第9章图形的变换专项训练 2025-2026学年苏科版数学七年级下册期中复习

期中复习——图形的变换 一．平移（共6小题） 1．（2025春•梁溪区校级期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置．若∠B＝90°，AB＝8，DH＝3，阴影部分的面积为26，则BE的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025春•秦淮区校级期中）如图，三角形ABC的周长为15cm，将三角形ABC沿BA方向平移至三角形A′B′C′（点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′）的位置，则图中阴影部分的周长为（　　） A．12cm B．15cm C．18cm D．21cm 3．（2025春•锡山区校级期中）如图，边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形A′B′C′D′，此时阴影部分的面积为（　　） A．7cm2 B．6cm2 C．5cm2 D．4cm2 4．（2025春•玄武区校级期中）如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝54°，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△A′B′C′（平移后点A，B，C的对应点分别是点A′，B′，C′），连接CA′，若在整个平移过程中，∠ACA′和∠CA′B′的度数之间存在2倍关系，则∠ACA′的值为（　　） ①18°；②36°；③72°；④108°． A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④ 5．（2025春•宿迁期中）如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝30°，△ADE是直角三角形，∠ADE＝90°，∠E＝30°，且边AB与AD重合，将△ADE绕点A以每秒6°顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 　 　 秒时，DE∥AC． 6．（2025春•锡山区校级期中）已知两个完全相同的直角三角形纸片△ABC、△DEF，如图放置，点 B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C＝∠EFB＝90°，∠E＝∠ABC＝30°，现将图中的△ABC绕点F按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△ABC恰有一边与DE平行的时间为 　 　 秒． 二．轴对称（共11小题） 7．（2025春•泗洪县期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 8．（2025春•盐城校级期中）如图，△ABC和△A1B1C1关于直线m对称，则下列结论：①直线m是线段AA1的垂直平分线；②直线m被线段BB1垂直平分；③AB＝A1B1.其中正确的结论是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 9．（2022秋•苏州期中）有一个英语单词，其四个字母都关于直线l对称，如图是该单词各字母的一部分，请写出补全后的单词所指的物品 　 　 ． 10．（2025春•滨湖区期中）在如图所示的正方形网格中，画出格点△DEF，使得△DEF与△ABC成轴对称，则不同位置的△DEF有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 11．（2024秋•武进区校级期中）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 12．（2025春•常州校级期中）如图，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在4×4的方格纸中，再补出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形，则有（　　）种不同补法． A．4 B．3 C．2 D．1 13．（2025春•天宁区校级期中）如图，每个小三角形都是等边三角形，再将1个小三角形涂黑，使4个小三角形构成轴对称图形．不同涂法有 　 　 种． 14．（2018秋•南京期中）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，若∠BAD＝100°，则∠ACB的度数为（　　） A．40° B．45° C．60° D．80° 15．（2025春•江阴市期中）如图，P是△BAC内部一点，P关于AB，AC的对称点分别是点P1，点P2，连结P1P2分别与AB，AC交于点M，点N，连结PM，PN，下列结论：①△P1P2A一定是等边三角形；②∠P1AP2＝2∠BAC；③△PMN的周长等于线段P1P2的长；④2∠BAC+∠MPN＝180°；其中正确的结论是（　　） A．②③ B．①④ C．②③④ D．①②③④ 16．（2025春•连云港校级期中）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝8，PN＝10，MN＝13，则线段QR的长为　 　 ． 17．（2025•江北区校级二模）如图，在水平地面AB上支放一个平面镜CD，一束光线EF经过平面镜反射后成水平光线FG射出，EF延长线交AB于点H．若∠DCA＝30°，则∠CFH度数为（　　） A．30° B．45° C．50° D．60° 三．线段垂直平分线（共7小题） 18．（2023秋•丹徒区期中）近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（　　） A．AB，BC两边垂直平分线的交点处 B．AB，BC两边高线的交点处 C．AB，BC两边中线的交点处 D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处 19．（2025秋•邗江区期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝2cm，△ADC的周长为8cm，则△ABC的周长是（　　）cm． A．8 B．10 C．12 D．14 20．（2019秋•崇川区校级期中）如图，DE、FG分别是△ABC的AB、AC边上的垂直平分线，且∠BAC＝100°，那么∠DAF的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 21．（2025春•宿城区校级期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E，已知△ADE的周长为13cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为28cm，则OA的长为（　　）cm． A．6.5 B．7.5 C．13 D．43 22．（2024秋•海安市校级期中）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE，分别与AB，AC交于点D，E，BC边的垂直平分线FG，分别与BC，AC交于点F，G．若△BEG的周长为16，且EG＝1，则AC的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 23．（2022秋•常州期中）如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为（　　） A．120° B．125° C．130° D．135° 24．（2025秋•姑苏区校级期中）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为 　 　 ． 四．桌球问题（共3小题） 25．（2025春•沭阳县期中）如图，∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 26．（2025春•如皋市期中）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点A滚向桌边PQ，碰着PQ上的点B后便反弹而滚向桌边RS，碰着RS上的点C便反弹而滚入点Q，一共反弹两次．已知AB，BC，CQ都是直线，PQ∥RS，且∠ABC的平分线BN垂直于PQ，∠BCQ的平分线CM垂直于RS，若∠CQR＝33°，则∠ABP的度数为 　 　 ． 27．（2024秋•南京期中）桌面上有A，B两个球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示4个点中，可以瞄准的点是（　　） A．D B．E C．F D．G 五．翻折（共9小题） 28．（2025春•叶县期末）折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家藤田文章和羽鸟公士郎甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图所示，南南在课余时间拿出一张长方形纸片ABCD（∠A＝∠B＝∠C＝90°），他先将纸片沿EF折叠，再将折叠后的纸片沿GH折叠，使得GD'与A'B'重合，展开纸片后测量发现∠BFE＝60°，则∠DGH＝　 　 °． 29．（2023秋•宜春期末）将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝8°，则∠EAF的度数为（　　） A．41° B．42° C．37° D．45° 30．（2024春•宿城区校级月考）如图a是长方形纸带，∠DEF＝24°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（　　） A．118° B．114° C．108° D．132° 31．（2025春•宝山区校级期末）如图，现有一张长方形纸片ABCD，点E，F在AD上，点G，H在BC上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，点C的对应点为点C′．点B对应点为点B′．若∠α+∠β＝132°，则∠C′MB′的度数为（　　） A．104° B．106° C．96° D．132° 32．（2025秋•绵阳期末）已知四边形ABCD为长方形．如图1，点E在线段CD上，将其沿BE折叠得到图2，BC′，EC′分别交AD于G，H，再将△C′GH沿GH折叠得到图3，点C″恰好落在线段BE上．若∠EBC＝α，则∠C″HE＝（　　） A．180°﹣4a B．4a C．90°﹣2a D．2a 33．（2025春•汝州市期末）在一次数学实践活动课上，学生进行折纸活动，如图是小睿、小轩、小涵三位同学的折纸示意图（C的对应点是C′），分析他们的折纸情况，下列说法正确的是（　　） A．小睿折出的是BC边上的中线 B．小轩折出的是△ABC中∠BAC的平分线 C．小涵折出的是△ABC中BC边上的高 D．上述说法都错误 34．（2025春•盐都区期中）如图，是用长方形纸片折纸飞机的操作顺序，最后一个图形中所有线条均在同一平面上时，折痕AB、CB与飞机头的夹角∠ABC的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 35． （2025春•天宁区校级期中）如图①，已知四边形纸片ABCD．按图②、图③的折纸方法依次折叠后再展开，得到两条折痕，如图④第二条折痕与边CD交于点E，连结AE、BE．若∠ABC＝80°，BE平分∠ABC，则∠AEB的度数是（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 36．（2025•长春一模）如图，将一张矩形纸片对折，折痕为AB，再将以AB的中点O为顶点的平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，将剪出的等腰三角形全部展开平铺后，得到的平面图形每个内角的度数为（　　） A．60° B．108° C．120° D．135° 六．将军饮马（共6小题） 37．（2025春•郑州期末）如图，在锐角三角形ABC中AB＝5，△ABC的面积15，BD平分∠ABC交AC于点D，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 38．（2022秋•丹阳市期中）如图，在△ABC中，AB＝2.5，AC＝6，CB＝6.5，EF垂直平分AC，点P为直线EF上的任一点则△ABP周长的最小值是（　　） A．8.5 B．9 C．12 D．12.5 39．（2025秋•香坊区期末）如图，点P是线段AB上方一动点，AB＝6，S△PAB＝9，当PB+PA最小时，∠APB的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 40．（2024秋•竹溪县期末）如图，△ABC的面积为12，AB＝5，AD平分∠BAC，若E，F分别是AC，AD上的动点，则FE+FC的最小值是（　　） A． B． C．3 D． 41．（2025秋•洛龙区期中）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程最短呢？ 【分析问题】小明：如图2，将A，B两地抽象为两个点，将河流抽象为一条直线l．如图3，小明作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程AC﹣CB就是最短的．小智：如图4，在直线l上另取一点C'（与点C不重合），连接AC'，BC'，B'C'，只要证明AC+CB＜AC'+C'B即可． 【解决问题】 任务一：（1）“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将两点位于直线“同侧”问题，转化为两点位于直线“异侧”问题来解决．小智在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是　 　 ． 请你完成下列填空： 如图4，在直线l上另取任意一点C'（与点C不重合），连接AC'，BC'，B'C'． ∵点B与B'关于直线l对称， ∴直线l是BB'的垂直平分线． ∴CB＝　 　 ，C′B＝　 　 ． ∴AC+CB＝AC+　 　 ＝　 　 ． 在△AB'C'中，AB'＜AC'+C'B'，∴AB'＜AC'+C'B∴AC+CB＜AC'+C'B，即AC+CB最小． 任务二：（2）如图5，将军牵马从军营P处出发，先到河边OA饮马，再到草地OB牧马，最后回到P处，试分别在OA和OB上各找一点E，F，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； 任务三：（3）如图6，等边△ABC中，D为AC的中点，点P，Q分别为AB，AD上的点，BP＝AQ＝8，QD＝6，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为　 　 ． 42．综合与实践 【提出问题】 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图（1），将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：如图（2），作B关于l的对称点B'，连接AB'与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图（3），在l上另取一点C'，连接AC'，BC'，B'C'，只要证明AC+CB＜AC'+C'B即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 任务一：如图（4），将军牵马从军营P处出发，先到河边OA饮马，再到草地OB牧马，最后回到P处，试分别在OA和OB上各找一点E，F，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 任务二：如图（5）所示，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥EF，MN，则这两座桥EF，MN造在何处可使由P村到Q村的路程最短？（要求在图上标出道路和大桥的位置） 七．旋转与中心对称（共13小题） 43．（2025春•阜宁县期中）为弘扬优秀传统文化，继承和发扬民间剪纸艺术，某中学开展了“剪纸进校园非遗文化共传承”的项目式学习，下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 44．（2026春•梁溪区校级期中）在等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这六个几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的一共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 45．（2023春•建邺区校级期中）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　） A．正方形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．平行四边形 46．（2011秋•射阳县校级期中）同学们，在我们学过的英语字母中，下列哪一组字母是通过旋转得到的（　　） A．bd B．bp C．pq D．bq 47．（2025春•南京期中）跨学科整合是新课程的重要理念之一．仔细观察会发现各门学科都与数学有着密切的联系．小明在学习了《第9章图形的变换》后，把26个英语字母分为5类（不考虑斜体）：①HX；②NSZ；③BCDK；④MTVWY；⑤FGJLPQ．剩下的6个英语字母AEIORU归类为（　　） A．①③④①③④ B．⑤③①①③④ C．④③①①⑤④ D．④③⑤①①① 48．（2025春•滨湖区期中）下列说法错误的是（　　） A．平移前后的两个图形中，两组对应点的连线平行且相等 B．旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等 C．成轴对称的两个图形中，不在对称轴上的两个对应点的连线段被对称轴垂直平分 D．成中心对称的两个图形中，对应点的连线段经过对称中心，且被对称中心平分 49．（2025春•建湖县期中）如图，将Rt△ABC（其中∠BAC＝50°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（　　） A．50° B．80° C．130° D．150° 50．（2025春•溧阳市期中）将等边三角形绕某一点旋转后，恰好能与原来的等边三角形重合，那么旋转的角度至少是　 　 度． 51．（2025春•工业园区校级期中）如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M'P'N'，则旋转中心可能是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 52．（2025春•常州期中）如图，△ABC中，AB＞BC，∠ABC＝50°，将边AB绕点B顺时针旋转24°得A'B，交AC于点D，则∠BDC比∠A（　　） A．小26° B．大26° C．小24° D．大24° 53．（2025春•玄武区校级期中）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A，B，C，D均为格点（即每个小正方形的顶点），线段AB关于直线BD对称的线段为BE． （1）线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BF，在图1中画出线段BE、BF； （2）线段BC绕点B顺时针旋转α（45°＜α＜90°）得到线段BF，若D，B，F三点共线，则∠ABD与∠CBF的关系为 　 　 （用等式表示）． 54．（2025春•靖江市校级期中）一副直角三角板如图1摆放在直线MN上，（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC＝90°，∠DEC＝60°，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°），如图2保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C旋转（旋转角≤180°）．在旋转过程中，当三角板ABC的一边平行于DE时，此时∠ACE＝　 　 °． 55．（2025春•泰兴市期中）如图，将含有60°的三角尺ABC绕点C按逆时针方向旋转到△DEC的位置，若AC＝5cm，当点D恰好落到△ABC的一边上时，连接BE，则线段BE＝　 　 cm． 八．找规律（共3小题） 56．（2025春•溧阳市期中）如图，长方形ABCD中，AD＝5，第1次平移将长方形ABCD沿AD的方向向右平移4个单位，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1D1的方向向右平移4个单位，得到长方形A2B2C2D2，…，以此类推，第n次平移将长方形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1，沿An﹣1Dn﹣1的方向向右平移4个单位，得到长方形AnBn∁nDn（n＞2），则ADn长是（　　） A．4n+1 B．4n+4 C．4n+5 D．5n+5 57．（2025春•梁溪区校级期中）如图，地面上有不在同一直线上的A，B，C三点，一只青蛙位于地面异于A，B，C的P点，第一步青蛙从P跳到P关于A的对称点P1，第二步从P1跳到P1关于B的对称点P2，第三步从P2跳到P2关于C的对称点P3，第四步从P3跳到P3关于A的对称点P4…以下跳法类推，青蛙至少跳几步回到原处P．（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 58．（2025春•无锡期中）如图，已知直角三角形ABC，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点C、A在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①，得到点P1，点P1在直线l上，将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，得到点P2，点P2在直线l上，…按照此规律继续旋转，直到得到点P2025，则AP2025＝ 　 　 ． ( 第 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 期中复习——图形的变换 参考答案与试题解析 一．选择题（共43小题） 题号 1 2 3 4 7 8 10 11 12 14 15 答案 D B B D D C D D A A C 题号 17 18 19 20 21 22 23 25 27 29 30 答案 A A C B B B C C A A C 题号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 43 答案 C B B B A C B B D D C 题号 44 45 46 47 48 49 51 52 56 57 答案 B D D C A C B D C C 一．平移（共6小题） 1．（2025春•梁溪区校级期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置．若∠B＝90°，AB＝8，DH＝3，阴影部分的面积为26，则BE的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：∵阴影部分的面积为26，S阴影+S△HEC＝S四边形ABEH+S△HEC， ∴S阴影＝S四边形ABEH＝26， ∵一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB＝8，DH＝3， ∴AB＝DE＝8，DH＝3， ∴HE＝5， ∴， 解得BE＝4． 故选：D． 2．（2025春•秦淮区校级期中）如图，三角形ABC的周长为15cm，将三角形ABC沿BA方向平移至三角形A′B′C′（点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′）的位置，则图中阴影部分的周长为（　　） A．12cm B．15cm C．18cm D．21cm 【答案】B 【解答】解：∵将三角形ABC沿BA方向平移至三角形A′B′C′， ∴BB'＝CC'，BC＝B′C′， ∵AB′+CC′＝AB′+BB′＝AB， AB′+CC′+AC+B′C′＝AB+AC+BC＝15（cm）． 故选：B． 3．（2025春•锡山区校级期中）如图，边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形A′B′C′D′，此时阴影部分的面积为（　　） A．7cm2 B．6cm2 C．5cm2 D．4cm2 【答案】B 【解答】解：如图，设AD与A'B'交于点E， ∵将边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm， ∴A'E＝2cm，AE＝1cm， ∴B'E＝2cm，DE＝3cm， ∴阴影部分的面积＝2×3＝6cm2， 故选：B． 4．（2025春•玄武区校级期中）如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝54°，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△A′B′C′（平移后点A，B，C的对应点分别是点A′，B′，C′），连接CA′，若在整个平移过程中，∠ACA′和∠CA′B′的度数之间存在2倍关系，则∠ACA′的值为（　　） ①18°；②36°；③72°；④108°． A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④ 【答案】D 【解答】解：第一种情况：如图，当点B′在BC上时，过点C作CG∥AB， 由平移性质可知AB∥A′B′， ∵CG∥AB， ∴CG∥A′B′， ∴∠ACG＝∠BAC＝54°， ①当∠ACA′＝2∠CA′B′时， 设∠CA′B′＝x，则∠ACA′＝2x， ∴∠A′CG＝∠CA′B′＝x， ∵∠ACG＝∠ACA′+∠A′CG， ∴2x+x＝54°， 解得：x＝18°， ∴∠ACA′＝2x＝36°； ②当∠CA′B′＝2∠ACA′时， ∴设∠CA′B′＝x，则， ∴∠A′CG＝∠CA′B′＝x， 由条件可知， 解得：x＝36°， ∴； 第二种情况：当点B′在BC延长线上时，过点C作CG∥AB， 同理可得CG∥A′B′， ∴∠ACG＝∠BAC＝54° ①当∠ACA′＝2∠CA′B′时， 设∠CA′B′＝x，则∠ACA′＝2x， ∴∠A′CG＝∠CA′B′＝x， 由条件可得2x﹣x＝54°， 解得：x＝54°， ∴∠ACA′＝2x＝108°； ②由于∠ACA′＞∠CA′B′，则∠CA′B′＝2∠ACA′这种情况不存在； 综上所述，∠ACA′的度数可以为18°或36°或108°． 故选：D． 5．（2025春•宿迁期中）如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝30°，△ADE是直角三角形，∠ADE＝90°，∠E＝30°，且边AB与AD重合，将△ADE绕点A以每秒6°顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 　5或35　 秒时，DE∥AC． 【答案】5或35． 【解答】解：当DE在AC上方时，如图， ∵DE∥AC， ∴∠ADE+∠DAC＝180°． ∵∠ADE＝90°， ∴∠DAC＝90°． ∵∠C＝∠ABC＝30°， ∴∠BAC＝120°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°， 此时旋转了30°÷6°＝5（秒）； 当DE在AC下方时，如图， ∵DE∥AC， ∴∠ADE＝∠DAC＝90°． ∵∠C＝∠ABC＝30°， ∴∠BAC＝120°， ∴旋转角度为120°+90°＝210°， 此时旋转了210°÷6°＝35（秒）． 综上所述，在旋转的过程中，第5或35秒时，DE∥AC． 故答案为：5或35． 6．（2025春•锡山区校级期中）已知两个完全相同的直角三角形纸片△ABC、△DEF，如图放置，点 B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C＝∠EFB＝90°，∠E＝∠ABC＝30°，现将图中的△ABC绕点F按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△ABC恰有一边与DE平行的时间为 　2或8或10　 秒． 【答案】2或8或10． 【解答】解：∵∠E＝∠ABC＝30°，∠C＝∠EFB＝90°，∠E＝∠ABC＝30°， ∴∠D＝∠A＝60°． ①当DE∥AC时，如图1中， ∵∠C＝90， ∴AC⊥BC， ∴DE⊥BC， ∴∠D+∠BFD＝90°， ∴∠BFD＝90°﹣60°＝30°， ∴旋转时间t2s． ②如图2中，当DE∥BC时， ∠BFE＝∠E＝30°， ∴∠DFB＝90°+30°＝120°， ∴旋转时间t8s． ③当DE∥AB时，如图3中， ∴∠BGF＝∠E＝30°， ∴∠BFE＝30°+30°＝60°， ∴∠DFB＝60°+90°＝150°， ∴旋转时间t10s． 综上所述，旋转时间为2s或8s或10s时，△ABC恰有一边与DE平行． 故答案为：2或8或10． 二．轴对称（共11小题） 7．（2025春•泗洪县期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意； B、图形不是轴对称图形，不符合题意； C、图形不是轴对称图形，不符合题意； D、图形是轴对称图形，符合题意， 故选：D． 8．（2025春•盐城校级期中）如图，△ABC和△A1B1C1关于直线m对称，则下列结论：①直线m是线段AA1的垂直平分线；②直线m被线段BB1垂直平分；③AB＝A1B1.其中正确的结论是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【解答】解：由轴对称的性质得到：直线m是线段AA1的垂直平分线，AB＝A1B1， 故选：C． 9．（2022秋•苏州期中）有一个英语单词，其四个字母都关于直线l对称，如图是该单词各字母的一部分，请写出补全后的单词所指的物品 　书　 ． 【答案】书． 【解答】解：补全字母，如图所示： 故这个单词所指的物品是书． 故答案为：书． 10．（2025春•滨湖区期中）在如图所示的正方形网格中，画出格点△DEF，使得△DEF与△ABC成轴对称，则不同位置的△DEF有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【解答】解：如下所示： 所以△DEF有6种不同的位置． 故选：D． 11．（2024秋•武进区校级期中）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【解答】解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称． 所以在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出6个． 故选：D． 12．（2025春•常州校级期中）如图，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在4×4的方格纸中，再补出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形，则有（　　）种不同补法． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解答】解：如图所示，四个位置均可，一共有4种画法， 故选：A． 13．（2025春•天宁区校级期中）如图，每个小三角形都是等边三角形，再将1个小三角形涂黑，使4个小三角形构成轴对称图形．不同涂法有 　4　 种． 【答案】4 【解答】解：如图所示，满足题意的涂色方式有4种， 故答案为：4． 14．（2018秋•南京期中）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，若∠BAD＝100°，则∠ACB的度数为（　　） A．40° B．45° C．60° D．80° 【答案】A 【解答】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E， ∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上， ∴AC垂直平分BB'， ∴AB＝AB'， ∴∠BAC＝∠B'AC， ∵AB＝AD， ∴AD＝AB'， 又∵AE⊥CD， ∴∠DAE＝∠B'AE， ∴∠CAE∠BAD＝50°， 又∵∠AEC＝90°， ∴∠ACB＝∠ACB'＝40°， 故选：A． 15．（2025春•江阴市期中）如图，P是△BAC内部一点，P关于AB，AC的对称点分别是点P1，点P2，连结P1P2分别与AB，AC交于点M，点N，连结PM，PN，下列结论：①△P1P2A一定是等边三角形；②∠P1AP2＝2∠BAC；③△PMN的周长等于线段P1P2的长；④2∠BAC+∠MPN＝180°；其中正确的结论是（　　） A．②③ B．①④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【解答】解：∵∠P1AP2＝2∠BAC，∠BAC的大小没有确定， ∴∠P1AP2的大小没有确定， ∴△P1P2A不一定是等边三角形，故①错误， 由轴对称性质可知∠P1AP＝2∠PAB，∠P2AP＝2∠PAC， ∴∠P1AP2＝2∠PAB+2∠PAC＝2（∠PAB+∠PAC）＝2∠BAC， 故②正确， ∵P关于AB，AC的对称点分别是点P1，点P2， ∴AB为线段PP1的垂直平分线，AC为线段PP2的垂直平分线， ∴MP＝MP1，NP＝NP2， ∴△PMN的周长＝PM+PN+MN＝MP1+MP2+MN＝P1P2，故③正确， 如图，设AB与PP1交于点E，AC与PP2交于点F， 由题意得∠AEP＝∠AFP＝90°， ∴∠BAC+∠EPF＝180°， ∴∠BAC+∠MPN+∠MPP1+∠NPP2＝180°， ∵MP＝MP1，NP＝NP2， ∴∠MPP1＝∠MP1P，∠NPP2＝∠NP2P， ∵∠MPP1+∠MP1P+∠NPP2+∠NP2P+∠MPN＝180°， ∵， ∴， ∴2∠BAC+∠MPN＝180°，故④正确， 综上，正确的是②③④， 故选：C． 16．（2025春•连云港校级期中）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝8，PN＝10，MN＝13，则线段QR的长为　15　 ． 【答案】15． 【解答】解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，MN＝13，PM＝8，PN＝10， ∴QM＝PM＝8， ∴QN＝MN﹣QM＝13﹣8＝5， ∵点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上， ∴RN＝PN＝10， ∴若PM＝8，PN＝10，MN＝13，则QR＝QN+RN＝5+10＝15． 故答案为：15． 17．（2025•江北区校级二模）如图，在水平地面AB上支放一个平面镜CD，一束光线EF经过平面镜反射后成水平光线FG射出，EF延长线交AB于点H．若∠DCA＝30°，则∠CFH度数为（　　） A．30° B．45° C．50° D．60° 【答案】A 【解答】解：∵入射角等于反射角， ∴∠EFD＝∠CFG， ∵一束光线EF经过平面镜反射后成水平光线FG射出， ∴FG∥AB， ∴∠CFG＝∠DCA＝30°， ∴∠EFD＝∠CFG＝30°， 又∵∠CFH＝∠EFD（对顶角相等）， ∴∠CFH＝30°． 故选：A． 三．线段垂直平分线（共7小题） 18．（2023秋•丹徒区期中）近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（　　） A．AB，BC两边垂直平分线的交点处 B．AB，BC两边高线的交点处 C．AB，BC两边中线的交点处 D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处 【答案】A 【解答】解：根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可得：将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在AB，BC两边垂直平分线的交点处， 故选：A． 19．（2025秋•邗江区期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝2cm，△ADC的周长为8cm，则△ABC的周长是（　　）cm． A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴BD＝AD，AC＝18，BC＝12，BE＝AE＝2cm，即AB＝4cm， ∵△ADC的周长为8cm， ∴AD+CD+AC＝8cm， ∴BD+CD+AC＝BC+AC＝8cm， ∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝4+8＝12（cm）， 故选：C． 20．（2019秋•崇川区校级期中）如图，DE、FG分别是△ABC的AB、AC边上的垂直平分线，且∠BAC＝100°，那么∠DAF的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】B 【解答】解：∵∠BAC＝100°， ∴∠B+∠C＝80°， ∵DE是AB边上的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴∠DAB＝∠B， 同理，∠FAC＝∠C， ∴∠DAB+∠FAC＝∠B+∠C＝80°， ∴∠DAF＝∠BAC﹣（∠DAB+∠FAC）＝20°， 故选：B． 21．（2025春•宿城区校级期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E，已知△ADE的周长为13cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为28cm，则OA的长为（　　）cm． A．6.5 B．7.5 C．13 D．43 【答案】B 【解答】解：∵OM是AB的垂直平分线，ON是AC的垂直平分线， ∴DA＝DB，EA＝EC，OA＝OB，OA＝OC， ∴OB＝OC＝OA， ∵△ADE的周长为13cm， ∴DA+DE+EA＝13cm， ∴BC＝DB+DE+EC＝13cm， ∵△OBC的周长为28cm， ∴OB+OC+BC＝28cm， ∴2OA+13＝28cm， ∴OA＝7.5cm． 故选：B． 22．（2024秋•海安市校级期中）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE，分别与AB，AC交于点D，E，BC边的垂直平分线FG，分别与BC，AC交于点F，G．若△BEG的周长为16，且EG＝1，则AC的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【解答】解：∵DE是AB边的垂直平分线， ∴EB＝EA， ∵FG是BC边的垂直平分线， ∴GB＝GC， ∵△BEG的周长为16， ∴GB+GE+EB＝16， ∴AE+GE+GC＝16， ∴AC+GE+GE＝16， ∵GE＝1， ∴AC＝16﹣2＝14， 故选：B． 23．（2022秋•常州期中）如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为（　　） A．120° B．125° C．130° D．135° 【答案】C 【解答】解：∵∠ABC＝80°， ∴∠BMN+∠BNM＝180°﹣80°＝100°， ∵M、N分别在PA、PC的中垂线上， ∴MA＝MP，NC＝NP， ∴∠MPA＝∠MAP，∠NPC＝∠NCP， ∴∠MPA+∠NPC（∠BMN+∠BNM）＝50°， ∴∠APC＝180°﹣50°＝130°， 故选：C． 24．（2025秋•姑苏区校级期中）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为 　16　 ． 【答案】16． 【解答】解：由作图可得AD＝AC＝7，MN垂直平分BD， ∴EB＝ED， ∴△ADE的周长为AE+DE+AD＝AE+BE+AD＝AB+AD＝16， 故答案为：16． 四．桌球问题（共3小题） 25．（2025春•沭阳县期中）如图，∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】C 【解答】解：要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中， ∠2+∠3＝90°， ∵∠3＝30°， ∴∠2＝60°， ∴∠1＝60°． 故选：C． 26．（2025春•如皋市期中）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点A滚向桌边PQ，碰着PQ上的点B后便反弹而滚向桌边RS，碰着RS上的点C便反弹而滚入点Q，一共反弹两次．已知AB，BC，CQ都是直线，PQ∥RS，且∠ABC的平分线BN垂直于PQ，∠BCQ的平分线CM垂直于RS，若∠CQR＝33°，则∠ABP的度数为 　57°　 ． 【答案】57°． 【解答】解：由题意可知，BN∥CM∥QR，∠BCM＝∠QCM，∠ABN＝∠CBN， ∵∠CQR＝33°， ∴∠BCM＝∠QCM＝∠CQR＝33°， ∴∠ABN＝∠CBN＝∠BCM＝33°， ∵BN垂直于PQ， ∴∠ABP＝90°﹣∠ABN＝57°． 故答案为：57°． 27．（2024秋•南京期中）桌面上有A，B两个球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示4个点中，可以瞄准的点是（　　） A．D B．E C．F D．G 【答案】A 【解答】解：根据题中所给的信息进行判断可得：将B球射向桌面的点D，可使一次反弹后击中A球， 故选：A． 五．翻折（共9小题） 28．（2025春•叶县期末）折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家藤田文章和羽鸟公士郎甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图所示，南南在课余时间拿出一张长方形纸片ABCD（∠A＝∠B＝∠C＝90°），他先将纸片沿EF折叠，再将折叠后的纸片沿GH折叠，使得GD'与A'B'重合，展开纸片后测量发现∠BFE＝60°，则∠DGH＝　15　 °． 【答案】15 【解答】解：由折叠得：∠AEF＝∠A1EF，∠D＝∠D1＝90°，∠A＝∠A1＝90°，∠DGH＝∠D1GH， ∵ABCD是长方形，∠BFE＝60°， ∴AD∥BC， ∴∠AEF+∠BFE＝180°，∠GEF＝∠BFE＝60°， ∴∠AEF＝120°， ∴∠A1EF＝120°， ∴∠A1EG＝∠A1EF﹣∠GEF＝60°， ∴∠A1GE＝30°， ∵GD1与A1B1重合， ∴∠DGD1＝∠A1GE＝30°， ∴∠HGD∠DGD1＝15°， 故答案为：15． 29．（2023秋•宜春期末）将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝8°，则∠EAF的度数为（　　） A．41° B．42° C．37° D．45° 【答案】A 【解答】解：由长方形的性质可知： ∠BAE+∠EAD′+∠B′AD′+∠B′AF+∠DAF＝90°， ∴∠BAE+∠EAD′+∠B′AD′+∠B′AF+∠B′AD′+∠DAF＝90°+∠B′AD′， 即∠BAE+∠EAB′+∠FAD′+∠DAF＝98°， 由折叠的性质可知∠BAE＝∠EAB′，∠FAD′＝∠DAF， ∴∠EAB′+∠FAD′＝49°， ∵∠EAF＝∠EAB′+∠FAD′﹣∠B′AD′， ∴∠EAF＝49°﹣8°＝41°． 故选：A． 30．（2024春•宿城区校级月考）如图a是长方形纸带，∠DEF＝24°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（　　） A．118° B．114° C．108° D．132° 【答案】C 【解答】解：由题意知，AE∥BF， ∴图a中∠BFE＝∠DEF＝24°， 由折叠的性质可知，∠GEF＝24°， ∴图b中∠FGC＝∠GEF+∠GFE＝48°， ∴∠GFD＝180°﹣∠FGC＝132°， 由折叠的性质可知，图c中，∠GFC＝132°， ∴∠CFE＝∠GFC﹣∠GFE＝108°， 故选：C． 31．（2025春•宝山区校级期末）如图，现有一张长方形纸片ABCD，点E，F在AD上，点G，H在BC上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，点C的对应点为点C′．点B对应点为点B′．若∠α+∠β＝132°，则∠C′MB′的度数为（　　） A．104° B．106° C．96° D．132° 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC． ∴∠DEG＝∠α，∠AFH＝∠β． ∴∠DEG+∠AFH＝∠α+∠β＝132°， ∵点E，F在AD上，点G，H在BC上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，点C的对应点为点C′．点B对应点为点B′， ∴∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，∠C′ME＝∠B′MF＝90°． ∴∠MEF+∠MFE＝180°﹣∠DEM+180°﹣∠AFM ＝180°﹣2∠DEG+180°﹣2∠AFH ＝360°﹣2（∠DEG+∠AFH） ＝360°﹣2×132° ＝96°． ∴∠EMF＝180°﹣（∠MEF+∠MFE）＝84°， ∴∠C′MB′＝360°﹣∠EMF﹣∠C′ME﹣∠B′MF＝360°﹣84°﹣90°﹣90°＝96°． 故选：C． 32．（2025秋•绵阳期末）已知四边形ABCD为长方形．如图1，点E在线段CD上，将其沿BE折叠得到图2，BC′，EC′分别交AD于G，H，再将△C′GH沿GH折叠得到图3，点C″恰好落在线段BE上．若∠EBC＝α，则∠C″HE＝（　　） A．180°﹣4a B．4a C．90°﹣2a D．2a 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴∠C＝90°，AD∥BC， 四边形ABCD为长方形，将其沿BE折叠得到图2，BC′，EC′分别交AD于G，H， ∴∠EBC′＝∠EBC＝α，∠BC′E＝∠C＝90°， ∴∠CBC′＝2α， ∵AD∥BC， ∴∠AGB＝∠CBC′＝2α， 由折叠△C′GH得△C''GH，且C''在BE上， ∴∠C′GH＝∠AGB＝2α、∠GC′H＝90°， ∴∠C′HG＝∠C''HG＝90°﹣2α， ∴∠C''HE＝180°﹣∠C′HG﹣∠C''HG＝180°﹣（90°﹣2α）﹣（90°﹣2α）＝4α， 故选：B． 33．（2025春•汝州市期末）在一次数学实践活动课上，学生进行折纸活动，如图是小睿、小轩、小涵三位同学的折纸示意图（C的对应点是C′），分析他们的折纸情况，下列说法正确的是（　　） A．小睿折出的是BC边上的中线 B．小轩折出的是△ABC中∠BAC的平分线 C．小涵折出的是△ABC中BC边上的高 D．上述说法都错误 【答案】B 【解答】解：A、∵折叠后C的对应点是C′， ∴CD＝C′D， ∴AD为CC′边上的中线， 故该选项错误，不符合题意； B、∵折叠后C的对应点是C′， ∴∠CAD＝∠BAD， ∴小轩折出的是△ABC中∠BAC的平分线， 故该选项正确，符合题意； C、∵折叠后C的对应点是C′，折痕不经过点A， 故小涵折出的不是△ABC中BC边上的高， 故该选项错误，不符合题意； D、∵B选项正确， 故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 34．（2025春•盐都区期中）如图，是用长方形纸片折纸飞机的操作顺序，最后一个图形中所有线条均在同一平面上时，折痕AB、CB与飞机头的夹角∠ABC的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】B 【解答】解：由轴对称变换的性质可知∠EBA＝∠EBC90°＝22.5°， ∴∠ABC＝2×22.5°＝45°． 故选：B． 35．（2025春•天宁区校级期中）如图①，已知四边形纸片ABCD．按图②、图③的折纸方法依次折叠后再展开，得到两条折痕，如图④第二条折痕与边CD交于点E，连结AE、BE．若∠ABC＝80°，BE平分∠ABC，则∠AEB的度数是（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 【答案】A 【解答】解：如图④， 根据折叠的性质可得，DF⊥BC，DF⊥AE， ∴AE∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵∠ABC＝80°，BE平分∠ABC， ∴∠BCE∠ABC＝40°， ∴∠AEB＝40°． 故选：A． 36．（2025•长春一模）如图，将一张矩形纸片对折，折痕为AB，再将以AB的中点O为顶点的平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，将剪出的等腰三角形全部展开平铺后，得到的平面图形每个内角的度数为（　　） A．60° B．108° C．120° D．135° 【答案】C 【解答】解：由第二个图形可知：∠AOB被平分成了三个角，每个角为60°，它将成为展开得到图形的中心角， 那么所剪出的平面图形是正六边形， ∴每个内角的度数是120°． 故选：C． 六．将军饮马（共6小题） 37．（2025春•郑州期末）如图，在锐角三角形ABC中AB＝5，△ABC的面积15，BD平分∠ABC交AC于点D，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M作MN′⊥BC于N′， ∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于点E，M′N′⊥BC于N′， ∴M′N′＝M′E， ∴CE＝CM′+M′E， ∴当点M与M′重合，点N与N′重合时，CM+MN的最小值． ∵三角形ABC的面积为15，AB＝5， ∴， ∴CE＝6． 即CM+MN的最小值为6． 故选：B． 38．（2022秋•丹阳市期中）如图，在△ABC中，AB＝2.5，AC＝6，CB＝6.5，EF垂直平分AC，点P为直线EF上的任一点则△ABP周长的最小值是（　　） A．8.5 B．9 C．12 D．12.5 【答案】B 【解答】解：如图所示，设EF交BC于点D，连接AD，CP， ∵EF垂直平分AC， ∴DA＝DC，PA＝PC， ∵△APB的周长为AB+AP+BP＝AB+BP+PC≥AB+BC， 当P点与D点重合时，△APB的周长最小，最小值为AB+BC＝9， 故选：B． 39．（2025秋•香坊区期末）如图，点P是线段AB上方一动点，AB＝6，S△PAB＝9，当PB+PA最小时，∠APB的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】D 【解答】解：过P作PD⊥AB于D， ∵AB＝6，S△PABAB•PD＝9， ∴PD＝3， ∴点P在平行于AB且到AB的距离为3的直线PE上， 作点B关于PE的对称点B′， 连接AB′交直线PE于P′，当点P在点P′的位置时，PB+PA最小， ∵BE＝B′E＝3，B′B⊥PE， ∴BB′⊥AB， ∴AB＝BB′＝6， ∴△ABB′是等腰直角三角形，AP′＝B′P′， ∴BP′⊥AB′， ∴∠APB＝90， 即当PB+PA最小时，∠APB的度数为90°， 故选：D． 40．（2024秋•竹溪县期末）如图，△ABC的面积为12，AB＝5，AD平分∠BAC，若E，F分别是AC，AD上的动点，则FE+FC的最小值是（　　） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解答】解：过C作CM⊥AB，交AB于点M，交AD于点F，作M关于AD的对称点E，连接EF， ， ∵E是M关于AD的对称点， ∴AM＝AE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠MAF＝∠EAF， ∵AF＝AF， ∴△AMF≌△AEF（SAS）， ∴MF＝EF， FE+FC的最小值＝MF+FC的最小值，即△ABC中AB边上的高CM， ∵△ABC的面积为6，AB＝5， ∴125CM， ∴CM，即FE+FC的最小值为， 故选：D． 41．（2025秋•洛龙区期中）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程最短呢？ 【分析问题】小明：如图2，将A，B两地抽象为两个点，将河流抽象为一条直线l．如图3，小明作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程AC﹣CB就是最短的．小智：如图4，在直线l上另取一点C'（与点C不重合），连接AC'，BC'，B'C'，只要证明AC+CB＜AC'+C'B即可． 【解决问题】 任务一：（1）“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将两点位于直线“同侧”问题，转化为两点位于直线“异侧”问题来解决．小智在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是　两点之间，线段最短（或“三角形两边之和大于第三边”）　 ． 请你完成下列填空： 如图4，在直线l上另取任意一点C'（与点C不重合），连接AC'，BC'，B'C'． ∵点B与B'关于直线l对称， ∴直线l是BB'的垂直平分线． ∴CB＝CB'　 ，C′B＝C'B'　 ． ∴AC+CB＝AC+CB'　 ＝AB'　 ． 在△AB'C'中，AB'＜AC'+C'B'，∴AB'＜AC'+C'B∴AC+CB＜AC'+C'B，即AC+CB最小． 任务二：（2）如图5，将军牵马从军营P处出发，先到河边OA饮马，再到草地OB牧马，最后回到P处，试分别在OA和OB上各找一点E，F，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； 任务三：（3）如图6，等边△ABC中，D为AC的中点，点P，Q分别为AB，AD上的点，BP＝AQ＝8，QD＝6，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为　20　 ． 【答案】（1）两点之间，线段最短（或“三角形两边之和大于第三边”），CB'，C'B'，CB'，AB'； （2）如图即为所求． （3）20； 【解答】解：（1）由题可知数学依据是两点之间，线段最短（或“三角形两边之和大于第三边”）； 在直线l上另取任意一点C'（与点C不重合），连接AC'，BC'，B'C'． ∵点B与B'关于直线l对称， ∴直线l是BB'的垂直平分线． ∴CB＝CB'，C′B＝C'B'， ∴AC+CB＝AC+CB'＝AB'， 在△AB'C'中，AB'＜AC'+C'B'， ∴AB'＜AC'+C'B， ∴AC+CB＜AC'+C'B，即AC+CB最小． 故答案为：两点之间，线段最短（或“三角形两边之和大于第三边”），CB'，C'B'，CB'，AB'； （2）如图所示，分别作点P关于OA，OB的对称点C、D，连接CD分别交OA，OB于E、F，则路线PE，EF，PF即为所求． ∵CE＝PE，DF＝PF，则PE+EF+PF＝CE+EF+DF， 根据两点之间线段最短可得路线PE，EF，PF即为所求． （3）如图，∵△ABC是等边三角形， ∴BA＝BC，∠A＝60° ∵D为AC中点， ∴BD⊥AC， 作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′， ∵BP＝AQ＝8，QD＝6， ∴AD＝DC＝AQ+QD＝14，QD＝DQ′＝6， ∴CQ′＝CD﹣DQ′＝8＝BP， ∴AP＝AQ′＝20， ∵∠A＝60°， ∴△APQ′是等边三角形， ∴PQ′＝PA＝20， ∴PE+QE的最小值为20． 故答案为：20． 42．综合与实践 【提出问题】 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图（1），将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：如图（2），作B关于l的对称点B'，连接AB'与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图（3），在l上另取一点C'，连接AC'，BC'，B'C'，只要证明AC+CB＜AC'+C'B即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 任务一：如图（4），将军牵马从军营P处出发，先到河边OA饮马，再到草地OB牧马，最后回到P处，试分别在OA和OB上各找一点E，F，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 任务二：如图（5）所示，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥EF，MN，则这两座桥EF，MN造在何处可使由P村到Q村的路程最短？（要求在图上标出道路和大桥的位置） 【答案】【分析问题】∵点B，B′关于直线l对称，点C′在直线l上， ∴CB′＝CB，C′B′＝C′B， ∴AC+CB＝AC+CB′＝AB′＜AC'+C'B， ∴点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的； 【解决问题】 任务一：如图，线路PE﹣EF﹣FP为最短路线，点E，F为所要找的点； ； 任务二：如图，EF，MN就是所求作桥的位置． 【解答】解：【分析问题】∵点B，B′关于直线l对称，点C′在直线l上， ∴CB′＝CB，C′B′＝C′B， ∴AC+CB＝AC+CB′＝AB′＜AC'+C'B， ∴点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的； 【解决问题】 任务一：如图，作点P分别作OA，OB的对称点P′，P″，连接P′P″，分别交OA，OB与点E，F，连接PE，EF，FP， 则线路PE﹣EF﹣FP为最短路线，点E，F为所要找的点； 任务二：如图，将点P沿与l1垂直的方向向l1平移河宽到点P′，将点Q沿与l3垂直的方向向l3平移河宽到点Q′； 连接P'Q'，分别交l2，l4于点F，N； 过点F作EF⊥l2交l1于点E，过点N作MN⊥l4交l3于点M； 则EF，MN就是所求作桥的位置． 七．旋转与中心对称（共13小题） 43．（2025春•阜宁县期中）为弘扬优秀传统文化，继承和发扬民间剪纸艺术，某中学开展了“剪纸进校园非遗文化共传承”的项目式学习，下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意， 故选：C． 44．（2026春•梁溪区校级期中）在等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这六个几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的一共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解答】解：在等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这六个几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形有矩形、菱形、正方形，共3个． 故选：B． 45．（2023春•建邺区校级期中）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　） A．正方形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．平行四边形 【答案】D 【解答】解：A、正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意； B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、直角三角形不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 46．（2011秋•射阳县校级期中）同学们，在我们学过的英语字母中，下列哪一组字母是通过旋转得到的（　　） A．bd B．bp C．pq D．bq 【答案】D 【解答】解：根据旋转的意义，字母按顺时针方向旋转180°，即两个字母成中心对称， 从而可确定为D图，故选D． 47．（2025春•南京期中）跨学科整合是新课程的重要理念之一．仔细观察会发现各门学科都与数学有着密切的联系．小明在学习了《第9章图形的变换》后，把26个英语字母分为5类（不考虑斜体）：①HX；②NSZ；③BCDK；④MTVWY；⑤FGJLPQ．剩下的6个英语字母AEIORU归类为（　　） A．①③④①③④ B．⑤③①①③④ C．④③①①⑤④ D．④③⑤①①① 【答案】C 【解答】解：由题知， ①中的字母既是轴对称图形，又是中心对称图形； ②中的字母是中心对称图形； ③中的字母有一条水平的对称轴； ④中的字母有一条竖直的对称轴； ⑤中的字母既不是轴对称图形，也不是中心对称图形． 因为A，U有一条竖直的对称轴，故归类为④， E有一条水平的对称轴，故归类为③， I，O有两条对称轴，故归类为①， 所以它们最终归类为：④③①①⑤④． 故选：C． 48．（2025春•滨湖区期中）下列说法错误的是（　　） A．平移前后的两个图形中，两组对应点的连线平行且相等 B．旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等 C．成轴对称的两个图形中，不在对称轴上的两个对应点的连线段被对称轴垂直平分 D．成中心对称的两个图形中，对应点的连线段经过对称中心，且被对称中心平分 【答案】A 【解答】解：A、平移前后的两个图形中，两组对应点的连线相等但不一定平行，也可能重合，原说法错误，符合题意； B、旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，正确，不符合题意； C、成轴对称的两个图形中，不在对称轴上的两个对应点的连线段被对称轴垂直平分，正确，不符合题意； D、成中心对称的两个图形中，对应点的连线段经过对称中心，且被对称中心平分，正确，不符合题意， 故选：A． 49．（2025春•建湖县期中）如图，将Rt△ABC（其中∠BAC＝50°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（　　） A．50° B．80° C．130° D．150° 【答案】C 【解答】解：∵∠CAB1＝180°， ∵∠BAC＝50°， ∴∠BAB1＝180°﹣∠BAC＝130°． 故选：C． 50．（2025春•溧阳市期中）将等边三角形绕某一点旋转后，恰好能与原来的等边三角形重合，那么旋转的角度至少是　120　 度． 【答案】120． 【解答】解：该图形被经过中心的射线平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是120°，那么它至少要旋转120°． 故答案为：120． 51．（2025春•工业园区校级期中）如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M'P'N'，则旋转中心可能是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【解答】解：如图， ∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M'N'P'， ∴连接PP'、NN'、MM'， 作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线， ∴三条线段的垂直平分线正好都过B， 即旋转中心是B． 故选：B． 52．（2025春•常州期中）如图，△ABC中，AB＞BC，∠ABC＝50°，将边AB绕点B顺时针旋转24°得A'B，交AC于点D，则∠BDC比∠A（　　） A．小26° B．大26° C．小24° D．大24° 【答案】D 【解答】解：∵将边AB绕点B顺时针旋转24°得A'B， ∴∠ABD＝24°． ∵∠BDC＝∠A+∠ABD， ∴∠BDC﹣∠A＝∠ABD＝24°， 即∠BDC比∠A大24°． 故选：D． 53．（2025春•玄武区校级期中）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A，B，C，D均为格点（即每个小正方形的顶点），线段AB关于直线BD对称的线段为BE． （1）线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BF，在图1中画出线段BE、BF； （2）线段BC绕点B顺时针旋转α（45°＜α＜90°）得到线段BF，若D，B，F三点共线，则∠ABD与∠CBF的关系为 　∠ABD+∠CBF＝90°　 （用等式表示）． 【答案】（1）见解析； （2）∠ABD+∠CBF＝90°． 【解答】解：（1）如图1中，线段BE，BF即为所求； （2）如图2中，∵∠ABD＝∠FBT，∠CBF+∠FBT＝90°， ∴∠ABD+∠CBF＝90°． 故答案为：∠ABD+∠CBF＝90°． 54．（2025春•靖江市校级期中）一副直角三角板如图1摆放在直线MN上，（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC＝90°，∠DEC＝60°，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°），如图2保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C旋转（旋转角≤180°）．在旋转过程中，当三角板ABC的一边平行于DE时，此时∠ACE＝　75或120或165　 °． 【答案】75或120或165． 【解答】解：如图，当CB∥DE时， ∴∠BCE＝180°﹣∠DEC＝180°﹣60°＝120°， ∵∠ACB＝∠BAC＝45°， ∴∠ACE＝∠BCE+∠ACB＝120°+45°＝165°； 如图，当AB∥DE时， 此时BC与CD重合， ∴∠ACE＝30°+45°＝75°； 如图，当AC∥DE时， ∴∠ACE＝180°﹣∠DEC＝180°﹣60°＝120°； 综上，∠ACE＝75°或120°或165°． 故答案为：75或120或165． 55．（2025春•泰兴市期中）如图，将含有60°的三角尺ABC绕点C按逆时针方向旋转到△DEC的位置，若AC＝5cm，当点D恰好落到△ABC的一边上时，连接BE，则线段BE＝　5或5　 cm． 【答案】5或5． 【解答】解：如图1，点D落在AB边上，连接BE， ∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝5cm， ∴∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝10cm， ∴BC5（cm）， ∵△将ABC绕点C逆时针方向旋转得到△DEC， ∴DC＝AC，EC＝BC， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠BCE＝∠ACD＝60°， ∴△BCE是等边三角形， ∴BE＝BC＝5cm； 如图2，点D落在BC边上，连接BE， ∵∠BCE＝∠DCE＝∠ACB＝90°，EC＝BC， ∴BEBC55（cm）； ∵DC＝AC， ∴当点D落在AC边上时，则点D与点A重合，此时点E与点B重合， ∴不存在线段BE， 综上所述，BE＝5cm或BE＝5cm， 故答案为：5或5． 八．找规律（共3小题） 56．（2025春•溧阳市期中）如图，长方形ABCD中，AD＝5，第1次平移将长方形ABCD沿AD的方向向右平移4个单位，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1D1的方向向右平移4个单位，得到长方形A2B2C2D2，…，以此类推，第n次平移将长方形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1，沿An﹣1Dn﹣1的方向向右平移4个单位，得到长方形AnBn∁nDn（n＞2），则ADn长是（　　） A．4n+1 B．4n+4 C．4n+5 D．5n+5 【答案】C 【解答】解：每次平移4个单位，n次平移4n个单位，即ADn的长为4n，加上AD的长即为ADn的长． ADn＝4n+AD＝4n+5， 故选：C． 57．（2025春•梁溪区校级期中）如图，地面上有不在同一直线上的A，B，C三点，一只青蛙位于地面异于A，B，C的P点，第一步青蛙从P跳到P关于A的对称点P1，第二步从P1跳到P1关于B的对称点P2，第三步从P2跳到P2关于C的对称点P3，第四步从P3跳到P3关于A的对称点P4…以下跳法类推，青蛙至少跳几步回到原处P．（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【解答】解：根据题意：A是P与P1的中点；B是P1与P2的中点； C是P2与P3的中点； 依此类推，跳至第5步时，所处位置与点P关于C对称； 故再有一步，可以回到原处P． 所以至少要跳6步回到原处P． 故选：C． 58．（2025春•无锡期中）如图，已知直角三角形ABC，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点C、A在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①，得到点P1，点P1在直线l上，将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，得到点P2，点P2在直线l上，…按照此规律继续旋转，直到得到点P2025，则AP2025＝ 　8100　 ． 【答案】8100． 【解答】解：已知直角三角形ABC，AC＝3，BC＝4，AB＝5， ∴将△ABC绕着点A顺时针转到位置①，得到点P1，AP1＝5， 将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，得到点P2， AP2＝5+4＝9， 将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，得到点P3， AP3＝5+4+3＝12， 又∵2025÷3＝ 675， ∴AP2025＝675×12＝8100， 故答案为：8100． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/20 19:03:57；用户：15951603008；邮箱：15951603008；学号：45056201 ( 第 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $