）证明四边形是平行四边形， 由平行四边形的性质得到，根据等腰三角形的性质和判定结合平行线的性质，证明， 等量代换即可得结论； （2）证明四边形是平行四边形， 由平行四边形的性质得到，根据等腰三角形的性质和判定结合平行线的性质，证明， 等量代换即可得结论； （3）分三种情况讨论，当点在边上时，当点在边的延长线上时，当点在边的反向延长线上时，结合所证结论即可求解． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即； （3）解：当点在边上时，由（1）可知：， ，， ； 当点在边的延长线上时，由（2）可知：， ； 当点在边的反向延长线上时，如图， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，， 此情况不存在； 综上，或． 【变式3】．如图，四边形是平行四边形，对角线，交于点O，过点C作，交于点E． (1)尺规作图：过点A作，交于点F，连接，：（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：四边形为平行四边形． 证明：∵四边形为平行四边形，对角线交于点O， ∴①________． ∵，， ∴②________， 在和中， ∴， ∴④________， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）利用基本作图，过A点作的垂线即可； （2）先根据平行四边形的性质得到，再证明，接着证明得到，然后根据平行四边形的判定方法可判断四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：如图，即为所作． （2）证明：∵四边形为平行四边形，对角线交于点O， ∴①． ∵，， ∴②， 在和中 ， ∴， ∴④， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 【变式4】．如图，在中，D是边上的一点，是的中点，过A点作的平行线交的延长线于点，且，连接； (1)求证：； (2)请写出四个图中的三角形，并且每个三角形的面积都等于． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，可得，再利用等量代换即可； （2）利用三角形中线的性质和平行线间的距离处处相等，结合平行四边形的性质即可得到答案 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ． （2）解：．理由如下： ∵， ∴， ，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ 【变式5】．图1是升降式篮球架，图2是其侧面示意图，立柱，．伸缩杆的长度变化，带动旋转杆，分别绕点O，A转动、篮板升降．已知，，，，，． (1)求证：； (2)当篮筐离地高度时． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②此时伸缩杆的长度为__________； (3)受制造工艺限制，要求，求篮筐离地高度的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)①矩形，见解析；② (3) 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据平行线的性质即可得到结论； （2）①由平行四边形的性质和矩形的判定定理得到结论；②过Q作过点Q作于点E，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，再根据勾股定理解答即可； （3）分别求出当时和当时， 的长度，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴； （2）解：①四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是矩形， ∴， 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； ②如图，过点Q作于点E， 由①得：四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （3）解：当时，， 如图，过点M作于点F， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 当时，，过点M作于点F，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴篮筐离地高度的取值范围为． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键， 05 过关•检测 1．我国古建筑墙上采用的八角形空窗的轮廓是一个正八边形．正八边形的一个外角是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】任意多边形的外角和为，除以即可． 【详解】解：∵任意多边形的外角和恒为， 又∵正八边形的8个外角都相等， ∴正八边形的一个外角为. 2．四边形的三个内角分别是，，，则与这三个内角都不相邻的外角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用四边形内角和定理求出第四个内角的度数，再根据内角与相邻外角的和为，计算得到所求外角的度数． 【详解】解∶第四个内角的度数为， 该外角的度数为． 3．如图，五边形的每个内角都相等，分别过顶点，作一条射线，交点为，如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多边形内角和为，进而得到，再由两直线平行，同旁内角互补即可求解． 【详解】解：五边形的内角和为， 又五边形的每个内角都相等， ， ， ，即， 解得． 4．如图，在中，不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，结合平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 、、， 故选项A、B正确； ， ， 故选项C正确； ， ， 故选项D错误． 5．如图，的面积为，点E在边上，，，则的长为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】如图，过点E作于点F，设，表示出，，然后得到，然后利用的面积列方程求解． 【详解】解：如图，过点E作于点F， 设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， 解得：， ∴的长为． 6．如图，，分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的面积与三角形的面积公式可得三角形的面积，连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出，，所以，，因此可以推出四边形的面积就是．再根据面积差可得答案． 【详解】解：连接E、F两点，过点E作于点M， ∵，, ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的边上的高与的边上的高相等， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵，， ∴， 故阴影部分的面积为． 7．下列条件中，能确定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A． ，，如下图所示， ， ， ， ， 只有一组对边平行，不能说明四边形是平行四边形，故不符合题意． B：， ∵四边形内角和为， ∴，即； 这只能推出一组对角互补，无法证明两组对边平行或两组对角相等，比如等腰梯形也可能满足、， ∴四边形不是平行四边形，故不符合题意． C：， 如下图所示， ∵四边形内角和为， ∴； ∴，即 ， ； 同理，， ∴， ∴四边形是平行四边形；✅ D： ∵四边形内角和为， ； ∴四个角分别为，，，既不满足两组对角相等，也不满足两组对边平行， ∴四边形不是平行四边形，故不符合题意． 8．如图，在中，分别是边的中点，是对角线上的两点，且，连接．则以下结论错误的是(    ) A． B． C．四边形是平行四边形 D． 【答案】A 【分析】由是的中点，是上的动点，可知与不一定垂直，可判断A错误；由平行四边形的性质及，分别是，的中点，推导出，，而，即可根据“”证明，得，可判断B正确；由等角的补角相等推导出，则，因为，所以四边形是平行四边形，可判断C正确，证明四边形是平行四边形得出，根据即可判断D正确． 【详解】解：是的中点，是上的动点， 与不一定垂直，故A错误； 四边形是平行四边形，，分别是，的中点， ，，且，， ，， 在和中， ， ， ，故B正确； ， ， ， ， 四边形是平行四边形，故C正确； ∵ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ 又∵ ∴，故D正确． 9．如图，平行四边形中，，点在四边形内，且，，连接，若，则的长度为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】通过延长交于，构造直角三角形与全等三角形，先证得到，结合勾股定理求出、的长度，再利用直角三角形的性质与勾股定理求出，最终得到的长度，同时逐一判断选项． 【详解】解：延长交于． ∵四边形是平行四边形 ∴，，，， ∴, ∵，， ∴, ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴（）， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 10．如图，在中，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为4，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】过点作于点，证明得到，再由三角形面积公式即可判断①；确定点在直线上运动，延长至点，使得，交直线于点，连接，则点为点关于直线上的对称点，那么，则，当点三点共线时，取得最小值为，在中，求出，即可判断②；由于点在直线上运动，则，故的最小值为4，即可判断③． 【详解】解：如图所示，过点作于点，则， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积不变，故①正确； 由上知， ∴点到直线的距离为2， ∴点在直线（直线l在直线下方，，且直线l到直线的距离为2）上运动， 如图所示，延长至点，交直线于点，使得，连接， ∵，， ∴， ∴点为点关于直线上的对称点， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为，②错误； ∵点在直线上运动， ∴， ∴的最小值为4，故③正确， ∴正确的为①③， 11．如图，在中，对角线相交于点O，过点O作交于点E，若，，，则________． 【答案】 【分析】连接，先判断垂直平分线得到，进而判断，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，    ∵四边形是平行四边形，对角线相交于点O， ∴，， 又， ∴垂直平分线， ∴， 又，，， ∴， ∴， ∴，则， 在中，， ∴． 12．如图，学校的伸缩门是应用了四边形的________． 【答案】 不稳定性 【分析】根据四边形的特性即可得到答案． 【详解】解：学校的伸缩门在开关过程中，其形状可以发生改变，能够灵活伸缩，应用了四边形的不稳定性． 13．苯（分子式为C6H6）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2所示，点O为正六边形的中心，则______． 【答案】 【分析】根据正多边形的性质可得，，再根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理求解即可 【详解】解：∵是正六边形，点为中心， ∴，， ∴，， ∴， ∴ ∴． 14．已知一个多边形的内角和为度，则该多边形为_____________． 【答案】 七边形 【分析】本题利用多边形内角和公式，列一元一次方程求解多边形的边数，即可得到结果． 【详解】设该多边形的边数为， 根据多边形内角和公式可得：， 解得， 因此该多边形为七边形． 15．如图，平行四边形的面积为12，对角线，交于点O，线段经过点O，交于点E，交于点F，则阴影部分面积为__________． 【答案】3 【分析】首先证明，得到，将阴影部分面积转化为的面积，再根据平行四边形对角线分面积的规律求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴阴影部分面积． 16．如图，四边形是平行四边形，平分，交边于E，若，，则DE的长度为________． 【答案】4 【分析】由平行四边形性质得，，，由角平分线得，进而得，根据等角对等边得，进而计算． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：4 ． 17．在中，E为上一点，将沿折叠至处，与交于点F．若，则∠FEG度数为_____． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质可得，再根据三角形外角的性质、邻补角互补、折叠的性质可得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠至处，与交于点F， ∴， ∴． 18．如图，在平行四边形中，，，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线，交对角线于点，连接，恰好垂直于边，则的长是________． 【答案】 【分析】设，则，容易判断是线段的垂直平分线，因此．在直角中，使用勾股定理构造方程并求解即可． 【详解】解：设，则， 根据题意可得，是线段的垂直平分线， ∴， 在直角中，， ∴， 解得， ∴． 19．如图，在中，，点是上一点，将沿折叠得到，连接，．下列结论：①当点落在边上时，；②当点为中点时，；③当时，；④当时，．其中所有正确结论的序号是_____． 【答案】② ③ ④ 【分析】根据平行四边形的性质，判定是等边三角形，过点E作于点F，根据勾股定理求解即可判定①错误；过点C作交延长线于点G，根据勾股定理求解即可判定②正确；设，则，计算可判定③正确；延长交于点M，根据勾股定理求解即可判定④正确； 【详解】解：当点落在边上时，如图，四边形是平行四边形， ， 由折叠可知，，， ， ，， ， ∴是等边三角形， ， 过点E作于点F， ，， 根据勾股定理可得， 在中，， 故①错误； 当点为中点时，如图，过点C作交延长线于点G， 因为四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， 在中，， 故②正确； 当时，则， 因为四边形是平行四边形， ， ， 设， 则， ， 故③正确； 当时，延长交于点M， 因为四边形是平行四边形， ， 由折叠可知，， ， ， ， ，， ，， 故． 故④正确； 综上，正确的有②③④． 20．如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（米），向右转，再前进3米后到达点B（米），又向右转，……这样小明一直右转了n次刚好回到出发点O处． 根据以上信息，解答下列问题： (1)n的值为________． (2)小明走出的这n边形的周长为________米． (3)若一个正m边形的内角和比外角和多，求这个正m边形的边数． 【答案】(1)15 (2)45 (3)8 【分析】本题考查多边形外角和为、正多边形内角和公式；易错点：注意区分外角和（固定）与内角和（随边数变化）． （1）小明每次右转的角度是正 n 边形的外角，任意多边形的外角和为． （2）该正 15 边形的每条边长均为 3 米，周长 = 边长 × 边数． （3）任意多边形外角和恒为；正 m 边形内角和公式：． 【详解】（1）解：； （2）解：周长 (米) （3）解：根据题意，得， 解得， 故这个正m边形的边数为8． 21．张明和李华的对话如图所示，请根据对话内容回答下列问题： (1)张明的说法正确吗？请说明理由； (2)张明得到的新多边形是几边形？ 【答案】(1)不正确；理由见解析 (2)九边形或八边形或七边形 【分析】（1）根据多边形的内角和公式，可知任意多边形的内角和一定能被整除，即可求解； （2）设这个正多边形的边数为n，剪去的内角为，根据题意列式用n表示出x，然后根据x的取值范围，得到n的取值范围，求得整数解，再分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：张明的说法不正确．理由如下： 由多边形内角和定理可知，多边形的内角和为， 即任意多边形的内角和一定能被整除， ∵不能被整除， ∴张明的说法不正确． （2）解：设这个正多边形的边数为n，剪去的内角为， 根据题意，得， ∴， ∵， ∴， ∵n为整数， ∴这个正多边形为正八边形， 如图所示， 将正八边形剪去一个角后，得到的多边形的边数增加1或不变，或减少1，则得到的多边形边数为9或8或7， 即得到的新多边形是九边形或八边形或七边形． 22．我们知道，四边形内角和为，若某个四边形有一组对角互补，则另一组对角也必然互补．因此，我们把有一组对角满足互补关系的四边形称为“双补四边形”．例如：在四边形中，若（或），则称四边形为“双补四边形”． (1)已知四边形是“双补四边形”． ①若，则______； ②如图1，若，，，，则______； (2)如图3，四边形是“双补四边形”，，点M，N分别在边，上，且满足．试探究和之间满足的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)①；②6 (2)，证明见解析 【分析】（1）①根据“双补四边形”的定义得到，，再根据角的大小关系可得到，则，据此求出的度数，进而求出的度数即可得到答案； ②根据“双补四边形”的定义得到，由勾股定理求出的长，进而可求出的长； （2）延长到P，使得，连接，可证明；根据“双补四边形”的定义得到，则可证明，证明，得到，再证明，得到，则可证明，再由，可得． 【详解】（1）解：①∵四边形是“双补四边形”， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图所示，连接， ∵四边形是“双补四边形”， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得； （2）解：， 证明如下：如图所示，延长到P，使得，连接， ∵，， ∴，即； ∵四边形是“双补四边形”， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是“双补四边形”， ∴， ∴． 23．已知：如图，E，F为平行四边形的对角线上的两点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质得到，，由平行线的性质得到，利用证明得出，从而证明，根据平行线的判定即可得出结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ∴， ∴， 即， ∴． 24．已知，如图，四边形是平行四边形，点E、F在对角线所在的直线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质可得，推出，进而得到，结合证明，即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 25．如图①，在中，．动点P以每秒5个单位长度的速度从点A出发在上往返运动；同时动点Q以每秒2个单位长度的速度从点B出发沿运动，到C点停止．当点P、点Q中有一点停止运动，另一点也同时停止运动．设点P运动的时间为秒． (1)当点P从A向D运动时，_____，_____；当点P从D向A运动时，_____（用含t的代数式表示）． (2)如图②，点M、N分别为、的中点，当以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1)或；； (2)或4或 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）分三种情况：当点P第一次从点A向点D运动时，四边形为平行四边形，当点P从点D向点A运动时，四边形为平行四边形，当点P第二次从点A向点D运动时，四边形为平行四边形，分别画出图形，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：当点第一次从向运动时，，则， 当点第二次从向运动时，，则， ∵， ∴； 当点从向运动时， ． （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵点M、N分别为、的中点， ∴， 当点P第一次从点A向点D运动时，四边形为平行四边形，如图所示： 则此时， 即， 解得：； 当点P从点D向点A运动时，四边形为平行四边形，如图所示： 则此时， 即， 解得：； 当点P第二次从点A向点D运动时，四边形为平行四边形，如图所示： 则此时， 即， 解得：； 综上，当以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或4或． 26．数学中的图形拼接思想是一种重要的几何思维方法，核心在于通过组合、分割、移动图形来解决问题或揭示图形间的关系．如图所示，有两个三角形和，并且，拼接图形使得与重合，得到四边形． (1)【图形探究】：取的中点O，点M在上，连接并延长交于点N．求证：； (2)【知识拓展】：若在平面直角坐标系中，，，．请直接写出以G，H，P，Q为顶点的平行四边形的第四个顶点Q的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】（1）证明，即可求证； （2）根据平行四边形的性质，分三种情况解答即可． 【详解】（1）证明：∵，拼接图形使得与重合， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设点Q的坐标为， ∵，，， ∴当为对角线时， ，解得：， 此时点Q的坐标为； 当为对角线时， ，解得：， 此时点Q的坐标为； 当为对角线时， ，解得：， 此时点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或或． 27．如图1，的对角线和相交于点，过点且与边，分别相交于点和点． (1)求证：=； (2)如图2，已知，，，∠=∠． ①当为多少度时，？ ②在①的条件下，连接，直接写出的周长 ． 【答案】(1)见解析 (2)①当时，；② 【分析】(1)先证明，继而证明，可推导出，即可解答； (2)①先证明，推导出，再由，即可解答； ②先证明垂直平分，则，继而求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． （2）解：①∵四边形是平行四边形， ∴，． 又∵， ∴， ∴ ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴垂直平分． ∴． ∵在中，， ∴在中，． ∴的周长． 28．在平行四边形中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，过点作的垂线，与分别交于点，如图． ①求证：；②已知，直接写出的长_________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）通过证明，得，又，即可证明四边形是平行四边形； （2）①根据，，得，，则有，再证，得出，然后证明，得，进而根据等腰直角三角形的性质即可解决问题； ②根据题意设，勾股定理求得，得出，进而得出的长，再根据等面积法，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，点是对角线的中点， ，， ． 在和中， ， ， ． ， 四边形是平行四边形； （2）①证明：如图2，过点作于点，过点作于点， ，， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， 又，， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又， ． ②∵ 设 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中， ∴ ∴ ∵， ∴ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 多边形与平行四边形 （期中复习讲义，4重难点题型+过关检测） 题型1 多边形内角和、外角和相关计算（基础重点） 3 题型2 平行四边形性质的应用（中档重点） 4 题型3 平行四边形的判定（中档必考） 6 题型4 平行四边形综合题（难点突破） 8 1. 熟记多边形内角和、外角和公式，能熟练进行相关计算；掌握平行四边形的定义、性质及判定定理，能准确区分性质与判定的用途。 2. 能熟练解决基础题型（多边形边角计算、平行四边形性质应用、判定证明），确保步骤规范、计算准确。 3. 能应对平行四边形综合题，学会结合多边形、三角形知识，运用转化思想突破解题难点，提升综合解题能力。03 期中知识•梳理 知识点1：四边形的基本概念 由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接围成的封闭图形，叫做四边形；四边形有4个顶点、4条边、4个内角，内角和为360°（任意四边形内角和均为360°，与形状无关）。 知识点2：多边形的定义及分类 1. 定义：由n（n≥3，n为整数）条不在同一直线上的线段首尾顺次相接围成的封闭图形，叫做n边形（三角形是最简单的多边形）； 2. 分类：按边数分，可分为三角形、四边形、五边形……；按内角大小分，可分为凸多边形（所有内角都小于180°）和凹多边形（至少有一个内角大于180°），初中阶段重点研究凸多边形。 知识点3：多边形的内角和公式 n边形的内角和为（n≥3，n为整数）；推导思路：将n边形分割成（n-2）个三角形，每个三角形内角和为180°，进而得出多边形内角和。 知识点4：多边形的外角和性质 1. 定义：多边形的每个内角相邻的外角（与内角互补，和为180°），叫做多边形的外角； 2. 性质：任意多边形的外角和都为360°，与边数n无关（无论是三角形、四边形，还是n边形，外角和恒为360°）。 知识点5：正多边形的定义及性质 1. 定义：各边相等、各内角也相等的多边形，叫做正多边形（如正三角形、正方形、正五边形）； 2. 性质：正n边形的每个内角为，每个外角为。 知识点6：平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形，用符号“▱”表示，如平行四边形ABCD记作“▱ABCD”；核心特征：两组对边分别平行（AB∥CD，AD∥BC）。 知识点7：平行四边形的性质（重点） 1. 边的性质：平行四边形的两组对边分别平行且相等（AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC）； 2. 角的性质：平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补（∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°）； 3. 对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分（对角线AC、BD相交于点O，则AO=CO，BO=DO）； 4. 对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点（绕交点旋转180°后与自身重合）。 知识点8：平行四边形的判定定理（必考） 1. 定义判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（AB∥CD，AD∥BC ⇒ ▱ABCD）； 2. 边判定1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（AB=CD，AD=BC ⇒ ▱ABCD）； 3. 边判定2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（AB∥CD且AB=CD ⇒ ▱ABCD）； 4. 角判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（∠A=∠C，∠B=∠D ⇒ ▱ABCD）； 5. 对角线判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形（AO=CO，BO=DO ⇒ ▱ABCD）。 知识点9：平行四边形的面积公式 平行四边形的面积 = 底 × 高（S=ah），其中底是任意一条边，高是这条边对应的垂线段长度（注意：底和高必须对应，不能混淆不同边的高）。 04 期中题型•汇总 题型1 多边形内角和、外角和相关计算（基础重点） 解题核心 核心是牢记两个核心公式：n边形内角和，任意多边形外角和360°；关键是判断题目所求（求内角和、求边数、求单个内角/外角），灵活代入公式，注意正多边形的特殊性（各角相等）。 【典例1】．历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是匠心，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．在剪纸活动中，小花同学想用一张长方形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．一个多边形的内角和与外角和的和是，则以这个多边形的一个顶点为端点的对角线有_______条． 【变式3】．一个多边形被一条直线截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．10或11 B．9或10或11 C．11或12或13 D．10或11或12 【变式4】．若在一张正五边形纸片上剪去一个三角形（只剪一下），则剩余多边形的边数是______． 【变式5】．请根据对话回答问题： (1)多加的外角是________°；这个凸多边形的边数是________． (2)求这个多边形的内角和及其对角线条数． 题型2 平行四边形性质的应用（中档重点） 解题核心 核心是熟练运用平行四边形的边、角、对角线性质，将未知线段、角度转化为已知条件，重点掌握“对边相等、对角相等、对角线互相平分”的应用，结合方程思想（设未知数）解决计算问题。 【典例2】．如图，在平行四边形中，点E为边上一点，连接，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，，相交于点O．下列结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．如图，在平行四边形中，，，的垂直平分线交于点E，则的周长是______． 【变式3】．在中，对角线交于点平分交于F，交于点E，连接为AD上一点，连．下列结论： ①； ②； ③若，则的面积为； ④当时，的最小值为9； 其中结论正确的序号为__________． 【变式4】．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，分别过点，作，，垂足分别为，，平分 (1)若，求的度数； (2)求证：. 【变式5】．如图，在平行四边形中，点是的中点，连接，交的延长线于点．求证：． 题型3 平行四边形的判定（中档必考） 解题核心 核心是根据题目已知条件，选择最简便的判定定理（优先选“一组对边平行且相等”“对角线互相平分”，可简化证明步骤），牢记判定定理的条件，避免遗漏（如仅用“一组对边平行”或“一组对边相等”不能判定平行四边形）。 【典例3】．如图，在中，对角线，相交于点，，，为直线上的两个动点（点，始终在的外面），连接，，，． (1)若，，求证：四边形为平行四边形； (2)若，，四边形________平行四边形；（填“是”或“不是”） (3)若，（为大于的正整数），四边形________平行四边形．（填“是”或“不是”） 【变式1】．如图，点是线段的中点，点、在的同侧，． (1)求证：； (2)连接，求证：四边形为平行四边形． 【变式2】．如图，在四边形中，，对角线，交于点，且，点为上一点，延长交于点． (1)求证：； (2)四边形为平行四边形． 【变式3】．如图，为的对角线，的平分线交于F，延长交于，连接，当时． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，写出图中所有与长度相等的线段． 【变式4】．如图， 在四边形中， ，是边的中点，连接并延长，交延长线于点 ．若，求证：四边形 是平行四边形． 【变式5】．某数学学习小组要在的对角线上找点E，F，使四边形是平行四边形．现有甲、乙两种方案，如下表： 方案 甲 乙 作法 作和的平分线，与分别交于点E，F 作边，的垂直平分线，分别交于点E，F 图示 (1)请你选择其中一种方案，判断其是否可以得到四边形是平行四边形，若可以，写出证明过程；若不可以，请说明理由； (2)若，，求平行四边形的面积． 题型4 平行四边形综合题（难点突破） 解题核心 核心是“转化思想”，将平行四边形问题与多边形、三角形（全等、等腰）知识结合，通过作辅助线（连接对角线、作高）构造直角三角形或全等三角形，灵活运用平行四边形的性质与判定，分步突破难点。 【典例4】．如图，在四边形中，是边的中点，，互相平分并相交于点．求证：． 【变式1】．如图，，分别是平行四边形的对角线上两点，，求证：． 【变式2】．在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点． (1)当点在边上时，如图，求证：； (2)当点在边的延长线上时，请直接写出图中，，之间的数量关系______； (3)若，，则______． 【变式3】．如图，四边形是平行四边形，对角线，交于点O，过点C作，交于点E． (1)尺规作图：过点A作，交于点F，连接，：（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：四边形为平行四边形． 证明：∵四边形为平行四边形，对角线交于点O， ∴①________． ∵，， ∴②________， 在和中， ∴， ∴④________， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 【变式4】．如图，在中，D是边上的一点，是的中点，过A点作的平行线交的延长线于点，且，连接； (1)求证：； (2)请写出四个图中的三角形，并且每个三角形的面积都等于． 【变式5】．图1是升降式篮球架，图2是其侧面示意图，立柱，．伸缩杆的长度变化，带动旋转杆，分别绕点O，A转动、篮板升降．已知，，，，，． (1)求证：； (2)当篮筐离地高度时． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②此时伸缩杆的长度为__________； (3)受制造工艺限制，要求，求篮筐离地高度的取值范围． 05 过关•检测 1．我国古建筑墙上采用的八角形空窗的轮廓是一个正八边形．正八边形的一个外角是（   ）． A． B． C． D． 2．四边形的三个内角分别是，，，则与这三个内角都不相邻的外角的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，五边形的每个内角都相等，分别过顶点，作一条射线，交点为，如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，的面积为，点E在边上，，，则的长为（    ） A． B． C． D．6 6．如图，，分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 7．下列条件中，能确定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D． 8．如图，在中，分别是边的中点，是对角线上的两点，且，连接．则以下结论错误的是(    ) A． B． C．四边形是平行四边形 D． 9．如图，平行四边形中，，点在四边形内，且，，连接，若，则的长度为（   ） A．2 B． C． D． 10．如图，在中，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为4，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 11．如图，在中，对角线相交于点O，过点O作交于点E，若，，，则________． 12．如图，学校的伸缩门是应用了四边形的________． 13．苯（分子式为C6H6）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2所示，点O为正六边形的中心，则______． 14．已知一个多边形的内角和为度，则该多边形为_____________． 15．如图，平行四边形的面积为12，对角线，交于点O，线段经过点O，交于点E，交于点F，则阴影部分面积为__________． 16．如图，四边形是平行四边形，平分，交边于E，若，，则DE的长度为________． 17．在中，E为上一点，将沿折叠至处，与交于点F．若，则∠FEG度数为_____． 18．如图，在平行四边形中，，，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线，交对角线于点，连接，恰好垂直于边，则的长是________． 19．如图，在中，，点是上一点，将沿折叠得到，连接，．下列结论：①当点落在边上时，；②当点为中点时，；③当时，；④当时，．其中所有正确结论的序号是_____． 20．如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（米），向右转，再前进3米后到达点B（米），又向右转，……这样小明一直右转了n次刚好回到出发点O处． 根据以上信息，解答下列问题： (1)n的值为________． (2)小明走出的这n边形的周长为________米． (3)若一个正m边形的内角和比外角和多，求这个正m边形的边数． 21．张明和李华的对话如图所示，请根据对话内容回答下列问题： (1)张明的说法正确吗？请说明理由； (2)张明得到的新多边形是几边形？ 22．我们知道，四边形内角和为，若某个四边形有一组对角互补，则另一组对角也必然互补．因此，我们把有一组对角满足互补关系的四边形称为“双补四边形”．例如：在四边形中，若（或），则称四边形为“双补四边形”． (1)已知四边形是“双补四边形”． ①若，则______； ②如图1，若，，，，则______； (2)如图3，四边形是“双补四边形”，，点M，N分别在边，上，且满足．试探究和之间满足的数量关系，并证明你的结论． 23．已知：如图，E，F为平行四边形的对角线上的两点，且．求证：． 24．已知，如图，四边形是平行四边形，点E、F在对角线所在的直线上，．求证：． 25．如图①，在中，．动点P以每秒5个单位长度的速度从点A出发在上往返运动；同时动点Q以每秒2个单位长度的速度从点B出发沿运动，到C点停止．当点P、点Q中有一点停止运动，另一点也同时停止运动．设点P运动的时间为秒． (1)当点P从A向D运动时，_____，_____；当点P从D向A运动时，_____（用含t的代数式表示）． (2)如图②，点M、N分别为、的中点，当以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有满足条件的t的值． 26．数学中的图形拼接思想是一种重要的几何思维方法，核心在于通过组合、分割、移动图形来解决问题或揭示图形间的关系．如图所示，有两个三角形和，并且，拼接图形使得与重合，得到四边形． (1)【图形探究】：取的中点O，点M在上，连接并延长交于点N．求证：； (2)【知识拓展】：若在平面直角坐标系中，，，．请直接写出以G，H，P，Q为顶点的平行四边形的第四个顶点Q的坐标． 27．如图1，的对角线和相交于点，过点且与边，分别相交于点和点． (1)求证：=； (2)如图2，已知，，，∠=∠． ①当为多少度时，？ ②在①的条件下，连接，直接写出的周长 ． 28．在平行四边形中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，过点作的垂线，与分别交于点，如图． ①求证：；②已知，直接写出的长_________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $