第8章整式乘法专项训练 2025-2026学年苏科版数学七年级下册期中复习

期中复习——整式乘法 一．平方差公式（共4小题） 1．（2025春•玄武区校级期中）两个连续自然数的平方差的绝对值等于这两个数的（　　） A．和 B．差 C．积 D．商 2．（2025春•淮安区校级期中）若m2﹣n2＝4，则（m+n）2（m﹣n）2的值是（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 3．（2025春•东台市期中）两个连续偶数的平方差一定是（　　） A．3的倍数 B．4的倍数 C．5的倍数 D．6的倍数 4．（2025春•新吴区期中）下列各式中不能用平方差公式计算的是（　　） A．（x+y）（x﹣y） B．（﹣x+y）（﹣x﹣y） C．（x+y）（﹣x﹣y） D．（x+y）（﹣x+y） 二．完全平方公式（共6小题） 5．（2025春•江阴市期中）若4y2﹣my+16可以配成一个完全平方公式，则m的值为（　　） A．﹣8 B．±8 C．16 D．±16 6．（2025秋•姑苏区校级期中）计算：48.12﹣2×48.1×38.1+38.12＝　 　 ． 7．（2025春•淮安区校级期中）已知x2﹣2x＝2，代数式（x﹣1）2﹣1＝　 　 ． 8．（2016春•高淳区期中）计算：　 　 ． 9．（2025春•靖江市校级期中）若m，n，k满足m2+n2+k2＝8，则（m+n）2+（n+k）2+（m+k）2的最小值为 　 　 ． 10．（2025春•秦淮区期中）（1）从“数”的角度证明：当a＞0，b＞0时，（a+b）2＞a2+b2； （2）从“形”的角度说明：当a＞0，b＞0时，（a+b）2＞a2+b2． 三．多项式乘多项式（共5小题） 11．（2025春•丹阳市期中）从前，一位庄园主把一块长为（a+5）米，宽为（b+6）米（a＞b＞0）的长方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 12．（2025春•江都区期中）如果（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝120，那么a2+b2的值为 　 　 ． 13．（2025春•建邺区校级期中）若x2﹣5x﹣2＝0，则（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）＝　 　 ． 14．（2025春•邗江区校级期中）计算（x4+1）（x2+1）（x+1）（x﹣1）的结果是　 　 ． 15．（2025春•梁溪区校级期中）已知4x＝10，25y＝10，则（x﹣2）（y﹣2）+3（xy﹣1）的值为　 　 ． 四．将错就错（共3小题） 16．（2022春•南京期中）某同学在计算﹣3x加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是3x3﹣3x2+3x，由此可以推断出正确的计算结果是（　　） A．﹣x2﹣2x﹣1 B．x2+2x﹣1 C．﹣x2+4x﹣1 D．x2﹣4x+1 17．（2025春•江苏校级期中）聪聪计算一道整式乘法的题：（x+m）（5x﹣4），由于聪聪将第一个多项式中的“+m”抄成“﹣m”，得到的结果为5x2﹣34x+24，则这道题的正确结果是 　 　 ． 18．（2025春•盱眙县期中）小明在计算（x﹣2）（x+■）时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为﹣1，则被染黑的常数为 　 　 ． 五．完全平方公式知二推二（共5小题） 19．（2022春•靖江市校级期中）已知（a﹣b）2＝6，（a+b）2＝4，则a2+b2的值为 　 　 ． 20．（2011春•启东市校级期中）若5，则　 　 ． 21．（2025秋•海门区期中）若，则　 　 ． 22．（2025春•江阴市期中）根据图形，回答下列问题： （1）图中的①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形、用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是 　 　 ． （2）利用等量关系解决下面的问题： ①a﹣b＝5，ab＝﹣6，求（a+b）2和a2+b2的值； ②已知，求的值． 23．（2025春•大丰区期中）若（2024﹣x）（x﹣2025）＝﹣8，则（2024﹣x）2+（x﹣2025）2值是　 　 ． 六．配方与最值（共3小题） 24．（2025秋•南京期中）若m﹣n＝3，则m（n+1）的值可能是（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 25．教材中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形： 先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式x2+2x﹣3． 原式＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）； 例如：求代数式x2+4x+6的最小值． 原式＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2． ∵（x+2）2≥0， ∴当x＝﹣2时，x2+4x+6有最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：m2﹣4m﹣5； （2）求代数式x2﹣6x+12的最小值； （3）若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝　 　 时，y有最　 　 　 值（填“大”或“小”），这个值是　 　 　 ； （4）当a，b，c分别为△ABC的三边时，且满足a2+b2+c2﹣6a﹣10b﹣6c+43＝0时，判断△ABC的形状并说明理由． 26．（2025春•江都区校级月考）配方法是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．例如，把二次三项式x2﹣2x+3进行配方 解：x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2 我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”，理由：因为5＝22+12，再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2，（x，y是整数）所以M也是“雅美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“雅美数”有　 　 个； ①10 ②28 ③45 ④39 （2）若二次三项式x2﹣6x+12（x是整数）是“雅美数”，可配方成（x﹣m）2+n（m，n为常数），则mn的值为　 　 ； 探究问题： （3）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的k值； （4）拓展结论：已知实数x，y满足﹣x2+3x+y﹣4＝0，直接写出x+y的最小值． 七．与某项无关（共1小题） 27．（2025春•靖江市校级期中）若多项式（x2+ax﹣2）与（x+3b）的乘积中不含x2的项，则2a+3b﹣1的值为　 　 ． 八．比较大小（共3小题） 28．（2024春•江都区期中）若M＝（x﹣2）（x﹣3），N＝（x﹣1）（x﹣4），则M与N的大小关系是（　　） A．由x的取值而定 B．M＝N C．M＜N D．M＞N 29．（2025春•亭湖区校级期中）设M＝20252﹣2024×2026，N＝20252﹣4050×2026+20262，则M与N的关系是（　　） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M＝±N 30．（2025秋•冷水滩区校级期中）已知M＝3x2﹣x+3，N＝2x2+3x﹣1，则M、N的大小关系是（　　） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N 九．图形面积与整式乘法（共10小题） 31．（2025春•梁溪区校级期中）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（　　） A．3 B．19 C．21 D．28 32．（2025春•宜兴市期中）小冬以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形ABCD的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 33．（2025春•江阴市期中）有两类正方形A、B，其边长分别为a、b（a＞b），现将B放在A的内部得图1，将A、B并列放置后构造新的正方形得图2，图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12．若将三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，则阴影部分的面积为（　　） A．29 B．25 C．18 D．24 34．（2025春•锡山区期中）将如图1的5张长为3，宽为1的小长方形纸片按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，已知CD的长度固定不变，BC的长度可以变化，若图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为S1，S2，则S1﹣S2的值是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．3 35．（2025春•南京期中）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝20，已知BG＝6，则图中阴影部分面积为（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 36．（2017秋•泰兴市校级期中）如图“L”形的图形的面积有如下四种表示方法： ①a2﹣b2；②a（a﹣b）+b（a﹣b）；③（a+b）（a﹣b）； ④（a﹣b）2． 其中正确的表示方法有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 37．（2025春•句容市期中）在数学实践课上，“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的是（　　） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 38．（2025春•兴化市期中）如图，正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为a，b，连接EC、GC，若阴影部分CEFG的面积为10．当a，b的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．a2+b2 B．ab C．b（a﹣b） D．a2﹣b2 39．（2023春•工业园区期中）【阅读理解】 若x满足（32﹣x）（x﹣12）＝100，求（32﹣x）2+（x﹣12）2的值． 解：设32﹣x＝a，x﹣12＝b，则（32﹣x）（x﹣12）＝a•b＝100，a+b＝（32﹣x）+（x﹣12）＝20，（32﹣x）2+（x﹣12）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×100＝200， 我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 （1）若x满足（100﹣x）（x﹣95）＝5，则（100﹣x）2+（x﹣95）2＝　 　 ； （2）若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2000）2＝229，求（2023﹣x）（x﹣2000）的值； （3）如图，在长方形ABCD中，AB＝24cm，点E，F是边BC，CD上的点，EC＝12cm，且BE＝DF＝xcm，分别以FC，CB为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CBMN，若长方形CBQF的面积为320cm2，求图中阴影部分的面积和． 40．（2025春•宿城区校级期中）某班数学兴趣小组的同学在学习整式乘法公式后，构造了以下图形验证乘法公式．请你利用数形结合的思想，通过等积法解决以下数学问题．从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）比较两图中阴影部分面积，可以验证的等式是 　 　 ；（请选择正确的选项） A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） （2）若4x2﹣9y2＝20，2x﹣3y＝4，求2x+3y的值； （3）计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）+1． 十．卡片问题（共1小题） 41．（2024春•泰兴市期中）小李同学制作了如图所示的卡片A类、B类、C类各10张，其中A、B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．现要拼一个两边分别是（2a+3b）和（3a+2b）的大长方形，那么下列关于他所准备的C类卡片的张数的说法中，正确的是（　　） A．够用，剩余5张 B．够用，剩余1张 C．不够用，缺2张 D．不够用，缺3张 十一．恒等式（共4小题） 42．（2022春•吴江区期中）若（x+2）（2x﹣n）＝2x2+mx+2，则m﹣n的值是（　　） A．6 B．4 C．2 D．﹣6 43．（2025春•扬州校级期中）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣6，若a，b都是整数，则m的值不可能是（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣7 44．（2024春•仪征市期中）小刚把（2025x+2022）2展开后得到ax2+bx+c，把（2024x+2023）2展开后得到mx2+nx+q，则a﹣m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．4049 D．﹣4049 45．（2025春•工业园区校级期中）若等式（x﹣s）（3x+t）＝3x2+mx﹣n恒成立，无论t为何值，3m+5n的值始终为定值，则这个定值为　 　 ． 十二．新定义（共15小题） 46．（2025春•扬州期中）小吉是一个爱好数学的好学生，一天他将三个正方形如图所示相连，然后将数字0～8填入图中的9个顶点处，使得每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16，每个正方形顶点上的四个数字的平方和分别记为A、B、C，且A+B+C＝260．如果将交点处的三个填入的数字分别记作为x、y、x+y，则xy的值为（　　） A．0 B．6 C．7 D．8 47．（2024春•涟水县期中）阅读以下内容： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，根据这一规律，计算：1+2+22+23+24+25+…+22023﹣22024＝　 　 ． 48．（2024秋•崇川区校级期中）观察以下等式： （x+2y）2+（2x﹣y）2＝5（x2+y2）； （2x+3y）2+（3x﹣2y）2＝13（x2+y2）； （3x+4y）2+（4x﹣3y）2＝25（x2+y2）； （4x+6y）2+（6x﹣4y）2＝52（x2+y2）． 运用你所发现的规律解决以下问题：已知x，y为实数，x2+y2＝1，则（6x+8y）2的最大值为　 　 ． 49．（2022秋•崇川区期中）我国南宋数学家杨辉用三角形系数表解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．“杨辉三角”给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：若，请根据上述规律，写出a1﹣a2+a3﹣•••+a2023的值等于 　 　 ． 50．（2025春•兴化市期中）小明同学在计算（a1x+b1）（a2x+b2）时发现一次项（a1b2+a2b1）x可以利用交叉相乘再相加的规律算得．例如计算（2x+1）（x+2）时一次项为2x•2+x•1＝5x．仿照小明的方法，计算（x+1）（x+2）（x+3）…（x+n﹣1）（x+n）展开式中xn﹣1项的系数为 　 　 （用含n的代数式表示）． 51．（2025秋•如皋市期中）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图1～图3所示．参照图1～图3，图4给出了582的“竖式”，据此，可得（m+n）（x﹣y）的值是（　　） A．92 B．88 C．84 D．80 52．（2025春•江阴市期中）若a，b满足a2b2+a2+b2+10ab+16＝0，则a2+b2的值为 　 　 ． 53．（2025春•句容市期中）如图1，正方形A、B、C的边长分别为m、n、p，且m+p＜n． （1）将一个A种和一个B种正方形组合成图2的图形，外边框可以围成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，从而可以得到一个乘法公式为　 　 ． （2）如图3，将正方形A、B、C拼接在一起，沿着外边框可以围成一个大正方形，类比（1）的思路进行思考，直接写出所得到的等式　 　 ． （3）利用正方形A、B、C画出恰当的图形，说明（n﹣m﹣p）2＜n2﹣m2﹣p2． 54．（2024春•工业园区校级期中）将完全平方公式作适当变形，可以用来解决很多数学问题． （1）观察图1，写出代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系：　 　 ； （2）若x+y＝6，xy＝4，则x2+y2＝　 　 ；（x﹣y）2＝　 　 ； （3）如图2，边长为5的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为m，n（m＜5，n＜5）的长方形，若长方形的周长为12，面积为8.5，求图中阴影部分的面积S1+S2+S3的值． 55．（2025秋•海安市校级期中）【探索发现】 数学活动课上，老师准备了如图1的一个长为4b，宽为a（a＞b）的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形． （1）观察图1，图2，请写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系是：　 　 ； 【解决问题】 （2）若（x+y）2＝28，xy＝3，且x＜y，则x﹣y＝　 　 ； 【实际应用】 （3）学校计划用一块梯形区域开展科技节活动，如图3所示．已知AC⊥BD于点O，AO＝OB，DO＝OC．计划在△AOD和△BOC区域内展示无人机和机器人表演，在△AOB和△DOC区域内分别是主舞台和观众，经测无人机和机器人表演区域的面积和为84平方米，AC＝20米，求主舞台和观众区的面积和． 【拓展提升】 （4）已知a2﹣b2＝5，ab＝6，求2a+3b的值． 56．（2025秋•通州区期中）【发现】数学活动课中，学习小组通过计算下列两组乘法算式的结果（每组算式中两个因数的和为定值），发现结果有个规律：两数和一定时．差的绝对值越小越大． ①30×30，35×25，43×17，52×8； ②50×50，53×47，74×26，91×9． 【验证】（1）设两个数分别为a+b和a﹣b，其中a为定值，b≥0．请用整式的乘法证明上述规律； 【运用】（2）请用上述规律解决问题： ①用20m长的绳子围成一个长方形，求这个长方形的最大面积； ②求的最大值． 57．（2025春•江都区期中）（1）已知a﹣b＝5，ab＝6，求a2+b2的值； （2）已知，求和的值． 58．（2025春•海陵区校级期中）小明同学用四张长为x，宽为y的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）． （1）通过计算小正方形面积，可推出（x+y）2，xy，（x﹣y）2三者的等量关系式为：　 　 ； （2）利用（1）中的结论，当2a﹣b＝﹣4，时，（2a+b）2＝　 　 ． （3）利用（1）中的结论，当（2x﹣500）（400﹣2x）＝1996时，求（2x﹣450）2的值． 59．（2025春•建邺区校级期中）如图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形． （1）观察图②，（m+n）2，（m﹣n）2，4mn之间的等量关系为 　 　 ． （2）若a+b＝7，ab＝5，则（a﹣b）2＝ 　 　 ． （3）已知，求的值． 60．（2022春•姑苏区校级期中）已知ax+20，bx+19，cx+21，那么代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 ( 第 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 期中复习——整式乘法 参考答案与试题解析 一．选择题（共26小题） 题号 1 2 3 4 5 11 16 24 28 29 30 答案 A D B C D A A D D B A 题号 31 32 33 34 35 36 37 38 41 42 43 答案 B A A D A C C C D A D 题号 44 46 51 60 答案 C D D B 一．平方差公式（共4小题） 1．（2025春•玄武区校级期中）两个连续自然数的平方差的绝对值等于这两个数的（　　） A．和 B．差 C．积 D．商 【答案】A 【分析】设这两个连续自然数分别为n，n+1，其中n≥0，然后根据题意列式计算后即可求得答案． 【解答】解：设这两个连续自然数分别为n，n+1，其中n≥0， 则|n2﹣（n+1）2| ＝|n2﹣n2﹣2n﹣1| ＝2n+1 ＝n+n+1， 即两个连续自然数的平方差的绝对值等于这两个数的和， 故选：A． 【点评】本题考查完全平方公式，绝对值，设这两个连续自然数分别为n，n+1，其中n≥0，根据题意列得正确的算式是解题的关键． 2．（2025春•淮安区校级期中）若m2﹣n2＝4，则（m+n）2（m﹣n）2的值是（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】利用平方差公式，将要求的式子化简得：（m2﹣n2）2，将m2﹣n2＝4代入计算即可． 【解答】解：因为m2﹣n2＝4， 所以（m+n）2（m﹣n）2 ＝[（m+n）（m﹣n）]2 ＝（m2﹣n2）2 ＝42 ＝16． 故选：D． 【点评】本题考查了平方差公式，解决本题的关键是熟练运用平方差公式． 3．（2025春•东台市期中）两个连续偶数的平方差一定是（　　） A．3的倍数 B．4的倍数 C．5的倍数 D．6的倍数 【答案】B 【分析】设两个连续的偶数分别是2n，2n+2，根据题意列出等式（2n+2）2﹣（2n）2＝8n+4＝4（2n+1），即可求解． 【解答】解：设两个连续偶数为2n，2n+2， 则（2n+2）2﹣（2n）2 ＝（2n+2+2n）（2n+2﹣2n） ＝（4n+2）×2 ＝4（2n+1）， 因为n为整数， 所以4（2n+1）中的2n+1是正奇数， 所以4（2n+1）是4的倍数， 故两个连续偶数的平方差一定是4的倍数． 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确设出两个连续偶数，再用平方差公式对列出的式子进行整理，此题较简单． 4．（2025春•新吴区期中）下列各式中不能用平方差公式计算的是（　　） A．（x+y）（x﹣y） B．（﹣x+y）（﹣x﹣y） C．（x+y）（﹣x﹣y） D．（x+y）（﹣x+y） 【答案】C 【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法． 【解答】解：A、（x+y）（x﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不合题意； B、（﹣x+y）（﹣x﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不合题意； C、（x+y）（﹣x﹣y）＝﹣（x+y）（x+y），不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项符合题意； D、（x+y）（﹣x+y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是应用平方差公式进行计算的能力，掌握平方差公式的结构特征是正确解题的关键． 二．完全平方公式（共6小题） 5．（2025春•江阴市期中）若4y2﹣my+16可以配成一个完全平方公式，则m的值为（　　） A．﹣8 B．±8 C．16 D．±16 【答案】D 【分析】根据完全平方式得出﹣my＝±4•y•4，求出即可． 【解答】解：∵4y2﹣my+16是一个完全平方式， ∴﹣my＝±4•y•4， 解得：m＝±16． 故选：D． 【点评】本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的定义是关键． 6．（2025秋•姑苏区校级期中）计算：48.12﹣2×48.1×38.1+38.12＝　100　 ． 【答案】100． 【分析】观察表达式，发现其符合完全平方公式的结构，可直接应用公式简化计算． 【解答】解：原式＝（48.1﹣38.1）2 ＝10.02 ＝100． 故答案为：100． 【点评】本题考查了完全平方公式，正确记忆相关知识点是解题关键． 7．（2025春•淮安区校级期中）已知x2﹣2x＝2，代数式（x﹣1）2﹣1＝　2　 ． 【答案】2． 【分析】先化简再代入即可． 【解答】解：原式＝x2﹣2x+1﹣1 ＝x2﹣2x ＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握其知识点是解题的关键． 8．（2016春•高淳区期中）计算：　　 ． 【答案】 【分析】将分式的分母根据平方差公式变形得到，再约分即可求解． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了平方差公式，解答本题的关键是掌握平方差公式的形式，这是需要我们熟练记忆的内容． 9．（2025春•靖江市校级期中）若m，n，k满足m2+n2+k2＝8，则（m+n）2+（n+k）2+（m+k）2的最小值为 　8　 ． 【答案】8． 【分析】根据m2+n2+k2＝8，代入（m+n）2+（n+k）2+（m+k）2＝2m2+2n2+2k2+2mn+2nk+2mk，得（m+n）2+（n+k）2+（m+k）2＝16+2（mn+nk+mk），根据（m+n+k）2＝8+2（mn+nk+mk），得mn+nk+mk，mn+nk+mk要想取得最小值（m+n+k）2取最小值即可解答． 【解答】解：原式＝（m2+2mn+n2）+（n2+2nk+k2）+（m2+2mk+k2） ＝2m2+2n2+2k2+2mn+2nk+2mk， ∵m2+n2+k2＝8， ∴2m2+2n2+2k2+2mn+2nk+2mk＝16+2（mn+nk+mk）， ∵（m+n+k）2＝m2+n2+k2+2（mn+nk+mk）＝8+2（mn+nk+mk）， ∴mn+nk+mk， ∴16+2（mn+nk+mk）＝8+（m+n+k）2， 当（m+n+k）2取得最小值0时，16+2（mn+nk+mk）取得最小值8， 即（m+n）2+（n+k）2+（m+k）2取得最小值8， 故答案为：8． 【点评】本题的考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． 10．（2025春•秦淮区期中）（1）从“数”的角度证明：当a＞0，b＞0时，（a+b）2＞a2+b2； （2）从“形”的角度说明：当a＞0，b＞0时，（a+b）2＞a2+b2． 【答案】（1）详见解答； （2）详见解答． 【分析】（1）根据“作差法”，计算（a+b）2﹣（a2﹣b2）的结果，由结果的符号得出结论； （2）由完全平方公式的几何背景进行解答即可． 【解答】（1）证明：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab， ∵a＞0，b＞0， ∴2ab＞0， ∴（a+b）2﹣a2﹣b2＞0， 即当a＞0，b＞0时，（a+b）2＞a2+b2； （2）当a＞0，b＞0时，如图所示： 根据图形，大正方形的边长为（a+b），因此面积为（a+b）2，组成大正方形的四个部分中，正方形①、正方形②的面积和为a2+b2，而长方形③、长方形④的面积和为2ab，由拼图可得，当a＞0，b＞0时，（a+b）2＞a2+b2． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 三．多项式乘多项式（共5小题） 11．（2025春•丹阳市期中）从前，一位庄园主把一块长为（a+5）米，宽为（b+6）米（a＞b＞0）的长方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 【答案】A 【分析】先列出算式计算长方形土地的原面积和变化后的面积，并用多项式乘多项式法则和合并同类项法则进行化简，然后求出它们的差，通过比较差的大小，进行判断即可． 【解答】解：（a+5）（b+6） ＝ab+6a+5b+30， （a+5+5）（b+6﹣5） ＝（a+10）（b+1） ＝ab+a+10b+10， ∴（a+5）（b+6）﹣（a+10）（b+1） ＝ab+6a+5b+30﹣ab﹣a﹣10b﹣10 ＝5a﹣5b+20 ＝5（a﹣b）+20＞0， ∴（a+5）（b+6）＞（a+5+5）（b+6﹣5）， ∴张老汉的租地面积会变小， 故选：A． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则． 12．（2025春•江都区期中）如果（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝120，那么a2+b2的值为 　11　 ． 【答案】11． 【分析】根据平方差公式得到（a2+b2）2﹣1＝120，进而可得a2+b2＝11． 【解答】解：∵（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝120， ∴（a2+b2）2﹣1＝120， ∴（a2+b2）2＝121， ∴a2+b2＝11（负值舍去）， 故答案为：11． 【点评】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握该知识点是关键． 13．（2025春•建邺区校级期中）若x2﹣5x﹣2＝0，则（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）＝　48　 ． 【答案】48． 【分析】由已知条件易得x2﹣5x＝2，将原式分组为[（x﹣1）（x﹣4）][（x﹣2）（x﹣3）]，然后利用多项式乘多项式法则计算后再代入数值计算即可． 【解答】解：∵x2﹣5x﹣2＝0， ∴x2﹣5x＝2， ∴（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4） ＝[（x﹣1）（x﹣4）][（x﹣2）（x﹣3）] ＝（x2﹣5x+4）（x2﹣5x+6） ＝（2+4）×（2+6） ＝6×8 ＝48， 故答案为：48． 【点评】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 14．（2025春•邗江区校级期中）计算（x4+1）（x2+1）（x+1）（x﹣1）的结果是x8﹣1　 ． 【答案】x8﹣1 【分析】根据平方差公式计算即可． 【解答】解：（x4+1）（x2+1）（x+1）（x﹣1） ＝（x4+1）（x2+1）（x2﹣1） ＝（x4+1）（x4﹣1） ＝x8﹣1． 故答案为：x8﹣1 【点评】本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 15．（2025春•梁溪区校级期中）已知4x＝10，25y＝10，则（x﹣2）（y﹣2）+3（xy﹣1）的值为　1　 ． 【答案】1． 【分析】已知4x＝10，25y＝10，可以把等式右边转成同底数幂乘法，再把以4为底和以25为底的转成指数相同，从而逆用积的乘方公式，把底数4和25乘起来，从而转成以10为底的，就可以比较指数，得出2xy等于x+y，从而可以代入要化简的式子求解． 【解答】解：∵， ∴由①得4xy＝10y，③ 由②得25xy＝10x，④ ∴③×④得4xy•25xy＝10y•10x，即（4×25）xy＝10x+y， ∴（102）xy＝10x+y， ∴102xy＝10x+y， ∴2xy＝x+y （x﹣2）（y﹣2）+3（xy﹣1） ＝xy﹣2x﹣2y+4+3xy﹣3 ＝4xy﹣2（x+y）+1 ＝4xy﹣2×2xy+1 ＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方的综合运用以及代数式化简求值，难度较大． 四．将错就错（共3小题） 16．（2022春•南京期中）某同学在计算﹣3x加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是3x3﹣3x2+3x，由此可以推断出正确的计算结果是（　　） A．﹣x2﹣2x﹣1 B．x2+2x﹣1 C．﹣x2+4x﹣1 D．x2﹣4x+1 【答案】A 【分析】先根据题意算出这个多项式，再与﹣3x相加即可． 【解答】解：由题意知， 这个多项式为x2+x﹣1， ∴正确的计算结果为﹣3x+（﹣x2+x﹣1）＝﹣x2﹣2x﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算的运算法则是解答本题的关键． 17．（2025春•江苏校级期中）聪聪计算一道整式乘法的题：（x+m）（5x﹣4），由于聪聪将第一个多项式中的“+m”抄成“﹣m”，得到的结果为5x2﹣34x+24，则这道题的正确结果是 　5x2+26x﹣24　 ． 【答案】5x2+26x﹣24． 【分析】根据题意，按照多项式乘多项式的计算方法，将（x﹣m）（5x﹣4）展开得5x2﹣（4+5m）x+4m＝5x2﹣34x+24，然后求出m＝6，将m＝6代入正确式子得（x+6）（5x﹣4）展开得（x+6）（5x﹣4）＝5x2+26x﹣24，据此解答． 【解答】解：（x﹣m）（5x﹣4） ＝5x2﹣4x﹣5mx+4m ＝5x2﹣（4+5m）x+4m， ＝5x2﹣34x+24； 所以4+5m＝34，4m＝24， 即m＝6， （x+m）（5x﹣4） ＝（x+6）（5x﹣4） ＝5x2﹣4x+30x﹣24 ＝5x2+26x﹣24． 故答案为：5x2+26x﹣24． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，解决本题的关键是求出m． 18．（2025春•盱眙县期中）小明在计算（x﹣2）（x+■）时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为﹣1，则被染黑的常数为 　1　 ． 【答案】1． 【分析】设■＝a，根据多项式乘以多项式的运算法则将原式展开，使得一次项系数等于﹣1列方程求解即可． 【解答】解：设■＝a， 则原式＝（x﹣2）（x+a）＝x2+ax﹣2x﹣2a＝x2+（a﹣2）x﹣2a， ∵结果中的一次项系数为﹣1， ∴a﹣2＝﹣1，解得a＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是掌握乘法法则，灵活运用所学知识解决问题． 五．完全平方公式知二推二（共5小题） 19．（2022春•靖江市校级期中）已知（a﹣b）2＝6，（a+b）2＝4，则a2+b2的值为 　5　 ． 【答案】5． 【分析】根据完全平方公式解答即可． 【解答】解：∵（a﹣b）2＝6，（a+b）2＝4， ∴a2﹣2ab+b2＝6①，a2+2ab+b2＝4②， ①+②，得2a2+2b2＝10， ∴a2+b2＝5． 故答案为：5． 【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 20．（2011春•启东市校级期中）若5，则　23　 ． 【答案】23 【分析】根据完全平方公式两边平方，然后整理即可求解． 【解答】解：∵（a）2＝a2+225， ∴a225﹣2＝23． 【点评】此题主要考查了完全平方式的运用，本题利用好乘积二倍项不含字母是常数项是解题的关键． 21．（2025秋•海门区期中）若，则　29　 ． 【答案】29 【分析】根据完全平方公式对代数式进行变形，整体代入求值． 【解答】解：（x）2+4＝29， 故答案为：29． 【点评】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键． 22．（2025春•江阴市期中）根据图形，回答下列问题： （1）图中的①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形、用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是 　（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn ． （2）利用等量关系解决下面的问题： ①a﹣b＝5，ab＝﹣6，求（a+b）2和a2+b2的值； ②已知，求的值． 【答案】（1）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn． （2）①1；13；②±3． 【分析】（1）方法1，根据“S阴影＝图②中大正方形的面积一图①中长方形的面积”即可得出答案；根据图②中小正方形的边长为（m+n），S阴影＝小长方形的面积即可得出答案； （2）①由（1）中所得的等量关系得（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，将a﹣b＝5，ab＝﹣6，代入即可得（a+b）2的值；再根据以（a+b）2＝52+4×（﹣6）＝1，据此可得所以a2+b2＝25+2ab＝25+2×（﹣6）＝13； ②将，配方得，进一步计算即可得出答案． 【解答】解：（1）方法1，因为图②中大正方形的边长为（m+n），所以图②中大正方形的面积为：（m+n）2，因为图①中长方形的长为2m、宽为2n，所以图①中长方形的面积为：2m×2n＝4mn， 因为S阴影＝图②中大正方形的面积一图①中长方形的面积，所以S阴影＝（m+n）2﹣4mn，方法2：由条件可知S阴影 ＝小长方形的面积＝（m﹣n）2， 所以等量关系是：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn． 故答案为：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn． （2）由（1）得（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn， ①所以（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2， 即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， 因为a﹣b＝5，ab＝﹣6， 所以（a+b）2＝52+4×（﹣6）＝1， 所以a2+b2﹣2ab＝25， 所以a2+b2＝25+2ab＝25+2×（﹣6）＝13； ②由， 可得， 即， 所以． 【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，全平方公式的结构特征是解决问题的关键． 23．（2025春•大丰区期中）若（2024﹣x）（x﹣2025）＝﹣8，则（2024﹣x）2+（x﹣2025）2值是　17　 ． 【答案】17． 【分析】设a＝2024﹣x，b＝x﹣2025，则ab＝﹣8，a+b＝﹣1，利用完全平方公式求得a2+b2的值即可． 【解答】解：设a＝2024﹣x，b＝x﹣2025， 则ab＝﹣8，a+b＝2024﹣x+x﹣2025＝﹣1， 那么a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝（﹣1）2﹣2×（﹣8） ＝1+16 ＝17， 即（2024﹣x）2+（x﹣2025）2＝17， 故答案为：17． 【点评】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键． 六．配方与最值（共3小题） 24．（2025秋•南京期中）若m﹣n＝3，则m（n+1）的值可能是（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 【答案】D 【分析】由 m﹣n＝3 得 m＝n+3，代入 m（n+1）得到m（n+1）＝n2+4n+3，利用配方法可得n2+4n+3＝（n+2）2﹣1≥﹣1，即得m（n+1）≥﹣1，据此即可求解． 【解答】解：由条件可知m＝n+3， ∴m（n+1）＝（n+3）（n+1）＝n2+4n+3＝（n+2）2﹣1， ∴m（n+1）≥﹣1， ∴m（n+1）可能取值为﹣1， 故选：D． 【点评】本题考查了配方法的应用，掌握配方法是解题的关键． 25．教材中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形： 先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式x2+2x﹣3． 原式＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）； 例如：求代数式x2+4x+6的最小值． 原式＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2． ∵（x+2）2≥0， ∴当x＝﹣2时，x2+4x+6有最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：m2﹣4m﹣5； （2）求代数式x2﹣6x+12的最小值； （3）若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝　1　 时，y有最　 　大　 值（填“大”或“小”），这个值是　 　﹣2　 ； （4）当a，b，c分别为△ABC的三边时，且满足a2+b2+c2﹣6a﹣10b﹣6c+43＝0时，判断△ABC的形状并说明理由． 【答案】（1）（m+1）（m﹣5）； （2）x2﹣6x+12的最小值是3； （3）1，大，﹣2； （4）△ABC是等腰三角形．理由见解析． 【分析】（1）凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解； （2）凑成完全平方加一个数值的形式； （3）和（2）类似，凑成完全平方加一个数值的形式； （4）先因式分解，判断字母a、b、c三边的关系，再判定三角形的形状． 【解答】解：（1）m2﹣4m﹣5 ＝m2﹣4m+4﹣4﹣5 ＝（m﹣2）2﹣9 ＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3） ＝（m+1）（m﹣5）． 故答案为：（m+1）（m﹣5）； （2）x2﹣6x+12 ＝x2﹣6x+9+3 ＝（x﹣3）2+3； ∴x2﹣6x+12的最小值是3； （3）y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣x2+2x﹣1﹣2＝﹣（x﹣1）2﹣2， ∴当x＝1的时候，y有最大值﹣2． 故答案为：1，大，﹣2； （4）△ABC是等腰三角形．理由如下：a2+b2+c2﹣6a﹣10b﹣6c+43＝0， ∴a2﹣6a+9+b2﹣10b+25+c2﹣6c+9＝0， ∴（a﹣3）2+（b﹣5）2+（c﹣3）2＝0， 三个完全平方式子的和为0，所以三个完全平方式子分别等于0． a﹣3＝0，b﹣5＝0，c﹣3＝0， 解得a＝3，b＝5，c＝3． ∴△ABC是等腰三角形． 【点评】此题考查了因式分解的应用，配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 26．（2025春•江都区校级月考）配方法是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．例如，把二次三项式x2﹣2x+3进行配方 解：x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2 我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”，理由：因为5＝22+12，再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2，（x，y是整数）所以M也是“雅美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“雅美数”有　2　 个； ①10 ②28 ③45 ④39 （2）若二次三项式x2﹣6x+12（x是整数）是“雅美数”，可配方成（x﹣m）2+n（m，n为常数），则mn的值为　9　 ； 探究问题： （3）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的k值； （4）拓展结论：已知实数x，y满足﹣x2+3x+y﹣4＝0，直接写出x+y的最小值． 【答案】（1）2； （2）9； （3）13； （4）3； 【分析】（1）根据“雅美数”的定义判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值； （3）利用完全平方公式把原式变形，根据“雅美数”的定义证明结论； 【解答】解：（1）由题意，∵10＝32+12，45＝62+32， ∴10，45，都是“雅美数”， ∴“雅美数”有2个； 故答案为：2； （2）由题意得，x2﹣6x+12＝（x﹣3）2+3， ∴m＝3，n＝3， ∴mn＝9 故答案为：9； （3）由题意得，S＝x2+4y2+4x﹣12y+k ＝x2+4x+4+4y2﹣12y+9+k﹣13 ＝（x+2）2+（2y﹣3）2+k﹣13， ∵S为“雅美数”， ∴k﹣13＝0， ∴k＝13； （4）由题意，∵﹣x2+3x+y﹣4＝0， ∴y＝x2﹣3x+4， ∴x+y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3≥3， ∴x+y的最小值为3． 【点评】本题考查的是配方法的应用，理解并掌握雅美数的定义是解题的关键． 七．与某项无关（共1小题） 27．（2025春•靖江市校级期中）若多项式（x2+ax﹣2）与（x+3b）的乘积中不含x2的项，则2a+3b﹣1的值为　　 ． 【答案】． 【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则求出（x2+ax﹣2）（x+3b）的展开结果，再根据结果中不含x2的项求出a+3b＝0，据此代值计算即可得到答案． 【解答】解：（x2+ax﹣2）（x+3b） ＝x3+ax2﹣2x+3bx2+3abx﹣6b ＝x3+（3b+a）x2+（3ab﹣2）x﹣6b， 由题意可得：a+3b＝0， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，负整数指数幂，正确记忆相关知识点是解题关键． 八．比较大小（共3小题） 28．（2024春•江都区期中）若M＝（x﹣2）（x﹣3），N＝（x﹣1）（x﹣4），则M与N的大小关系是（　　） A．由x的取值而定 B．M＝N C．M＜N D．M＞N 【答案】D 【分析】先将M和N别去括号计算，再根据M﹣N＝2即可得到答案． 【解答】解：∵M＝（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6， N＝（x﹣1）（x﹣4）＝x2﹣5x+4， ∴M﹣N＝2， ∴M＞N， 故选：D． 【点评】本题考查整式乘法运算，解题的关键是掌握整式乘法运算法则． 29．（2025春•亭湖区校级期中）设M＝20252﹣2024×2026，N＝20252﹣4050×2026+20262，则M与N的关系是（　　） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M＝±N 【答案】B 【分析】M﹣N＝20252﹣2024×2026﹣（20252﹣4050×2026+20262），由平方差公式和完全平方公式进行运算，即可求解． 【解答】解：M﹣N ＝20252﹣2024×2026﹣（20252﹣4050×2026+20262） ＝20252﹣（2025﹣1）（2025+1）﹣20252+4050×2026﹣20262 ＝20252﹣20252+1﹣20252+4050×2026﹣20262 ＝1﹣（20252﹣2×2025×2026+20262） ＝1﹣（2025﹣2026）2 ＝1﹣（﹣1）2 ＝0， ∴M＝N， 故选：B． 【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，能熟练利用平方差公式和完全平方公式进行运算是解题的关键． 30．（2025秋•冷水滩区校级期中）已知M＝3x2﹣x+3，N＝2x2+3x﹣1，则M、N的大小关系是（　　） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N 【答案】A 【分析】用M与N作差，然后进行判断即可． 【解答】解：M＝3x2﹣x+3，N＝2x2+3x﹣1， ∵M﹣N＝（3x2﹣x+3）﹣（2x2+3x﹣1）＝3x2﹣x+3﹣2x2﹣3x+1＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2≥0， ∴M≥N． 故选：A． 【点评】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解答题的关键． 九．图形面积与整式乘法（共10小题） 31．（2025春•梁溪区校级期中）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（　　） A．3 B．19 C．21 D．28 【答案】B 【分析】设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，根据题意分别得到（x+y）2＝64，（x﹣y）2＝6，两式相加可得x2+y2＝35，在图1中利用两正方形的面积之和减去两个三角形的面积之和，代入计算可得阴影部分面积． 【解答】解：设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则AD＝x，EF＝y，AE＝x+y＝8， ∴（x+y）2＝64， ∴x2+y2+2xy＝64， ∵点H为AE的中点， ∴AH＝EH＝4， ∵图2的阴影部分面积＝（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝6， ∴（x+y）2+（x﹣y）2＝64+6， ∴x2+y2＝35， ∴图1的阴影部分面积＝x2+y24•x4•y ＝x2+y2﹣2（x+y） ＝35﹣2×8 ＝19， 故选：B． 【点评】本题考查了整式的加减，完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是灵活应用完全平方公式的变形． 32．（2025春•宜兴市期中）小冬以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形ABCD的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】设AB＝a，BC＝b，由四个正方形的周长之和为40，面积之和为28，根据完全平方公式得出2ab＝11，求解即可． 【解答】解：设AB＝a，BC＝b，由四个正方形的周长之和为40，面积之和为26可得， 4a×2+4b×2＝40，2a2+2b2＝26， 即a+b＝5①，a2+b2＝13②， 由①得，a2+2ab+b2＝25③， ③﹣②得2ab＝12， 所以ab＝6， 即长方形ABCD的面积为6， 故选：A． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示两个正方形的周长和面积是解决问题的前提． 33．（2025春•江阴市期中）有两类正方形A、B，其边长分别为a、b（a＞b），现将B放在A的内部得图1，将A、B并列放置后构造新的正方形得图2，图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12．若将三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，则阴影部分的面积为（　　） A．29 B．25 C．18 D．24 【答案】A 【分析】根据图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12．可得（a﹣b）2＝1，（a+b）2﹣a2﹣b2＝12，进而求出a﹣b，ab，再根据（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab求出a+b的值，用代数式表示图3中阴影部分的面积代入计算即可． 【解答】解：∵图1中阴影部分的面积为1． ∴（a﹣b）2＝1， 即a﹣b＝1，a﹣b＝﹣1（舍去）， ∵图2中阴影部分的面积为12． ∴（a+b）2﹣a2﹣b2＝12， 即ab＝6， ∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝1+24＝25， ∴a+b＝5，a+b＝﹣5（舍去）， ∴图3中阴影部分的面积为（2a+b）2﹣3a2﹣2b2 ＝4a2+4ab+b2﹣3a2﹣2b2 ＝a2﹣b2+4ab ＝（a+b）（a﹣b）+4ab ＝5×1+4×6 ＝29． 故选：A． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 34．（2025春•锡山区期中）将如图1的5张长为3，宽为1的小长方形纸片按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，已知CD的长度固定不变，BC的长度可以变化，若图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为S1，S2，则S1﹣S2的值是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题意，分别表示出两个长方形的长、宽，由得到AD＝BC，得到AF﹣GC＝1，从而表示出S1﹣S2，得到结果． 【解答】解：∵图1的5张长为3，宽为1的小长方形， ∴AE＝3，NG＝3，AD＝AF+FD＝AF+2，BC＝BG+GC＝3+GC， ∵AD＝BC， ∴AF+2＝3+GC， 即AF﹣GC＝1， ∴S1＝AE•AF＝3AF，S2＝NG•GC＝3GC， ∴S1﹣S2＝3AF﹣3GC＝3（AF﹣GC）＝3， 故选：D． 【点评】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 35．（2025春•南京期中）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝20，已知BG＝6，则图中阴影部分面积为（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】由完全平方公式，求出BC与CE的积，即可求解． 【解答】解：设BC＝a，CG＝b， ∵四边形CEFG是正方形， ∴CE＝CG＝b， ∵两正方形的面积和S1+S2＝20， ∴a2+b2＝20， ∵a+b＝6， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝36， ∴ab＝8， ∴S阴ab＝4， 故选：A． 【点评】本题考查完全平方公式，关键是应用此公式求出BC与CE的乘积． 36．（2017秋•泰兴市校级期中）如图“L”形的图形的面积有如下四种表示方法： ①a2﹣b2；②a（a﹣b）+b（a﹣b）；③（a+b）（a﹣b）； ④（a﹣b）2． 其中正确的表示方法有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】利用不同的分割方法把：原图形剪成两部分，它们分别是边长为a、a﹣b和b、a﹣b的矩形；沿对角线将原图分成两个直角梯形，将它们的对角线重合，拼成一个新的矩形；把原图形看作边长为a和边长为b的正方形的面积差．由此分别求得答案即可． 【解答】解：如图①， 图①中，大正方形面积为a2，小正方形面积为b2，所以整个图形的面积为a2﹣b2； 如图②， 一个矩形的面积是b（a﹣b），另一个矩形的面积是a（a﹣b），所以整个图形的面积为a（a﹣b）+b（a﹣b）； 如图③， 在图③中，拼成一长方形，长为a+b，宽为a﹣b，则面积为（a+b）（a﹣b）． 综上所知：矩形的面积为①a2﹣b2；②a（a﹣b）+b（a﹣b）；③（a+b）（a﹣b）共3种方法正确． 故选：C． 【点评】此题考查平方差公式的几何背景，掌握组合图形的拼接方法与面积的计算方法是解决问题的关键． 37．（2025春•句容市期中）在数学实践课上，“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的是（　　） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】分别计算原图阴影部分面积与拼后图中阴影部分的面积，根据面积相等即可作出判断，从而确定结果． 【解答】解：①左边阴影图形面积为a2﹣b2，右边平行四边形的底为（a+b），高为（a﹣b），面积为（a+b）（a﹣b），可得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，能够验证平方差公式，符合题意； ②左边阴影图形面积为a2﹣b2，右边长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），面积为（a+b）（a﹣b），可得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，能够验证平方差公式，符合题意； ③左边阴影图形面积为a2﹣b2，右边平行四边形的底为（a+b），高为（a﹣b），面积为（a+b）（a﹣b），可得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，能够验证平方差公式，符合题意； ④左边阴影图形的面积为（a+b）2﹣（a﹣b）2，右边长方形的面积为2a•2b＝4ab，不能够验证平方差公式，不符合题意； ∴能够验证平方差公式的有图①②③， 故选：C． 【点评】本题考查了几何图形的面积与平方差公式的应用，正确计算阴影部分的面积是解题的关键． 38．（2025春•兴化市期中）如图，正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为a，b，连接EC、GC，若阴影部分CEFG的面积为10．当a，b的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．a2+b2 B．ab C．b（a﹣b） D．a2﹣b2 【答案】C 【分析】先观察图形可知：阴影部分CEFG的面积＝正方形ABCD的面积﹣△BCG的面积﹣△DEC的面积﹣正方形AEFG的面积，然后根据题意，列出等式求出答案即可． 【解答】解：由题意得：， a2﹣a（a﹣b）﹣b2＝10， a2﹣a2+ab﹣b2＝10， ab﹣b2＝10， b（a﹣b）＝10， ∴当a，b的值发生变化时，代数式的值不变的是：b（a﹣b）， 故选：C． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是注意利用数形结合的思想理解阴影部分CEFG的面积＝正方形ABCD的面积﹣△BCG的面积﹣△DEC的面积﹣正方形AEFG的面积． 39．（2023春•工业园区期中）【阅读理解】 若x满足（32﹣x）（x﹣12）＝100，求（32﹣x）2+（x﹣12）2的值． 解：设32﹣x＝a，x﹣12＝b，则（32﹣x）（x﹣12）＝a•b＝100，a+b＝（32﹣x）+（x﹣12）＝20，（32﹣x）2+（x﹣12）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×100＝200， 我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 （1）若x满足（100﹣x）（x﹣95）＝5，则（100﹣x）2+（x﹣95）2＝　15　 ； （2）若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2000）2＝229，求（2023﹣x）（x﹣2000）的值； （3）如图，在长方形ABCD中，AB＝24cm，点E，F是边BC，CD上的点，EC＝12cm，且BE＝DF＝xcm，分别以FC，CB为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CBMN，若长方形CBQF的面积为320cm2，求图中阴影部分的面积和． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据阅读材料的方法，设100﹣x＝a，x﹣95＝b，则ab＝5，而a+b＝5，根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，即可求解； （2）设2023﹣x＝a，x﹣2000＝b，则a2+b2＝229，而a+b＝23，最后根据完全平方公式，即可求解； （3）设CF＝a，BC＝b，根据长方形CBQF的面积为320cm2，列方程同理可得结论． 【解答】解：（1）根据阅读材料的方法，设100﹣x＝a，x﹣95＝b， 则ab＝5， 而a+b＝5， ∴（100﹣x）2+（x﹣95）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×5＝15； 故答案为：15； （2）设2023﹣x＝a，x﹣2000＝b，则a2+b2＝229， 而a+b＝23， ∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， ∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝232﹣229＝529﹣229＝300， ∴ab＝150， 即（2023﹣x）（x﹣2000）＝150； （3）由题意得：CF＝CD﹣DF＝24﹣x，BC＝CE+BE＝x+12， 设CF＝a，BC＝b， ∴a+b＝24﹣x+x+12＝36， ∵长方形CBQF的面积为320cm2， ∴（24﹣x）（12+x）＝ab＝320， ∴图中阴影部分的面积和＝（24﹣x）2+（x+12）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝362﹣2×320＝656（cm2）． 【点评】本题考查了完全平方公式，换元等知识，解题关键是灵活利用换元思想，熟练掌握完全平方公式． 40．（2025春•宿城区校级期中）某班数学兴趣小组的同学在学习整式乘法公式后，构造了以下图形验证乘法公式．请你利用数形结合的思想，通过等积法解决以下数学问题．从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）比较两图中阴影部分面积，可以验证的等式是 B ；（请选择正确的选项） A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） （2）若4x2﹣9y2＝20，2x﹣3y＝4，求2x+3y的值； （3）计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）+1． 【答案】（1）B； （2）5； （3）22048． 【分析】（1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）将原式配上因式（2﹣1），连续利用平方差公式即可． 【解答】解：（1）图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的图2是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b）， 所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：B； （2）∵4x2﹣9y2＝20，即（2x+3y）（2x﹣3y）＝20，而2x﹣3y＝4， ∴2x+3y＝5； （3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）+1 ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）+1 ＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（21024+1）+1 ＝（28﹣1）（28+1）…（21024+1）+1 ＝（216﹣1）…（21024+1）+1 ＝22048﹣1+1 ＝22048． 【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 十．卡片问题（共1小题） 41．（2024春•泰兴市期中）小李同学制作了如图所示的卡片A类、B类、C类各10张，其中A、B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．现要拼一个两边分别是（2a+3b）和（3a+2b）的大长方形，那么下列关于他所准备的C类卡片的张数的说法中，正确的是（　　） A．够用，剩余5张 B．够用，剩余1张 C．不够用，缺2张 D．不够用，缺3张 【答案】D 【分析】根据大长方形的面积公式求出拼成大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可求解． 【解答】解：大长方形的面积为（2a+3b）（3a+2b）＝6a2+13ab+6b2，C类卡片的面积是ab， ∴需要C类卡片的张数是13， ∴不够用，还缺3张， 故选：D． 【点评】本题主要考查多项式与多项式的乘法与图形的面积，掌握多项式乘以多项式的计算方法是解题的关键． 十一．恒等式（共4小题） 42．（2022春•吴江区期中）若（x+2）（2x﹣n）＝2x2+mx+2，则m﹣n的值是（　　） A．6 B．4 C．2 D．﹣6 【答案】A 【分析】将所给等式的左边展开，然后与等式右边比较，可得含有m和n的等式，求出m、n的值即可得答案． 【解答】解：∵（x+2）（2x﹣n）＝2x2+mx+2， ∴2x2+（4﹣n）x﹣2n＝2x2+mx+2， ∴4﹣n＝m，﹣2n＝2 ∴m＝5，n＝﹣1， ∴m﹣n＝5+1＝6． 故选：A． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式，明确多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 43．（2025春•扬州校级期中）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣6，若a，b都是整数，则m的值不可能是（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣7 【答案】D 【分析】直接利用多项式乘以多项式分析得出答案． 【解答】解：∵（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+mx﹣6， ∴当a＝1，b＝﹣6时，m＝a+b＝﹣5； 当a＝﹣1，b＝6时，m＝a+b＝5； 当a＝2，b＝﹣3时，m＝﹣1； 当a＝﹣2，b＝3时，m＝1； 当a＝3，b＝﹣2时，m＝1； 当a＝﹣3，b＝2时，m＝﹣1； 故m的值不可能是﹣7； 故选：D． 【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确分类讨论是解题关键． 44．（2024春•仪征市期中）小刚把（2025x+2022）2展开后得到ax2+bx+c，把（2024x+2023）2展开后得到mx2+nx+q，则a﹣m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．4049 D．﹣4049 【答案】C 【分析】根据完全平方公式分别展开，即可求出a、m的值，然后根据平方差公式计算即可． 【解答】解：（2025x+2022）2 ＝20252x2+2×2025x×2022+20222， ∵（2025x+2022）2展开后得到ax2+bx+c， ∴a＝20252， （2024x+2023）2 ＝20242x2+2×2024x×2023+20232， ∵（2024x+2023）2展开后得到mx2+nx+q， ∴m＝20242， ∴a﹣m ＝20252﹣20242 ＝（2025+2024）×（2025﹣2024） ＝4049×1 ＝4049， 故选：C． 【点评】本题考查了完全平方公式、平方差公式，熟练掌握这两个公式是解题的关键． 45．（2025春•工业园区校级期中）若等式（x﹣s）（3x+t）＝3x2+mx﹣n恒成立，无论t为何值，3m+5n的值始终为定值，则这个定值为　　 ． 【答案】． 【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则把已给等式左边展开得到3x2+（t﹣3s）x﹣ts＝3x2+mx﹣n，则m＝t﹣3s，n＝ts，据此可得3m+5n＝（3+5s）t﹣9s，根据无论t为何值，3m+5n的值始终为定值，得到3+5s＝0，据此求出s的值即可得到答案． 【解答】解：∵（x﹣s）（3x+t）＝3x2﹣3sx+tx﹣ts＝3x2+（t﹣3s）x﹣ts，（x﹣s）（3x+t）＝3x2+mx﹣n， ∴3x2+（t﹣3s）x﹣ts＝3x2+mx﹣n， ∴m＝t﹣3s，n＝ts， ∴3m+5n ＝3（t﹣3s）+5ts ＝3t﹣9s+5ts ＝（3+5s）t﹣9s， ∵无论t为何值，3m+5n的值始终为定值， ∴3+5s＝0， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了多项式乘以多项式，理解题意是解题的关键． 十二．新定义（共15小题） 46．（2025春•扬州期中）小吉是一个爱好数学的好学生，一天他将三个正方形如图所示相连，然后将数字0～8填入图中的9个顶点处，使得每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16，每个正方形顶点上的四个数字的平方和分别记为A、B、C，且A+B+C＝260．如果将交点处的三个填入的数字分别记作为x、y、x+y，则xy的值为（　　） A．0 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】由题意得x+y+（x+y）等于16×3﹣（0+1+2+3+4+5+6+7+8），x2+y2+（x+y）2等于260﹣（02+12+22+32+42+52+62+72+82），利用完全平方公式变形求得xy的值． 【解答】解：∵每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16， 0+1+2+3+4+5+6+7+8＝36， ∴x+y+（x+y）＝16×3﹣36＝48﹣36＝12， ∴x+y＝6， ∵A+B+C＝260， 02+12+22+32+42+52+62+72+82＝204， ∴x2+y2+（x+y）2＝260﹣204＝56， ∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy， ∴62﹣2xy+62＝56， 解得xy＝8， ∴xy的值为8． 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的加法，完全平方公式，有理数的乘方，熟练掌握相关性质是解题的关键． 47．（2024春•涟水县期中）阅读以下内容： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，根据这一规律，计算：1+2+22+23+24+25+…+22023﹣22024＝　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【分析】根据题意，先求出1+2+22+23+24+25+…+22023＝（2﹣1）×（22023+⋯+22+2+1）＝22024﹣1，再计算1+2+22+23+24+25+…+22023﹣22024即可． 【解答】解：根据题意可得： 1+2+22+23+24+25+…+22023 ＝（2﹣1）×（22023+⋯+22+2+1） ＝22024﹣1， ∴1+2+22+23+24+25+…+22023﹣22024 ＝22024﹣1﹣22024 ＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查的是多项式乘多项式，从题目中找出式子间的变化规律是解题的关键． 48．（2024秋•崇川区校级期中）观察以下等式： （x+2y）2+（2x﹣y）2＝5（x2+y2）； （2x+3y）2+（3x﹣2y）2＝13（x2+y2）； （3x+4y）2+（4x﹣3y）2＝25（x2+y2）； （4x+6y）2+（6x﹣4y）2＝52（x2+y2）． 运用你所发现的规律解决以下问题：已知x，y为实数，x2+y2＝1，则（6x+8y）2的最大值为　100　 ． 【答案】100． 【分析】根据已知得到（6x+8y）2+（8x﹣6y）2＝（62+82）（x2+y2）＝100（x2+y2），再根据偶次方的非负性求出最大值． 【解答】解：由等式可知：（6x+8y）2+（8x﹣6y）2＝（62+82）（x2+y2）＝100（x2+y2） ∴（6x+8y）2＝100（x2+y2）﹣（8x﹣6y）2 ∵x2+y2＝1， ∴（6x+8y）2＝100﹣（8x﹣6y）2 ∵（8x﹣6y）2≥0， ∴0≤100﹣（8x﹣6y）2≤100， ∴（6x+8y）2的最大值为100， 故答案为：100． 【点评】本题主要考查了多项式运算中的规律探索，根据已知等式得到计算规律，并解决问题是解题的关键， 49．（2022秋•崇川区期中）我国南宋数学家杨辉用三角形系数表解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．“杨辉三角”给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：若，请根据上述规律，写出a1﹣a2+a3﹣•••+a2023的值等于 　2　 ． 【答案】2． 【分析】令x＝﹣1，得﹣1＝﹣a1+a2﹣a3+•••﹣a2023+a2024，根据已知a2024＝1，所以﹣a1+a2﹣a3+•••﹣a2023＝﹣2，所以a1﹣a2+a3﹣•••+a2023＝2． 【解答】解：∵， ∴当x＝﹣1时，（﹣2+1）2023＝﹣a1+a2﹣a3+•••﹣a2023+a2024， ∴﹣1＝﹣a1+a2﹣a3+•••﹣a2023+a2024， 根据已知a2024＝1， ∴﹣a1+a2﹣a3+•••﹣a2023＝﹣2， ∴a1﹣a2+a3﹣•••+a2023＝2． 故答案为：2． 【点评】此题考查了完全平方公式，数学常识，以及规律型：数字的变化类，弄清杨辉三角中的数字排列规律是解本题的关键． 50．（2025春•兴化市期中）小明同学在计算（a1x+b1）（a2x+b2）时发现一次项（a1b2+a2b1）x可以利用交叉相乘再相加的规律算得．例如计算（2x+1）（x+2）时一次项为2x•2+x•1＝5x．仿照小明的方法，计算（x+1）（x+2）（x+3）…（x+n﹣1）（x+n）展开式中xn﹣1项的系数为 　　 （用含n的代数式表示）． 【答案】． 【分析】先通过不完全归纳法找到几个一次两项式相乘，展开式中xn﹣1项的系数规律，再运用得结论． 【解答】解：∵（x+1）（x+2）＝x2+3x+2，展开式中xn﹣1项的系数为1+2＝3， （x+1）（x+2）（x+3）＝x3+6x2+11x+6，展开式中xn﹣1项的系数为1+2+3＝6， （x+1）（x+2）（x+3）（x+4）＝x4+10x3+35x2+50x+24，展开式中xn﹣1项的系数为1+2+3+4＝10， ∴（x+1）（x+2）（x+3）…（x+n﹣1）（x+n）展开式中xn﹣1项的系数为： 1+2+3+4+…+n﹣1+n •n ． 故答案为：． 【点评】本题考查了整式的乘法，掌握多项式乘多项式法则、不完全归纳法等知识点是解决本题的关键． 51．（2025秋•如皋市期中）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图1～图3所示．参照图1～图3，图4给出了582的“竖式”，据此，可得（m+n）（x﹣y）的值是（　　） A．92 B．88 C．84 D．80 【答案】D 【分析】根据已知条件中的求解过程找出规律，然后按照此规律进行解答即可． 【解答】解：由322＝1024可知： 09＝32，04＝22，12＝3×2×2； 由462＝2116可知： 16＝42，36＝62，48＝4×6×2； 由892＝7921 可知： 64＝82，81＝92，144＝8×9×2， ∴10m+n＝82＝64，10x+y＝5×8×2＝80， ∴m＝6，n＝4，x＝8，y＝0， ∴（m+n）（x﹣y） ＝（6+4）×（8﹣0） ＝10×8 ＝80． 故选：D． 【点评】本题主要考查了数字的变化类，解题关键是根据已知条件找出规律． 52．（2025春•江阴市期中）若a，b满足a2b2+a2+b2+10ab+16＝0，则a2+b2的值为 　8　 ． 【答案】8． 【分析】先配方得到（ab+4）2+（a+b）2＝0，进而得出ab＝﹣4，（a+b）2＝0，再求出a2+b2的值即可． 【解答】解：∵a2b2+a2+b2+10ab+16＝0， ∴a2b2+8ab+16+a2+2ab+b2＝0， ∴（ab+4）2+（a+b）2＝0， ∴ab＝﹣4，（a+b）2＝0， ∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， ∴a2+b2＝8， 故答案为：8． 【点评】此题主要考查了完全平方公式，非负数的性质：偶次方，得出关于a，b的等式是解答本题的关键． 53．（2025春•句容市期中）如图1，正方形A、B、C的边长分别为m、n、p，且m+p＜n． （1）将一个A种和一个B种正方形组合成图2的图形，外边框可以围成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，从而可以得到一个乘法公式为　（m+n）2＝m2+2mn+n2 ． （2）如图3，将正方形A、B、C拼接在一起，沿着外边框可以围成一个大正方形，类比（1）的思路进行思考，直接写出所得到的等式　（m+n+p）2＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np ． （3）利用正方形A、B、C画出恰当的图形，说明（n﹣m﹣p）2＜n2﹣m2﹣p2． 【答案】（1）（m+n）2＝m2+2mn+n2； （2）（m+n+p）2＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np； （3）详见解答． 【分析】（1）用两种方法分别用代数式表示图2的面积即可； （2）用两种方法分别用代数式表示图3的面积即可； （3）画出相应的图形，根据各个部分面积之间的关系即可得出答案． 【解答】解：（1）图2整体上是边长为m+n法正方形，因此面积为（m+n）2，拼成图2的四个部分的面积和为m2+2mn+n2， 所以有（m+n）2＝m2+2mn+n2， 故答案为：（m+n）2＝m2+2mn+n2； （2）图3整体上是边长为m+n+p法正方形，因此面积为（m+n+p）2，拼成图3的九个部分的面积和为m2+n2+p2+2mn+2mp+2np， 所以有（m+n+p）2＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np， 故答案为：（m+n+p）2＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np； （3）如图，图形中正方形H的边长为n﹣m﹣p，因此面积为（n﹣m﹣p）2，而n2﹣m2﹣p2则表示的是正方形H，长方形D，长方形E，长方形F，长方形G的面积和，由面积之间的关系可得（n﹣m﹣p）2＜n2﹣m2﹣p2． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 54．（2024春•工业园区校级期中）将完全平方公式作适当变形，可以用来解决很多数学问题． （1）观察图1，写出代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系：　（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ； （2）若x+y＝6，xy＝4，则x2+y2＝　28　 ；（x﹣y）2＝　20　 ； （3）如图2，边长为5的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为m，n（m＜5，n＜5）的长方形，若长方形的周长为12，面积为8.5，求图中阴影部分的面积S1+S2+S3的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由图1的阴影部分的面积的两种不同表示，可求解； （2）由完全平方公式可求解； （3）由面积和差关系和完全平方公式可求解． 【解答】解：（1）图1的阴影部分面积＝（a+b）2﹣4ab，图1的阴影部分面积＝（a﹣b）2， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab， 故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； （2）∵x+y＝6，xy＝4， ∴（x+y）2＝36＝x2+y2+2xy， ∴x2+y2＝36﹣2xy＝36﹣8＝28， ∵（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy， ∴（x﹣y）2＝36﹣16＝20， 故答案为：28，20； （3）∵长方形的周长为12，面积为8.5， ∴m+n＝6，m•n＝8.5， ∵S1+S2+S3＝（5﹣m）2+（n+m﹣5）2+（5﹣n）2＝25+m2﹣10m+1+25+n2﹣10n＝m2+n2﹣10（m+n）+51＝（m+n）2﹣2mn﹣60+51＝36﹣17﹣9＝10， ∴S1+S2+S3＝10． 【点评】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式变形是解题的关键． 55．（2025秋•海安市校级期中）【探索发现】 数学活动课上，老师准备了如图1的一个长为4b，宽为a（a＞b）的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形． （1）观察图1，图2，请写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系是：　（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab ； 【解决问题】 （2）若（x+y）2＝28，xy＝3，且x＜y，则x﹣y＝　﹣4　 ； 【实际应用】 （3）学校计划用一块梯形区域开展科技节活动，如图3所示．已知AC⊥BD于点O，AO＝OB，DO＝OC．计划在△AOD和△BOC区域内展示无人机和机器人表演，在△AOB和△DOC区域内分别是主舞台和观众，经测无人机和机器人表演区域的面积和为84平方米，AC＝20米，求主舞台和观众区的面积和． 【拓展提升】 （4）已知a2﹣b2＝5，ab＝6，求2a+3b的值． 【答案】（1）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab； （2）﹣4； （3）116； （4）±12． 【分析】（1）根据大正方形的面积减去4个长方形的面积等于小正方形的面积，列出等量关系即可； （2）利用（1）所得的等量关系解得即可； （3）设AO＝OB＝a，DO＝OC＝b，可得a+b＝20，ab＝84，再利用完全平方公式计算即可求解； （4）根据完全平方公式得到（a2+b2）2﹣（a2﹣b2）2＝4（ab）2，根据a2﹣b2＝5，ab＝6求出（a2+b2）2＝169，即a2+b2＝13，进而求出b2＝4，根据（2a+3b）2＝4a2+9b2+12ab求出（2a+3b）2＝144，即可求出2a+3b的值． 【解答】解：（1）大正方形的面积为（a+b）2，小正方形的面积为（a﹣b）2，长方形的面积为ab， 由图2可知，大正方形的面积减去4个长方形的面积等于小正方形的面积， ∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， 故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab； （2）由条件可得，（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy， ∵（x+y）2＝28，xy＝3， ∴28﹣（x﹣y）2＝4×3， ∴（x﹣y）2＝16， ∵x＜y， ∴x﹣y＜0， ∴x﹣y＝﹣4， 故答案为：﹣4； （3）设AO＝OB＝a，DO＝OC＝b，则a+b＝20， ∴（a+b）2＝400， 即a2+b2+2ab＝400， ∵AC⊥BD， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠AOD＝90°， ∵无人机和机器人表演区域的面积和为84平方米， ∴， ∴2ab＝168， ∴a2+b2＝400﹣168＝232， ∴主舞台和观众区的面积和为； （4）根据完全平方公式得到（a2+b2）2﹣（a2﹣b2）2＝4（ab）2， ∵a2﹣b2＝5，ab＝6， 由条件可知（a2+b2）2﹣52＝4×62， （a2+b2）2﹣25＝144， （a2+b2）2＝169， a2+b2＝13（负值舍去）， ∵a2﹣b2＝5， ∴a2+b2﹣（a2﹣b2）＝13﹣5， ∴b2＝4， ∵（2a+3b）2＝4a2+9b2+12ab ＝4a2+9b2+12ab ＝4（a2+b2）+5b2+12ab ＝4×13+5×4+12×6 ＝144， ∴2a+3b＝±12． 【点评】本题考查了完全平方公式与几何图形，完全平方公式的变形运算，熟练掌握完全平方公式的运用是解题的关键． 56．（2025秋•通州区期中）【发现】数学活动课中，学习小组通过计算下列两组乘法算式的结果（每组算式中两个因数的和为定值），发现结果有个规律：两数和一定时．差的绝对值越小越大． ①30×30，35×25，43×17，52×8； ②50×50，53×47，74×26，91×9． 【验证】（1）设两个数分别为a+b和a﹣b，其中a为定值，b≥0．请用整式的乘法证明上述规律； 【运用】（2）请用上述规律解决问题： ①用20m长的绳子围成一个长方形，求这个长方形的最大面积； ②求的最大值． 【答案】（1）见详解；（2）①25m2；②． 【分析】（1）设两数为和为定值的对称形式a+b、a﹣b，用整式乘法展开乘积，分析参数b对乘积的影响：b越大，乘积越小，b越小，乘积越大，得出规律：两数和一定时，差的绝对值越小，乘积越大； （2）①长方形周长固定，长+宽为定值，应用规律：长＝宽（差为0）时面积最大，计算可得出最大面积；②将目标式子调整为两数乘积，通过乘以系数使两数和为定值，找到两数和为定值时的相等情况（差为0），解得变量值，最终通过计算得出最大值． 【解答】解：（1）根据题意可知，设两个数分别为a+b和a﹣b，其中a为定值，b≥0， ∴两个数的和为：（a+b）+（a﹣b）＝a+b+a﹣b＝2a（定值）， 两个数的积为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 当b＞0时，b2随b增大而增大， ∴a2﹣b2随b增大而减小， ∴b越小乘积越大； 当b＝0时，乘积最大（两数相等）， 即两数和一定时，差的绝对值越小，乘积越大； （2）①根据题意可知，长+宽为：20÷2＝10（m），为定值， 当长和宽相等时，差的绝对值为0，面积最大， ∴长＝宽＝10÷2＝5（m）， 最大面积为：5×5＝25（m2）； ②设两数为，B＝9﹣x， ∴，为定值， 根据规律可得，当3A＝B时，3A•B最大， 由3A＝B得，， 解得：， 此时， ∴，即， ∴的最大值为． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，绝对值，掌握相应的运算法则是关键． 57．（2025春•江都区期中）（1）已知a﹣b＝5，ab＝6，求a2+b2的值； （2）已知，求和的值． 【答案】（1）37； （2）7；47． 【分析】利用完全平方公式解答各题即可． 【解答】解：（1）∵a﹣b＝5，ab＝6， ∴a2+b2 ＝（a﹣b）2+2ab ＝25+12 ＝37； （2）∵， ∴， 则； 那么， 则． 【点评】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键． 58．（2025春•海陵区校级期中）小明同学用四张长为x，宽为y的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）． （1）通过计算小正方形面积，可推出（x+y）2，xy，（x﹣y）2三者的等量关系式为：　（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy ； （2）利用（1）中的结论，当2a﹣b＝﹣4，时，（2a+b）2＝　20　 ． （3）利用（1）中的结论，当（2x﹣500）（400﹣2x）＝1996时，求（2x﹣450）2的值． 【答案】（1）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy； （2）20； （3）504． 【分析】（1）根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，列出等式即可； （2）直接利用（1）中结论进行求解即可； （3）利用完全平方公式变形计算即可． 【解答】解：（1）由图可知：小正方形的边长为：x﹣y，大正方形的边长为x+y， ∴小正方形的面积为（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy； 故答案为：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy； （2）由（1）可知：（2a﹣b）2＝（2a+b）2﹣4•2a•b， ∵2a﹣b＝﹣4，， ∴； 故答案为：20； （3）∵令a＝2x﹣500，b＝400﹣2x，则：a+b＝﹣100，ab＝1996，a﹣b＝4x﹣900＝2（2x﹣450）， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝（﹣100）2﹣4×1996＝2016， ∴[2（2x﹣450）]2＝2016， ∴． 【点评】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 59．（2025春•建邺区校级期中）如图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形． （1）观察图②，（m+n）2，（m﹣n）2，4mn之间的等量关系为 　（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn ． （2）若a+b＝7，ab＝5，则（a﹣b）2＝ 　29　 ． （3）已知，求的值． 【答案】（1）（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn； （2）29； （3）15． 【分析】（1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图②的面积即可； （2）利用（1）的结论代入计算即可； （3）根据（1）的结论，代入计算即可． 【解答】解：（1）图②整体上是边长为m+n的正方形，因此面积为（m+n）2，图②中间的小正方形的边长为m﹣n，因此面积为（m﹣n）2， 四个长方形的面积的面积和为4mn， 所以有（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn， 故答案为：（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn； （2）∵a+b＝7，ab＝5， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ＝49﹣20 ＝29， 故答案为：29； （3）由（1）知， （3x）2＝（3x）2+4×3x ＝32+6 ＝15． 【点评】本题考查完全平方式，掌握完全平方式的结构特征是正确解答的关键． 60．（2022春•姑苏区校级期中）已知ax+20，bx+19，cx+21，那么代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】已知条件中的几个式子有中间变量x，三个式子消去x即可得到：a﹣b＝1，a﹣c＝﹣1，b﹣c＝﹣2，用这三个式子表示出已知的式子，即可求值． 【解答】解：法一：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac， ＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a）， 又由ax+20，bx+19，cx+21， 得（a﹣b）x+20x﹣19＝1， 同理得：（b﹣c）＝﹣2，（c﹣a）＝1， 所以原式＝a﹣2b+cx+20﹣2（x+19）x+21＝3． 故选B． 法二：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac， （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）， [（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）]， [（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]， （1+1+4）＝3． 故选：B． 【点评】本题若直接代入求值会很麻烦，为此应根据式子特点选择合适的方法先进行化简整理，化繁为简，从而达到简化计算的效果，对完全平方公式的灵活运用是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/16 20:15:18；用户：15951603008；邮箱：15951603008；学号：4505620 ( 第 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $