专题01 概率及其计算4种题型归类（压轴题专项训练）数学湘教版必修第二册

专题01 概率及其运算问题 目录 类型一、事件的关系和运算 类型二、古典概型概率的应用 类型三、互斥事件、事件的相互独立性的综合应用 类型四、概率的基本性质的应用 压轴专练 类型一、事件的关系和运算 解题技巧： 一、事件的关系判断 1、互斥（互不相容）：一般地，如果事件A与事件B不能同时发生， 也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅， 则称事件A与事件B互斥(或互不相容) 2、互为对立：一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生， 即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立． 事件A的对立事件记为 二、事件的运算 1、包含关系：一般地，若事件A发生，则事件B一定发生， 我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)， 即B ⊇A(或A⊆B)， 特殊情形：如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊆B， 则称事件A与事件B相等，记作A＝B 2、并事件（和事件）：一般地，事件A与事件B至少有一个发生， 这样的事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中， 则称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 3、交事件（积事件）：一般地，事件A与事件B同时发生， 这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中， 则称这样的事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 例1-1．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“2枚硬币都是正面朝上”，事件“2枚硬币朝上的面相同”，则下列与的关系中正确的个数为（    ） ①②互斥③互为对立④相互独立 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例1-2．已知事件，互斥，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．事件，互斥 D． 变式1-1．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（    ） A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与至少一个红球 C．至少有一个黑球与都是红球 D．恰好有一个黑球与都是红球 变式1-2．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是（   ） A．与C是互斥事件，也是对立事件 B．与D是互斥事件，也是对立事件 C．与是互斥事件，但不是对立事件 D．A与是互斥事件，也是对立事件 变式1-3．已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（    ） A．事件A和相等 B．事件A和互相对立 C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥 变式1-4．给定一个正整数，从集合中随机抽取一个数，记事件“这个数为偶数”，事件“这个数为3的倍数”.下列说法正确的是（    ） A．若，，则至少存在一个，使事件和事件不独立 B．若，，则存在无穷多个，使事件和事件独立 C．若为奇数，则至少存在一个，使事件和事件独立 D．若为偶数，则对任意的，事件和事件独立 类型二、古典概型概率的应用 解题技巧： 1、古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 2、古典概型的判断标准 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所 有的试验都是古典概型. 3、古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义 事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数 例2-1．从1，2，3，4中随机抽取三个不同的数相加，得到的和记为，剩余的数乘以3，记为，则（    ） A． B． C． D．1 例2-2．先后掷一个均匀的骰子3次，得到的点数依次为，记事件为“”，则__________. 变式2-1．在学校运动会开幕式上，某一同学随机摆放了一段用于编织的彩带，其在地面的影子如图所示（看不出各部分的上下层次）．现在将彩带的两头向两端拉紧，这段彩带会打成一个结的概率是（   ） A． B． C． D． 变式2-2．若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V，V可划分为两个子集和，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则正确的是（  ） A．这两个图都是二部图的概率为 B．这两个图至少有一个是二部图的概率为 C．这两个图不都是二部图的概率为 D．这两个图恰有一个是二部图的概率为 变式2-3．在集合中任取两个数，构成以原点为起点的向量从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个不共线向量为邻边作平行四边形，则平行四边形面积不超过2的概率为______. 变式2-4．从集合中任取一个元素，使得只有整数解的概率为___________ 类型三、互斥事件、事件的相互独立性的综合应用 解题技巧： 已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有 事件 表示 概率 A，B同时发生 P(A)P(B) A，B都不发生 A，B恰有一个发生 A，B中至少有一个发生 A，B中至多有一个发生 例3-1．已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（    ） A．事件A和相等 B．事件A和互相对立 C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥 例3-2．（多选）已知事件满足，，则下列结论正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么， C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 变式3-1．连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第次抛掷的结果为正面向上”（其中），则有（    ） A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是相互对立事件 C． D． 变式3-2．（多选）已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列结论正确的有（    ） A．若A与B互斥，则 B．若，则 C．若，则A与B相互独立 D．若A与B相互独立，则 变式3-3．（多选）下列命题正确的是（   ） A．设A，B是两个随机事件，且，，若，则A，B是相互独立事件 B．若，，则事件A，B相互独立与A，B互斥有可能同时成立 C．若三个事件A，B，C两两相互独立，则满足 D．若事件A，B相互独立，，，则 变式3-4．某商场开展促销活动，每消费300元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. (1)已知甲在该商场消费了300元，求甲获得一等奖的概率； (2)当顾客在该商场消费满600元时，顾客有两次抽奖且这两次抽奖相互独立，为加大促销力度，在原规则的基础上，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了600元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件. （i）顾客乙中二等奖的概率； （ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由. 类型四、概率的基本性质的应用 解题技巧： 性质1 对任意的事件A，都有P（A）≥0. 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（）= 1，P()=0. 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P（）=P（A）＋P（B）. 推广：如果事件A1，A2，…，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P（）=P(A1)+P(A2)+…+P(Am). 性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）=1P（A）， P(A)=1P(B). 性质5 如果，那么P（A）≤P（B）. 性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（）=P（A）＋P（B） P（）. 例4-1．设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（    ） A． B． C． D． 例4-2．（多选）设、为两个互斥的事件，且，，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 变式4-1．（多选）设A，B是两个随机事件，已知，，则（    ） A． B． C． D． 变式4-2．设A，B是一个随机试验中的两个事件，记为事件A，B的对立事件，且，则=__________ 变式4-3．已知事件相互独立，的对立事件为，若，则同时发生的概率为______，两个事件至少有一个发生的概率为______. 变式4-4．（多选）已知随机事件满足，且事件与相互独立，则下列说法正确的是（    ） A．若与相互独立，则 B．若，则与相互独立 C．若与互斥，且与也相互独立，则 D．若与相互独立，且与也相互独立，则 压轴专练 1.有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项不正确的是（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 2.已知甲中学的225名同学与乙中学的256名同学一起春游，将两所中学的学生混合在一起，随机组合，重新组织队伍，要求每队人数相同且队伍数量尽可能少，那么甲中学的沉香和乙中学的李飞出现在同一个队伍的概率为（   ） A． B． C． D． 3.已知，是相互独立事件，若，，则（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 4.已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，满足，，，，则下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件B互斥 B． C． D．事件A与事件B相互独立 5.一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 6.如图是一个古典概型的样本空间和事件，其中，，下列结论正确的是（    ） A． B．事件与互斥 C． D．事件与相互独立 7.对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（    ） A．A与B不互斥 B．A与D互斥但不对立 C．C与D互斥 D．A与C相互独立 8.有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9.（多选）已知，，则下列说法中正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果互斥，那么 D．如果互斥，那么 10.（多选）已知为随机事件，，则下列结论正确的有（   ） A．若为互斥事件，则 B．若为互斥事件，则 C．若相互独立，则 D．若相互独立，则 11.（多选）口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（    ） A． B．与互斥 C．与相互独立 D．与互为对立 12.设A，B是两个随机事件，，，则下列说法中正确的是（   ） A．若A与B相互独立，则 B．若A与B互斥，则 C．若，则 D．若，则 13.已知事件、发生的概率分别为，，则（ ） A．若，则事件与相互独立 B．若与相互独立，则 C．若与互斥，则 D．若发生时一定发生，则 14.九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，这5个数字未知，且为奇数，则的概率为__________. 9 7 4 5 15.已知正整数，欧拉函数表示、、、中与互质的整数的个数，例如，，，且、互质时，．若从、、、中随机取一个数，则满足的概率为__________． 16.从集合中任取一个元素a，使得只有整数解的概率为_________． 17.有一种珍惜物种，对于其每个个体，每天都会发生如下事件：有的概率消失，有的概率保持不变，有的概率分裂成两个，对所有新产生的生物每天也会发生上述事件，假设开始只有一个这样的珍惜生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不超过，则的最大值为______． 18.甲、乙两位同学进行中国象棋比赛，约定赛制如下：一人累计获胜2局，此人最终获胜，比赛结束；4局比赛后，没人累计获胜2局，比赛结束，获胜局数多的人最终获胜；两人获胜局数相同为平局.已知每局比赛中甲获胜、平局、乙获胜的概率分别为，且每局比赛的结果相互独立. (1)求比赛3局结束的概率； (2)求甲最终获胜的概率. 19.为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大． 20.每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． (1)若，求乙恰好有一轮胜出的概率； (2)若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求p，q的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 21.在体育比赛中，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入半决赛的有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入总决赛，败者进入败者组，之前进入败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示）.双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为，其中对阵其他三个队伍时获胜的概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为，最初分组时，同组，同组.    (1)若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 22.不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5. (1)现从盒子里随机取出2个小球，记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为n”，当时，分别求事件A，B的概率； (2)某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签. 游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜； 游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为n时获胜. 小明同学决定先玩游戏一，当n为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01 概率及其运算问题 目录 类型一、事件的关系和运算 类型二、古典概型概率的应用 类型三、互斥事件、事件的相互独立性的综合应用 类型四、概率的基本性质的应用 压轴专练 典例详解 类型一、事件的关系和运算 解题技巧： 一、事件的关系判断 1、互斥（互不相容）：一般地，如果事件A与事件B不能同时发生， 也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B=☑， 则称事件A与事件B互斥（或互不相容） 2 2、互为对立：一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生， 即AUB=2,且A∩B=☑，那么称事件A与事件B互为对立. 事件A的对立事件记为 2 二、事件的运算 1、 包含关系：一般地，若事件A发生，则事件B一定发生， 1/37 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B), 即B2A(或ASB), 特殊情形：如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即B2A且ASB, 则称事件A与事件B相等，记作A=B (A 2、并事件（和事件）：一般地，事件A与事件B至少有一个发生， 这样的事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中， 则称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）AUB(或A十B) B 3、交事件（积事件）：一般地，事件A与事件B同时发生， 这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中， 则称这样的事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）A∩B(或AB) 例1-1.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“2枚硬币都是正面朝上”，事件B=“2枚硬币朝上的面 相同”，则下列A与B的关系中正确的个数为() ①AcB②互斥③互为对立④相互独立 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A 【分析】根据古典概型的计算公式、互斥事件、对立事件、独立事件的概念对选项一一分析判断即可得出 答案 【详解】由题意可知：一枚硬币有两个等可能结果：正面朝上、反面朝上， 两枚硬币有两个等可能结果：正正、正反、反正、反反， 事件A=“2枚硬币都是正面朝上”包含的情况为：正正， 事件B=“2枚硬币朝上的面相同”包含的情况为：正正，反反， 故AcB,故①正确；②错误； 事件A的对立事件为：正反、反正、反反，故③错误； 则P-P川子P4 所以P(A)P(B)≠P(AB),故④错误. 2/37 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选：A. 例1-2.已知事件A,B互斥，则下列说法错误的是() A.P(AUB=P(A)+P(B) B.P(4UA=1 C.事件A,B互斥 D.PAUB=1 【答案】C 【分析】根据互斥事件的定义及性质判断A、B、D,利用反例说明C 【详解】对于A:因为事件A,B互斥，所以P(AUB)=P(A+P(B),故A正确： 对于B:P(AUA=P(A)+P(A=1,故B正确： 对于C:如抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A={1,2,事件B={3,4),满足A,B互斥， 但是A={3,4,5,6,B={1,2,5,6，显然A,B不互斥，故C错误； 对于D:PAUB=PA+PB-PAB =1-P(A)+1-P(B)-[1-P(A)-P(B)门]=1，故D正确， 故选：C 变式1-1.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是() A.至少有一个黑球与都是黑球 B.至少有一个黑球与至少一个红球 C.至少有一个黑球与都是红球 D.恰好有一个黑球与都是红球 【答案】D 【分析】先分析所有的可能结果，再根据互斥事件和对立事件的定义即可判断： 【详解】从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球的可能结果有3种： 两个都是黑球、两个都是红球、恰好一个黑球和一个红球， 所以事件“至少一个黑球”包括两个都是黑球、恰好一个黑球和一个红球两种可能结果， 事件“至少一个红球”包括两个都是红球、恰好一个黑球和一个红球两种可能结果， 所以，A中的两个事件不互斥也不对立， B中两个事件不互斥也不对立， C中两个事件互斥且对立， D中两个事件互斥但不对立. 故选：D 变式1-2.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A,B,C,D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说 3/37 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 法正确的是() A.A+B与C是互斥事件，也是对立事件 B.B+C与D是互斥事件，也是对立事件 C.A+C与B+D是互斥事件，但不是对立事件 D.A与B十C+D是互斥事件，也是对立事件 【答案】D 【分析】本题考查互斥事件及对立事件的概念，依据互斥事件和对立事件的定义判断即可 【详解】由于A,B,CD彼此互斥且0,2+0.2+0.3+0.3=1，则A十B十C+D是一个必然事件， 任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件： 任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件. 所以A+B与C是互斥事件，但不是对立事件： B+C与D是互斥事件，但不是对立事件： A+C与B+D是互斥事件，也是对立事件： A与B+C+D是互斥事件，也是对立事件. 故选：D. 变式1-3.已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为1,3,4，乙盒中有3个大小和质地相同的小球， 标号为3,4,6，现从甲、乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件A=“摸到的两个小球标号相同”，事件B=“摸 到的两个小球标号之和为奇数”，则() A.事件A和B相等 B.事件A和B互相对立 C.事件A和B相互独立 D.事件A和B互斥 【答案】D 【分析】列举出样本空间Ω、事件A和事件B,即可判断A;对于BD:根据互斥事件、对立事件的概念分 析判断；对于C:根据事件概率乘法公式分析判断 【详解】用（α，b)每次取球的结果，a,b分别表示甲、乙两盒中分别随机摸出1个小球的标号， 由题意可知：样本空间2={(1,3,1,4)，(1,6)，3,3)，3,4)，3,6)，4,3)，(4,4)，(4,6)}： 事件A={(3,3),4,4}；事件B={1,4),(1,6),(3,4),(3,6),4,3},: 对于选项A:因为A≠B,所以事件A和B不相等，故A错误： 对于选项BD:因为事件AB=0,AUB={1,4),(1,6),(3,3),3,4),(3,6),4,3),4,4}≠2， 所以事件A和B互斥，事件A和B不互相对立，故B错误，D正确； 对于选项C:因为n(2）=9,n(A=2,nB=5,nAB)=0, 4/37 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 n(P()s 则P(A到=n(A2 -P0=B-0 n(2) 显然P(AB)≠P(AP(B),所以事件A和B不相互独立，故C错误； 故选：D. 变式1-4.给定一个正整数n(n≥3)，从集合2=L,2,3,…,n)中随机抽取一个数，记事件A=“这个数为偶数”， 事件B=“这个数为3的倍数”.下列说法正确的是（) A.若n=6k,k∈N,则至少存在一个n,使事件A和事件B不独立 B.若n≠6k,k∈N,则存在无穷多个n,使事件A和事件B独立 C.若n为奇数，则至少存在一个n,使事件A和事件B独立 D.若n为偶数，则对任意的n,事件A和事件B独立 【答案】B 【分析】主要是用P(AB)=P(A)P(B)判断事件的相互独立性. 【群解】对于A,对于任意a=6,eN,H-弓P叫到-写P叫4-点-君 P(AB)=PA)PB),即事件A和事件B独立，A不正确. 对于B,当a=8时.P氏=，川到-P4B=g满足P48)=P利PB: 当a=32,P川小=号P到=名P4=最满足P4=P叫4P到： 以此类推，当n=2m时，mEN,P(4)-P9三2P0 6x2是，满足PAB=PAPB: 故存在无穷多个n,使事件A和事件B独立，B正确 对Fc当：=时，teN,A小a叫到川-d 此时显然P(AB)≠P(AP(B): Saa+.keN,PA装PBP4Be 6k+11 此时显然P(AB)≠P(AP(B): 当=6+5时，e,P4异P川-P叫= k 6k+1 6k+1' 此时显然P(AB)≠P(4P(B): 5/37 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 综上可知，对任意奇数，事件A和事件B都不独立；C不正确. 秀于D,当a=16时，P叫利=8P副=名P叫4-后-安P4:P叫4刻P,D不正晚 故选：B. 类型二、古典概型概率的应用 解题技巧： 1、古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型 ①有限性：样本空间的样本点只有有限个： ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 2、古典概型的判断标准 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所 有的试验都是古典概型， 3、古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义 元n(2,其中，n和n(Q)分别表示事件A和样本空间Q包含的样本点个数 k n(A) 事件A的概率P(A)= 例2-1.从1,2,3,4中随机抽取三个不同的数相加，得到的和记为X,剩余的数乘以3，记为y,则 P(X>Y=() A B. 1 C. 2 D.1 4 【答案】B 【分析】先列出所有等可能的抽取情况，分别计算每种情况下X和Y,再统计满足X>Y的情况数，最后用 古典概型公式计算概率. 【详解】从1,2,3,4中随机抽取三个不同的数，共有4种等可能的情况： ①抽取1,2,3，则X=1+2+3=6,剩余数为4，Y=4×3=12,此时X<Y: ②抽取1,2,4，则X=1+2+4=7,剩余数为3，Y=3×3=9,此时X<Y; ③抽取1,3,4，则X=1+3+4=8,剩余数为2，Y=2×3=6,此时X>Y: ④抽取2,3,4，则X=2+3+4=9,剩余数为1，Y=1×3=3,此时X>Y: 在总共4种等可能的情况中，满足X>Y的情况有2种， 6/37 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 21 因此P(x>Y)= 42 例2-2.先后掷一个均匀的骰子3次，得到的点数依次为x,y,2,记事件A为“x-y+y-z+2-x=6”,则 P(A)= 【答案1/025 【分析】由题意可得max(x,y,z)-min(x,y,z=3,再借助容斥原理计算可得minx,y,z=1, max(x,y,z=4的不同情况的种数，同理可得minx,y,z=2,maxx,y,z)=5的不同情况的种数及 min(x,y,z=3,max(x,y,z=6的不同情况的种数，结合所有可能种数即可得解. 【详解】假设x≤y≤z,则x-y川+y-z+2-x=y-x+z-y+z-x=2(z-x), 故r-+y-+-的结果为2[max(x,y,z)-min(x,y,z], 故要使得x-y川+y-z+2-x=6,只需max(x,,z-minx,y,z=3, 先后掷一个均匀的骰子3次，共有6=216种不同情况， 若x,y,z∈{1,2,3,4，共有43=64种不同情况， x,y,2不含1的情况有33=27种，x,y,z不含4的情况有33=27种， x,y,2不含1也不含4的情况有2=8种， 故minx,y,z=1,maxx,y,z=4的不同情况有64-27-27+8=18种； 同理minx,y,z=2,maxx,y,z=5的不同情况有18种： minx,y,z=3,maxx,y,z=6的不同情况有18种： 故P(4)=18x31 2164 故答案为：4 变式2-1.在学校运动会开幕式上，某一同学随机摆放了一段用于编织的彩带，其在地面的影子如图所示（看 不出各部分的上下层次)·现在将彩带的两头向两端拉紧，这段彩带会打成一个结的概率是() A. B. c.1 D. 1 4 6 8 【答案】B 7/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【分析】考虑绳子在三个交叉处的位置关系，每个交叉处有两种可能，共有8种可能，然后再考虑能打结 的有几种，即可解题 【详解】考虑绳子在三个交叉处的位置关系，每个交叉处有两种可能，所以共有8种可能： 先固定中间，有如图所示的四种情形， 这四种情形只有最后一种可以拉成结（可利用头发实验）， 将这四种情形翻转得到另外四种情形， 所以共有两种情形可以拉成结，故所求概率为： 故选：B 变式2-2.若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V,V可划分为两个子集V和 V,V∩V,=0,y,U",=V,且图中的每一条边的一个关联结点在V中，另一个关联结点必在V中，则将图G 称为二部图.现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则正确的是() ☑日辽杂测☐N (2) (3) A.这两个图都是二部图的概率为】 B.这两个图至少有一个是二部图的概率为4 5 C.这两个图不都是二部图的概率为 D,这两个图恰有一个是二部图的概率为3 【答案】B 【分析】根据二部图的定义得到图(1山与图(4)不是二部图，其他四个图都是三部图.从这六个图中任选两个， 利用列举法列出所有的选择，利用古典概型求出对应的概率. 【详解】对于图(1，图中出现了ABC,则该三角形必然有一条边的两个顶点分在一个子集内， 8/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 这显然不符合二部图的定义，图(4)也是如此，所以图(1)与图(4)不是二部图. 除了这两个图，其他四个图都是二部图， 例如，对于图(3)，当V={E,H,K,J,V?={F,G,I,L时，图中的每一条边的一个关联结点在V中，另一个 关联结点必在V中； 对于图(5)，当'，={W,X},',={T,U,}时，图中的每一条边的一个关联结点在V中，另一个关联结点必在 中. 从这六个图中任选两个，所有的选择为 (1,2},{1四，3}，1)，4}，1)，(5}，1)，(6}， {2),3},(2),(4)},{2),5},{（2),6},(3),4}, {3),(5,{3,(6},{4,(5)},4),(6},{5).(6,共15种 这两个图都是二部图的选择共有6种，这两个图至少有一个是二部图的选择共有14种， 这两个图不都是二部图的选择共有9种，这两个图恰有一个是二部图的选择共有8种， 故这两个图都是二部图的概率为。- ,故A错误； 155 这两个图至少有一个是二部图的概率为，故B正确： 15 这两个图不都是二部图的概率为 93 ,故C错误； 155 个图恰有一个是一部图的概率为，故D金 故选：B (3) (5 变式2-3.在集合{0，l,2,3}中任取两个数a,b(a<b)构成以原点为起点的向量m=(a,b)从所有得到的以原点 为起点的向量中任取两个不共线向量为邻边作平行四边形，则平行四边形面积不超过2的概率为 【修灯日 【分析】先枚举集合中构成的所有向量，列出任取两个不共线向量的全部情况（确定基本事件总数）；再 通过向量点积求夹角正弦，结合平行四边形面积公式（两向量模长乘积乘夹角正弦）计算每组向量对应的 面积，统计面积不超过2的情况数；最后利用古典概型概率公式计算概率 9/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】m可以为(0,1)，(0,2)，(0,3)，1,2)，(1,3)，(2,3)， 从中任选两个不共线向量，即有以下情况{(0,1)，(1,2)》，{(0,1)，(1,3)}， {(0,1),(2,3)》,{(0,2),(1,2)},{(0,2),(1,3)},{(0,2),(2,3)}，{(0,3),(1,2)}, 1(0,3),(1,3)》,{(0,3),(2,3)},{(1,2),(1,3)》,{(1,2),(2,3)},{(1,3),(2,3)},共12种情况， 当选择10，，2时，cs0=0D2=25,放血0=-o日-5 1×V1+4 5 此时平行四边形的面积为1x+4×5-1,满足要求， 同理可得，当选择{(0,1)，(1,3)}，{(0,1)，(2,3)，{(0,2)，(1,2)》，{(0,2)，(1,3)》， {(1,2),(2,3)},{1,2),1,3)》时，面积不超过2，综上，共7种情况，满足要求， 故平行四边形面积不超过2的概率为 12 7 故答案为： 12 变式2-4.从集合1,2,3，…，150)中任取一个元素a,使得x2+ax+6a=0只有整数解的概率为 【答案】动 【分析】先根据判别式及韦达定理分析方程存在整数解的条件，再求出满足条件的的个数，最后计算满足 条件的概率。 【详解】x2+ax+6a=0只有整数解， .△=a2-24a≥0，解得a≤0（不在已知集合范围内，舍去）或a≥24， a224, x+x2=-a 设方程的两个整数解为x,x2(含x=x2),根据韦达定理得： xx2 =6a 则a=-(x1+x2),代入xx2=6a整理得xx2+6x1+6x2=0, (x1+6)x2+6)=36, :36的整数因数对有：(1,36)，(2,18)，(3,12)，4,9)，6,6)，9,4,12,3,18,2)，36,1， (-1,-36),-2,-18),-3,-12,-4,-9),-6,-6,-9,-4,-12,-3),-18,-2),-36,-1, x1+x2=-a<0,xx2=6a>0, 所以整数解x,x2的组合(x,x3)有： -7,-42),-8,-24),(-9,-18,-10,-15),-12,-12,-15,-10),-18,-9),-24,-8),-42,-7）, 10/37 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故x1+x2的值有：-49，-32，-27，-24，-25， 则符合题意a的值有：49,32,27,25,24共5个，概率为5=1 150301 故答案为： 1 30 类型三、互斥事件、事件的相互独立性的综合应用 解题技巧： 己知两个事件A,B相互独立，它们的概率分别为P(4),P(B),则有 事件 表示 概率 A,B同时发生 AB P(A)P(B) A,B都不发生 AB P(A)P(B) A,B恰有一个发生 ABU AB P(A)P(B)+P(A)P(B) A,B中至少有一个发生 (ABU ABU(AB) P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B) A,B中至多有一个发生 ABUABUAB P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B) 例3-1.已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为1,3,4，乙盒中有3个大小和质地相同的小球， 标号为3,4,6，现从甲、乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件A=“摸到的两个小球标号相同”，事件 B=“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则() A.事件A和B相等 B.事件A和B互相对立 C.事件A和B相互独立 D.事件A和B互斥 【答案】 【分析】列举出样本空间、事件A和事件B,即可判断A;对于BD:根据互斥事件、对立事件的概念分析 判断；对于C:根据事件概率乘法公式分析判断 【详解】用(a,b)每次取球的结果，a,b分别表示甲，乙两盒中分别随机摸出1个小球的标号， 由题意可知：样本空间0={(1,3)，(1,4)，(1,6)，(3,3)，(3,4)，(3,6)，(4,3)，(4,4)，(4,6)} 事件A={(3,3),(4,4)}:事件B={(1,4),(1,6),(3,4),(3,6),(4,3)},； 对于选项A:因为A≠B,所以事件A和B不相等，故A错误； 对于选项BD:因为事件AB=0AUB={(1,4),(1,6),(3,3),(3,4),(3,6),(4,3),(4,4)}≠n, 11/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所以事件A和B互斥，事件A和B不互相对立，故B错误，D正确； 对于选项C:因为n()=9,n(A)=2n(B)=5,n(AB)=0, 则P(A)=器=P(B)=盟=号P(A8)=鸽=0： 显然P(AB)≠P(A)P(B),所以事件A和B不相互独立，故C错误： 故选：D. 例3-2.（多选）已知事件A,B,C满足P(A)=0.6，,P(B)=0.2,则下列结论正确的是（) A.如果P(AUBUC)=1,那么P(C)=0.2 B.如果BcA,那么P(AUB)=0.6,PBA=0.25 C.如果A与B互斥，那么P(AUB)=0.8 D.如果A与B相互独立，那么PA·B=0.32 【答案】CD 【分析】古典概型、条件概率、互斥事件的概率，相互独立事件的概率公式的运用。 【详解】对于选项A,设一个盒子里有标号为1到10的小球，从中摸出一个小球，记下球的编号， 记事件A=“球的编号是偶数”，事件B=“球的编号是1,2,3”，事件C=“球的编号是奇数”满足 P(AUBUC)=1,但是P(C)=0.5,选项A错误； 对于选项B,如果Bc4,那么P(4UB)=PA)=0.6,P叫B )G.P(AB)=02=选项B错误 PA0.63 对于选项C,如果A与B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B)=0.8,所以选项C正确； 对于选项D,如果A与B相互独立，那么 P(A·B)=P(AP(B)=(1-P(A)1-P(B)=0.4×0.8=0.32所以选项D正确。 故选：CD 变式3-1.连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件A=“正面向上的次数大 于反面向上的次数”，事件B,=“第i次抛掷的结果为正面向上”（其中i=1,2),则有(） A.事件A与事件B是互斥事件 B.事件B与事件B是相互对立事件 C.P(AUB)>P (B U B, D.P(A∩B,)=PB,∩B2 【答案】D 【分析】对A,根据互斥事件的定义判断；对B,根据相互独立事件的定义判断；对C,求得P(AUB,), P(B,+B2),即可判断；对D,求得P(AnB,),P(B,nB,)即可判断. 12/37 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】根据题意，试验的结果有：正正，正反，反反，反正 则事件A包含：正正，事件B:正正，正反，事件B:正正，反正 对于A,事件A与事件B不是互斥事件，它们有可能同时发生，故A错误； 对于B,试验结果除了B和B外，还有其它结果如反反，所以事件B与事件B,不是相互对立事件，故B错 误： 对于CP叫4R=PPA)-A-分 Pg+8=P川a+P叫-川-号 所以P(AUB)<P(B,+B,),故C错误； 对于0：P氏AnB-,PBnA,=子所以P(4nB=P8,n8,故D正确 故选：D. 变式3-2.（多选）已知事件A,B发生的概率分别为P(A=0.2,P(B)=0.4,则下列结论正确的有() A.若A与B互斥，则P(A+B)=0.6B.若A∈B,则P(AB)=0.4 C.若PAB=0.12,则A与B相互独立D.若A与B相互独立，则P(A+B)=0.52 【答案】ACD 【分析】根据互斥事件和独立事件的定义判断！ 【详解】已知事件A,B发生的概率分别为P(A)=02,PB)=0.4, 对于A,若A与B互斥，则P(A+B)=P(A+P(B)=0.2+0.4=0.6,A选项正确： 对于B,若ASB,则P(AB)=P(A)=0.2,B选项错误； 对于C,若P(AB=0.12=P(A-P(AB)=0.2-P(AB), 则P(AB)=0.08=P(AP(B),有A与B相互独立，C选项正确； 对于D,若A与B相互独立，有P(AB)=P(A)P(B)=0.08, 则P(A+B)=P(A)+PB)-P(AB)=0.2+0.4-0.08=0.52,D选项正确 故选：ACD. 变式3-3.（多选)下列命题正确的是（) A设，B是两个随机事什，且代0方团-分若4B)-石测4，B是相互套立事件 B.若P(A)>0,P(B)>0,则事件A,B相互独立与A,B互斥有可能同时成立 13/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.若三个事件A,B,C两两相互独立，则满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) D.若事件A,B相互独立，P(A)=0.4,P(B)=0.2,则P(ABUAB)=0.44 【答案】AD 【分析】根据随机事件的相互独立、互斥概念，结合概率公式，通过对每个选项依据相关概念进行分析判断。 【群解】对于A法顾。已知R利宁到写名南若 1.11 即P(AB)=P(A)P(B),所以A、B是相互独立事件，A选项正确， 对于B选项，若A、B互斥，则AB=O,P(AB)=0 若A、B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)>0(因为P()>0,P(B)>0)· 所以事件A,B相互独立与A,B互斥不可能同时成立，B选项错误 对于C选项，设样本空间0=1,23,4，每个样本点的概率为号 定义A=L2,P0=克B=L,到C=,AO号 P()C P(AC)(PC). BC=-仙，PBO=}POPC,所以A、B、C两两相互独立 而ABC=U,PBC-子0PBPC-分8 1111 此时P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).C选项错误. 对于D选项，因为A、B相互独立，则A与B,A与B也相互独立. P(AB)=P(A)P(B)=0.4×(1-0.2)=0.4×0.8=0.32. P(AB)=P(A)P(B)=(1-0.4)×0.2=0.6×0.2=0.12. 所以P(ABUAB)=P(AB)+P(AB)=0.32+0.12=0.44,D选项正确. 故选：AD. 变式3-4.某商场开展促销活动，每消费300元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个 蓝球，这些球除颜色外完全相同抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖； 若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖， (1)已知甲在该商场消费了300元，求甲获得一等奖的概率； (2)当顾客在该商场消费满600元时，顾客有两次抽奖且这两次抽奖相互独立，为加大促销力度，在原规则 的基础上，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了600元，记“乙至少 获得一个一等奖”为事件A,“乙恰好获得一个二等奖”为事件B 14/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ()顾客乙中二等奖的概率； ()判断事件A与B是否相互独立，并说明理由. 答1片 网(D6D事件A与事件B不相互独立，理由见解册 【分析】(1)根据古典概型求解概率； (2)(1)根据事件的独立性计算事件的概率()根据事件的独立性定义验证事件的相互独立 【详解】(1)记三个红球分别为A,A,4,两个白球分别为B,B,蓝球为C, 则6个球中一次摸出两球的样本空间为： =A A,A As,A B,A B2,A C,AA3,A2 B,A2B2,AC,A;B,A;B2,A C,B B2,B C,B2C, 则n(2=15,且每个样本点出现的可能性相等，所以这是一个古典概型. 记事件D=“甲获得一等奖”，则D={A,A2,AA,A,A,},nD)=3, D-所议以甲获得等奖的器 (2)记事件E=“乙第i次摸得两个红球”，事件￡=“乙第i次摸得一红一蓝两个球”， 事件G,=“乙第i次摸得一白一蓝两个球”，事件H=“乙第i次未摸到蓝球”，其中i=1,2 ()先不考虑额外中奖情况，事件“乙中二等奖”=Q-FF,,F与F,为独立事件 由（1)知R=4C,4C,4C,P叫=P叫E)=5P)=P)-等 PQ-FE)=1-PE万)=1-4×4-9 55-25 再考虑额外中奖的情况，事件“乙中二等奖”=G,G,PGG,)=5×5225 224 因为这两个事件为互斥事件，所以顾客乙中二等奖的概率为25+22545 9+4=17 D由a知P=g=4C,4c,4c.P-写G=BCaC.PG=后 H,={44,44,4B,48,44,4,8,4B,4B,48,B8,pH)=10=2 53 则A=E,E2UEE2UE,E2,A=E,E,,E与E,相互独立. 所以P(=1-P叫利=1-P叫E=1-（-8 因为B=FH,UH FUGG2,且事件EH2,H,F2,GG2两两互斥，两次抽奖相互独立， 15/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所以P(B)=P(FH,UH,FUGG2=PFH,+P(HF)+P(G,G2 12,21,22-64 X- 53351515225 因为AB=EFUFE2,且EF,FE2互斥，两次抽奖相互独立， 所以40=PLERUFE-P56+PKE-g兮兮5名 又P4P叫B)=25×225625 96464 所以P(AB)≠P(AP(B),所以事件A与事件B不相互独立 类型四、概率的基本性质的应用 解题技巧： 性质1 对任意的事件A,都有P(A)≥0. 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(2)=1, P(0)=0 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(AUB)=P(A)十P(B) 推广：如果事件A1,A2,，Am·两两互斥，那么事件 A1UA2UUAm发生的概率等于这m个事件分别发生的概率 之和，即P(A1UA2UUAn)=P(A1)十P(A2H+P(Am) 性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1一P(A), P(A)=1-PB). 性质5 如果A二B,那么P(A)SP(B) 性质6 设A,B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(AUB)=P (A)+P(B)-P(A∩B). 例4-1.设A,B是一个随机试验中的两个事件，记A,B为事件A,B的对立事件，且 =子到-P=后，则Ai+-（) 15 B. 8 C4 D. 1 15 15 【答案】D 【分析】根据已知条件求出P(①和P(B),再利用概率的性质求出P(A+B) 16/37 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】因为P)-号，所以P(团=1-P叫4-号 又R=0--号合吉 所以P(AB)=P(B)-PAB)=}-4-1 31515 31113 P(A+B=P(A)+P(B)-P(AB)=+ =5+31515 故选：D。 例4-2.（多选）设A、B为两个互斥的事件，且P(A>0,P(B)>0,则下列各式正确的是() A.P(AUB)=P(A)+P(B) B.P(AUB)=P(+P(B) C.P(AB)=0 D.P(4B=1-P(A)-P(B) 【答案】ACD 【分析】由互斥事件的定义可得A∩B=⑦，利用互斥事件的概率加法公式可判断A选项；利用并事件的概 率公式可判断B选项；由积事件的概率公式可判断C选项；由并事件的概率公式和对立事件的概率公式可 判断D选项。 【详解】因为A、B为两个互斥的事件，则A∩B=☑， 2 B 则P(AUB)=P(A)+P(B),P(AB)=0,AC都对； P(AUB=PA+P(B-PAB,B错： P(4B)=P(+P(B-P(AUB)=1-P(A)+1-P(B)-P(A0B)=1-P(4)+1-P(B)-1 =1-P(A-P(B),D对 故选：ACD. 变式41.（多选）设4，B是两个旋机事牛、已知P川同=P叫B别-子P心4+=子则《) A B.P(B)=2 C.P(AB)- D.A-号 【答案】ABD 17/37 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【分析】根据事件的运算关系以及对立事件的概率，一一判断各选项，即得答案。 【详解】由P=Pa=子P4+8)-子.即P4国+P+代)=子 知P氏AB)=:,所以C错误」 又代利=+R同=计分所以A正流 同可特风)=PB0+阔-子行8正晚 又P)=1-PA+B)=4所以D正确 AB 故选：ABD. 变式42.设A,B是一个随机试验中的两个事件，记A,B为事件A,B的对立事件，且 P(A)=0.6,P(B)=0.3.P(AB+4B=0.5,PB)= 【答案】0.3/3 0 【分析】先求出P(B=0.7,根据AB∩AB=O得到P(AB)+PAB)=0.5,结合 P(B=P(AB)+PAB)=0.7,P(A)=P(AB)+P(AB)=0.6求出P(AB)=0.4,从而得到 P(AB)=P(B)-P(AB)=0.3. 【详解】由题意得P(B)=1-P(B=0.7,AB,AB为互斥事件， 即AB∩AB=O, P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)-P(ABAB=P(AB+P(AB)=0.5, 又P(B)=P(AB)+P(AB)=0.7①，P(A=P(AB)+P(AB)=0.6②， 式子①②相加得2P(AB)+P(AB)+P(AB)=1.3, 故2P(AB)=1.3-P(AB-P(AB)=0.8, 所以P(AB)=0.4,则PAB=P(B)-P(AB)=0.7-0.4=0.3. 故答案为：0.3 18/37 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式43.已知事件4B相互获立，8的对立事件为B,若P川，P(可号则48同时发生的概率为 A,B两个事件至少有一个发生的概率为 【答案】 15 3 6 【分析】根据独立事件和对立事件概率公式，先求出P(B),再分别计算A、B同时发生的概率以及A、B至 少有一个发生的概率. 【详解】已知P团=背，可得P(B)=1-P(E=1-}-名 33 因为事件4、8相互粒立，已知P0=方P)-子，所以P8)=×名 121 233 根据公式P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB), r0=方P8)=号-号则PU8)=+月 1215 2336 15 故答案为：36 变式4-4.（多选）己知随机事件A,B,C满足P(A)=0.5,P(B)=0.2,P(C=0.3,且事件C与A,B相互独立， 则下列说法正确的是() A.若A与B相互独立，则P(AUB)=0.9 B.若P(AnB)=0.4,则A与B相互独立 C.若A与B互斥，且C与A+B也相互独立，则P(A+B)C)=0.25 D.若A与B相互独立，且C与AB也相互独立，则P(ABC)=0.12 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，结合概率的性质、互斥事件、相互独立事件的概率公式，逐项分析判断即可. 【详解】因为事件A与B相互独立，所以事件A与B相互独立， 所以P(AB=P(AP(B)=0.5×0.8=0.4, 因为P(AUB)=P(A+P(B-PAB=0.5+0.8-0.4=0.9,A正确： P(AUB)=1-PAnB=0.6,又P(A=0.5,P(B)=02, 所以P(AnB)=P(A+P(B)-P(AUB)=0.1,又P(AP(B)=0.1, 所以P(AnB)=P(A)P(B),即A与B相互独立，B正确： 因为A与B互斥，所以P(A+B)=PA)+PB)=0.5+0.2=0.7, 19/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又因为C与A+B相互独立， 所以P(A+B)C)=P(A+B)P(C)=0.7×0.3=0.21,C错误； 因为A与B相互独立，所以P(AB)=P(APB)=0.5×(1-0.2)=0.4, 又因为C与AB相互独立，所以P(ABC）=P(AB)P(C)=0.4×0.3=0.12,故D正确. 故选：ABD 压轴专练 1.有4个相同的球，分别标有数字1,2,3,4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一 次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和 是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项不正确的是() A.甲与丙相互独立 B.甲与乙相互独立 C.丙与丁互斥 D.乙与丁互斥 【答案】B 【分析】根据题意列出两次取球所有可能情况，并分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件、 互斥事件的定义判断即可. 【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为1,2)，(1,3)，(1,4)，（2,1)，（2,3)，(2,4)，(3,1，（3,2)， (3,4,（4,1,(4,2),（4,3共12种情况： 第一次取出的球的数字是1，所有可能为1,2)，(1,3)，(1,4)共3种情况： 第二次取出的球的数字是2，所有可能为(1,2)，(3,2)，(4,2)共3种情况； 则两次取出球的数字之和为5的所有可能为(1,4)，（2,3)，(3,2)，（4,1共4种情况： 两次取出球的数字之和为4的所有可能为1,3)，(3,1)共2种情况： 记“第一次取出的球的数字是1”为A,“第二次取出的球的数字是2”为B, “两次取出的球的数字之和是5"为C,“两次取出的球的数字之和是4”为D, 20/37 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则P叫=子P)=P叫C=音-， 2=3,P(D)=12-。、 A当甲丙同时发生时，取出约脸是L到，此时4C-位兮4利PG, 故甲丙相互独立，故A正确： B:当甲乙同时发生时，取的枪是，2小，此时P4到P到行6，A他-立到P, 故甲乙不相互独立，故B错误； C:由C,D不可能同时发生，故丙与丁互斥，故C正确； D:当第二次取出的球的数字是2时，第一次不可能取2，即两次取出的数字之和不能为4，故乙丁不能同 时发生，则乙与丁互斥，故D正确： 故选：B 2.己知甲中学的225名同学与乙中学的256名同学一起春游，将两所中学的学生混合在一起，随机组合，重 新组织队伍，要求每队人数相同且队伍数量尽可能少，那么甲中学的沉香和乙中学的李飞出现在同一个队 伍的概率为() A.1.5% B.3.5% C.5.5% D.7.5% 【答案】D 【分析】求出一起春游的总人数的最大真因数，从而找到每队人数最多的分队方式，再计算两人分到同 队的概率. 【详解】甲乙中学共有225+256=481名同学一起春游， 要求每队人数相同且队伍数量尽可能少，即求481的最大真因数， 因为481=13×37，所以每队37人，共13队， 沉香被分到某队后，李飞需占据该队伍剩余的36个名额之一， 所以两个人出现在同一个队伍的概率为480三0.075，即为7.5% 3.己知A,B是相互独立事件，若P(A)=0.2,PAB+AB+AB=0.44,则P(B)=() A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6 【答案】A 【分析】根据独立事件、互斥事件、对立事件的概率公式计算。 【详解】因为A,B是相互独立事件，所以A,B和A,B均相互独立， 因为AB,AB,AB两两互斥， P(AB+AB+AB)=P(AB)+P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A P(B)+P(A)P(B=0.44, 21/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 因为P(A)=0.2,所以PA=0.8, 则02P(B)+0.8P(B)+0.21-P(B)=0.44,得P(B)=0.3. 4.己知一个古典概型的样本空间和事件A,B,满足n(2)=12,n(A)=6,n(B)=4, n(AUB)=8,则下列说法正确的是() A.事件A与事件B互斥 B.P(B)= C.P(AB)>P(AB) D.事件A与事件B相互独立 【答案】D 【分析】利用古典概型计算公式可得P(A)=专，P(B)=青，利用概率的加法公式可得P(AB)=言，再由 互斥事件和对立事件定义可判断A8错误，由P(AB)+P(A)=P(A)可知C错误，利用事件独立性定 义可判断D正确 【详解】易知P(A)-治=同理可得P(B)=专P(AUB)= 由P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)可得号=支+吉-P(AB),即P(AB)=名 对于A,因为P(AB)=言≠0：所以事件A与事件B不互斥，可得A错误： 对于B,显然P(B)=1-P(B)=即B错误： 对于C,由P(AB)+P(A)=P(A)可得号+P(AB)=,即P(AB)=青 所以P(AB)<P(A),即C错误 对于D,易知P(A)P(B)=于×青=P(AB)=名，满足独立性定义，即D正确. 故选：D 5.一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行，老师在黑板上写出2,3,4，…，2024共2023个正整数， 然后随意擦去一个数，接下来由乙、甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一 个数)，如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜， 按照这种游戏规则，甲获胜的概率是() A.1011 B. 1012 c.1013 D.1014 2023 2023 2023 2023 【答案】B 【分析】先根据裁判擦去的是奇数还是偶数分类考虑，分析得出若擦去的是奇数，则乙一定获胜；若擦去 的是偶数，则甲一定获胜，由此根据古典概型概率公式计算即得. 【详解】由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是要看裁判擦去哪个数， 注意2,3,4，·，2024中有1011个奇数，1012个偶数. (1)若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜. 22/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 理由如下：乙不管甲擦去什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后剩下两个数一定都是偶数， 从而所剩两数不互质，故乙胜 (2)若裁判擦去的是偶数，则甲一定获胜. 理由如下：设裁判擦去的是2m,则将余下的数配成1011对，每对数由一奇一偶的相邻两数组成： (2,3),(4,5),…,(2m-2,2m-1),(2m+1,2m+2),…,(2023,2024). 这样，不管乙擦去什么数，甲只要擦去所配对中的另一个数，最后剩下两个相邻的整数，它们互质，故甲 必获胜， 1012 甲获胜的概率为 2023 故选B. 6.如图是一个古典概型的样本空间2和事件A,B,其中n(2)=24,nA=10,nB)=6,nAUB)=12,下列 结论正确的是（) 2 A.n(AB=4 B.事件A与B互斥 C.P(8)=? D.事件A与B相互独立 3 【答案】A 【分析】对A,根据容斥原理判断；对B,根据互斥定义判断；对C,由古典概型概率计算公式计算；对D, 由相互独立的定义判断. 【详解】对于A:由nAUB)=n(A)+n(B)-nAB)可得nAB)=10+6-12=4,A正确： 对于B:由(AB)=4可知，事件A与B不互斥，B错误； 对于c:由图知，nB)=12,所以P()=2=,c错误 242 对于0：因为川利-丹品P川网-名-川-音-名 246 所以AP到到-音点。.D错 故选：A 7.对于一个古典概型的样本空间2和事件A,B,C,D,其中n(2)=60,n(A)=30,n(B)=10,(C)=20 ,(D)=30,n(AUB)=40,n(A∩C)=10,n(AUD)=60,则() A.A与B不互斥 B.A与D互斥但不对立 C.C与D互斥 D.A与C相互独立 23/37 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】D 【分析】由已知条件结合事件的运算判断事件间的互斥、对立关系，根据P(A⌒C),P(A)P(C)的关系判断事 件是否独立 【详解】由n(A)=30,n(B)=10,n(AUB)=40,即n(AUB)=n(A)+n(B),故A、B互斥，A错误； 由n(AUD)=n(A)+n(D)=n(2)=60,A、D互斥且对立，B错误； 又n(C=20,n(A∩C)=10,则n(D∩C)=10,C与D不互斥，C错误； 由P(A)=n(4-1 P(CP(0C- n(2)6 所以P(A∩C)=P(A)P(C),即A与C相互独立，D正确. 故选：D 8.有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资 金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同 的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概 率大于资金减少的概率，则n至少为() A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【分析】根据题设分析出：要使资金增加必须2次刮出中奖，转化为5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大 于；，再列不等式求n取值。 【详解】由于总资金100元，每次在对一张卡片刮码前下注已有资金的一半 刮第1张卡前，下注50元： 若未中奖，还剩50元；刮第2张卡前，下注25元，不管是否中奖，资金必减少： 若中奖，还剩150元，刮第2张卡前，下注75元，未中奖资金减少；中奖资金增加； 所以，要使资金增加，则必须2次刮出中奖，否则资金减少； 所以，5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于)即可， 由5张卡片中任取2张的方法数有10种，n张“中奖”卡中取到2张的方法数有-少种， 所以2(n一1）≥三→nn-1)>10且2≤n≤5，故n=4或5，即n室少为4. 故选：C 9.(多选)已知P(A)=0.5,P(B)=0.3,则下列说法中正确的是() A.如果B∈A,那么P(AUB)=0.5B.如果BcA,那么P(AB)=0.3 C.如果A,B互斥，那么P(AUB)=0.8D.如果A,B互斥，那么P(AB)=0.15 24/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】ABC 【分析】对于AB,由BSA可得AUB=A,A∩B=B即可；对于CD,由A,B互斥可得A∩B=O即可. 【详解】对于AB,由BSA可得AUB=A,A∩B=B, 所以P(AUB)=P(A)=0.5,P(AB)=P(B)=0.3,故AB正确； 对于CD,由A,B互斥可得A∩B=O, 所以P(AUB)=P(A)+P(B)=0.8,P(AB)=0,故C正确，D错误. 故选：ABC. 10.（多选)已知A,B为随机事件，P(A=0.5,P(B)=0.3,则下列结论正确的有() A.若A,B为互斥事件，则P(AUB)=0.8B.若A,B为互斥事件，则PAUB=0.2 C.若A,B相互独立，则P(AUB=0.65D.若A,B相互独立，则PAB=0.35 【答案】ACD 【分析】根据互斥事件的概率性质即可求解AB,根据独立事件的性质以及公式即可求解CD。 【详解】对于A,若A,B为互斥事件，则P(AUB=P(A)+P(B)=0.8,A正确， 对于B,若A,B为互斥事件， 则PAUB)=P(A+P(B)-P(AnB=0.5+0.7-(1-P(AUB)=1,故B错误， 对于C,P(AB)=P(A)P(B)=0.15,故P(AUB)=PA)+P(B)-P(AB)=0.8-0.15=0.65,C正确， 对于D,A,B相互独立，则A,B也相互独立，故P(AB)=P(AP(B)=0.5×0.7=0.35,D正确， 故选：ACD 11.(多选)口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件A=“取 出的两球同色”，事件B=“第一次取出的是白球”，事件C=“第二次取出的是白球”，事件D=“取出的两球 不同色”，则() A.P(B)=2 B.B与C互斥 C.A与B相互独立 D.A与D互为对立 【答案】ACD 【分析】利用古典概型的概率公式求出所对应的事件的概率即可判断A,根据互斥事件的概率即可判断B, 根据相互独立事件的定义判断C,根据对立事件的概率即可判断D. 【详解】设2个白球为a,a2,2个黑球为b,b2, 则样本空间为： 2={（a,a2)a,b)a,b2),a2,a),a2,b,(a2,b2)(b,a),(b,a2)b,b2),(b2,a,b2,a2)(b2,b)}，共12个基 本事件 25/31 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 事件A={(a,a2,a2,a),(b,b2),(b2,b)}，共4个基本事件： 事件B={(a,a2)(a,b),a,b)(a2,aa2,b),a2,b2)},共6个基本事件； 事件C={（a,a2)(a2,a),(b,a),(b,a2),(b2,a,b2,a2)},共6个基本事件； 事件D={(a,b)(a,b)(a,b)(a,b,)(,a),(,a,b,a),(b,a},共8个基本事件， 对于人由A到-合分放A正 对于B,因为B∩C≠O,所以事件B与C不互斥，故B错误； 对于C因为川利-音甘P川合分P川网=音名 126' 则P(AB)=P(A)P(B),故事件A与B相互独立，故C正确： 对于D,因为A∩D=O,AUD=Q,所以事件A与D互为对立，故D正确. 故选：ACD. 12设A,B是两个随机事件，P(4到-子，P川回-，则下列说法中正确的是() A.若A与B相互独立，则P(A+B)=】 2 B若A与B亚乐，则(4+列-吕 c.若P(回=g则P) D.若川A+剧=则P0+回 【答案】ACD 【分析】对于A,利用和事件的概率公式，及相互独立事件同时发生的概率公式即可求解；对于B,利用互 斥事件的关系即可求解； 对于C,根据积事件的概率公式，及事件的关系即可求解： 对于D,根据和事件的概率公式求出P(AB)再由相互独立事件的定义得到A与B相互独立再利用和事件的概 率公式即可求解 【详解】若A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B), P=P+Pe-P=写写方放A正南 若A与B互斥，则AcB,P(A+)=P(=1-}=名，故B错误， 33 P例=P川到-A)=PB=g8=g 1 8 26/37 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 P(AB)=P(B)-P(AB)=1-1=5 ,故C正确： 3824 P+=P0P®-4)=分P4=P48= 2=P(A)P(B), A与B相互独立.A与B相互独立，A与B相互独立. :P(AB+AB=P(AB+P(AB)-P(ABAB)=P(A)P(B)+P(A)P(B) 故选：ACD. 13.已知事件太、B发生的新来分别为A0-号P代8)-名则(） 6 A。若)g则事件与8相互独立 B.若A与B相互独立，则PU)=号 C.若A与B互斥，则PUB)=号 D.若B发生时A一定发生，则P氏AB)= 3 【答案】AB 【分析】利用独立事件的定义判断A;利用并事件的概率公式判断B;利用互斥事件的概率公式判断C;分 析可知AB=B判断出D. 【详解】对于A由P0写PB)名符P闭=1-P0=1-号 1 33 显然P闭P号名号，因此事件了与8相互独立，故A正确： 对于B,若A与B相互鞋立，则风周=0团行 因此P4U=P+P剧-P8-名号故B正确： 对于C若A与8互乐，则P4U剧=P+NB=+名，故C铅误， 对于D,若B发生时A一定发生，则BcA,P4B=PB)石，故D错误， 故选：AB 14.九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小 明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字， a,b,c,d,e这5个数字未知，且b,d为奇数，则a+b>5的概率为 27/37 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 b 5 【答案】 2-3 【分析】根据题意列出这个试验的等可能结果，然后求解概率即可； 【详解】这个试验的等可能结果用下表表示： b d 1 6 P P 3 6 2 3 P 6 1 8 3 2 8 1 2 3 6 8 1 6 3 2 2 3 ⑥ 1 P 2 3 P 1 6 3 2 P 6 3 8 2 8 3 2 1 6 8 3 6 1 2 共有12种等可能的结果，其中a+b>5的结果有8种， 所以0+6>5的概率为吕-号 故答案为： 3 15.已知正整数n,欧拉函数0(n)表示1、2、、n中与n互质的整数的个数，例如，p(4)=2,p10)=4 ,且a、b互质时，pab)=papb).若从1、2、、10中随机取一个数m,则满足p(2m=p3m的 概率为 28/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】04 【分析】验证m∈1,2,3，…，10时，p(2m)=0(3m)能否成立，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的 概率。 【详解】当m=1时，p(2)=1,p(3)=2,此时p2m)≠p(3m); 当m=2时，p(4)=2,p(6=2,此时p(2m)=p(3m): 当m=3时，p(6)=2,9(9)=6,此时0(2m≠p(3m): 当m=4时，0(8)=4,9(12)=4，此时02m)=p3m)； 当m=5时，p(10)=4,p(15)=8,此时p(2m)≠p(3m): 当m=6时，012)=4，p(18)=6,此时0(2m)≠0(3m): 当m=7时，p(14)=6,0(21=12,此时p(2m)≠p(3m): 当m=8时，p16)=8,p(24)=8,此时p(2m)=0(3m): 当m=9时，p(18)=6,927)=18,此时o(2m)≠φ3m): 当m=10时，9(20)=8，p(30)=8,此时p2m)=9(3m. 所以，从1、2、、10中随机取一个数m,则满足p2m)=p(3m)的数m的取值集合为2,4,8,10}， 改所求糕率为。号 改粉案为：手 16.从集合{L,2,3,…,100}中任取一个元素a,使得x2+ax+4a=0只有整数解的概率为 【答案】 310.03 10 【分析】先根据判别式及韦达定理分析方程存在整数解的条件，再求出满足条件的的个数，最后计算满足 条件的概率 【详解】：x2+ax+4a=0只有整数解， .△=a2-16a≥0，解得a≤0（不在已知集合范围内，舍去）或a≥16， a216, x+x2=-a 设方程的两个整数解为x1,x2(含x=x2),根据韦达定理得： 5=4a，则a=-3+小，代入 xx2=4a整理得x1x2+4x1+4x2=0, x+4)(x2+4=16, 16的整数因数对有：(1,16)，2,8)，4,4)，8,2,16,1)，(-1，-16)，-2，-8)，-4，-4)，-8，-2，-16，-1， 29/37 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又：a为集合{1,2,3，…，100}中的任意元素，a≥16， x=(x+4)-4 :需根据 x2=(x2+4)-4计算上述16的因数对是否属于集合L,2,3,…,100;,且满足a≥16， a=-(x+x2) 因数对1,16)：x,=-3,x2=12,a=-x1+x2=-9,不符合条件： 因数对(2,8)：x=-2,x2=4,a=-(x1+x2=-2，不符合条件： 因数对(4,4)：x1=0,x2=0,a=-x1+x2=0,不符合条件： 因数对8,2)：x=4,x2=-2,a=-x1+x,)=-2,不符合条件： 因数对(16，)：x1=12,x2=-3,Q=-(x1+x2)=-9,不符合条件： 因数对(-1，-16)：x1=-5,x2=-20,a=-(x1+x2)=25,符合条件： 因数对(-2，-8)：x1=-6,x2=-12,a=-(x1+x,=18,符合条件： 因数对(-4，-4)：x1=-8,x2=-8,a=-(x1+x2)=16,符合条件： 因数对(-8，-2)：x=-12,x2=-6,0=-(x1+x,)=18,符合条件： 因数对(-16，-1)：x=-20,x2=-5,a=-(x1+x2=25,符合条件： :符合条件的a的取值为25,1816，共3个。 :集合中共有100个元素，满足条件的Q共3个， “满足条件的概率P=3 100 故答案为： 3 100 1有一种珍情物种，对于其每个个体，每天都会发生如下事件：有p0≤p≤)的概率消失，有的餐率 )的概率分裂成两个，对所有新产生的生物每天也会发生上述事件， 样的珍惜生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不超过；，则P卫的最大值为 【答案】5/0.2 【分析】若开给有个珍稀生物、最终灭绝的概率则为=9，由题知刊=p+号f0+1f2, 由于9分则0=21g+2到-1s2-1,解之可得 2 22 【详解】设开始有一个珍稀生物、最终灭绝的概率为f()=9≤2 那么若开始有个珍稀生物、最终灭绝的概率则为∫(n)=q”, 30/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由题意知f刊=p+2f)+f2, 从而可有g=p+1+与2g,g-:g+2-=0 因为9≤分所以g-10,所以012g+2-1s；-1 22 解之可符P≤兮故P的最大值为写 故答案为：5 18.甲、乙两位同学进行中国象棋比赛，约定赛制如下：一人累计获胜2局，此人最终获胜，比赛结束；4 局比赛后，没人累计获胜2局，比赛结束，获胜局数多的人最终获胜；两人获胜局数相同为平局已知每局 比赛中甲获胜、平局、乙获胜的概率分别为)二，，且每局比赛的结果相互独立 2'631 (1)求比赛3局结束的概率； (2)求甲最终获胜的概率. 【答案】1)43 108 月265 432 【分析】(1)利用独立事件概率乘法公式，结合互斥事件概率加法来计算： (2)利用独立事件概率乘法公式，结合分类讨论，可得互斥事件概率加法来计算. 【详解】(1)根据题意可知，比赛3局结束的事件为前两局中， 甲或乙中有一个人胜了一局且另一局为平局或败局， 第三局由前两局中胜一局的一方获胜， (2)根据题意可知，甲最终获胜的可能性有： ①两局后获胜，即连续胜两局，此时概率为P= ②三局后获胜，且前两局有一局没获胜，此时概率为￡=2× 111_1 2224 ③四局后以胜2局获胜，且前三局只胜一局，另两局没有全败， 此断车为月。6系 ④四局后以胜1局获胜，且另外3局全是平局，此时概率为P=4×x××2=,L 26661081 31/37 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以设甲最终获胜"为事件A,则P(A)=4+4+48+10848+108432 1,1,5,129,1265 19.为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各 玩一次且结果互不影响.连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券.游戏规则如 下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 颜色和数量 (红球编号为"1,2,3”，白球编号为“4,5”) 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为m获胜 (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)一名同学先玩了游戏一，试问m为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大. 【答案】山游戏一获胜的既率为行，游戏二获胜的概率为号 25 (2)m的所有可能取值为5,6,7. 【分析】(1)利用列举法，结合古典概型的概率公式即可得解； (2)利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三 获胜的概率，进而利用表格得到编号之和为m的概率，由此得解。 【详解】(1)设事件A=“游戏一获胜”，B=“游戏二获胜”，C=“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样 本空间为21={1,2,3,4,5}，则n21)=5, 因为15，所以小=2，P川利司号所以游成-安胜的标车为号 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间22={(x,y)x,0e{1,2,3,4,5}， 则n(22)=25,因为B={(4,4),(4,5),(5,4,(5,5}, 所以小4，所以州圆-名所过意我的复车为号 (2)设M=“先玩游戏二，获得书券”，N=“先玩游戏三，获得书券”， 则M=ABCUABCU ABC,且ABC,ABC,ABC互斥，A,B,C相互独立， 所以P(M)=PABCU ABC ABC=PABC+PABC+P(ABC) =P(A)P(B)[1-P(C)]+[1-P(A)]P(B)P(C)+P(4)P(B)P(C) 32/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 号-c刚+g4c+号著q+品Pq 又N=ACBUACBU ACB,且ACB,ACB,ACB互斥， 所以P(N)=PACBU ACBU ACB=PACB+PACB+P(ACB) =P(A)P(C)[1-P(B)]+[1-P(A)]P(C)P(B)+P(4)P(C)P(B) -号xrc器xPq若+号rc若层Plq 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则P(N)>P(M), 所u层PC>0品P4G,即C>去 4 125125 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表： 第二 次 1 2 3 4 第一次 (1,2 1,3 (1,4 (1,5 (2,1 2,3 (2,4 2,5) 3 (3, (3,2) + (3,4 (3,5 4,1 (4,2） 4,3 (4,5) 5,1 5,2 5,3 (5,4 当m=3,4,8,9时， P(C) 24 2025′舍去 20>25,满足题意， 44 当m=56,7时，P(C) -> 因此m的所有可能取值为5,6,7. 20.每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”.竞赛共分两轮，即每位参赛选手 均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，号；在第二轮比赛中，选手甲， 乙胜出的概率分别为P,q.假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. ()若q=吾，求乙恰好有一轮胜出的概率： (②)若甲，乙各有一轮胜出的概率为品，甲，乙两轮都胜出的概率为号 ①求卫，q的值： ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率. 33/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】(1) (2)①p=q=号 ②器 【分析】(1)利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可； (2)①根据对立事件和独立事件的概率公式列方程，即可求解；②先根据独立事件的概率公式求“甲两轮都 胜出”和“乙两轮都胜出”的概率，再利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可， 【详解】(1)设事件A=“第一轮比赛中甲胜出”，事件A2=“第二轮比赛中甲胜出“， 设事件B1=“第一轮比赛中乙胜出”，事件B2=“第二轮比赛中乙胜出“”， 由题意得A1'A2:B1,B2相互独立，且P(A1)=,P(A2)=p,P(B1)=号，P(B2)=q 记事件C=“乙恰好有一轮胜出，则C=BB2+BB2又B1豆2BB2互斥， 所以，当g=时，P(C)=P(BB2+B1B2)=P(BB2)+P(EB2) P(B1)P(E2)+P(何1)P(B2)=×含+青×=品 因此，当q=吾时，乙恰好有一轮胜出的概率为名 (2)①事件D=“甲，乙各有一轮胜出”，事件E=“甲，乙两轮都胜出”， 则p(D)=P(A1A+A1A2)P(BB2+BB2)=[(1-p+p][(1-q+q]=品' P(E)=P(A1ABB2)=p×q=是' 则9+p=号，解得p=是q=青 (p9=号 ②事件G=“甲两轮都胜出”，事件H=“乙两轮都胜出”， 事件K=“甲，乙两人至少有一人两轮都胜出”， P(G)=×=0'P(H=号×=是 P(K)=P(G明+P(GH)+P(c=易×条+号×是+易×是=2-器 300 21.在体育比赛中，近年来一个新型的赛制“双败赛制"赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失 了冠军争夺的资格，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率， 假设最终进入半决赛的有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入 总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜 者组两个队伍对决的胜者将进入总决赛，败者进入败者组，之前进入败者组的两个队伍对决的败者将直接 淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如 图所示).双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠 军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑 这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为 A,B,C,D,其中A对阵其他三个队伍时获胜的概率均为p0<p<),另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的 34/37 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 概率均为；，最初分组时，AB同组，C,D同组。 第一轮 第二轮 第三轮 A B A/B胜者 胜者组 晋级名额 C CD胜者 D 败者组4/B败 第二轮性者组败晋级名额☑ CD败者 第二轮败者组胜者 双败赛制流程图 3 (1)若p=三，在淘汰赛赛制下，A,C获得冠军的概率分别为多少？ 4 (2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示），并分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很 多人质疑的“对强者不公平”？ 【答案】(1)A获得冠军的概率为 16,C获得冠军的概率为 9 2 (2)在淘汰赛赛制下，A获得冠军的概率为p2；在“双败赛制”赛制下，A获得冠军的概率为p(3-2p)；双 败赛制对强者更有利 【分析】(1)利用独立事件的概率公式进行求解即可： (2)首先利用独立事件的概率公式分别求出两种赛制下A获得冠军的概率，再利用作差法比较大小即可. 【详解】(1)结合题意可得A获得冠军：AB组A获胜，再由A与CD组胜者决赛并胜出， 所以4我有冠不的能率为月-分是名2 结合题意可得C获得冠军：CD组C获胜，再由C与AB组胜者决赛并胜出， 131.1115 所以C获得冠军的概率为B=2××4十2×4×22 1 (2)在淘汰赛赛制下，A获得冠军的概率为B=pxXp+px2×p=P 2 在“双败赛制”赛制下，讨论A进入胜者组、败者组两种情况： 当A进入胜者组，若在胜者组A失败，后两局都胜，方可得冠军；若在胜者组A胜利，后一局（与败者组 胜者比赛)胜，方可得冠军， 此时获得冠军的概率为P=p(1-p)+p3: 当A进入败者组，后三局都胜，方可得冠军， 此时A获得冠军的概率为P=1-p)p. 综上，A获得冠军的概率为P+P,=p(1-p+p+(1-p)p=p(3-2p· 令gp)=p(3-2p)-p2,(0<p<1), 35/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则gp)=p(3-2p)-p2=p2(-2p2+3p-1=p2(2p-1)(1-p), 由0<p<1得p2>0,1-p>0. 若A为强风，则p<1,此时2p-1>0. 即gp=p(3-2p)-p2>0,所以p3(3-2p>p2 所以双败赛制对强者更有利. 22.不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1,2,3，白球编号为4， 5. (1)现从盒子里随机取出2个小球，记事件A=“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件B=“不放回地依 次取出时，取出小球编号之和为n”,当n=6时，分别求事件A,B的概率； (2)某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果 互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签. 游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜： 游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜： 游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为n时获胜 小明同学决定先玩游戏一，当n为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？ 【答案】国r0-名P- (2n的取值为5,6,7 【分析】(1)先写出样本空间，结合古典概型的概率公式即可得解； (2)利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书签的概率，从而得到 P②>名斯家，综合(D,由此有解 【详解】(1)对于事件A,有放回地依次取出两个球的样本空间2，={《x,y)x,y∈1,2,3,4,5}，则 n(21)=25, 因为A={(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)},所以n(A)=4, 所以P(A)=n(=4 n(2)25' 对于事件B,不放回地依次取出两个球的样本空间 22={1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),1,5),(5,1),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2),(2,5),(5,2),(3,4), (4,3),(3,5),(5,3),(4,5),(5,4)},则n(22)=20,因为B={(1,5),(5,1),(2,4),(4,2)}, 所以(B)=4,所以P(B)=nB)-1=1 n(22)205 36/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)设M=“先玩游戏二时，获得书签”，N=“先玩游戏三时，获得书签”， 记事件C="从盒子中随机取出一个球，取到白球”， 从盒子中随机取出一个球的样本空间为2？={1,2,3,4,5}， 则n(,)=5,C=4,5y,nO=2,所以PC)=nC=2 n(2)5 则M=CABUCABUCAB,CAB,CAB,CAB互斥，A,B,C相互独立， P(M)=P(CABUCABUCAB)=P(CAB)+P(CAB)+P(CAB)=P(C)P(A)[1-P(B)]+ PLADP(B)P(C)+-P(C)P(A)P(B)=P(B) 125125 同类，P)- 62PB) 因为>M,所以会到>高号r8,解将风>去 综合(1)知，A=5,67,对应的P叫到均为行比名大所以消足题意 1=3489,对应的户0均为行小于若，不满足题意 因此，符合题意的n的取值为5,6,7. 37/37