专题02 面积问题（几何压轴，压轴题专练）（安徽专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题02 面积问题（几何压轴，压轴题专练） 命题预测 常以矩形、正方形为背景，结合旋转、折叠、切割、重叠等动态变换，综合运用割补法、相似三角形、全等三角形求解面积。题目一般设置三小问，梯度明显：先基础图形面积计算，再探究线段与比例关系，最后考查面积定值或最值问题，注重图形转化、逻辑推理与运算能力。 高频考法 1. 面积平分问题 2. 面积重叠问题（重点、热点） 典例·靶向·突破 题型1.面积平分问题 技巧：1、利用三角形的中线平分 情形一：过三角形顶点的直线平分该三角形的面积。 情形二：过三角形边上一点(非顶点)的直线平分该三角形的面积。 2、 四边形中的平分问题 情形一：作一条直线平分特殊四边形的面积。 情形二：作一条直线平分不规则四边形（有一组边平行）的面积。 情形三：作一条直线平分组合图形（均为中心对称图形）的面积。 3、利用相似解决面积平分问题 【典例1】如图，在矩形中，，，点、、分别在边、、上运动，且线段始终平分矩形的面积，则周长的最小值为________        【典例2】如图，已知在中，，，，平分，平分，与交于点，若过点的直线平分面积，那么的值为__________． 【典例3】我们把能平分四边形面积的直线称为“等积线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“等积线”：如图①，在四边形中，取对角线的中点，连接，，再过点作交于点，连接，则直线是一条“等积线”． (1)如图①，求证：直线是“等积线”． (2)如图②，已知为一条“等积线”，为边上的一点，请作出经过点的“等积线”，并说明理由． 【典例4】（1）如图①，中，，，点D在上，若平分 的面积，的长度为 ； （2）如图②，平行四边形中，，，，点M在上，点N在上，若平分平行四边形的面积，且线段的长度最短，请你画出符合要求的线段，并求出此时的长度； （3）如图③，王叔叔家有一块四边形菜地，王叔叔打算过D点修一条笔直的小路交于E，使把四边形菜地分成面积相等的两部分，分别种植不同的农作物，已知米，米，，求线段的长． 题型2.面积重叠问题 技巧：当对一个图形进行平移、旋转或轴对称变换时，往往会产生图形重叠的情形，若要研究重叠部分的面积问题，则要注意以下两点： ①静态问题：即变换到具体某一位置时重叠部分的面积问题，此类问题通常需结合题意，对重叠 部分进行拆分，利用割补法进行面积表示，再进行求解； ②动态问题：即研究一段时间(范围)内产生的重叠部分面积问题，此类问题通常要找出临界位置，画出图形，再分别求出相应的面积即可，临界点处的重叠面积问题即等同于静态问题. 【典例1】如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为________． 【典例2】如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF，MN对折，得到五边形GEFNM．其中，顶点A与D重合于点G，重叠部分GHIJ为正方形，顶点I在EM上，若FN =cm，EM =10cm，则BC长为__________cm． 【典例3】问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题： 如图1，将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，，，顶点D与边的中点重合，经过点C，交于点G．求重叠部分（）的面积． (1)小明经过独立思考，写出如下步骤，请你帮助小明补全依据及步骤： 解：∵，D是的中点，∴． ∴．  （依据：______________________） 又∵，∴． ∴． ∴_____________________． ∴．∴． 又∵，∴G是的中点，∴为中位线． ∴，．∴． (2) “希望”学习小组受此问题的启发，将绕点D旋转，使交于点H，交于点G，如图2，请解决下列两个问题： ①求证：； ②求出重叠部分（）的面积． (3)“智慧”小组也不甘落后，提出的问题是：如图3，将绕点D旋转，，分别交于点M，N，当是以为腰的等腰三角形时，请你直接写出此时重叠部分（）的面积是________． 一、填空题 1．（24-25·河北廊坊）把按如图所示的方式折叠，重叠部分（阴影部分）恰为正六边形的一半，若阴影部分的周长为30，则的周长为_____． 2．（2025·陕西榆林·一模）如图，直线平分的面积，分别交边于点，直线交的延长线于点，过点作交的延长线于点，过点作交于点，若的面积为2，则的长为___________． 3．（25-26·陕西西安）如图，已知在中，，，，平分，平分，与交于点O，若过点O的直线平分面积，那么的长为______． 4．（23-24·浙江嘉兴）如图，中，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当与重叠部分是直角三角形时，的度数为 ________________． 5．（2025·陕西西安）如图，在矩形中，点、分别在边、上，线段平分矩形面积，连接，为中点，连接，交于点，若，，，则的面积为 _____． 二、解答题 6．（24-25·陕西榆林）（1）如图①，为边长为的等边三角形，是边上一点且平分的面积，求线段的长度； 问题探究 （2）如图②，中，，点在上，点在上，若平分的面积，且最短，请你画出符合要求的线段，并求出此时与的长度． 7．（2026湖南岳阳）如图，在中，已知，，且，将与重合在一起，不动，运动，并满足：点在边上沿到的方向运动，且始终经过点A，EF与交于点． (1)求证：； (2)当点运动到边的中点时，求的长； (3)探究：在运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出的长；若不能，请说明理由． 8．（2026·江苏南京）如图（1）将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，，，顶点D与边的中点重合． (1)若DE经过点C，交于点G，求证：； (2)求图1中重叠部分（）的面积； (3)合作交流：“希望”小组受问题（1）（2）的启发，将绕点D旋转，使交于点H，交于点G，如图2，，求重叠部分（）的面积． 9．（2025·河南南阳·二模）综合与实践 【动手操作】如图①，四边形ABCD是一张矩形纸片，，．先将矩形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为MN，沿MN剪开得到两个矩形．矩形AMND保持不动，将矩形MBCN绕点M逆时针旋转，点N的对应点为． 【探究发现】（1）如图②，当点C与点D重合时，交AD于点E，BC交MN于点F，此时两个矩形重叠部分四边形MEDF的形状是______，面积是______； （2）如图③，当点N'落在AD边上时，BC恰好经过点N，与DN交于点G，求两个矩形重叠部分四边形的面积； 【引申探究】（3）当点落在矩形的对角线MD所在的直线上时，直线与直线DN交于点G，请直接写出线段DG的长． 10．（25-26·广东东莞）某数学兴趣小组进行如下探究： 如图，在中，是它的中线，则中线平分三角形的面积，即． 继续探究，如图，在中，是它的角平分线，此时角平分线不一定平分三角形的面积，但发现和的面积比等于图中两组不同的线段比，即，________． (1)【猜想结论】___________； (2)【证明结论】请证明（）中你所猜想的结论； (3)【应用结论】如图，在中，是它的角平分线，，是的中点，连接． 求证：垂直平分； 在图中画出边上的高（只需体现的位置），则___________．（无需证明） 11．（2025·湖南永州·二模）探究题： 【新知学习】如果一条直线平分一个三角形的面积，同时又平分这个三角形的周长，我们称这条直线为三角形的“理想线”.三角形的“理想线”必经过三角形的内心． 【问题探究】 (1)如图①，在中，，，请用尺规作图作出的“理想线”（只作出一条辅助线即可，保留作图痕迹，不写作法）． (2)如图②所示，在中，，，．直线为的“理想线”，点在上，点在上，试求的长． 【实际运用】 (3) 通过上面的学习，请你解决以下问题：如图③，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕，，，小明决定只切一刀就将这块蛋糕平分，要求既平分三角形的面积，又平分三角形蛋糕的周长．请你找出所有的“理想线”，并简要说明确定的方法． 12．（2025·陕西·二模）问题提出 （1）如图①，在矩形中，点为上一点，，在上有一点，连接，将矩形的面积平分，则的长为______； 问题探究 （2）如图②，在中，，，，点是上一点，，点是射线上一动点，与关于对称，求点到距离的最小值； 问题解决 （3）如图③，某公园计划建一个形状为的游乐场，其中米，米，连接，．为方便工作人员通过，要留出一条快速通道，、是边上的动点（可与顶点重合），根据设计要求，线段平分的面积，过点作于点，要将区域修建为家长休息等待区，为使游乐场容纳更多的游乐设施，要求家长休息等待区（即）的面积尽可能地小，问的面积是否存在最小值？若存在，请求出的最小面积；若不存在，请说明理由． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 面积问题（几何压轴，压轴题专练） 命题预测 常以矩形、正方形为背景，结合旋转、折叠、切割、重叠等动态变换，综合运用割补法、相似三角形、全等三角形求解面积。题目一般设置三小问，梯度明显：先基础图形面积计算，再探究线段与比例关系，最后考查面积定值或最值问题，注重图形转化、逻辑推理与运算能力。 高频考法 1. 面积平分问题 2. 面积重叠问题（重点、热点） 典例·靶向·突破 题型1.面积平分问题 技巧：1、利用三角形的中线平分 情形一：过三角形顶点的直线平分该三角形的面积。 情形二：过三角形边上一点(非顶点)的直线平分该三角形的面积。 2、 四边形中的平分问题 情形一：作一条直线平分特殊四边形的面积。 情形二：作一条直线平分不规则四边形（有一组边平行）的面积。 情形三：作一条直线平分组合图形（均为中心对称图形）的面积。 3、利用相似解决面积平分问题 【典例1】如图，在矩形中，，，点、、分别在边、、上运动，且线段始终平分矩形的面积，则周长的最小值为________        【答案】 【详解】解：取的中点，连接，，，作，垂足为，则， 线段始终平分矩形的面积， 线段始终经过矩形的对称中心， 是的中点，，， ，， ， 周长的最小值为． 故答案为： 【典例2】如图，已知在中，，，，平分，平分，与交于点，若过点的直线平分面积，那么的值为__________． 【答案】6 【详解】解：如图所示，过点O作，垂足分别为H、G、P，连接， ∵平分，平分， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵过点的直线平分面积， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【典例3】我们把能平分四边形面积的直线称为“等积线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“等积线”：如图①，在四边形中，取对角线的中点，连接，，再过点作交于点，连接，则直线是一条“等积线”． (1)如图①，求证：直线是“等积线”． (2)如图②，已知为一条“等积线”，为边上的一点，请作出经过点的“等积线”，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析   理由见解析 【详解】（1）证明：是的中点， ，， ， ， 折线能平分四边形的面积． 如图①，设交于点． ， ， ， ， ， 直线平分四边形的面积，即直线是“等积线”． （2）解：如图②，连接，过点作的平行线交于点， 作直线，则直线为一条“等积线”． 理由如下： ， ． 设与的交点是，则， ． 由题意可知，， ， 为一条“等积线”． 【典例4】（1）如图①，中，，，点D在上，若平分 的面积，的长度为 ； （2）如图②，平行四边形中，，，，点M在上，点N在上，若平分平行四边形的面积，且线段的长度最短，请你画出符合要求的线段，并求出此时的长度； （3）如图③，王叔叔家有一块四边形菜地，王叔叔打算过D点修一条笔直的小路交于E，使把四边形菜地分成面积相等的两部分，分别种植不同的农作物，已知米，米，，求线段的长． 【答案】（1）4； （2）；（3） 【详解】解：（1）如图，过点作于点， ，， ， ，即平分的面积， 由勾股定理得：； （2）解：如图，连接、交于点，过点作直线与交于点，与交于点， 四边形是平行四边形， ，，，， ，， 在和中， ， ， ， 同理可证，，， ，， ， ，即平分平行四边形的面积， 当时，线段最短， 过点作， 在中，，， ， ， ， ； （3）存在， 如图，连接、交于点，在上取一点，过点作于点，连接， ，， 是的垂直平分线， ， 由勾股定理得：， 在中，为中点， ， 在中，， ， 过点D的直线将四边形的面积平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，． 题型2.面积重叠问题 技巧：当对一个图形进行平移、旋转或轴对称变换时，往往会产生图形重叠的情形，若要研究重叠部分的面积问题，则要注意以下两点： ①静态问题：即变换到具体某一位置时重叠部分的面积问题，此类问题通常需结合题意，对重叠 部分进行拆分，利用割补法进行面积表示，再进行求解； ②动态问题：即研究一段时间(范围)内产生的重叠部分面积问题，此类问题通常要找出临界位置，画出图形，再分别求出相应的面积即可，临界点处的重叠面积问题即等同于静态问题. 【典例1】如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为________． 【答案】 【详解】解：连接，， 由题意知：四边形，四边形都是正方形， ，，，， ， △△， ， ， ． 故答案为：． 【典例2】如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF，MN对折，得到五边形GEFNM．其中，顶点A与D重合于点G，重叠部分GHIJ为正方形，顶点I在EM上，若FN =cm，EM =10cm，则BC长为__________cm． 【答案】/ 【详解】解：过I作IR⊥BC于R，如图： ∵一张矩形纸片ABCD沿EF，MN对折，得到五边形GEFNM，其中，顶点A与D重合于点G，FN=cm，EM=10cm， ∴∠IEF=∠BFE=∠EFJ，∠IMN=∠MNC=∠MNH，AB=GJ=CD=HG， ∴EI=FI，MI=NI， 设EI=FI=xcm，则MI=NI=EM-EI=（10-x）cm， ∵四边形GHIJ为正方形， ∴GH=HI=IJ=GJ，∠HIJ=90°=∠FIN， 在Rt△FIN中，， ∴， 解得或， 不妨取（x取结果相同）， 则EI=FI=（）cm，MI=NI=（）cm， ∵2S△FIN=FN·IR=FI·NI， ∴， ∴， ∴， ∵四边形GHIJ为正方形， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【典例3】问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题： 如图1，将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，，，顶点D与边的中点重合，经过点C，交于点G．求重叠部分（）的面积． (1)小明经过独立思考，写出如下步骤，请你帮助小明补全依据及步骤： 解：∵，D是的中点，∴． ∴．  （依据：______________________） 又∵，∴． ∴． ∴_____________________． ∴．∴． 又∵，∴G是的中点，∴为中位线． ∴，．∴． (2) “希望”学习小组受此问题的启发，将绕点D旋转，使交于点H，交于点G，如图2，请解决下列两个问题： ①求证：； ②求出重叠部分（）的面积． (3)“智慧”小组也不甘落后，提出的问题是：如图3，将绕点D旋转，，分别交于点M，N，当是以为腰的等腰三角形时，请你直接写出此时重叠部分（）的面积是________． 【答案】(1)等边对等角， (2)①证明见解析；② (3)或 【详解】（1）解：∵，D是的中点， ∴． ∴．（依据：等边对等角） 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴G是的中点， ∴为中位线． ∴，． ∴． 故答案为：等边对等角，； （2）①证明：∵，， ∴， 又， ∴； ②如图， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴点为的中点． 在中，． ∵是中点，． 在与中，∵，， ∴． ∴． ∴， ∴． ∴； （3）解：当时，过D作于H， 则， ∵，， ∴． ∴． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 在中，， ∴， 解得， ∴； 当时，过D作于H，过M作于G， 则， 又， ∴， ∴，即， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 综上，的面积是为或． 故答案为：或． 一、填空题 1．（24-25·河北廊坊）把按如图所示的方式折叠，重叠部分（阴影部分）恰为正六边形的一半，若阴影部分的周长为30，则的周长为_____． 【答案】54 【详解】如图，过点作于点，过点作于点， ∴. ∴， ∴； 根据题意可知，， ∴， ∴． ∴； 再根据折叠的性质可得， ∴， ∴都是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形. ∵阴影部分为正六边形的一半，且周长为30， ∴， ∴，则的周长为． 故答案为：54． 2．（2025·陕西榆林·一模）如图，直线平分的面积，分别交边于点，直线交的延长线于点，过点作交的延长线于点，过点作交于点，若的面积为2，则的长为___________． 【答案】 【详解】解：连接交于点，延长交的延长线于点，如图所示： ∵直线平分的面积， ∴，，，， ∴， ∴， ∴ ∵过点作交的延长线于点，过点作交于点， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ 则 ∵ ， ， 则， ∵， ∴， ∴， 则 ． 故答案为：． 3．（25-26·陕西西安）如图，已知在中，，，，平分，平分，与交于点O，若过点O的直线平分面积，那么的长为______． 【答案】9 【详解】解：如图所示，过点O作，垂足分别为H、G、P，连接， ∵平分，平分， ∴， ∴ ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵过点的直线平分面积， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 故答案为：9． 4．（23-24·浙江嘉兴）如图，中，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当与重叠部分是直角三角形时，的度数为 ________________． 【答案】或或 【详解】解：如图，当时， ， ； 如图，当时， 由折叠的性质可得：，， ， ， ； 如图，当时， 由折叠的性质可得：，， ， ， ， ， ； 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 5．（2025·陕西西安）如图，在矩形中，点、分别在边、上，线段平分矩形面积，连接，为中点，连接，交于点，若，，，则的面积为 _____． 【答案】 【详解】解：如图，连接交于点，连接， ∵线段平分矩形面积， ∴经过矩形的对称中心，即的中点 ∴ 又∵为中点， ∴， ∵, 设，则 ∴ ∴， ∵ ∴, ∴ ∴ ∴ ∵为中点， ∴ ∴的面积为 故答案为：． 二、解答题 6．（24-25·陕西榆林）（1）如图①，为边长为的等边三角形，是边上一点且平分的面积，求线段的长度； 问题探究 （2）如图②，中，，点在上，点在上，若平分的面积，且最短，请你画出符合要求的线段，并求出此时与的长度． 【答案】（1）（2）画图见解析；的长度为，． 【详解】解：（1）如图①中， ∵平分的面积， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）如图②中，连接，交于，过作直线，交于，交于， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 即将四边形分成面积相等的两部分， 当时，最短，如图②−1中， 过作于， 在中，∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴此时的长度为，． 7．（2026湖南岳阳）如图，在中，已知，，且，将与重合在一起，不动，运动，并满足：点在边上沿到的方向运动，且始终经过点A，EF与交于点． (1)求证：； (2)当点运动到边的中点时，求的长； (3)探究：在运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2) (3)或 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵ 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵点是边的中点，，， ∴，， ∴， ∵ ∴，即：， ∴， ∴； （3）∵，且， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，点与点重合，即，此时重叠部分图形不能构成三角形； 综上所述，或． 8．（2026·江苏南京）如图（1）将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，，，顶点D与边的中点重合． (1)若DE经过点C，交于点G，求证：； (2)求图1中重叠部分（）的面积； (3)合作交流：“希望”小组受问题（1）（2）的启发，将绕点D旋转，使交于点H，交于点G，如图2，，求重叠部分（）的面积． 【答案】(1)见解析 (2)图1中重叠部分（）的面积为 (3)重叠部分（）的面积为 【详解】（1）∵，D是AB的中点， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （2）由（1）知，， ∵， ∴G是AC的中点． ∴，． ∴． （3）如图2所示：连接BH， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点G为AH的中点； 在中，， ∵D是AB中点， ∴， 又∵， ∴． 9．（2025·河南南阳·二模）综合与实践 【动手操作】如图①，四边形ABCD是一张矩形纸片，，．先将矩形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为MN，沿MN剪开得到两个矩形．矩形AMND保持不动，将矩形MBCN绕点M逆时针旋转，点N的对应点为． 【探究发现】（1）如图②，当点C与点D重合时，交AD于点E，BC交MN于点F，此时两个矩形重叠部分四边形MEDF的形状是______，面积是______； （2）如图③，当点N'落在AD边上时，BC恰好经过点N，与DN交于点G，求两个矩形重叠部分四边形的面积； 【引申探究】（3）当点落在矩形的对角线MD所在的直线上时，直线与直线DN交于点G，请直接写出线段DG的长． 【答案】（1）菱形，（2）（3） 【详解】（1）根据题意有AM=BM=AB=DC=DN=NC=3， ∵在矩形AMND和矩形MBCN′中，∠B=∠N=90°=∠A， ∵∠BFM=∠NFD， ∴△BFM≌△NFD， ∴MF=FD， 同理可证ME=ED， ∵∠AME+∠EMF=∠AMN=90°=∠EMB=∠EMF+∠BMF， ∴∠AME=∠BMF， ∴结合∠B=∠A，AM=MB可得△BFM≌△AEM， ∴ME=MF， ∴ME=ED=DF=MF， ∴四边形MEDF是菱形， ∵AD=AE+ED=5，AM=3，DE=ME， 即ED=5-AE=ME， ∴在Rt△AEM中，， ∴，解得：， ∴ED=5-AE=， ∴菱形MEDF的面积为， 故答案为：菱形，； （2）由折叠得，， ∴在中，． ∴． 由题知， ∴，， ∴， ∴． ∴，即，解得． ∴． （3）如图， 第一种当点在线段MD上时 ∵AD=5，AM=3， ∴在Rt△ADM中，， ∵BC=AD==5， ∴， 根据矩形的性质可知∠AMD=∠MDG，∠A==∠90°， ∴， ∴，即：， 第二种情况当点在DM的延长线上时， 如图： 同理可求得， 综上所述：DG为． 10．（25-26·广东东莞）某数学兴趣小组进行如下探究： 如图，在中，是它的中线，则中线平分三角形的面积，即． 继续探究，如图，在中，是它的角平分线，此时角平分线不一定平分三角形的面积，但发现和的面积比等于图中两组不同的线段比，即，________． (1)【猜想结论】___________； (2)【证明结论】请证明（）中你所猜想的结论； (3)【应用结论】如图，在中，是它的角平分线，，是的中点，连接． 求证：垂直平分； 在图中画出边上的高（只需体现的位置），则___________．（无需证明） 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)见解析；． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）证明：如图，过作于点，作于点， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （3）证明：如图，连接， ∵， ∴， 由题意得：， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴点在垂直平分线上， 又∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∴垂直平分； 如图，即为所求， 延长交延长线于点， 设，， 由得， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（2025·湖南永州·二模）探究题： 【新知学习】如果一条直线平分一个三角形的面积，同时又平分这个三角形的周长，我们称这条直线为三角形的“理想线”.三角形的“理想线”必经过三角形的内心． 【问题探究】 (1)如图①，在中，，，请用尺规作图作出的“理想线”（只作出一条辅助线即可，保留作图痕迹，不写作法）． (2)如图②所示，在中，，，．直线为的“理想线”，点在上，点在上，试求的长． 【实际运用】 (3)通过上面的学习，请你解决以下问题：如图③，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕，，，小明决定只切一刀就将这块蛋糕平分，要求既平分三角形的面积，又平分三角形蛋糕的周长．请你找出所有的“理想线”，并简要说明确定的方法． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【详解】（1）线段BC的中垂线AM，如图所示． ∵AM是BC的中垂线， ∴BM=CM， ∴S△ABM=S△ACM， ∵AB=AC， ∴AB+BM=AC+CM． ∴直线AM是△ABC的“理想线”． （2）图1，过点M作于点H， ∵∠ ∴， ∴△的周长为： △的面积为： ∵是△的“理想线”， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴△ ∴即 ∴ 又∵ ∴ ∴ 解得， 当时，， ∵点N在AC上， ∴ ∵ ∴符合题意， 当时， ∵即,故不符合题意, 综上， （3），取BC的中点P，连接AP， ∵ ∴平分 ∴是△的一条“理想线”； ②如图3，取BC的中点为P，连接AP， 设直线QF是△的一条“理想线”过点Q作于点E， ∵ ∴ ∴ ∴△的周长为： △的面积为： ∵QF是△的一条“理想线” ∴ ∴ ∵ ∴ ∴△ ∴即 ∴ 又∵ ∴ ∴ 解得，或 当时， ∵点F在BC上， ∴ ∵即 ∴符合题意； 当时， ∵即 ∴符合题意， 综上，当Q在AC上，F在BC上时，有和符合题意； ③当点Q在AC上 ,点F在AB上时，过点A作AD⊥BC，过点C作CG⊥AB，过点Q作QH⊥AB，垂足分别为D，G，H， 同理可得， 根据面积相等可得 ∴ 设，则AF=8-x ∵ ∴// ∴ ∴ ∴ 又 ∴ 解得，（会去）或 当时， 故此种情况不存在， 综上，△的“理想线”共有下图中的三条，即直线AD，直线QF和直线MN. 12．（2025·陕西·二模）问题提出 （1）如图①，在矩形中，点为上一点，，在上有一点，连接，将矩形的面积平分，则的长为______； 问题探究 （2）如图②，在中，，，，点是上一点，，点是射线上一动点，与关于对称，求点到距离的最小值； 问题解决 （3）如图③，某公园计划建一个形状为的游乐场，其中米，米，连接，．为方便工作人员通过，要留出一条快速通道，、是边上的动点（可与顶点重合），根据设计要求，线段平分的面积，过点作于点，要将区域修建为家长休息等待区，为使游乐场容纳更多的游乐设施，要求家长休息等待区（即）的面积尽可能地小，问的面积是否存在最小值？若存在，请求出的最小面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3；（2）– 2；（3）800m2. 【详解】解：（1）如图， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB=CD，AD=BC， ∴BE= AB- AE= AB- 3，DF= CD - CF= AB- CF，四边形AEFD与四边形BCFE均为直角梯形， ∵S梯形AEFD= S梯形BCFE， ∴（AE+ DF）·AD=（CF+ BE） 即（3+ AB- CF）·AD=（CF+ AB- 3）·AD 解得：CF= 3； （2）如图，过点E作ED⊥AC于D，过点M作MH⊥AC于H， ∵AB=10，BE=2， ∴AE= AB- BE= 10-2= 8， ∵ED⊥AC，∠A= 60°， ∴∠AED=30°， ∴AD=AE=， DE= ∵△BEF与△MEF关于EF对称， ∴EM=BE=2， 又∵E为AB上的定点， ∴点M在以E为圆心、以2为半径的圆E上，设圆E交DE于N，则当点M与点N重合时MH最小， 此时MH=DN=DE-EN=-2， 综上所述，点M到AC距离的最小值为– 2； （3）存在，如图： 线段EF要平分平行四边形面积一定经过对角线交点O，在动点运动过程中，∠OPC = 90° ∴P点是在圆心为M、直径为OC的圆上， 当MN⊥AD时，NP最小，即三角形ADP面积最小， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD=60m， 在Rt△ABC中，AC== 80m， ∴OC== 40m， ∴半径r==20m，AM=80-20=60m， ∵∠ANM =∠ACD，∠CAD=∠NAM， ∴△AMN∽△ADC， ∴，即， ∴MN=36m，∴NP=MN-MP=36-20=16m，∴△ADP的最小面积为：S△ADP== 800m2. 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $