§1 复数的概念及其几何意义（题型专练）高一数学北师大版必修第二册

§1 复数的概念及其几何意义 题型1 求复数的实部与虚部 1.复数（i为虚数单位）的虚部为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【解析】因为复数（i为虚数单位）所以其虚部为6.故选：B. 2.若复数的实部与虚部相等，则实数 (　　) A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】由于复数的实部与虚部分别为，所以.故选：B． 3.已知复数 的实部和虚部分别为 和 4， 则实数 和 的值分别是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，复数 的实部和虚部分别为 和 4， 因此，解得，所以实数 和 的值分别是.故选：D 4．复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的实部为 D．的虚部为 【答案】B 【解析】因为，所以，所以与的实部均为1，A，C错误； 的虚部为，B正确，D错误.故选：B. 题型2 复数的分类及辨析 5.已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．2 B．－2 C． D．4 【答案】A 【解析】由是纯虚数，得，解得． 故选：A. 6.下列四种说法正确的是（    ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【答案】B 【解析】对于A中，若，那么，所以A错误； 对于B中，由复数的概念，可得实数是复数，所以B正确； 对于C中，若且时，复数，所以C不正确； 对于D中，由虚数单位，可得D错误. 故选：B. 7．设集合，，，则，，间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非纯虚数的虚数． 因此只有B正确．故选：B． 8．对于复数，则下列结论中错误的是（   ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．若，则不是复数 【答案】ABD 【解析】A.当时，为实数，故错误；B.若，则，故错误； C.若，则为实数，故正确；D.若，则是实数，故错误；故选：ABD 题型3 复数的相等 9．已知（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以故选：D 10.适合的实数x、y的值为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【解析】根据复数相等的定义可得，，解得.故选A． 11.如果复数是纯虚数，是虚数单位，则（    ） A．且 B． C． D．或 【答案】C 【解析】由复数是纯虚数，得解得:.故选:C. 12.已知，，则“”是“”的 条件． 【答案】充分不必要 【解析】当时，必有且，解得或， 显然“”是“”的充分不必要条件． 题型4 复数的坐标表示 13.复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】由复数的几何意义知，复数在复平面中对应点， 又因为，所以，，所以点位于第一象限.故选：A. 14．如图，复数在复平面内对应的点为，则（   ）    A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】根据复数的几何意义，若，则在复平面内对应的点的坐标为. 依据已知显然的坐标为，所以.故选：A. 15．在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在复平面内，对应的点关于实轴对称点为，则. 故选：B. 16．已知在复平面内对应的点的横坐标为3，则（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】， ， 在复平面内对应的点为， 在复平面内对应的点的横坐标为3， ，.故选：A. 题型5 复数的向量表示 17．在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为向量对应的复数为，向量对应的复数为， 所以， 所以向量对应的复数为． 18．如果复平面上的向量所对应的复数是，则向量所对应的复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为向量所对应的复数为，所以所对应的复数是. 故选：A. 19．在复平面内，为坐标原点，复数对应的向量分别是，则对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】复数对应的点为, 所以， 对应复数为.故选：A 20．在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是原点，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，， 所以， 所以向量对应的复数为.故选：. 题型1 已知复数的类型求参数 21．已知是纯虚数，则实数的值为（    ） A．-1或3 B．1或3 C．-1 D．3 【答案】D 【解析】由题意可知解得.故选：D. 22．若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】因为复数为纯虚数， 所以，即，所以，故选：C. 23．已知复数，为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，所以． 24．已知复数在复平面内对应的点在第一象限，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．-4 【答案】B 【解析】因为，所以，解得． 因为在复平面内对应的点在第一象限，所以． 25.已知，．若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．不存在 【答案】C 【解析】因为，所以，解得或．故选：C 题型2 复数的模 26.若复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知可得.故选：A. 27.已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，， 所以，所以， 解得：，所以.故选：C 28.已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为，化简得，解得或，故“”是“”的必要不充分条件.故选：B． 29.已知是虚数单位，复数z满足，请写出一个满足条件的复数______ 【答案】（答案不唯一） 【解析】设，，即， 于是，取显然符合题意，即符合题意. 题型3 与复数模相关的轨迹（图形）问题 30．已知复数z在复平面内对应的点为Z，则满足的点的集合组成的图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，满足的点的集合组成的图形是以原点O为圆心，以2及3为半径的两个圆所夹的圆环，则其面积为.故选：B. 31.在复平面内，为原点，若点对应的复数满足，则点的集合构成的图形是（    ） A．直线 B．线段 C．圆 D．单位圆以及圆的内部 【答案】D 【解析】设点的坐标为，则点对应的复数为， 因为，由复数的几何意义可知，， 所以点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆及其内部， 即点的轨迹为单位圆以及圆的内部，故选D 32．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设复数，则， 所以， 所以在复平面上，表示到点的距离为1，即表示以为圆心，1为半径的圆， 故选：D． 33.已知满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解析】设，则， 即，由于，故，解得， 则，故选：D 1．若，则实数x，y的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】.故选：D 2．已知为虚数单位，则的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】，虚部为－1故选：A. 3．设，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】的共轭复数为，其对应的点位于第一象限．故选：A 4．若复数满足，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】复数，所以.故选：D. 5．若复数是纯虚数，则实数（   ） A．2或3 B．3 C．2 D．0 【答案】C 【解析】由题意，得，解得.故选：C. 6．在复平面内，正方形OABC（为原点）中若对应的复数为，则对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】正方形，且对应的复数为， 则对应的复数为，故选：C. 7．四边形是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，则点 对应的复数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由在复平面内，点对应的复数分别为， 可得点在复平面内对应的点的坐标为， 设在复平面内对应点的坐标为， 因为为平行四边形，所以， 又因为，，所以，解得， 所以点对应的复数为.故选：C. 8．在复平面内，等腰直角三角形的直角顶点为坐标原点，点和点分别在第一象限和第二象限，点对应的复数为，则点对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由等腰直角三角形的直角顶点为坐标原点，点和点分别在第一象限和第二象限， 则点可以看作点绕点逆时针方向旋转90度而得到， 因为点对应的复数为，设点对应的复数为，其中， 则满足，解得，所以点所对应的复数为. 故选：C． 9．设，则“”是“复数为实数”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若复数为实数，则，即． 又是的真子集，故“”是“复数为实数”的充分不必要条件． 故选：C． 10．已知，若（i为虚数单位），则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以，所以，所以， 解得或，所以实数a的取值范围是. 11．若复数（），则（   ） A．当z为实数时， B．当z为纯虚数时， C．当z的实部与虚部相等时， D．z在复平面内对应的点不可能位于第一象限 【答案】ABD 【解析】对于A，复数是实数，则，A正确； 对于B，当z为纯虚数时，，则，B正确； 对于C，当z的实部与虚部相等时，，解得，，则，C错误； 对于D，当z在复平面内对应的点位于第一象限时，，即，无解， 因此z在复平面内对应的点不可能位于第一象限，D正确. 故选：ABD 12．在复平面内，为坐标原点，已知向量对应的复数分别为，则以下正确的是（    ） A．点位于第二象限 B． C．向量对应的复数为 D． 【答案】AD 【解析】依题意，向量， 对于A，点位于第二象限，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，向量对应的复数为，C错误； 对于D，，，D正确. 故选：AD 13．已知复数，则下列结论正确的是（   ） A．若为纯虚数，则 B．若，则 C．若，则 D．若在复平面内对应的点位于第四象限，则 【答案】BD 【解析】对于A：若为纯虚数，则且，解得，故A错误； 对于B：若，则，得，故B正确； 对于C：若，则，得，故C错误； 对于D：若在复平面内对应的点位于第四象限，则且，解得， 即，故D正确. 故选：BD. 14．已知，为复数，有以下四个命题，其中真命题是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解析】A，是复数，如，由不全是实数的两个复数不能比较大小，错误； B，设，，， 由，得，则，， 因此，，正确； C，取，，满足， 而，，，错误； D，由，得，都是实数，因此，正确. 15．在平行四边形中，，，三点对应的复数分别是，，，则点对应的复数是________； 【答案】 【解析】由题意可得,设的坐标为， 解法一：平行四边形中，对角线互相平分，即与中点坐标相同， 所以，解得，故点对应的复数是. 解法二：由于，可得， 故，故点对应的复数是. 16．已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则_____________． 【答案】或. 【解析】由复数表示的点的坐标为： ， 又该复数对应的点在虚轴上， 所以，解得或， 17．给出下列复数：①，②，③，④，⑤；其中表示实数的有（填上序号）_____________． 【答案】②③④ 【解析】①为纯虚数不是实数； ②为无理数是实数； ③为实数； ④为实数； ⑤为一般虚数不是实数． 18．在复平面内，是坐标原点，已知复数，它们所对应的点分别是A，B，C．若，则的值是______． 【答案】5 【解析】由题意可得：，，， 所以 由可得： 解得，，因此. 19．设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形面积为______． 【答案】 【解析】根据复数模的几何意义，复数在复平面内对应的点到原点的距离为． 已知，这表示点到原点的距离大于等于且小于等于，所以点的集合形成的图形是以原点为圆心，半径和半径的两个圆所夹的圆环（包括内外圆周）． 半径为的圆的面积，半径为的圆的面积． 所以圆环的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ §1 复数的概念及其几何意义 题型1 求复数的实部与虚部 1.复数（i为虚数单位）的虚部为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【解析】因为复数（i为虚数单位）所以其虚部为6.故选：B. 2.若复数的实部与虚部相等，则实数 (　　) A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】由于复数的实部与虚部分别为，所以.故选：B． 3.已知复数 的实部和虚部分别为 和 4， 则实数 和 的值分别是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，复数 的实部和虚部分别为 和 4， 因此，解得，所以实数 和 的值分别是.故选：D 4．复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的实部为 D．的虚部为 【答案】B 【解析】因为，所以，所以与的实部均为1，A，C错误； 的虚部为，B正确，D错误.故选：B. 题型2 复数的分类及辨析 5.已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．2 B．－2 C． D．4 【答案】A 【解析】由是纯虚数，得，解得． 故选：A. 6.下列四种说法正确的是（    ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【答案】B 【解析】对于A中，若，那么，所以A错误； 对于B中，由复数的概念，可得实数是复数，所以B正确； 对于C中，若且时，复数，所以C不正确； 对于D中，由虚数单位，可得D错误. 故选：B. 7．设集合，，，则，，间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非纯虚数的虚数． 因此只有B正确．故选：B． 8．对于复数，则下列结论中错误的是（   ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．若，则不是复数 【答案】ABD 【解析】A.当时，为实数，故错误；B.若，则，故错误； C.若，则为实数，故正确；D.若，则是实数，故错误；故选：ABD 题型3 复数的相等 9．已知（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以故选：D 10.适合的实数x、y的值为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【解析】根据复数相等的定义可得，，解得.故选A． 11.如果复数是纯虚数，是虚数单位，则（    ） A．且 B． C． D．或 【答案】C 【解析】由复数是纯虚数，得解得:.故选:C. 12.已知，，则“”是“”的 条件． 【答案】充分不必要 【解析】当时，必有且，解得或， 显然“”是“”的充分不必要条件． 题型4 复数的坐标表示 13.复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】由复数的几何意义知，复数在复平面中对应点， 又因为，所以，，所以点位于第一象限.故选：A. 14．如图，复数在复平面内对应的点为，则（   ）    A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】根据复数的几何意义，若，则在复平面内对应的点的坐标为. 依据已知显然的坐标为，所以.故选：A. 15．在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在复平面内，对应的点关于实轴对称点为，则. 故选：B. 16．已知在复平面内对应的点的横坐标为3，则（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】， ， 在复平面内对应的点为， 在复平面内对应的点的横坐标为3， ，.故选：A. 题型5 复数的向量表示 17．在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为向量对应的复数为，向量对应的复数为， 所以， 所以向量对应的复数为． 18．如果复平面上的向量所对应的复数是，则向量所对应的复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为向量所对应的复数为，所以所对应的复数是. 故选：A. 19．在复平面内，为坐标原点，复数对应的向量分别是，则对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】复数对应的点为, 所以， 对应复数为.故选：A 20．在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是原点，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，， 所以， 所以向量对应的复数为.故选：. 题型1 已知复数的类型求参数 21．已知是纯虚数，则实数的值为（    ） A．-1或3 B．1或3 C．-1 D．3 【答案】D 【解析】由题意可知解得.故选：D. 22．若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】因为复数为纯虚数， 所以，即，所以，故选：C. 23．已知复数，为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，所以． 24．已知复数在复平面内对应的点在第一象限，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．-4 【答案】B 【解析】因为，所以，解得． 因为在复平面内对应的点在第一象限，所以． 25.已知，．若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．不存在 【答案】C 【解析】因为，所以，解得或．故选：C 题型2 复数的模 26.若复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知可得.故选：A. 27.已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，， 所以，所以， 解得：，所以.故选：C 28.已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为，化简得，解得或，故“”是“”的必要不充分条件.故选：B． 29.已知是虚数单位，复数z满足，请写出一个满足条件的复数______ 【答案】（答案不唯一） 【解析】设，，即， 于是，取显然符合题意，即符合题意. 题型3 与复数模相关的轨迹（图形）问题 30．已知复数z在复平面内对应的点为Z，则满足的点的集合组成的图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，满足的点的集合组成的图形是以原点O为圆心，以2及3为半径的两个圆所夹的圆环，则其面积为.故选：B. 31.在复平面内，为原点，若点对应的复数满足，则点的集合构成的图形是（    ） A．直线 B．线段 C．圆 D．单位圆以及圆的内部 【答案】D 【解析】设点的坐标为，则点对应的复数为， 因为，由复数的几何意义可知，， 所以点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆及其内部， 即点的轨迹为单位圆以及圆的内部，故选D 32．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设复数，则， 所以， 所以在复平面上，表示到点的距离为1，即表示以为圆心，1为半径的圆， 故选：D． 33.已知满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解析】设，则， 即，由于，故，解得， 则，故选：D 1．若，则实数x，y的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】.故选：D 2．已知为虚数单位，则的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】，虚部为－1故选：A. 3．设，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】的共轭复数为，其对应的点位于第一象限．故选：A 4．若复数满足，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】复数，所以.故选：D. 5．若复数是纯虚数，则实数（   ） A．2或3 B．3 C．2 D．0 【答案】C 【解析】由题意，得，解得.故选：C. 6．在复平面内，正方形OABC（为原点）中若对应的复数为，则对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】正方形，且对应的复数为， 则对应的复数为，故选：C. 7．四边形是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，则点 对应的复数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由在复平面内，点对应的复数分别为， 可得点在复平面内对应的点的坐标为， 设在复平面内对应点的坐标为， 因为为平行四边形，所以， 又因为，，所以，解得， 所以点对应的复数为.故选：C. 8．在复平面内，等腰直角三角形的直角顶点为坐标原点，点和点分别在第一象限和第二象限，点对应的复数为，则点对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由等腰直角三角形的直角顶点为坐标原点，点和点分别在第一象限和第二象限， 则点可以看作点绕点逆时针方向旋转90度而得到， 因为点对应的复数为，设点对应的复数为，其中， 则满足，解得，所以点所对应的复数为. 故选：C． 9．设，则“”是“复数为实数”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若复数为实数，则，即． 又是的真子集，故“”是“复数为实数”的充分不必要条件． 故选：C． 10．已知，若（i为虚数单位），则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以，所以，所以， 解得或，所以实数a的取值范围是. 11．若复数（），则（   ） A．当z为实数时， B．当z为纯虚数时， C．当z的实部与虚部相等时， D．z在复平面内对应的点不可能位于第一象限 【答案】ABD 【解析】对于A，复数是实数，则，A正确； 对于B，当z为纯虚数时，，则，B正确； 对于C，当z的实部与虚部相等时，，解得，，则，C错误； 对于D，当z在复平面内对应的点位于第一象限时，，即，无解， 因此z在复平面内对应的点不可能位于第一象限，D正确. 故选：ABD 12．在复平面内，为坐标原点，已知向量对应的复数分别为，则以下正确的是（    ） A．点位于第二象限 B． C．向量对应的复数为 D． 【答案】AD 【解析】依题意，向量， 对于A，点位于第二象限，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，向量对应的复数为，C错误； 对于D，，，D正确. 故选：AD 13．已知复数，则下列结论正确的是（   ） A．若为纯虚数，则 B．若，则 C．若，则 D．若在复平面内对应的点位于第四象限，则 【答案】BD 【解析】对于A：若为纯虚数，则且，解得，故A错误； 对于B：若，则，得，故B正确； 对于C：若，则，得，故C错误； 对于D：若在复平面内对应的点位于第四象限，则且，解得， 即，故D正确. 故选：BD. 14．已知，为复数，有以下四个命题，其中真命题是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解析】A，是复数，如，由不全是实数的两个复数不能比较大小，错误； B，设，，， 由，得，则，， 因此，，正确； C，取，，满足， 而，，，错误； D，由，得，都是实数，因此，正确. 15．在平行四边形中，，，三点对应的复数分别是，，，则点对应的复数是________； 【答案】 【解析】由题意可得,设的坐标为， 解法一：平行四边形中，对角线互相平分，即与中点坐标相同， 所以，解得，故点对应的复数是. 解法二：由于，可得， 故，故点对应的复数是. 16．已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则_____________． 【答案】或. 【解析】由复数表示的点的坐标为： ， 又该复数对应的点在虚轴上， 所以，解得或， 17．给出下列复数：①，②，③，④，⑤；其中表示实数的有（填上序号）_____________． 【答案】②③④ 【解析】①为纯虚数不是实数； ②为无理数是实数； ③为实数； ④为实数； ⑤为一般虚数不是实数． 18．在复平面内，是坐标原点，已知复数，它们所对应的点分别是A，B，C．若，则的值是______． 【答案】5 【解析】由题意可得：，，， 所以 由可得： 解得，，因此. 19．设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形面积为______． 【答案】 【解析】根据复数模的几何意义，复数在复平面内对应的点到原点的距离为． 已知，这表示点到原点的距离大于等于且小于等于，所以点的集合形成的图形是以原点为圆心，半径和半径的两个圆所夹的圆环（包括内外圆周）． 半径为的圆的面积，半径为的圆的面积． 所以圆环的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ §1 复数的概念及其几何意义 题型1 求复数的实部与虚部 1.【答案】B 【解析】因为复数（i为虚数单位）所以其虚部为6.故选：B. 2.【答案】B 【解析】由于复数的实部与虚部分别为，所以.故选：B． 3.【答案】D 【解析】，复数 的实部和虚部分别为 和 4， 因此，解得，所以实数 和 的值分别是.故选：D 4.【答案】B 【解析】因为，所以，所以与的实部均为1，A，C错误； 的虚部为，B正确，D错误.故选：B. 题型2 复数的分类及辨析 5.【答案】A 【解析】由是纯虚数，得，解得． 故选：A. 6.【答案】B 【解析】对于A中，若，那么，所以A错误； 对于B中，由复数的概念，可得实数是复数，所以B正确； 对于C中，若且时，复数，所以C不正确； 对于D中，由虚数单位，可得D错误. 故选：B. 7.【答案】B 【解析】根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非纯虚数的虚数． 因此只有B正确．故选：B． 8.【答案】ABD 【解析】A.当时，为实数，故错误；B.若，则，故错误； C.若，则为实数，故正确；D.若，则是实数，故错误；故选：ABD 题型3 复数的相等 9.【答案】D 【解析】因为，所以故选：D 10.【答案】A 【解析】根据复数相等的定义可得，，解得.故选A． 11.【答案】C 【解析】由复数是纯虚数，得解得:.故选:C. 12.【答案】充分不必要 【解析】当时，必有且，解得或， 显然“”是“”的充分不必要条件． 题型4 复数的坐标表示 13.【答案】A 【解析】由复数的几何意义知，复数在复平面中对应点， 又因为，所以，，所以点位于第一象限.故选：A. 14.【答案】A 【解析】根据复数的几何意义，若，则在复平面内对应的点的坐标为. 依据已知显然的坐标为，所以.故选：A. 15.【答案】B 【解析】在复平面内，对应的点关于实轴对称点为，则. 故选：B. 16.【答案】A 【解析】， ， 在复平面内对应的点为， 在复平面内对应的点的横坐标为3， ，.故选：A. 题型5 复数的向量表示 17.【答案】C 【解析】因为向量对应的复数为，向量对应的复数为， 所以， 所以向量对应的复数为． 18.【答案】A 【解析】因为向量所对应的复数为，所以所对应的复数是. 故选：A. 19.【答案】A 【解析】复数对应的点为, 所以， 对应复数为.故选：A 20.【答案】A 【解析】由题意可得，， 所以， 所以向量对应的复数为.故选：. 题型1 已知复数的类型求参数 21.【答案】D 【解析】由题意可知解得.故选：D. 22.【答案】C 【解析】因为复数为纯虚数， 所以，即，所以，故选：C. 23.【答案】A 【解析】，所以． 24.【答案】B 【解析】因为，所以，解得． 因为在复平面内对应的点在第一象限，所以． 25.【答案】C 【解析】因为，所以，解得或．故选：C 题型2 复数的模 26.【答案】A 【解析】由已知可得.故选：A. 27.【答案】C 【解析】设，， 所以，所以， 解得：，所以.故选：C 28.【答案】B 【解析】因为，化简得，解得或，故“”是“”的必要不充分条件.故选：B． 29.【答案】（答案不唯一） 【解析】设，，即， 于是，取显然符合题意，即符合题意. 题型3 与复数模相关的轨迹（图形）问题 30.【答案】B 【解析】由题意可得，满足的点的集合组成的图形是以原点O为圆心，以2及3为半径的两个圆所夹的圆环，则其面积为.故选：B. 31.【答案】D 【解析】设点的坐标为，则点对应的复数为， 因为，由复数的几何意义可知，， 所以点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆及其内部， 即点的轨迹为单位圆以及圆的内部，故选D 32.【答案】D 【解析】设复数，则， 所以， 所以在复平面上，表示到点的距离为1，即表示以为圆心，1为半径的圆， 故选：D． 33.【答案】D 【解析】设，则， 即，由于，故，解得， 则，故选：D 1.【答案】D 【解析】.故选：D 2.【答案】A 【解析】，虚部为－1故选：A. 3.【答案】A 【解析】的共轭复数为，其对应的点位于第一象限．故选：A 4.【答案】D 【解析】复数，所以.故选：D. 5.【答案】C 【解析】由题意，得，解得.故选：C. 6.【答案】C 【解析】正方形，且对应的复数为， 则对应的复数为，故选：C. 7.【答案】C 【解析】由在复平面内，点对应的复数分别为， 可得点在复平面内对应的点的坐标为， 设在复平面内对应点的坐标为， 因为为平行四边形，所以， 又因为，，所以，解得， 所以点对应的复数为.故选：C. 8.【答案】C 【解析】由等腰直角三角形的直角顶点为坐标原点，点和点分别在第一象限和第二象限， 则点可以看作点绕点逆时针方向旋转90度而得到， 因为点对应的复数为，设点对应的复数为，其中， 则满足，解得，所以点所对应的复数为. 故选：C． 9.【答案】C 【解析】若复数为实数，则，即． 又是的真子集，故“”是“复数为实数”的充分不必要条件． 故选：C． 10.【答案】B 【解析】因为，， 所以，所以，所以， 解得或，所以实数a的取值范围是. 11.【答案】ABD 【解析】对于A，复数是实数，则，A正确； 对于B，当z为纯虚数时，，则，B正确； 对于C，当z的实部与虚部相等时，，解得，，则，C错误； 对于D，当z在复平面内对应的点位于第一象限时，，即，无解， 因此z在复平面内对应的点不可能位于第一象限，D正确. 故选：ABD 12.【答案】AD 【解析】依题意，向量， 对于A，点位于第二象限，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，向量对应的复数为，C错误； 对于D，，，D正确. 故选：AD 13.【答案】BD 【解析】对于A：若为纯虚数，则且，解得，故A错误； 对于B：若，则，得，故B正确； 对于C：若，则，得，故C错误； 对于D：若在复平面内对应的点位于第四象限，则且，解得， 即，故D正确. 故选：BD. 14.【答案】BD 【解析】A，是复数，如，由不全是实数的两个复数不能比较大小，错误； B，设，，， 由，得，则，， 因此，，正确； C，取，，满足， 而，，，错误； D，由，得，都是实数，因此，正确. 15.【答案】 【解析】由题意可得,设的坐标为， 解法一：平行四边形中，对角线互相平分，即与中点坐标相同， 所以，解得，故点对应的复数是. 解法二：由于，可得， 故，故点对应的复数是. 16.【答案】或. 【解析】由复数表示的点的坐标为： ， 又该复数对应的点在虚轴上， 所以，解得或， 17.【答案】②③④ 【解析】①为纯虚数不是实数； ②为无理数是实数； ③为实数； ④为实数； ⑤为一般虚数不是实数． 18.【答案】5 【解析】由题意可得：，，， 所以 由可得： 解得，，因此. 19.【答案】 【解析】根据复数模的几何意义，复数在复平面内对应的点到原点的距离为． 已知，这表示点到原点的距离大于等于且小于等于，所以点的集合形成的图形是以原点为圆心，半径和半径的两个圆所夹的圆环（包括内外圆周）． 半径为的圆的面积，半径为的圆的面积． 所以圆环的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $