第7章幂的运算专项训练 2025-2026学年苏科版数学七年级下册期中复习

期中复习——幂的运算 一．同底数幂的乘法（共5小题） 1．（2024春•宿城区期中）已知x+3y﹣3＝0，则3x•27y＝　 　 ． 2．（2025春•工业园区期中）已知2x＝a，4y＝b，x，y为正整数，则23x+2y＝ 　 　 （用a，b表示）． 3．（2025春•靖江市校级期中）已知162×43×26＝23x﹣1，则x的值为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 4．（2025春•淮安区校级期中）已知ax•ay＝a5，axy＝a6（a≠0）． （1）求x+y的值； （2）求x2+y2的值． 5．（2025春•宿城区校级期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出2y个球放入丙袋，最后从丙袋中取出（2x+2y）球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则2x+y的值等于（　　） A．512 B．128 C．64 D．32 二．同底数幂的除法（共3小题） 6．（2022春•江都区期中）已知3a＝4，81b＝16，则32a﹣4b等于　 　 ． 7．（2025春•锡山区校级期中）已知4a﹣3b+1＝0，求32×34a÷27b的值为 　 　 ． 8．（2025春•邗江区校级期中）计算： （1）（b2n）3•（b3）4n÷（b5）n（n是正整数）； （2）5n×25n﹣1÷52n+1（n是正整数）； （3）（x﹣y）10÷（y﹣x）5÷（x﹣y）； （4）（n﹣m）4÷（m﹣n）3+（m+n）3÷（﹣m﹣n）2． 三．积的乘方（共6小题） 9．（2025春•秦淮区期中）计算（﹣2xy2）3＝，其中第①步运算的依据是（　　） A．幂的乘方法则 B．乘法分配律 C．积的乘方法则 D．同底数幂的乘法法则 10．（2025春•天宁区校级期中）计算的结果是（　　） A．1.5 B．﹣1.5 C． D． 11．（2025春•天宁区校级期中）如图，吴老师把家里的WIFI密码设置成了数学问题．曹同学来吴老师家做客，看到WTFI图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地密码连接到了吴老师家里的网络，那么她输入的密码是　 　 ． 12．（2025春•锡山区校级期中）若 2024＝2nmk，其中 m、n、k均为正整数，则 m+n+k 的最大值与最小值的差是（　　） A．1768 B．455 C．252 D．757 13．（2025春•盐城期中）判断498﹣142×712能否被9整除，并说明理由． 14．（2025春•玄武区校级期中）若am＝an，则m＝n（a＞0且a≠1，m，n是正整数）．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果23x+1＝32，那么x＝ 　 　 ； （2）如果27x＝2025，75y＝2025，那么2025xy﹣x﹣y＝ 　 　 ． 四．幂的乘方（共5小题） 15．（2025春•天宁区校级期中）下列各图中，能直观解释“（3a）2＝9a2”的是（　　） A． B． C． D． 16．（2025春•姜堰区期中）计算：（a•a•a•a•a）3的结果是（　　） A．a13 B．a14 C．a15 D．a16 17．（2023春•宿豫区期中）方程3x﹣1＝27，2x＝4y﹣1，则x﹣y＝（　　） A．1 B．0 C．1.5 D．2 18．（2025春•泰兴市期中）已知aa＝224，则a为（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 19．（2025春•泗阳县期中）已知m+n＝1，43n＝2，则82m的值为（　　） A．36 B．8 C．64 D．32 五．科学记数法（共4小题） 20．（2025春•宿豫区期中）计算机存储单位一般用B，KB，MB，GB，…表示，它们之间的关系：1KB＝210B，1MB＝210KB，1GB＝210MB，则1GB＝ 　 　 B． 21．（2024春•溧阳市期中）某种花粉颗粒的直径约为25μm（1μm＝10﹣6m），将这样的花粉颗粒紧密排成长为1cm的一列，大约需要 　 　 颗． 22．（2025春•江阴市期中）地球可以近似地看成是球体，球的体积公式是．已知地球的半径约为6×103千米，它的体积大约是（　　）立方千米．（π取3） A．2.4×1010 B．2.4×106 C．8.64×1011 D．8.64×106 23．（2025春•工业园区校级期中）水由氢，氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子.1个氢原子的质量约为1.674×10﹣27kg，一个氧原子的质量约为2.657×10﹣26kg，一个水分子的质量大约是多少（单位：kg）？ 六．同底数幂加法与乘法的辨析（共5小题） 24．（2025春•常州校级期中）若a是大于1的正整数，且满足，则n的值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 25．（2025春•宿迁期中）若a，b是正整数，且满足3a+3a+3a＝3b×3b×3b，则下列a与b的关系正确的是（　　） A．a＝b B．a+1＝3b C．a+1＝b3 D．3a＝b3 26．（2025春•苏州校级期中）若a，b是正整数，且满足2a×2a×2a×2a＝4b+4b+4b+4b，则下列a与b关系正确的是（　　） A．a+b＝3 B．a﹣b＝2 C．2a+b＝1 D．2a﹣b＝1 27．（2024春•鼓楼区期中）（1）若25+25＝2a，37+37+37＝3b，则a+b＝　 　 ． （2）若2m×3n＝（4×27）7，求m，n． （3）若2p＝m，mq＝n，nr＝32，求pqr． 28．（2024春•句容市期中）若22n+3+4n+1＝192，则n的值为 　 　 ． 七．比较大小（共9小题） 29．（2024春•苏州期中）已知a＝﹣（0.3）2，b＝﹣3﹣2，c＝（）﹣2，d＝（）0，试比较a、b、c、d的大小，并用“＜”号连接起来． 30．（2025春•连云港校级期中）已知a＝255，b＝344，c＝433，这三个数按从小到大的顺序排列，为（　　） A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b 31．（2025春•扬州期中）比较大小：3108　 　 2144． 32．（2025春•天宁区校级期中）比较大小：320　 　 915（填“＞”“＜”或“＝”）． 33．（2025春•盐城校级期中）已知a＝313，b＝275，则a　 　 b（填“＞”、“＜”或“＝”）． 34．（2023春•天宁区校级期中）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是　 　 ． 35．（2025春•无锡期中）已知a＝212，b＝38，c＝74，则a，b、c大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a 36．（2025春•惠山区期中）若a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是（　　） A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b 37．（2025春•泗阳县期中）【阅读材料】：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： 方法一：比较2a，2b的大小：当a＞b时，2a＞2b，所以当同底数时，指数越大，值越大； 方法二：比较340和260的大小：因为340＝（32）20＝920，260＝（23）20＝820，9＞8，所以340＞260．即可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： （1）比较大小：23　 　 24，43　 　 27（直接填写“＞”或“＝”或“＜”）． （2）已知x＝415，y＝610，试比较x，y的大小． 八．消元代换（共11小题） 38．（2016春•张家港市校级期中）若x＝3m+2，y＝27m﹣8，则用x的代数式表示y为　 　 ． 39．（2023春•宜兴市期中）如果x＝3m+1，y＝2+9m，那么用x的代数式表示y为（　　） A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝（x﹣1）2+2 D．y＝x2+1 40．（2025春•锡山区期中）已知2a＝8，2b＝24，2c＝6，那么a、b、c之间满足的关系是（　　） A．a+c＝b+1 B．a+c＝2b C．ac＝2b D．a：b：c＝1：3：2 41．（2016春•秦淮区校级期中）若x3＝m，x5＝n，则x14＝　 　 （用含有m、n的代数式）． 42．（2025春•江都区期中）用所学知识，完成下列题目： （1）若2a＝3，2b＝6，2c＝12，写出a，b，c之间的数量关系，并说明理由； （2）若a5＝2，b5＝3，c5＝72，试确定a，b，c之间的数量关系，并说明理由． 43．（2025春•溧阳市期中）已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，现给出3个数a，b，c之间的四个关系式：①a+c＝2b；②a+b＝2c﹣3；③b+c＝2a+3；④b＝a+2．其中，正确的关系式是 　 　 （填序号）． 44．（2025春•苏州期中）已知5a＝3，5b＝2，5c＝72． （1）求52a的值； （2）求5a﹣b+c的值； （3）直接写出字母a、b、c之间的数量关系为 　 　 ． 45．（2025春•新吴区期中）在幂的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，xy是正整数），则x＝y．利用上面结论解答下列问题： （1）若3x＝36，则x＝ 　 　 ； （2）若3x+2﹣3x+1＝18，求x的值； （3）若m＝2x+1，n＝4x+2x，用含m的代数式表示n． 46．（2025春•工业园区校级期中）若，则y与x满足的关系式为（　　） A．y＝﹣x2+2x+2 B．y＝﹣x2﹣2x+2 C．y＝﹣x2+2x+4 D．y＝﹣x2﹣2x+4 47．（2025春•江苏校级期中）（1）若2m＝8，2n＝32，求22m+n﹣4的值； （2）若x＝2m﹣1，则将y＝1+4m+1用含x的代数式表示． 48．（2024春•新吴区校级期中）已知 x﹣y＝4，xy+z2﹣2z+5＝0，则4x+2y×8z＝　 　 ． 九．新定义（共8小题） 49．（2023春•沭阳县期中）我们约定a※b＝5a×5b，如2※3＝52×53＝55．那么13※3＝　 　 ． 50．（2025春•天宁区校级期中）我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：f（m+n）＝f（m）•f（n），如：f（6）＝f（3+3）＝f（3）•f（3）．若f（2）＝k（k≠0），那么f（16）的结果是　 　 ． 51．（2025春•苏州校级期中）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如数对都是“共生有理数对”． （1）判断数对（﹣2，1）是否为“共生有理数对”，并说明理由； （2）若（m，n）是“共生有理数对”，且m﹣n＝4，求（4m）n的值； （3）若（m，n）是“共生有理数对”，且mn＝3，求（﹣2）m﹣n的值． 52．（2024春•江阴市期中）对于整数a、b定义运算：a※b＝（ab）m+（ba）n（其中m、n为常数），如3※2＝（32）m+（23）n． （1）填空：当m＝1，n＝2023时，2※1＝　 　 ； （2）若1※4＝10，2※2＝15，求42m+n﹣1的值． 53．（2025春•沭阳县期中）如果xn＝y，那么我们记为：（x，y）＝n．例如32＝9，则（3，9）＝2． （1）根据上述规定，填空：（2，8）＝ 　 　 ，（﹣3，9）＝ 　 　 ； （2）若（x，64）＝2，则x＝ 　 　 ； （3）若（4，a）＝2，（b，8）＝3，求（b，a）的值． 54．（2024春•建湖县期中）如果xn＝y，那么我们规定[x，y]＝n．例如：因为32＝9，所以[3，9]＝2． （1）[﹣3，81]＝　 　 ；若[2，y]＝6，则y＝　 　 ； （2）已知[3，60]＝a，[3，4]＝b，[3，m]＝c，若a﹣b＝c，则m＝　 　 ； （3）若[4，28]＝x，[7，28]＝y，令．①求的值；②求t的值． 55．（2025春•邗江区校级期中）新定义：如果xn＝y，则规定（x，y）＝n，例如：32＝9，所以（3，9）＝2． （1）填空：（2，4）＝　 　 ；（﹣3，81）＝　 　 ； （2）若（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，试说明a+b＝c； （3）若（e，5）＝（f，125），求e与f的数量关系． 56．（2025春•宝应县期中）定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）． （1）根据D数的定义，填空：D（2）＝　 　 ，D（16）＝　 　 ． （2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p． 根据运算性质，计算： ①若D（a）＝1，求D（a3）； ②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）． ( 第 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 期中复习——幂的运算 参考答案与试题解析 一．选择题（共20小题） 题号 3 5 9 10 12 15 16 17 18 19 22 答案 A B C A D D C A B D C 题号 24 25 26 30 35 36 39 40 46 答案 C B D D B A C A A 一．同底数幂的乘法（共5小题） 1．（2024春•宿城区期中）已知x+3y﹣3＝0，则3x•27y＝　27　 ． 【答案】27 【分析】求出x+3y＝3，代入3x•27y＝3x+3y，求出即可． 【解答】解：∵x+3y﹣3＝0， ∴x+3y＝3， ∴3x•27y， ＝3x×33y， ＝3x+3y， ＝33， ＝27． 故答案为：27． 2．（2025春•工业园区期中）已知2x＝a，4y＝b，x，y为正整数，则23x+2y＝ a3b （用a，b表示）． 【答案】a3b． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【解答】解：∵2x＝a，4y＝b＝22y， ∴23x+2y＝23x•22y＝（2x）3•b＝a3•b＝a3b． 故答案为：a3b． 3．（2025春•靖江市校级期中）已知162×43×26＝23x﹣1，则x的值为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】根据同底数幂的乘法法则构造一元一次方程即可得解． 【解答】解：∵162×43×26＝23x﹣1， ∴（24）2×（22）3×26＝23x﹣1即28×26×26＝23x﹣1， ∴28+6+6＝23x﹣1， ∴8+6+6＝3x﹣1， ∴x＝7， 故选：A． 4．（2025春•淮安区校级期中）已知ax•ay＝a5，axy＝a6（a≠0）． （1）求x+y的值； （2）求x2+y2的值． 【答案】（1）5； （2）13． 【分析】（1）根据同底数幂相乘法则计算第一个等式，求出x+y即可； （2）根据第二个等式求出xy，再结合（1）中所求x+y，利用完全平方公式求出答案即可． 【解答】解：（1）∵ax•ay＝a5， ∴ax+y＝a5， ∴x+y＝5； （2）∵axy＝a6（a≠0）， ∴xy＝6， 由（1）得：x+y＝5， ∴x2+y2 ＝（x+y）2﹣2xy ＝52﹣2×6 ＝25﹣12 ＝13． 5．（2025春•宿城区校级期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出2y个球放入丙袋，最后从丙袋中取出（2x+2y）球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则2x+y的值等于（　　） A．512 B．128 C．64 D．32 【答案】B 【分析】先表示出调整后三个袋子中的球的数量，再根据球的总数和三只袋中球的个数相同得到5+2y＝37，53﹣2x＝37，则2x＝32，2y＝16，再由2x+y＝2x•2y进行求解即可． 【解答】解：调整后，甲袋中有29﹣2x+2x+2y＝（29+2y）个球，乙袋中有（29+2x﹣2y）个球，丙袋中有53+2y﹣2x﹣2y＝（53﹣2x）个球． ∵一共有53+53+5＝111球，且调整后三只袋中球的个数相同， ∴调整后每只袋中有111÷3＝37（个）球， ∴29+2y＝37，53﹣2x＝37， ∴2x＝16，2y＝8， ∴2x+y＝2x•2y＝8×16＝128． 故选：B． 二．同底数幂的除法（共3小题） 6．（2022春•江都区期中）已知3a＝4，81b＝16，则32a﹣4b等于　1　 ． 【答案】1 【分析】根据同底数幂的除法进行计算即可． 【解答】解：∵81b＝16， ∴34b＝16， ∵3a＝4， ∴32a＝16， ∴32a﹣4b＝32a÷34b＝16÷16＝1， 故答案为：1． 7．（2025春•锡山区校级期中）已知4a﹣3b+1＝0，求32×34a÷27b的值为 　3　 ． 【答案】3 【分析】先根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法法则计算，再代入计算即可． 【解答】解：∵4a﹣3b+1＝0， ∴4a﹣3b＝﹣1， ∴32×34a÷27b ＝32+3a÷（33）b ＝32+4a÷33b ＝32+4a﹣3b ＝32﹣1 ＝3， 故答案为：3． 8．（2025春•邗江区校级期中）计算： （1）（b2n）3•（b3）4n÷（b5）n（n是正整数）； （2）5n×25n﹣1÷52n+1（n是正整数）； （3）（x﹣y）10÷（y﹣x）5÷（x﹣y）； （4）（n﹣m）4÷（m﹣n）3+（m+n）3÷（﹣m﹣n）2． 【答案】（1）b13n （2）5n﹣3 （3）﹣（x﹣y）4 （4）2m 【分析】（1）先由幂的乘方运算变形，再由同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算求解即可得到答案； （2）先由幂的乘方运算变形，再由同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算求解即可得到答案； （3）先由乘方运算的性质变形，再由同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算求解即可得到答案； （4）先由乘方运算的性质变形，再由同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算求解即可得到答案． 【解答】解：（1）（b2n）3•（b3）4n÷（b5）n ＝b6n•b12n÷b5n ＝b6n+12n﹣5n ＝b13n； （2）5n×25n﹣1÷52n+1 ＝5n×52n﹣2÷52n+1 ＝5n+（2n﹣2）﹣（2n+1） ＝5n﹣3； （3）（x﹣y）10÷（y﹣x）5÷（x﹣y） ＝（x﹣y）10÷[﹣（x﹣y）5]÷（x﹣y） ＝﹣（x﹣y）10﹣5﹣1 ＝﹣（x﹣y）4； （4）（n﹣m）4÷（m﹣n）3+（m+n）3÷（﹣m﹣n）2 ＝（m﹣n）4÷（m﹣n）3+（m+n）3÷（m+n）2 ＝（m﹣n）4﹣3+（m+n）3﹣2 ＝（m﹣n）+（m+n） ＝m﹣n+m+n ＝2m． 三．积的乘方（共6小题） 9．（2025春•秦淮区期中）计算（﹣2xy2）3＝，其中第①步运算的依据是（　　） A．幂的乘方法则 B．乘法分配律 C．积的乘方法则 D．同底数幂的乘法法则 【答案】C 【分析】根据积的乘方运算法则解答即可． 【解答】解：（﹣2xy2）3＝（﹣2）3x3（y2）3，其运算的依据是积的乘方运算． 故选：C． 10．（2025春•天宁区校级期中）计算的结果是（　　） A．1.5 B．﹣1.5 C． D． 【答案】A 【分析】利用积的乘方的逆运算及同底数幂的乘法的逆运算计算即可． 【解答】解：原式1.5 1.5 ＝1×1.5 ＝1.5． 故选：A． 11．（2025春•天宁区校级期中）如图，吴老师把家里的WIFI密码设置成了数学问题．曹同学来吴老师家做客，看到WTFI图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地密码连接到了吴老师家里的网络，那么她输入的密码是chun2025　 ． 【答案】chun2025． 【分析】利用幂的乘方与积的乘方法则，同底数幂乘法法则计算后即可求得答案． 【解答】解：（x4z）3•（x4yz）2 ＝x12z3•x8y2z2 ＝x20y2z5， 则她输入的密码是chun2025， 故答案为：chun2025． 12．（2025春•锡山区校级期中）若 2024＝2nmk，其中 m、n、k均为正整数，则 m+n+k 的最大值与最小值的差是（　　） A．1768 B．455 C．252 D．757 【答案】D 【分析】将2024写成幂的乘积的形式后，求得m+n+k 的最大值与最小值即可得出结论． 【解答】解：∵2024＝23×2531， ∴此时m+n+k取得最小值为253+1+3＝257； ∵2024＝21×10121， ∴m+n+k取得最大值为1+1012+1＝1014， ∵1014﹣257＝757， ∴m+n+k 的最大值与最小值的差是757． 故选：D． 13．（2025春•盐城期中）判断498﹣142×712能否被9整除，并说明理由． 【答案】498﹣142×712能被9整除，理由见解析． 【分析】把498﹣142×712先变形为（72）8﹣（2×7）2×712，进一步变形得到72×714﹣4×714，则可最后变形为5×9×714，据此可得结论． 【解答】解：498﹣142×712能被9整除，理由如下： 498﹣142×712 ＝（72）8﹣（2×7）2×712 ＝72×714﹣4×714 ＝45×714 ＝5×9×714， ∴498﹣142×712能被9整除． 14．（2025春•玄武区校级期中）若am＝an，则m＝n（a＞0且a≠1，m，n是正整数）．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果23x+1＝32，那么x＝ 　　 ； （2）如果27x＝2025，75y＝2025，那么2025xy﹣x﹣y＝ 　1　 ． 【答案】（1）； （2）1． 【分析】（1）把23x+1＝32改写为23x+1＝25，进而得出关于x的方程求解； （2）由27x＝2025，75y＝2025得27xy＝2025y，75xy＝2025x，左右分别相乘得2025xy＝2025x+y，从而得出xy＝x+y，然后代入计算即可． 【解答】解：（1）由条件可得23x+1＝25， ∴3x+1＝5， ∴． 故答案为：； （2）由条件可得27xy＝2025y，75xy＝2025x， ∴27xy×75xy＝2025y×2025x， ∴（27×75）xy＝2025x+y， ∴2025xy＝2025x+y， ∴xy＝x+y， ∴2025xy﹣x﹣y＝20250＝1． 故答案为：1． 四．幂的乘方（共5小题） 15．（2025春•天宁区校级期中）下列各图中，能直观解释“（3a）2＝9a2”的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别根据长方形的面积列式计算即可． 【解答】A表示的面积是（3a）a＝3a2； B表示的面积是3（3a）＝9a； C表示的面积是（3×3）（3a）＝27a； D表示的面积是（3a）2＝9a2． ∴ABC不符合题意，D符合题意． 故选：D． 16．（2025春•姜堰区期中）计算：（a•a•a•a•a）3的结果是（　　） A．a13 B．a14 C．a15 D．a16 【答案】C 【分析】先根据同底数幂相乘法则计算括号里面的，再根据幂的乘方法则进行计算即可． 【解答】解：原式＝（a5）3 ＝a15， ∴A，B，D选项不符合题意，C选项符合题意， 故选：C． 17．（2023春•宿豫区期中）方程3x﹣1＝27，2x＝4y﹣1，则x﹣y＝（　　） A．1 B．0 C．1.5 D．2 【答案】A 【分析】直接利用幂的乘方运算法则得出x的值，进而得出答案． 【解答】解：∵3x﹣1＝27，2x＝4y﹣1， ∴3x﹣1＝33，2x＝22（y﹣1）， ∴x﹣1＝3，x＝2（y﹣1）， 解得：x＝4，y＝3， 故x﹣y＝4﹣3＝1． 故选：A． 18．（2025春•泰兴市期中）已知aa＝224，则a为（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】利用幂的乘方法则变形后即可求得答案． 【解答】解：aa＝224＝（23）8＝88， 则a＝8， 故选：B． 19．（2025春•泗阳县期中）已知m+n＝1，43n＝2，则82m的值为（　　） A．36 B．8 C．64 D．32 【答案】D 【分析】先根据已知条件中的幂，把底数写成2的形式，从而求出n和m的值，再把所求幂的底数写成底数是2的幂，再把m的值代入进行计算即可． 【解答】解：∵43n＝2， ∴（22）3n＝2， 26n＝2， ∴6n＝1， ∴， ∵m+n＝1， ∴， ∴， ∴82m ＝（23）2m ＝26m ＝25 ＝32， 故选：D． 五．科学记数法（共4小题） 20．（2025春•宿豫区期中）计算机存储单位一般用B，KB，MB，GB，…表示，它们之间的关系：1KB＝210B，1MB＝210KB，1GB＝210MB，则1GB＝ 　230 B． 【答案】230． 【分析】根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可． 【解答】解：210×210×210＝230． 故答案为：230． 21．（2024春•溧阳市期中）某种花粉颗粒的直径约为25μm（1μm＝10﹣6m），将这样的花粉颗粒紧密排成长为1cm的一列，大约需要 　400　 颗． 【答案】400． 【分析】用1cm除以25μm即可得到答案． 【解答】解：1×10﹣2÷（25×10﹣6）＝104÷25＝400（颗）， ∴大约需要400颗， 故答案为：400． 22．（2025春•江阴市期中）地球可以近似地看成是球体，球的体积公式是．已知地球的半径约为6×103千米，它的体积大约是（　　）立方千米．（π取3） A．2.4×1010 B．2.4×106 C．8.64×1011 D．8.64×106 【答案】C 【分析】根据运算法则进行计算即可． 【解答】解：根据运算法则代入公式计算可得： ． 故选：C． 23．（2025春•工业园区校级期中）水由氢，氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子.1个氢原子的质量约为1.674×10﹣27kg，一个氧原子的质量约为2.657×10﹣26kg，一个水分子的质量大约是多少（单位：kg）？ 【答案】一个水分子的质量大约是2.9918×10﹣26kg． 【分析】根据一个水分子的质量＝两个一个氢原子的质量+一个氧原子的质量，即可得出答案． 【解答】解：（1.674×10﹣27×2）+2.657×10﹣26＝2.9918×10﹣26（kg）， 答：一个水分子的质量大约是2.9918×10﹣26kg． 六．同底数幂加法与乘法的辨析（共5小题） 24．（2025春•常州校级期中）若a是大于1的正整数，且满足，则n的值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由加法法则得a•an＝a8，再由同底数幂的乘法法则得an+1＝a8，即可得出n的值． 【解答】解：由已知得：a•an＝a8， 即an+1＝a8， ∴n+1＝8， ∴n＝7． 故选：C． 25．（2025春•宿迁期中）若a，b是正整数，且满足3a+3a+3a＝3b×3b×3b，则下列a与b的关系正确的是（　　） A．a＝b B．a+1＝3b C．a+1＝b3 D．3a＝b3 【答案】B 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【解答】解：∵3a+3a+3a＝3×3a＝3a+1，3b×3b×3b＝（3b）3＝33b， ∴a+1＝3b． 故选：B． 26．（2025春•苏州校级期中）若a，b是正整数，且满足2a×2a×2a×2a＝4b+4b+4b+4b，则下列a与b关系正确的是（　　） A．a+b＝3 B．a﹣b＝2 C．2a+b＝1 D．2a﹣b＝1 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法运算法则，幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可． 【解答】解：∵2a×2a×2a×2a＝4b+4b+4b+4b， ∴24a＝4×4b， ∴24a＝4b+1， ∴24a＝22b+2， ∴4a＝2b+2， ∴2a＝b+1，即2a﹣b＝1． 故选：D． 27．（2024春•鼓楼区期中）（1）若25+25＝2a，37+37+37＝3b，则a+b＝　14　 ． （2）若2m×3n＝（4×27）7，求m，n． （3）若2p＝m，mq＝n，nr＝32，求pqr． 【答案】（1）14； （2）m＝14，n＝21； （3）5． 【分析】（1）根据乘方的意义，把加法运算写成乘法运算，再按照同底数幂相乘法则进行计算，从而求出a，b，再求出a+b即可； （2）把4和27分别写成底数是2和3的幂，然后根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算，求出m，n即可； （3）根据已知条件，利用幂的乘方法则进行计算，从而求出答案即可． 【解答】解：（1）∵25+25＝25×2＝26＝2a，37+37+37＝37×3＝38＝3b， ∴a＝6，b＝8， ∴a+b＝6+8＝14， 故答案为：14； （2）∵2m×3n＝（4×27）7＝（22×33）7＝22×7×33×7＝214×321， ∴m＝14，n＝21； （3）∵2p＝m，mq＝n，nr＝32， ∴（2p）q＝n，[（2p）q]r＝32， ∴2pqr＝25， ∴pqr＝5． 28．（2024春•句容市期中）若22n+3+4n+1＝192，则n的值为 　2　 ． 【答案】2． 【分析】利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则进行运算即可． 【解答】解：∵22n+3+4n+1＝192， ∴22n+3+22n+2＝192， ∴2×22n+2+22n+2＝192， ∴3×22n+2＝192， ∴22n+2＝64， ∴2n+2＝6， ∴n＝2． 故答案为：2． 七．比较大小（共9小题） 29．（2024春•苏州期中）已知a＝﹣（0.3）2，b＝﹣3﹣2，c＝（）﹣2，d＝（）0，试比较a、b、c、d的大小，并用“＜”号连接起来． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据乘方的意义，可化简各数，根据正数大于负数，可得答案． 【解答】解：a＝﹣（0.3）2＝﹣0.09， b＝﹣3﹣2 c＝（）﹣2＝9， d＝（）0＝1， ∵正数大于零，零大于负数， ∴0.09＜1＜9， 即b＜a＜d＜c． 30．（2025春•连云港校级期中）已知a＝255，b＝344，c＝433，这三个数按从小到大的顺序排列，为（　　） A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b 【答案】D 【分析】本题应先将a、b、c化为指数都为11的乘方形式，再比较底数的大小，即可确定出a、b、c的大小． 【解答】解析：因为a＝255＝3211，b＝344＝8111，c＝433＝6411， 所以255＜433＜344， 即a＜c＜b． 故选：D． 31．（2025春•扬州期中）比较大小：3108　＞　 2144． 【答案】＞． 【分析】将这2个数化为指数相等的幂，然后比较它们的底的大小即可． 【解答】解：3108＝（33）36＝2736，2144＝（24）36＝1636， ∵27＞16， ∴2736＞1636， ∴3108＞2144． 故答案为：＞． 32．（2025春•天宁区校级期中）比较大小：320　＜　 915（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】＜． 【分析】将这2个数化为指数相等的幂，然后比较它们的底的大小即可． 【解答】解：320＝（34）5＝815，915＝（93）5＝7295， ∵81＜729， ∴815＜7295， ∴320＜915． 故答案为：＜． 33．（2025春•盐城校级期中）已知a＝313，b＝275，则a　＜　 b（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】＜． 【分析】将幂化为同指数，比较底数的大小即可． 【解答】解：将幂化为同指数可知： a＝313，b＝275＝（33）5＝315， ∴a＜b； 故答案为：＜． 34．（2023春•天宁区校级期中）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是a＞b＞c ． 【答案】a＞b＞c 【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解． 【解答】解：a＝8131＝3124， b＝2741＝3123， c＝961＝3122， ∵a、b、c的底数相同， ∴a＞b＞c． 故答案为：a＞b＞c． 35．（2025春•无锡期中）已知a＝212，b＝38，c＝74，则a，b、c大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a 【答案】B 【分析】先化成相同的指数，再比较底数的大小． 【解答】解：∵a＝212＝84， b＝38＝94， c＝74， 9＞8＞7， ∴b＞a＞c， 故选：B． 36．（2025春•惠山区期中）若a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是（　　） A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b 【答案】A 【分析】先把81，27，9转化为底数为3的幂，再根据幂的乘方，底数不变，指数相乘化简．然后根据指数的大小即可比较大小． 【解答】解：∵a＝8131＝（34）31＝3124 b＝2741＝（33）41＝3123； c＝961＝（32）61＝3122． 则a＞b＞c． 故选：A． 37．（2025春•泗阳县期中）【阅读材料】：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： 方法一：比较2a，2b的大小：当a＞b时，2a＞2b，所以当同底数时，指数越大，值越大； 方法二：比较340和260的大小：因为340＝（32）20＝920，260＝（23）20＝820，9＞8，所以340＞260．即可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： （1）比较大小：23　＜　 24，43　＜　 27（直接填写“＞”或“＝”或“＜”）． （2）已知x＝415，y＝610，试比较x，y的大小． 【答案】（1）＜；＜； （2）x＞y． 【分析】（1）依据阅读材料中的方法一，变形为同底数幂，比较指数的大小，进而作出结论； （2）依据阅读材料中的方法二，变形为指数相同的幂，比较底数的大小，进而作出结论． 【解答】解：（1）∵3＜4， ∴23＜24； ∵43＝26， 6＜7， ∴43＜27． 故答案为：＜；＜； （2）∵x＝415＝（43）5＝645， y＝610＝（62）5＝365， 64＞36， ∴x＞y． 八．消元代换（共11小题） 38．（2016春•张家港市校级期中）若x＝3m+2，y＝27m﹣8，则用x的代数式表示y为　（x﹣2）3﹣8　 ． 【答案】（x﹣2）3﹣8 【分析】利用等式的性质求得3m＝x﹣2，然后再利用把3m用x代换即可得解． 【解答】解：∵x＝3m+2， ∴3m＝x﹣2， ∴y＝（x﹣2）3﹣8． 故答案为：（x﹣2）3﹣8． 39．（2023春•宜兴市期中）如果x＝3m+1，y＝2+9m，那么用x的代数式表示y为（　　） A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝（x﹣1）2+2 D．y＝x2+1 【答案】C 【分析】根据移项，可得3m的形式，根据幂的运算，把3m代入，可得答案． 【解答】解：x＝3m+1，y＝2+9m， 3m＝x﹣1， y＝2+（3m）2， y＝（x﹣1）2+2， 故选：C． 40．（2025春•锡山区期中）已知2a＝8，2b＝24，2c＝6，那么a、b、c之间满足的关系是（　　） A．a+c＝b+1 B．a+c＝2b C．ac＝2b D．a：b：c＝1：3：2 【答案】A 【分析】根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【解答】解：∵2a＝8，2b＝24，2c＝6， ∴2a•2c＝8×6＝2b×2＝48， ∴a+c＝b+1， 故选：A． 41．（2016春•秦淮区校级期中）若x3＝m，x5＝n，则x14＝m3n （用含有m、n的代数式）． 【答案】m3n 【分析】根据x14＝（x3）3•x5，整体代入即可解决问题． 【解答】解：∵x3＝m，x5＝n， ∴x14＝（x3）3•x5＝m3n． 故答案为m3n； 42．（2025春•江都区期中）用所学知识，完成下列题目： （1）若2a＝3，2b＝6，2c＝12，写出a，b，c之间的数量关系，并说明理由； （2）若a5＝2，b5＝3，c5＝72，试确定a，b，c之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）a+c＝2b，理由详见解析； （2）c＝a3b2，理由详见解析． 【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则进行变形即可； （2）利用幂的乘方公式进行变形即可． 【解答】解：（1）a，b，c之间的数量关系为a+c＝2b， 理由如下： ∵2a×2c＝2a+c＝3×12＝36， 2b×2b＝22b＝6×6＝36， ∴2a+c＝22b， 即a+c＝2b， ∴a，b，c之间的数量关系为a+c＝2b； （2）a，b，c之间的数量关系为c＝a3b2， 理由如下： ∵c5＝72＝23×32＝（a5）3•（b5）2＝（a3b2）5， ∴c＝a3b2． 43．（2025春•溧阳市期中）已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，现给出3个数a，b，c之间的四个关系式：①a+c＝2b；②a+b＝2c﹣3；③b+c＝2a+3；④b＝a+2．其中，正确的关系式是 　①②③　 （填序号）． 【答案】①②③． 【分析】应用幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可得出答案． 【解答】解：∵2a×2c＝2a+c＝3×12＝36，（2b）2＝62，22b＝36， ∴2a+c＝22b， ∴a+c＝2b， 故①正确， ∵2a×2b＝2a+b＝3×6＝18，（2c）2÷23＝22c﹣3＝122÷8＝18， ∴2a+b＝22c﹣3， ∴a+b＝2c﹣3， 故②正确； ∵2b×2c＝2b+c＝6×12＝72，（2a）2×23＝22a+3＝72， ∴2b+c＝22a+3， ∴b+c＝2a+3． 故③正确； ∵2a×22＝aa+2＝3×4＝12，2b＝6， ∴2a+2≠ab． 故④不正确． ∴正确的有①②③选项． 故答案为：①②③． 44．（2025春•苏州期中）已知5a＝3，5b＝2，5c＝72． （1）求52a的值； （2）求5a﹣b+c的值； （3）直接写出字母a、b、c之间的数量关系为 c＝2a+3b ． 【答案】（1）9； （2）108； （3）c＝2a+3b． 【分析】（1）根据幂的乘方直接解答即可； （2）根据同底数幂的乘除法进行解答即可； （3）根据幂的乘方法则以及同底数幂的乘法法则，即可得到结论． 【解答】解：（1）∵5a＝3， ∴52a＝（5a）2＝32＝9； （2）∵5a＝3，5b＝2，5c＝72， ∴5a﹣b+c＝5a×5c÷5b＝3×72÷2＝108； （3）∵72＝32×23＝（5a）2×（5b）3＝52a+3b，5c＝72 ∴52a+3b＝5c， ∴c＝2a+3b； 故答案为：c＝2a+3b． 45．（2025春•新吴区期中）在幂的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，xy是正整数），则x＝y．利用上面结论解答下列问题： （1）若3x＝36，则x＝ 　6　 ； （2）若3x+2﹣3x+1＝18，求x的值； （3）若m＝2x+1，n＝4x+2x，用含m的代数式表示n． 【答案】（1）6； （2）1； （3）m2﹣m． 【分析】（1）根据已知条件中的幂的规定进行解答即可； （2）先把3x+2写成含有3x+1的形式，再进行合并，从而列出关于x的方程，解方程求出x即可； （3）先根据已知条件，把2x用m表示出来，然后逆用幂的乘方法则把表示n的式子写成含有2x的形式，再代入进行计算即可． 【解答】解：（1）∵3x＝36， ∴x＝6， 故答案为：6； （2）∵3x+2﹣3x+1＝18， ∴3×3x+1﹣3x+1＝18， 2×3x+1＝18， 3x+1＝9， x+1＝2， x＝1； （3）∵m＝2x+1， ∴2x＝m﹣1， ∵n＝4x+2x， ∴n＝（22）x+2x ＝（2x）2+2x ＝（m﹣1）2+m﹣1 ＝m2﹣2m+1+m﹣1 ＝m2﹣m． 46．（2025春•工业园区校级期中）若，则y与x满足的关系式为（　　） A．y＝﹣x2+2x+2 B．y＝﹣x2﹣2x+2 C．y＝﹣x2+2x+4 D．y＝﹣x2﹣2x+4 【答案】A 【分析】由①得出7m＝x﹣1③，再化简②得出y＝3﹣（7m）2④，把③代入④即可得出结果． 【解答】解：， 由①得，7m＝x﹣1③， 由②得，y＝3﹣49m＝3﹣（72）m＝3﹣（7m）2④， 把③代入④，得y＝3﹣（x﹣1）2＝3﹣（x2﹣2x+1）＝3﹣x2+2x﹣1＝﹣x2+2x+2， 故选：A． 47．（2025春•江苏校级期中）（1）若2m＝8，2n＝32，求22m+n﹣4的值； （2）若x＝2m﹣1，则将y＝1+4m+1用含x的代数式表示． 【答案】（1）128； （2）4x2+8x+5． 【分析】（1）利用同底数幂乘法的逆运算进行计算即可； （2）先对4m+1利用积的乘方的逆运算，再代入x＝2m﹣1进行计算． 【解答】解：（1）22m+n﹣4 ＝22m•2n÷24 ∵2m＝8，2n＝32， ∴原式128； （2）∵x＝2m﹣1， ∴2m＝x+1， ∴y＝1+4m+1 ＝1+（2m）2•22 ＝1+4（x+1）2 ＝4x2+8x+5． 48．（2024春•新吴区校级期中）已知 x﹣y＝4，xy+z2﹣2z+5＝0，则4x+2y×8z＝　18　 ． 【答案】18． 【分析】根据已知可得（y+2）2+（z﹣1）2＝0，根据非负数性质得到y＝﹣2，z＝1，x＝2代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵x﹣y＝4， ∴x＝4+y， ∴y（4+y）+z2﹣2z+5＝0， ∴y2+4y+4+z2﹣2z+1＝0， ∴（y+2）2+（z﹣1）2＝0， ∴y＝﹣2，z＝1，x＝2， ∴4x+2y×8z＝42+2﹣2×8＝1616+2＝18． 故答案为：18． 九．新定义（共8小题） 49．（2023春•沭阳县期中）我们约定a※b＝5a×5b，如2※3＝52×53＝55．那么13※3＝　516 ． 【答案】516． 【分析】根据同底数幂乘法法则计算，即可求解． 【解答】解：根据题意得：13※3＝513×53＝516． 故答案为：516． 50．（2025春•天宁区校级期中）我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：f（m+n）＝f（m）•f（n），如：f（6）＝f（3+3）＝f（3）•f（3）．若f（2）＝k（k≠0），那么f（16）的结果是k8 ． 【答案】k8． 【分析】根据新定义进行计算即可求解． 【解答】解：∵f（m+n）＝f（m）•f（n），f（2）＝k（k≠0）， ∴根据新运算法则可得， 故答案为：k8． 51．（2025春•苏州校级期中）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如数对都是“共生有理数对”． （1）判断数对（﹣2，1）是否为“共生有理数对”，并说明理由； （2）若（m，n）是“共生有理数对”，且m﹣n＝4，求（4m）n的值； （3）若（m，n）是“共生有理数对”，且mn＝3，求（﹣2）m﹣n的值． 【答案】（1）不是，理由见详解； （2）64； （3）16． 【分析】（1）根据题目中的定义，可以计算出数对（﹣2，1）是否为“共生有理数对”； （2）根据（m，n）是“共生有理数对”，且m﹣n＝4，可以求得（4m）n的值； （3）根据（m，n）是“共生有理数对”，且mn＝3，可以求得（﹣2）m﹣n的值． 【解答】解：（1）（﹣2，1）不是“共生有理数对”， 理由：∵﹣2﹣1＝﹣3，﹣2×1+1＝﹣2+1＝﹣1，﹣3≠﹣1 ∴（﹣2，1）不是“共生有理数对”； （2）由题意可知： ， ∴mn＝3， ∴（4m）n＝4mn＝43＝64； （3）由题意可得： ∴， ∴m﹣n＝3+1＝4， 则（﹣2）m﹣n＝（﹣2）4＝16． 52．（2024春•江阴市期中）对于整数a、b定义运算：a※b＝（ab）m+（ba）n（其中m、n为常数），如3※2＝（32）m+（23）n． （1）填空：当m＝1，n＝2023时，2※1＝　3　 ； （2）若1※4＝10，2※2＝15，求42m+n﹣1的值． 【答案】（1）3； （2）81． 【分析】（1）根据新定义的运算方法计算即可； （2）判断出4n＝9，4m＝6，可得结论． 【解答】解：（1）2※1＝（21）1+（12）2023 ＝2+1 ＝3， 故答案为：3； （2）∵1※4＝10，2※2＝15， （14）m+（41）n＝10，（22）m+[（2）2]n＝15， 整理得：4n＝9，4m+4n＝15，解得：4m＝6， 42m+n﹣1＝42m×4n÷4 ＝（4m）2×4n÷4 ＝62×9÷4 ＝81． 53．（2025春•沭阳县期中）如果xn＝y，那么我们记为：（x，y）＝n．例如32＝9，则（3，9）＝2． （1）根据上述规定，填空：（2，8）＝ 　3　 ，（﹣3，9）＝ 　2　 ； （2）若（x，64）＝2，则x＝ 　±8　 ； （3）若（4，a）＝2，（b，8）＝3，求（b，a）的值． 【答案】（1）3，2； （2）±8； （3）4． 【分析】（1）据题意，由23＝8，（﹣3）2＝9可求得此题结果； （2）由（±8）2＝64可得（±8，64）＝2，从而得到此题结果是±4； （3）由42＝16，23＝8可得，a＝16，b＝2，又由24＝16，可求得此题结果为4． 【解答】解：由已知：如果xn＝y，那么我们记为：（x，y）＝n．例如32＝9，则（3，9）＝2． （1）∵23＝8，（﹣3）2＝9， ∴（2，8）＝3，（﹣3，9）＝2， 故答案为：3，2； （2）∵（±8）2＝64， ∴（8，64）＝2或（﹣8，64）＝2， ∴x＝±8， 故答案为：±8； （3）∵42＝16，23＝8， ∴（4，16）＝2，（2，8）＝3， ∴a＝16，b＝2， 又∵24＝16， ∴（b，a）＝（2，16）＝4． 54．（2024春•建湖县期中）如果xn＝y，那么我们规定[x，y]＝n．例如：因为32＝9，所以[3，9]＝2． （1）[﹣3，81]＝　4　 ；若[2，y]＝6，则y＝　64　 ； （2）已知[3，60]＝a，[3，4]＝b，[3，m]＝c，若a﹣b＝c，则m＝　15　 ； （3）若[4，28]＝x，[7，28]＝y，令．①求的值；②求t的值． 【答案】（1）4，64； （2）15； （3）①； ②． 【分析】（1）根据已知条件中的新定义，求出答案即可； （2）根据已知条件中的新定义，把m表示出来，再利用同底数幂相除法则求出3a﹣b，3c的值，从而求出答案； （3）①根据已知条件中的新定义，把49写成72，64写成43，逆用幂的乘方法则求出答案即可； ②根据已知条件逆用同底数幂相乘法则把28x+y写成28x•28y的形式，然后把28写成7y，4x的形式，通过计算得到x+y与xy的关系，然后进行约分即可． 【解答】解：（1）∵34＝81， ∴[3，81]＝4， ∵[2，y]＝6， ∴y＝26＝64， 故答案为：4，64； （2）∵[3，60]＝a，[3，4]＝b，[3，m]＝c， ∴3a＝60，3b＝4，3c＝m， ∴3a÷3b＝60÷4＝15， 3a﹣b＝15， ∵a﹣b＝c， ∴3c＝15， ∴m＝15， 故答案为：15； （3）①∵[4，28]＝x，[7，28]＝y， ∴4x＝7y＝28， ∴ ； ②∵由①得：4x＝7y＝28， ∴28x+y ＝28x•28y ＝（7y）x•（4x）y ＝7xy•4xy ＝（7×4）xy ＝28xy， ∴x+y＝xy， ∴． 55．（2025春•邗江区校级期中）新定义：如果xn＝y，则规定（x，y）＝n，例如：32＝9，所以（3，9）＝2． （1）填空：（2，4）＝　2　 ；（﹣3，81）＝　4　 ； （2）若（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，试说明a+b＝c； （3）若（e，5）＝（f，125），求e与f的数量关系． 【答案】（1）2，4． （2）见证明过程． （3）当k为偶数时，e3+f＝0或e3＝f；当k为奇数时，e3＝f． 【分析】（1）根据新定义计算即可． （2）先根据新定义计算，再根据同底数幂相乘法则计算即可． （3）先根据新定义计算，再根据幂的乘方法则计算即可． 【解答】（1）解：∵22＝4， ∴（2，4）＝2． ∵（﹣3）4＝81， ∴（﹣3，81）＝4． 故答案为：2，4． （2）证明：∵（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c， ∴4a＝12，4b＝5，4c＝60， ∴4a×4b＝12×5＝60＝4c， ∴a+b＝c． （3）解：设（e，5）＝（f，125）＝k， ∴ek＝5，fk＝125＝53， ∵（ek）3＝53， ∴（e3）k＝53， ∴（e3）k＝fk， 当k为偶数时，e3+f＝0或e3＝f； 当k为奇数时，e3＝f． 56．（2025春•宝应县期中）定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）． （1）根据D数的定义，填空：D（2）＝　1　 ，D（16）＝　4　 ． （2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p． 根据运算性质，计算： ①若D（a）＝1，求D（a3）； ②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）． 【答案】见试题解答内容 【分析】本题属于阅读题，根据给出的定义进行运算或化简． 【解答】解：（1）∵21＝2， ∴D（2）＝1， ∵24＝16， ∴D（16）＝4， 故答案为：1；4． （2）①∵21＝a， ∴a＝2． ∴23＝23． ∴D（a3）＝3． ②D（15）＝D（3×5）， ＝D（3）+D（5） ＝（2a﹣b）+（a+c） ＝3a﹣b+c， ＝（a+c）﹣（2a﹣b） ＝﹣a+b+c． D（108）＝D（3×3×3×2×2）， ＝D（3）+D（3）+D（3）+D（2）+D（2） ＝3×D（3）+2×D（2） ＝3×（2a﹣b）+2×1 ＝6a﹣3b+2． ， ＝D（3×3×3）﹣D（5×2×2） ＝D（3）+D（3）+D（3）﹣[D（5）+D（2）+D（2）] ＝3×D（3）﹣[D（5）+2D（2）] ＝3×（2a﹣b）﹣[a+c+2×1] ＝6a﹣3b﹣a﹣c﹣2 ＝5a﹣3b﹣c﹣2， 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/15 23:33:10；用户：15951603008；邮箱：15951603008；学号：45056201 ( 第 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $