第8章求空间角与距离讲义2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 必修 第八章 立体几何初步 （七）求空间角 知识点1：直线和平面所成的角 定义： ①平面的斜线：如图，一条直线PA和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，图中的点A即斜足。 ②斜线在平面内上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影． ③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 直线和平面所成的角的范围： 规定：①一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90°； ②一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于0°． 因此，直线与平面所成的角α的范围是______________． 方法： 知识点2：二面角 概念 平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。 图示 二 面 角 的 平 面 角 文字 在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角 图示 符号 OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角 范围 二 面 角 的 大 小 及 记 法 规定 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角 记法 棱为l，面分别为α，β的二面角记为二面角α-l-β．如图所示，也可在α，β内（棱以外的半平面部分）分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P-l-Q． 方法： · 求线面角、二面角的常用方法： (1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解． (2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质． 【例1】如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． (1)求PB和平面PAD所成的角的大小； (2)证明：AE⊥平面PCD； 【变式1】如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且，点C为圆O上一点，且.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB. (1)求证：CD⊥平面PAB； (2)求直线PC与平面PAB所成的角． 【例2】如图，已知在直四棱柱中，，，． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 【变式2-1】如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，则二面角的大小为___. 【变式2-2】已知矩形的两边，，平面，且，则二面角的正切值为（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点． (1)求证：EF⊥平面PAD； (2)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小； （八）求空间距离 知识点1：点到平面的距离（点面距）：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离。 知识点2：直线和平面间的距离（线面距）：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面上的距离叫做这条直线和平面间的距离。 知识点3：平行平面间的距离（面面距）：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平面的公垂线，公垂线夹在两个平行平面间的部分叫做两个平行平面的距离。两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面间的距离。 【例1】如图，已知四棱锥的底面是梯形， 且 (1)若为的中点，证明:⊥平面 (2)求点到平面的距离. 【例2】在直三棱柱中，，，.求直线与平面的距离. 【例3】如图，直角梯形与梯形全等，其中，，且平面，点是的中点． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面的距离． 1.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE=BE，平面ABCD⊥平面ABE，点F在CE上，且BF⊥平面ACE． （1）证明：平面ADE⊥平面BCE； （2）求点D到平面ACE的距离． 2.如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面． (1)证明：； (2)若，，，求二面角的余弦值． 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 必修 第八章 立体几何初步 （七）求空间角 知识点1：直线和平面所成的角 定义： ①平面的斜线：如图，一条直线PA和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，图中的点A即斜足。 ②斜线在平面内上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影． ③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 直线和平面所成的角的范围： 规定：①一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90°； ②一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于0°． 因此，直线与平面所成的角α的范围是______________． 方法： 知识点2：二面角 概念 平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。 图示 二 面 角 的 平 面 角 文字 在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角 图示 符号 OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角 范围 二 面 角 的 大 小 及 记 法 规定 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角 记法 棱为l，面分别为α，β的二面角记为二面角α-l-β．如图所示，也可在α，β内（棱以外的半平面部分）分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P-l-Q． 方法： · 求线面角、二面角的常用方法： (1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解． (2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质． 【例1】如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． (1)求PB和平面PAD所成的角的大小；45° (2)证明：AE⊥平面PCD； 【变式1】如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且，点C为圆O上一点，且.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB. (1)求证：CD⊥平面PAB； (2)求直线PC与平面PAB所成的角． 【例2】如图，已知在直四棱柱中，，，． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 【变式2-1】如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，则二面角的大小为__45°_. 【变式2-2】已知矩形的两边，，平面，且，则二面角的正切值为（ B ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点． (1)求证：EF⊥平面PAD； (2)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小； （八）求空间距离 知识点1：点到平面的距离（点面距）：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离。 知识点2：直线和平面间的距离（线面距）：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面上的距离叫做这条直线和平面间的距离。 知识点3：平行平面间的距离（面面距）：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平面的公垂线，公垂线夹在两个平行平面间的部分叫做两个平行平面的距离。两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面间的距离。 【例1】如图，已知四棱锥的底面是梯形， 且 (1)若为的中点，证明:⊥平面 (2)求点到平面的距离. 【例2】在直三棱柱中，，，.求直线与平面的距离. 【例3】如图，直角梯形与梯形全等，其中，，且平面，点是的中点． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面的距离． 1.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE=BE，平面ABCD⊥平面ABE，点F在CE上，且BF⊥平面ACE． （1）证明：平面ADE⊥平面BCE； （2）求点D到平面ACE的距离． 2.如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面． (1)证明：； (2)若，，，求二面角的余弦值． 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $