专题01 全等与相似问题（几何压轴，压轴题专练）（安徽专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题01 全等与相似问题（几何压轴，压轴题专练） 命题预测 常以四边形、直角三角形为背景，结合动点、翻折或旋转设问，核心考查全等证明与相似三角形应用，高频出现各种几何模型。题目分层设问，先证全等，再利用相似比例求线段长度、面积最值，注重逻辑推理与计算结合。 高频考法 1. “手拉手”型全等与相似三角形 2. 一线三等角型全等与相似三角形 3. 十字模型产生的全等与相似三角形 4. 对角互补产生的全等与相似三角形 5. “截长补短”构造全等与相似三角形 6. 半角模型全等与相似三角形 典例·靶向·突破 题型1“手拉手”型全等与相似三角形 技巧：存在共顶点的两个等边三角形，即产生两组边相等及其夹角相等，考虑结合全等三角形或相似三角形解题。 【典例1】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB，AC为边向其右侧作等边△ABD和等边△ACE，连接DE，若AB=3，AC=5，求DE的长。 【答案】4 【详解】解：△ABD和△ACE均为等边三角形， AD=AB，AE=AC，∠BAD=∠EAC=60°， ∠EAC-∠DAC=∠BAD-∠DAC，即∠EAD=∠CAB， 在△ADE和△ABC中， △ADE≌△ABC(SAS)， DE=BC， 在Rt△ABC中，由勾股定理得 DE=4 【典例2】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，连接DG，BD，若点E恰好落在矩形ABCD的对角线BD上，则DG的长为 【答案】 【详解】四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=6， ∴ 由旋转的性质得AB=AE，AD=AG，∠BAD=∠EAG=90°， ∴ ∠BAE=∠BAD-∠DAE，∠DAG=∠EAG-∠DAE 即∠BAE=∠DAG ∴△ABE~△ADG ∴∠ABE =∠ADG， 如解图，过点A作AM⊥BD于点M， 则BE=2BM=2AB·cos ∠ABD=2AB·=2×4× ∴DG= 题型2.一线三等角全等与相似三角形 技巧：发现符合一线三等角全等的特殊结构——一条线段上有一组等角+一组等线段 【典例1】如图，在中，． (1)如图1，直线过点B，于点M，于点N，且，求证：． (2)如图2，直线过点B，交于点M，交于点N，且，则是否成立？请说明理由！ 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 【详解】（1）证明：∵于点M，于点N； ∴； ∴； ∵， ∴； ∴； 在和中， ∴； ∴，； ∴． （2）成立．理由如下： 设； ∴； ∴； 在和中； ∴； ∴，； ∴； 故成立． 【典例2】在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，，，求线段的长． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2)3 【详解】（1）证明：①，， ， ， ，， ， 在和中， ， （）； ②由（1）知：， ，， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）；， ，， ． 题型3.十字模型产生的全等与相似三角形 技巧：矩形内存在两条互相垂直的线段（十字模型），分别以该线段为斜边寻找一组相似三 角形 【典例1】在矩形ABCD中，点E是线段BC上一动点，连接AE，过点B作 BF⊥AE于点G，交直线CD于点F。如图①，当矩形ABCD是正方形时，以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角△CFH，连接EH。线段AE与EH之间的数量关系是 ，位置关系是 。 【答案】相等 垂直 【详解】四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90° 即∠BAE+∠AEB=90°， ∵AE⊥BF ∴∠CBF+∠AEB=90°， ∴∠CBF=∠BAE ∵AB=BC，∠ABE=∠BCF=90° ∴△ABE≌△BCF(ASA)， ∴BE=CF，AE=BF ∵△FCH为等腰直角三角形， ∴FC=FH=BE，FH⊥FC ∵CD⊥BC ∴FH∥BC ∴四边形BEHF为平行四边形 ∴BF∥EH且BF=EH， ∴ AE=EH，AE⊥EH. 【典例2】如图，在矩形ABCD中，AB=BC，点E是BC边 3 上一点，点F在CD的延长线上，且BE=，DF=2，连接EF交 AD于点G，点H是AB边上一点，过点H作HN⊥EF，分别交EF，CD于点M，N，若CN=AH=3，则DN的长为 【答案】 【详解】如解图，过点A作HN的平行线，分别交CD 于点P，EF于点Q，则EF⊥AP，PN=AH， ∴CP=1. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C=∠ADP=90°，∠DAP+∠APD=90°。 ∵AP⊥EF， ∴∠FQP=90°， ∴∠APD+∠CFE=90°， ∴∠DAP=∠CFE. ∵∠C=∠ADP=90° ∴△ADP∽△FCE ∴ 即AD·CE=DP·FC. 设DP=x， CD= x+ 1， CF=x+3 BC=AD=(x+1) CE=2(x+ 1)-2(x+1)[(x+1)-3=x(x+3) 解得x=2 15(负值已舍去)， ∴DN=DP+PN=2+= 题型4.对角互补产生的全等与相似三角形 技巧：发现对角互补结构，通过等角转化，为构造全等三角形得到关键条件. 【典例1】某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个直角顶点放在正方形的中心O处，并绕点O旋转，在旋转过程中，若正方形的面积为S，重叠部分的面积为S1，求在旋转的过程中S1与S的数量关系。 【答案】S1=S 【详解】∵0是正方形ABCD的中心， ∴OC=OD，∠ODC=∠OCB，∠BCD=90°， ∴∠EOF+∠BCD=180°， ∴∠OEC+∠OFC=180°， ∵∠OFD+∠OFC=180°， ∴∠OEC=∠OFD， ∴△OEC≌△OFD(AAS)， ∴S△OEC=S△OFD， ∴S四边形OECF=S△OCD=S正方形ABCD， ∴S1=S 【典例2】如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC交AC于点D，E，F分别在边AB，BC上，连接DE，DF，EF，若∠EDF=120°，则∠DEF的度数为 【答案】30° 【详解】如解图，过点D作DH⊥AB于点H， ∵∠EDF=120°，∠ABC=60°， ∴∠EDF+∠ABC=180°， ∴∠BED+∠BFD=180°。 ∵∠DFC+∠BFD=180°， ∴∠BED=∠DFC. ∵BD平分∠ABC，∠C=90°， ∴DC=DH，. ∴△DCF≌△DHE(AAS)， ∴DE=DF， ∴∠DEF=∠DFE. ∵∠DEF+∠DFE+∠EDF=180°， ∴∠DEF= ∠DFE=(180°-∠EDF)=30°。 题型5.“截长补短”构造全等与相似三角形 技巧：根据所求线段的和差关系，在较长线段上截取固定长度等于所求线段，进行转换. 【典例1】1．如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，在上截取，连接， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【典例2】在数学活动课上，数学老师出示了如下题目： 如图①在四边形中，E是边的中点，是的平分线，，求证； 小聪同学发现以下两种方法： 方法1：如图②，延长、交于点F； 方法2：如图③，在上取一点G，使，连接、； (1)请你任选一种方法写出这道题的完整证明过程； (2)如图④，在四边形中，是的平分线，E是边的中点，，，求证． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）方法一：证明：延长交于点F，如图②； 是边的中点， ， ， ， ， ， ， 是的平分线， ， ； 方法二：证明：在上取一点G，使，连接，如图③； 是的平分线， ， ，， ， ，， 是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作的平行线交于点，交的延长线于点，连接， 由方法一同理可知：， ，， ∵平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 题型6.半角模型全等与相似三角形 技巧：在一个图中，共顶点的一个小角是一个大角的一半，且存在两边相等，考虑通过旋转构造全等三角形. 【典例1】如图，正方形中，M，N分别在上，连接． (1)若将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到；请你补全图形． (2)直接写出线段之间的数量关系； (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是5，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了旋转的性质、半角模型以及正方形的性质，掌握半角模型的条件以及结论是解题关键． （1）根据提示即可作图； （2）根据图形可得结论； （3）由旋转可知：，推出，进而得，证即可； （4）根据的周长，，推出的周长，即可； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：； （3）证明：由旋转可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵的周长，， ∴的周长 【典例2】如图在四边形中，点E是直线上一点，将射线绕点A逆时针旋转交直线于点F． (1)如图①．若四边形为菱形，，则与之间的数量关系是________； (2)如图②，若四边形为正方形，，连接，当点E在的延长线上时，试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明； (3)若四边形为正方形，，连接，当时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)或10 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：，证明如下： 如图：在上取点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． （3）解：①如图，当点E在线段上时，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到， ， ∵四边形为正方形，， ， 又， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得，即，解得：， ∴． ②如图，当点E在延长线上时，取的中点G，连接， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得∶． ∴． 综上所述，的长为或10． 1、（25-26安徽合肥·期末）在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证： ① ． ② ． (2)当直线绕点旋转到图的位置时，求证：． (3)当直线绕点旋转到图的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵于，于， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌． ②由①知，≌， ∴，， ∴． （2）解：同理可得， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ∴． （3）解： 同理可得≌， ∴，， ∴． 2、（2020·安徽·中考真题）如图1．已知四边形是矩形．点在的延长线上．AE=AD，EC与相交于点，与相交于点 求证：； 若，求的长； 如图2，连接，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠EAD=90º，AO=BC，AD∥BC， 在△EAF和△DAB， ， ∴△EAF≌△DAB(SAS)， ∴∠E=∠BDA， ∵∠BDA+∠ABD=90º， ∴∠E+∠ABD=90º， ∴∠EGB=90º， ∴BG⊥EC； （2）设AE=x，则EB=1+x，BC=AD=AE=x， ∵AF∥BC，∠E=∠E， ∴△EAF∽△EBC， ∴，又AF=AB=1， ∴即， 解得：，（舍去） 即AE=； （3）在EG上截取EH=DG，连接AH， 在△EAH和△DAG， ， ∴△EAH≌△DAG(SAS)， ∴∠EAH=∠DAG，AH=AG， ∵∠EAH+∠DAH=90º， ∴∠DAG+∠DAH=90º， ∴∠HAG=90º， ∴△GAH是等腰直角三角形， ∴即， ∴GH=AG， ∵GH=EG-EH=EG-DG， ∴． 3、 （25-26·安徽合肥·期末） （1）【探究发现】 在中，，，直线l经过点C，，，D、E为垂足，则有结论．请在图1、图2中任选一图给予证明． （2）【知识迁移】 如图3，已知：，，，，，连接、、，则点C的坐标为________，点E的坐标为________，的面积为________． （3）【拓展应用】 如图4，已知：点A的坐标为，分别以、为直角边在第一、第二象限作等腰与等腰，且，连接交y轴于点P，求的长． 【答案】（1）见解析；（2），，2；（3） 【详解】证明：（1）如图1，（图2证明略） ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； 解：（2）如图3，过点C作轴于点，过点作轴于点，延长交x轴于点H， ，， ，， ，x轴y轴， ， 轴， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 同理可证， ，， ， ， ，， 轴， ，， ； 故答案为：，，2； 解：（3）如图4，过点E作轴于G， 由（1）知， ，， ，轴，， 在和中，， ， ． 4、（2026·山西·一模）综合与探究 问题情境：在中，，，点是直线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． 观察发现： (1)如图1，当点是的中点时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 独立思考： (2)如图2，当点在线段上时，连接，过点作于点，过点作于点，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)连接，过点作于点，连接．若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)正方形，见解析 (2)，见解析 (3)或 【详解】（1）解：四边形为正方形，理由如下， ，，点是的中点， ，， 根据旋转可知， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为正方形． （2）解：关系为，理由如下， 如图，连接， 根据旋转可知， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 又， 点F为的中点， 是的中位线， ， ． （3）解：当点F在右侧时，如图，连接，作， 根据旋转可知， ， ， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 又， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ； 当点F在左侧时，如图，连接，作， 根据旋转可知， ， ， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 又， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，的长度为或． 5、（2026安徽模拟）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=60°，D为AC上一点，且5AD=CD，AB=3，E为AB的中点，F为BC边上的点，且 ED⊥DF，，四边形BEDF的面积为多少？ 【答案】 【详解】如解图，过点D分别作DM⊥AB于点M， DN⊥BC于点N， ∵∠ABC=90°， ∴四边形MDNB为矩形， ∵AB=3，∠A=60°， ∴AC=6，BC=， ∵5AD=CD， ∴AD=1，CD=5，易证△AMD∽△ABC， ∴ ，即 解得AM=，MD= ∴DN=MB=AB - AM= ∴ ∵∠MDN=∠EDF=90°， ∴∠MDE+∠EDN=∠EDN+∠NDF， ∴∠MDE=∠NDF， ∵∠DME=∠DNF=90°， ∴△MDE∽△NDF， ∴ ∵E为AB的中点， ∴AE=， ∴ME=1， ∴ ∴ ∴ ∴ 6．（23-24八年级下·湖南岳阳）在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于______． 【答案】13 【详解】解：在上取点G，使， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴ ∴． ∴ ∴的周长等于， ∵，，， ∴的周长等于 故答案：． 7．（2025·安徽池州·三模）如图，菱形中，是边上一点，是边上一点，，连接交于点． （1）若，则______（用表示）； （2）若，则的最大值是______． 【答案】 3 【详解】解：（1）∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形； ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： （2）∵， ∴， ∴， 设，， ∴ ， ∴当时，取最大值， ∴此时， ∴此时， ∵为等边三角形， ∴此时，， ∴此时， ∴平分， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的最大值为3． 故答案为：． 8．（2022·安徽滁州·一模）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，D是上一点， ，求点C到边的距离． (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若 ，求 的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：过点D作于点F，过点C作于，交的延长线于点E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即点C到的距离为； （3）过点D作交的延长线于点M， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26九年级上·广东）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△AC，连接E． (1)当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝E； (2)当DE＝E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由． (3)在（2）的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明） 【答案】(1)见解析 (2)∠DAE＝∠BAC，理由见解析 (3)DE＝BD 【详解】（1）证明：∵△ABD绕点A旋转得到△AC， ∴AD＝A，∠CA＝∠BAD， ∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°， ∴∠AE＝∠CA＋∠CAE＝∠BAD＋∠CAE＝∠BAC﹣∠DAE＝120°﹣60°＝60°， ∴∠DAE＝∠AE， 在△ADE和△AE中， ∵， ∴△ADE≌△AE（SAS）， ∴DE＝E； （2）解：∠DAE＝∠BAC． 理由如下：在△ADE和△AE中， ， ∴△ADE≌△AD′E（SSS）， ∴∠DAE＝∠AE， ∴∠BAD＋∠CAE＝∠CAD′＋∠CAE＝∠D′AE＝∠DAE， ∴∠DAE＝∠BAC； （3）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝∠AC＝45°， ∴∠CE＝45°＋45°＝90°， ∵△EC是等腰直角三角形， ∴E＝C， 由（2）DE＝E， ∵△ABD绕点A旋转得到△AC， ∴BD＝， ∴DE＝BD． 10．（25-26吉林长春·期末）同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题． (1)（1）在中，平分，，求证：；任选下面一种方法，并写出完整的证明过程： 方法一：如图①，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图②，延长到点F，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题． (2)如图③，在中，，交于点H，直接写出之间的等量关系________． (3)如图④，在中，平分，，分别为的角平分线，，，直接写出________． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）若选择方法一． 证明：如图①，在上截取，使得，连接， ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 若选择方法二． 证明：如图②，延长到点F，使得，连接， ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵ ∴． ∴， ∴， ∴． （2）解：在上取点G，使， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵平分， ∴点D到的距离等于点D到的距离， ∴， ∵， ∴， 同理， 设，则 ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（25-26·天津宁河·月考）已知中，，，经过A点做一条直线l．作，，垂足分别为E，F (1)如图1，求证：． (2)如图2，找出，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （2）解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 12．（2023·安徽合肥·一模）如图1，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在的点处，与相交于点，与相交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若点，，在同一条直线上，如图2，求的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：将绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：由（1）得，， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ，， 又， ， 即， ， （3）解：在和中， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 全等与相似问题（几何压轴，压轴题专练） 命题预测 常以四边形、直角三角形为背景，结合动点、翻折或旋转设问，核心考查全等证明与相似三角形应用，高频出现各种几何模型。题目分层设问，先证全等，再利用相似比例求线段长度、面积最值，注重逻辑推理与计算结合。 高频考法 1. “手拉手”型全等与相似三角形 2. 一线三等角型全等与相似三角形 3. 十字模型产生的全等与相似三角形 4. 对角互补产生的全等与相似三角形 5. “截长补短”构造全等与相似三角形 6. 半角模型全等与相似三角形 典例·靶向·突破 题型1“手拉手”型全等与相似三角形 技巧：存在共顶点的两个等边三角形，即产生两组边相等及其夹角相等，考虑结合全等三角形或相似三角形解题。 【典例1】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB，AC为边向其右侧作等边△ABD和等边△ACE，连接DE，若AB=3，AC=5，求DE的长。 【典例2】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，连接DG，BD，若点E恰好落在矩形ABCD的对角线BD上，则DG的长为 题型2.一线三等角全等与相似三角形 技巧：发现符合一线三等角全等的特殊结构——一条线段上有一组等角+一组等线段 【典例1】如图，在中，． (1)如图1，直线过点B，于点M，于点N，且，求证：． (2)如图2，直线过点B，交于点M，交于点N，且，则是否成立？请说明理由！ 【典例2】在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； (2) 当直线绕点C旋转到图2的位置时，，，求线段的长． 题型3.十字模型产生的全等与相似三角形 技巧：矩形内存在两条互相垂直的线段（十字模型），分别以该线段为斜边寻找一组相似三 角形 【典例1】在矩形ABCD中，点E是线段BC上一动点，连接AE，过点B作 BF⊥AE于点G，交直线CD于点F。如图①，当矩形ABCD是正方形时，以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角△CFH，连接EH。线段AE与EH之间的数量关系是 ，位置关系是 。 【典例2】如图，在矩形ABCD中，AB=BC，点E是BC边 3 上一点，点F在CD的延长线上，且BE=，DF=2，连接EF交 AD于点G，点H是AB边上一点，过点H作HN⊥EF，分别交EF，CD于点M，N，若CN=AH=3，则DN的长为 题型4.对角互补产生的全等与相似三角形 技巧：发现对角互补结构，通过等角转化，为构造全等三角形得到关键条件. 【典例1】某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个直角顶点放在正方形的中心O处，并绕点O旋转，在旋转过程中，若正方形的面积为S，重叠部分的面积为S1，求在旋转的过程中S1与S的数量关系。 【典例2】如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC交AC于点D，E，F分别在边AB，BC上，连接DE，DF，EF，若∠EDF=120°，则∠DEF的度数为 题型5.“截长补短”构造全等与相似三角形 技巧：根据所求线段的和差关系，在较长线段上截取固定长度等于所求线段，进行转换. 【典例1】1．如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 【典例2】在数学活动课上，数学老师出示了如下题目： 如图①在四边形中，E是边的中点，是的平分线，，求证； 小聪同学发现以下两种方法： 方法1：如图②，延长、交于点F； 方法2：如图③，在上取一点G，使，连接、； (1)请你任选一种方法写出这道题的完整证明过程； (2)如图④，在四边形中，是的平分线，E是边的中点，，，求证． 题型6.半角模型全等与相似三角形 技巧：在一个图中，共顶点的一个小角是一个大角的一半，且存在两边相等，考虑通过旋转构造全等三角形. 【典例1】如图，正方形中，M，N分别在上，连接． (1)若将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到；请你补全图形． (2)直接写出线段之间的数量关系； (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是5，求的周长． 【典例2】如图在四边形中，点E是直线上一点，将射线绕点A逆时针旋转交直线于点F． (1)如图①．若四边形为菱形，，则与之间的数量关系是________； (2)如图②，若四边形为正方形，，连接，当点E在的延长线上时，试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明； (3)若四边形为正方形，，连接，当时，请直接写出的长． 1、（25-26安徽合肥·期末）在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证： ① ． ② ． (2)当直线绕点旋转到图的位置时，求证：． (3)当直线绕点旋转到图的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 2、（2020·安徽·中考真题）如图1．已知四边形是矩形．点在的延长线上．AE=AD，EC与相交于点，与相交于点 求证：； 若，求的长； 如图2，连接，求证：． 3、 （25-26·安徽合肥·期末） （1）【探究发现】 在中，，，直线l经过点C，，，D、E为垂足，则有结论．请在图1、图2中任选一图给予证明． （2）【知识迁移】 如图3，已知：，，，，，连接、、，则点C的坐标为________，点E的坐标为________，的面积为________． （3）【拓展应用】 如图4，已知：点A的坐标为，分别以、为直角边在第一、第二象限作等腰与等腰，且，连接交y轴于点P，求的长． 4、（2026·山西·一模）综合与探究 问题情境：在中，，，点是直线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． 观察发现： (1)如图1，当点是的中点时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 独立思考： (2)如图2，当点在线段上时，连接，过点作于点，过点作于点，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： (3) 连接，过点作于点，连接．若，，请直接写出线段的长． 5、（2026安徽模拟）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=60°，D为AC上一点，且5AD=CD，AB=3，E为AB的中点，F为BC边上的点，且 ED⊥DF，，四边形BEDF的面积为多少？ 6．（23-24八年级下·湖南岳阳）在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于______． 7．（2025·安徽池州·三模）如图，菱形中，是边上一点，是边上一点，，连接交于点． （1）若，则______（用表示）； （2）若，则的最大值是______． 8．（2022·安徽滁州·一模）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，D是上一点， ，求点C到边的距离． (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若 ，求 的值． 9．（25-26九年级上·广东）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△AC，连接E． (1)当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝E； (2)当DE＝E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由． (3)在（2）的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明） 10．（25-26吉林长春·期末）同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题． (1)（1）在中，平分，，求证：；任选下面一种方法，并写出完整的证明过程： 方法一：如图①，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图②，延长到点F，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题． (2)如图③，在中，，交于点H，直接写出之间的等量关系________． (3)如图④，在中，平分，，分别为的角平分线，，，直接写出________． 11．（25-26·天津宁河·月考）已知中，，，经过A点做一条直线l．作，，垂足分别为E，F (1)如图1，求证：． (2)如图2，找出，，之间的数量关系，并证明． 12．（2023·安徽合肥·一模）如图1，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在的点处，与相交于点，与相交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若点，，在同一条直线上，如图2，求的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角） 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $