第8章空间直线、平面的垂直讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 必修 第八章 立体几何初步 （六）空间直线、平面的垂直 知识点1：直线与平面垂直 定义： 定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作：l⊥α 有关 概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足． 图示 判定定理与性质定理： 判定定理 性质定理 文字语言 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 垂直于同一个平面的两条直线平行 图形语言 符号语言 a⊂α，b⊂α，ab=P ，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α ⇒a∥b 作用 判断直线与平面垂直 （1）证明两直线平行；（2）构造平行线 知识点2：平面与平面垂直 定义： 定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作：α⊥β 画法 两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的橫边垂直． 图示 判定定理与性质定理： 判定定理 性质定理 文字语言 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两平面的交线，那么这条直线与另一平面垂直 图形语言 符号语言 l⊂β，l⊥α⇒α⊥β 作用 判断两平面垂直 证明直线与平面垂直 空间中各种垂直关系相互转化关系的示意图 【例1】Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点． (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC.求证：BD⊥平面SAC. 【变式1-1】下列命题中，正确的有( B　) ①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直． 错 ②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直． 对 ③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．对 ④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面． 对 ⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内． 对 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． 证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE. 【例2】如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点． (1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；（2）证明：平面ABM⊥平面A1B1M． 【变式2-1】(多选题）在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论中成立的是(　ABD　) A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC 【变式2-2】如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证： (1)直线EF∥平面PCD； (2)平面BEF⊥平面PAD. 【例3】如图，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1. 【变式3】如图，已知矩形ABCD，SA⊥平面AC，AE⊥SB于E，EF⊥SC于F. (1)求证：AF⊥SC； (2)若SD交平面AEF于G，求证：AG⊥SD． 【例4】如图所示，三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，求证：PD⊥平面ABC． 【变式3-1】(多选题）已知平面α⊥平面β，则下列命题正确的个数是(　AB　) A. α内的直线必垂直于β内的无数条直线； B.在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线； C.α内的任何一条直线必垂直于β； D.过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α. 【变式3-2】如图，已知V是△ABC所在平面外一点，VB⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VAC， 求证：△ABC是直角三角形． 1.如图，在三棱锥P–ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点． 求证：AB⊥PB． 2.如图，四棱锥P–ABCD中，底面ABCD为矩形，E为PD的中点．若PA⊥平面ABCD，PA=AD，求证：平面AEC⊥平面PCD． 3.如图，空间四边形PABC中，PB⊥底面ABC，∠BAC=90°；过点B作BE，BF分别垂直于AP，CP于点E，F．（1）求证：AC⊥面PAB；（2）求证：PC⊥EF． 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 必修 第八章 立体几何初步 （六）空间直线、平面的垂直 知识点1：直线与平面垂直 定义： 定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作：l⊥α 有关 概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足． 图示 判定定理与性质定理： 判定定理 性质定理 文字语言 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 垂直于同一个平面的两条直线平行 图形语言 符号语言 a⊂α，b⊂α，ab=P ，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α ⇒a∥b 作用 判断直线与平面垂直 （1）证明两直线平行；（2）构造平行线 知识点2：平面与平面垂直 定义： 定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作：α⊥β 画法 两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的橫边垂直． 图示 判定定理与性质定理： 判定定理 性质定理 文字语言 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两平面的交线，那么这条直线与另一平面垂直 图形语言 符号语言 l⊂β，l⊥α⇒α⊥β 作用 判断两平面垂直 证明直线与平面垂直 空间中各种垂直关系相互转化关系的示意图 【例1】Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点． (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC.求证：BD⊥平面SAC. 【变式1-1】下列命题中，正确的有( 　) ①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直． ②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直． ③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面． ④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面． ⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． 证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE. 【例2】如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点． (1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；（2）证明：平面ABM⊥平面A1B1M． 【变式2-1】(多选题）在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论中成立的是(　　) A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC 【变式2-2】如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证： (1)直线EF∥平面PCD； (2)平面BEF⊥平面PAD. 【例3】如图，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1. 【变式3】如图，已知矩形ABCD，SA⊥平面AC，AE⊥SB于E，EF⊥SC于F. (1)求证：AF⊥SC； (2)若SD交平面AEF于G，求证：AG⊥SD． 【例4】如图所示，三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，求证：PD⊥平面ABC． 【变式3-1】(多选题）已知平面α⊥平面β，则下列命题正确的个数是(　　) A. α内的直线必垂直于β内的无数条直线； B.在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线； C.α内的任何一条直线必垂直于β； D.过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α. 【变式3-2】如图，已知V是△ABC所在平面外一点，VB⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VAC， 求证：△ABC是直角三角形． 1.如图，在三棱锥P–ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点． 求证：AB⊥PB． 2.如图，四棱锥P–ABCD中，底面ABCD为矩形，E为PD的中点．若PA⊥平面ABCD，PA=AD，求证：平面AEC⊥平面PCD． 3.如图，空间四边形PABC中，PB⊥底面ABC，∠BAC=90°；过点B作BE，BF分别垂直于AP，CP于点E，F．（1）求证：AC⊥面PAB；（2）求证：PC⊥EF． 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $