第三讲 比和比例（考向预测+知识梳理+16个考点讲练+能力提升练 共63题）-2026年小升初数学二轮复习重点难点精讲•精练•精测（全国通用培优讲义）

2026年小升初数学二轮复习重点难点精讲•精练•精测「全国通用培优讲义」 第三讲 比和比例『小升初二轮复习讲练测』 【考向预测+知识梳理+16个考点讲练+能力提升练 共63题】 ［解析版］ 同学你好，该份讲义专为冲刺理想初中的你量身打造。讲义精准把握近年升学命题趋势，科学预测高频考点与重难点考向，明确填空、选择、计算、应用等题型的命题规律，让你复习不盲目、备考有方向。 内容上系统梳理核心知识，将数与代数、图形几何、统计概率、应用题等模块串联成完整知识体系，查漏补缺夯实基础。同时配套近年名校真题分类训练，按考点划分，搭配详细解题思路与方法点拨，帮你熟练掌握答题技巧，突破易错题型，快速提升应试能力，高效备战小升初考试。 2026年升学考向预测 2 预测一：主要知识点 2 预测二：重点难点 2 预测三：考察方向 2 预测四：预测难度 2 重点难点知识梳理 3 知识点梳理01：比 3 知识点梳理02：比例 4 知识点梳理03：正比例和反比例 4 知识点梳理04：比例尺 5 考点分类真题汇编讲练 5 重难点考点一 比的基本性质 5 重难点考点二 比的化简 7 重难点考点三 比与分数、除法的关系 8 重难点考点四 百分数、分数、小数和比的互化 10 重难点考点五 按比分配问题 12 重难点考点六 比的应用 14 重难点考点七 比例的基本性质 16 重难点考点八 解比例 18 重难点考点九 比例的应用 21 重难点考点十 正比例的应用 23 重难点考点十一 反比例的应用 26 重难点考点十二 应用比例尺画图 28 重难点考点十三 图上距离与实际距离的换算 32 重难点考点十四 图形的放大与缩小 35 重难点考点十五 运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 40 重难点考点十六 比例尺应用 41 能力提升过关检测 42 预测一：主要知识点 涵盖比的意义与基本性质、比与除法/分数的关系、求比值与化简比；比例的意义与基本性质、解比例；按比分配问题、比例尺的应用及正反比例的意义与图像判断，同时包含比和比例在实际生活中的综合应用。 预测二：重点难点 重点是比的化简、求比值、解比例以及按比分配的实际应用；难点是比与分数、除法的综合转化，正反比例的精准判断与图像识别，以及复杂情境下利用比例模型解决行程、工程、几何等综合性问题。 预测三：考察方向 以填空、选择、解比例、解决问题为主，常与图形面积、行程问题、商品折扣、地图比例尺等场景结合；侧重比例思想的构建与实际转化，强调步骤清晰、比例列式规范，以及对变量关系的逻辑分析。 预测四：预测难度 整体以基础题、中档题为主，占比约85%，侧重基础概念与常规应用；难题集中在多步骤比例综合题、正反比例的实际辨析及复杂几何建模，占比约15%，侧重思维的灵活性与深层理解，整体难度适中，注重知识迁移与解题策略。 知识点梳理01：比 1.比的意义：两个数相除又叫作两个数的比。 2.比的各部分名称及比的读法： 4 ： 5=4÷5=0.8 ↓ ↓ ↓ ↓ 前项 比号 后项 比值 3.比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外)，比值不变 4.求比值与化简比 （1）求比值：前项除以后项所得的商是比的结果，叫比值。 同类量的比，其比值没有单位名称; 不同类量的比，其比值有单位名称。例如: 100千米:5时=20千米/时 （2）化简比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。 把两个数的比化成最简整数比的，称为化简比或比的化简。 5.比与分数、除法的关系 关系：比与分数相比，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数值，比号相当于分数线;比与除法比较，比的前项相当于除法中的被除数，比的后项相当于除法中的除数，比值相当于商，比号相当于除号。 （1）比、分数和除法之间的联系与区别如下表所示: 名称 比 分数 除法 联系 前项 分子 被除法 ：（比号） 一（分数线） ÷（除号） 后项 分母 除数 比值 分数值 商 区别 同类量的比表示两个数的倍比关系；不同类量的比表示一个新的量。 分数是一种数 除法是一种运算 （2）比的基本性质、分数的基本性质及商不变的规律之间的联系。由比与分数、除法各部分间的关系可知，比的基本性质、分数的基本性质以及商不变的规律三者只是说法不同，其实质是一样的。 6.按比分配: （1）在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配，这种分配方法通常叫作按比分配。 （2）按比分配应用题的特征：已知总数量和部分数量的比，求各部分数量。 （3）常用的解题方法有两种：一种是先求总份数，再求各部分量占总量的几分之几，最后求各部分数量；另一种是先求每份是多少，再求几份是多少。 知识点梳理02：比例 1.比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。 2.比例的各部分名称：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 3.比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。 4.比和比例的区别 （1）比表示两个量相除的关系，它有两项（即前、后项）；比例表示两个比相等的式子，它有四项（即两个内项和两个外项）。 （2）比有基本性质，它是化简比的依据；比例出有基本性质，它是解比例的依据。 5.解比例: 解比例就是求比例中的未知项，也就是已知比例中的任意三项，就可以求出未知项。解比例的依据是比例的基本性质。 知识点梳理03：正比例和反比例 1.判断正比例和反比例的方法: （1）分析数量关系，确定哪两种量是相关联的量。 （2）分析两种相关联的量，看它们之间是比值一定还是积一定。 （3）如果是比值一定，就成正比例；如果是积一定，就成反比例；如果比值和积都不是一定的，就不成比例。 2.正比例图像:正比例图像是一条直线。 3.用比例的知识解决实际问题 （1）用比例知识解决的实际问题可分为正比例问题和反比例问题两类。 （2）应用比例知识解决实际问题的一般方法和步骤: ①判断题中两种相关联的量是成正比例还是成反比例；②设未知量为x；③列出比例，解比例；④检验并作答。 知识点梳理04：比例尺 1.比例尺的意义 (1)图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。即， (2) 2.比例尺的分类 (1)数值比例尺：1:200000或，比例尺一般写成前项是1或后项是1的形式 (2)线段比例尺：这种用线段表示的比例尺，叫作线段比例尺 3求图上距离或实际距离： 图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺 重难点考点一 比的基本性质 【典例精讲】（2025·内蒙古通辽·小升初真题）下列说法正确的是（    ）。 A．女生人数和全班人数的比是，男生人数和女生人数的比是 B．比的前项和后项同时乘一个相同的数，比值不变 C．最简单的整数比，就是比的前项和后项都是质数的比 D．如果，那么A是比的前项，B是比的后项，C是比的比值 【答案】D 【思路引导】A．将女生看作4份，全班人数看作9份，用（9－4）计算出男生的份数，再将男生的份数和女生的份数求比即可； B．根据比的基本性质可知，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，据此判断； C．最简整数比，就是比的前项和后项两个数互质，据此判断； D．在一个比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以比的后项，所得的商叫做比值。 【完整解答】根据分析可知： A．男生人数和女生人数的比是（9－4）∶4＝5∶4，原说法错误； B．比的前项和后项同时乘一个相同的数（0除外），比值不变，原说法错误； C．最简单的整数比，就是比的前项和后项互质，原说法错误； D．如果，那么A是比的前项，B是比的后项，C是比的比值，原说法正确。 故答案为：D 【变式训练1】（2025·河北唐山·小升初真题）如果X∶Y＝，那么（X×9）∶（Y×9）＝（    ）。 A． B． C．9 D．81 【答案】B 【思路引导】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个数（0除外），比值不变。据此解答。 【完整解答】X∶Y ＝（X×9）∶（Y×9） ＝ 比的前项和后项同时乘9，比值不变，还是。 故答案为：B。 【变式训练2】某段高速公路对过往车辆的收费标准是：大型车30元，中型车15元，小型车10元。据统计2017年3月15日8：00至9：00之间，通过该收费站大型车和中型车之比是，中型车和小型车之比是，小型车通行费总数比大型车多1500元。那么，这一个小时收费站的收费总数是________元。 【答案】40500 【思路引导】根据通过该收费站大型车和中型车之比是，中型车和小型车之比是，利用比的基本性质，将通过的大中小型车之比进行统一，再写出大中小型单车费用比，根据数量乘单车费用等于总通行费，将两个比对应车型和费用相乘，得到三种车型总通行费用比，根据小型车通行费总数比大型车多1500元，求出一份数对应费用，再乘总份数即可。 【完整解答】通过的大型车和中型车之比是，通过的中型车和小型车之比是，通过的大中小型车之比是20∶24∶66。 大中小型单车费用比30∶15∶10＝6∶3∶2 三种车型总通行费用比：（20×6）∶（24×3）∶（66×2）＝120∶72∶132 1500÷（132－120） ＝1500÷12 ＝125（元） 125×（120＋72＋132） ＝125×324 ＝40500（元） 这一个小时收费站的收费总数是40500元。 【考点剖析】本题考查了按比例分配应用题，关键是将比进行统一，将两个不同类型的比进行整合。 重难点考点二 比的化简 【典例精讲】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一个圆柱和一个圆锥，底面周长的比是，体积比是，那么这个圆柱和这个圆锥的高的比是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据圆的面积之比等于圆的周长之比的平方，假设圆柱、圆锥的底面面积、体积分别为具体数值，根据圆柱的体积V1＝Sh，圆锥的体积V2 ＝Sh得出高的计算公式，计算出高，写出高的比并进行化简。 【完整解答】圆的面积之比等于圆的周长之比的平方。 （3∶2）2＝＝＝9∶4 令圆柱和圆锥的底面积分别为9和4，体积分别为3和2。 V1＝Sh     则h＝V1÷S＝3÷9＝ V2＝Sh   则 h＝3V2÷S＝3×2÷4＝6÷4＝ ∶＝（×6）∶（×6）＝2∶9 这个圆柱和这个圆锥的高的比是2∶9。 【变式训练1】（2025·四川绵阳·小升初真题）一段公路长20km，甲队单独修要8天修完，乙队单独修要10天修完。甲乙两队的工作效率之比是( )。 【答案】5∶4 【思路引导】将整个公路的工程量看作单位“1”，则用单位“1”除以甲队单独需要的天数8天即可求出甲队的工作效率，用单位“1”除以乙队单独需要的天数10天即可求出乙队的工作效率，即可求出甲乙两队的工作效率之比。 【完整解答】甲乙两队的工作效率之比＝； 即甲乙两队的工作效率之比是5∶4。 【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）将甲组人数的分给乙组，则乙组人数就比甲组剩下的人数多，原来甲、乙两组人数的比是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】将甲组原人数看作单位“1”，将甲组人数的分给乙组，则甲组现在人数为1－＝，根据题干意思，乙组人数就比甲组剩下的人数多，也就是说现在乙组人数是甲组剩下的人数的，所以可用×算出现在乙组人数，再减去甲组分来的，就是原来乙组人数，从而算出比。 【完整解答】（1－）×（1＋） ＝× ＝ －＝ 原来甲、乙两组人数的比是：1∶＝（1×10）∶（×10）＝10∶7。 故答案为：D 【考点剖析】本题主要考查分数运算和比例的应用。通过设定单位“1”，分步求解比例关系。解题关键在于正确理解“多几分之几”的含义及分数运算规则。 重难点考点三 比与分数、除法的关系 【典例精讲】（2025·安徽合肥·小升初真题）4÷5＝＝（    ）∶10＝（    ）%＝（    ）折。 【答案】 30 8 80 八 【思路引导】根据分数与除法的关系a÷b＝（b≠0），即4÷5＝；根据分数的基本性质，分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，由题可知4变成24扩大到原来的6倍，那么分母也应扩大到原来的6倍，据此解答第一空； 根据比与除法的关系4÷5＝4∶5，再根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，比的后项由5变成了10扩大到原来的2倍，那么比的前项也应扩大到原来的2倍，据此解答第二空； 用4÷5得到小数，小数再化成百分数，小数化成百分数的方法：小数点向右移动两位，添上百分号，据此解答第三空； 根据折扣与百分数的互化，几折就是十分之几或百分之几十，据此解答第四空。 【完整解答】4÷5＝＝＝ 4÷5＝4：5＝（4×2）：（5×2）＝8：10 4÷5＝0.8＝80%＝八折 所以4÷5＝＝8：10＝80%＝八折 【变式训练1】（2025·江西吉安·小升初真题）李阿姨创作了一幅剪纸纹样，阴影部分面积与整个图形面积的关系如下：3∶5（    ）＝（    ）%＝（    ）（填小数）。 【答案】6；20；60；0.6 【思路引导】根据比与分数的关系3∶5，根据分数的基本性质，的分子、分母都乘2就是；根据比与除法的关系3∶5＝3÷5，再根据商不变的性质被除数、除数都乘4就是12÷20；3÷5＝0.6；把0.6的小数点向右移动两位添上百分号就是60%。 【完整解答】，，。 即：3∶512÷20＝60%＝0.6 【变式训练2】甲、乙两人都从A地去B地，他们的速度比为3∶2，当甲行了11千米时，乙行了5.5千米，当甲到达B地时，乙离B地还有的路程。AB两地相距多少千米？ 【答案】44千米 【思路引导】根据题意，甲、乙两人的速度比为3∶2，当两人用的时间相同时，甲、乙两人的路程比等于速度比3∶2，即甲走的路程是乙路程的；先求出乙行了5.5千米的时间，甲行了5.5×＝8.25千米，而实际甲行了11千米，说明甲比乙先行11－8.25＝2.75千米； 又已知当甲到达B地时，乙离B地还有的路程，把全程看作单位“1”，则乙行了全程的（1－），而甲行的路程是乙的，所以甲行了全程的（1－）×＝；那么甲先行的路程占全程的（1－），单位“1”未知，用甲先行的路程除以（1－），即可求出AB两地的距离。 【完整解答】当乙行了5.5千米时，甲只能行： 5.5×＝8.25（千米） 所以甲比乙先行：11－8.25＝2.75（千米） 当乙离B地还有的路程时，甲行了全程的： （1－）× ＝× ＝ 全程： 2.75÷（1－） ＝2.75÷ ＝2.75×16 ＝44（千米） 答：AB两地相距44千米。 【考点剖析】本题考查分数除法的实际应用，先把比转化成分数，明确时间相同时，两人的路程比等于他们的速度比；分析出甲先行的路程占全程的几分之几，然后根据分数除法的意义解答。 重难点考点四 百分数、分数、小数和比的互化 【典例精讲】（2025·浙江宁波·小升初真题）（    ）÷1.8＝35∶（    ）＝＝≈（    ）%（百分号前保留一位小数）。 【答案】1.4；45；49；77.8 【思路引导】比的前项相当于除法中的被除数或是分数中的分子，比的后项相当于除数或是分数中的分母，用分子除以分母，再把小数点向右移动两位，添上百分号即可。 【完整解答】； ； ； 。 因此，。 【变式训练1】（2025·海南省直辖县级单位·小升初真题）（    ）∶20＝20÷（    ）＝0.8＝。 【答案】16；25；15；36 【思路引导】根据题意，先把0.8化成分数，再依据分数的基本性质（分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变），以及比与分数、除法的关系来逐步求解。因为0.8＝，对于（ ）∶20，相当于的分母5扩大到原来的4倍，根据分数基本性质，分子4也扩大到原来的4倍，4×4＝16，所以16∶20； 对于20÷（），相当于的分子4扩大到原来的5倍，根据分数基本性质，分母5也扩大到原来的5倍，5×5＝25，所以20÷25； 对于，相当于的分子4扩大到原来的3倍，根据分数基本性质，分母5也扩大到原来的3倍，5×3＝15，所以； 对于，相当于的分母5扩大到原来的9倍，根据分数基本性质，分子4也扩大到原来的9倍，4×9＝36，所以。据此解答。 【完整解答】0.8＝ 的分母5扩大到原来的4倍得20，分子4也扩大到原来的4倍得16，即＝16∶20 的分子4扩大到原来的5倍得20，分母5也扩大到原来的5倍得25，即＝20÷25 的分子4扩大到原来的3倍得12，分母5也扩大到原来的3倍得15，即 的分母5扩大到原来的9倍得45，分子4也扩大到原来的9倍得36，即 16∶20＝20÷25＝0.8＝ 【变式训练2】（2024·河北邯郸·小升初真题）（    ）∶（    ）＝＝0.75＝（    ）%＝（    ）（填成数）。 【答案】3；4；15；75；七成五 【思路引导】小数化成分数：小数表示的是十分之几、百分之几、千分之几……的数，可以直接写成分母是10，100，1000，……的分数，再根据分数的基本性质化成最简分数； 分数与比的关系：分数的分子相当于比的前项，分母相当于后项，分数值相当于比值； 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变； 小数化成百分数的方法：小数点向右移动两位，添上百分号； 百分数与成数的关系：几成几就是百分之几十几，百分之几十几就是几成几；几成就是百分之几十，百分之几十就是几成。 【完整解答】0.75＝＝＝ ＝3∶4 ＝＝ 0.75＝75% 所以3∶4＝＝0.75＝75%＝七成五。 重难点考点五 按比分配问题 【典例精讲】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）乌龟和兔子进行1000米赛跑，兔子速度是乌龟速度的5倍，当它们从起点同时出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它500米，兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后10米，求兔子睡觉期间，乌龟跑了___________米。 【答案】 802 【思路引导】确定总路程与实际跑步路程，乌龟跑完全程1000米，兔子落后10米，求出兔子实际跑的距离，根据兔子速度是乌龟的5倍，求出在兔子跑步的时间内，乌龟跑的路程与兔子跑的路程之间的关系，乌龟一直在跑，其总路程由兔子跑步时乌龟跑的路程和“兔子睡觉时乌龟跑的路程两部分组成，用乌龟的总路程减去兔子跑步期间乌龟跑的路程，即为兔子睡觉期间乌龟跑的路程。 【完整解答】1000－10＝990（米） 因为兔子速度是乌龟速度的5倍，所以在相同时间内，令乌龟速度是1份，兔子速度是5份。 1×时间∶5×时间 ＝1∶5 ＝ 乌龟跑的路程是兔子的，兔子跑步期间乌龟跑的路程：990÷5＝198（米）。 1000−198＝802（米） 【变式训练1】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）甲、乙、丙三人合租一辆车运同样多的货物，从A地到B地需要运费180元，甲在全程的处卸货，乙在全程的处卸货，只有丙到达了B地。丙应该付车费___________元。 【答案】90 【思路引导】把全程看作单位“1”，根据甲、乙、丙三人运输路程的比来确定运费的分配比例，再用总运费除以运费比的总份数，求出一份量，再用一份量乘丙对应的运费比的份数，求出丙应付的车费。 【完整解答】甲、乙、丙三人运输路程比（运费比）为： ∶∶1 ＝（×3）∶（×3）∶（1×3） ＝1∶2∶3 一份量：180÷（1＋2＋3） ＝180÷6 ＝30（元） 丙应付车费：30×3＝90（元） 【变式训练2】（2025·江苏苏州·小升初真题）棋牌室里有三堆围棋子，每堆都有90枚。第一堆中的黑子与第三堆中的白子同样多，第二堆中黑子的枚数是白子的5倍。这三堆围棋子中共有多少枚黑子？白子占棋子总数的几分之几？ 【答案】165枚； 【思路引导】由题意知：每堆都有90枚，则第三堆的白子＋第三堆的黑子＝90枚；第一堆中的黑子与第三堆中的白子同样多，即第一堆黑子＝第三堆的白子，所以第一堆黑子＋第三堆的黑子＝90枚； 由题意知：第二堆中黑子的枚数是白子的5倍，将第二堆中白子的枚数看作1份，则第二堆中黑子的枚数是5份，第二堆围棋子的数量是90枚，根据按比分配计算出第二堆黑子的数量，再加上其它两堆黑子的数量即可； 每堆有90枚，则三堆一共（90×3）枚，减去黑子的数量得到白子的数量，再根据求一个数占另一个数的几分之几，用除法，列式计算即可。 【完整解答】 ＝90＋75 ＝165（枚） （90×3－165）÷（90×3） ＝（270－165）÷270 ＝105÷270 答：这三堆围棋子中共有165枚黑子，白子占棋子总数。 【考点剖析】根据“每堆都有90枚”和“第一堆中的黑子与第三堆中的白子同样多”，得到：第一堆黑子＋第三堆的黑子＝90枚是解题的关键。 重难点考点六 比的应用 【典例精讲】（2025·甘肃兰州·小升初真题）甲、乙两车分别从、两地同时出发，相向而行。甲车每小时行80千米，当两车在途中相遇时，甲、乙两车所行的路程比是。相遇后，甲车保持原来的速度继续向前行驶，1.5小时到达地。乙车的速度是多少千米/小时？、两地间的路程是多少千米？ 【答案】60千米/小时；280千米 【思路引导】甲车速度不变，将甲车速度看作单位“1”，相遇时甲、乙两车的路程比为4∶3，所以乙车速度是甲车速度的；相遇后甲车行驶的路程对应相遇前乙车行驶的路程，根据路程＝速度×时间的公式求出这段路程；再结合乙车速度，根据时间＝路程÷速度的公式求出相遇时间；最后用两车速度和乘相遇时间求出总路程。 【完整解答】乙车速度：80×＝60（千米/小时） 甲车后来行驶路程：80×1.5＝120（千米） 相遇时间：120÷60＝2（小时） 总路程：（80＋60）×2 ＝140×2 ＝280（千米） 答：乙车的速度是60千米/小时，、两地间的路程是280千米。 【变式训练1】2025·浙江宁波·小升初真题）甲、乙、丙三人同乘一辆出租车，甲在全程的一半处下车，乙在全程的，丙到终点下车。打车总价是180元，按照路程合理分摊路费丙应付________元。 【答案】80 【思路引导】总路程可看作单位1，确定三人乘车路程比例，甲乘车路程为全程的，乙为，丙为全程1，则三人路程比为：∶∶1＝2∶3∶4，然后把总费用按比例分配即可求出丙应付的车费。 【完整解答】甲∶乙∶丙＝∶∶1＝2∶3∶4 180× ＝180× ＝80（元） 所以丙要付80元。 【变式训练2】（2025·重庆江北·小升初真题）自动扶梯由下向上，小明由上向下走了100级到底，小红由下往上走了50级到顶，已知小明步行速度是小红的3倍，求自动扶梯静止时由底到顶共多少级？ 【答案】80 级 【思路引导】当人逆着扶梯方向走时，总级数等于人走的级数减去扶梯移动的级数；当人顺着扶梯方向走时，总级数等于人走的级数加上扶梯移动的级数。根据两人走的级数和速度倍数关系，求出两人所用时间的比，进而得出扶梯移动级数的比。利用扶梯静止时总级数不变这一条件，通过差倍关系求出扶梯移动的级数，最终求得总级数。 【完整解答】小明走的级数是小红的： 小明速度是小红的倍，则小明与小红所用时间的比为： 因为扶梯速度不变，扶梯移动的级数比等于时间比，即。 设小明走时扶梯移动份级数，小红走时扶梯移动份级数。 小明逆行，扶梯静止时总级数为：（份） 小红顺行，扶梯静止时总级数为：（份） 因为总级数相等，所以走的级数差等于扶梯移动级数之和： （级） （份） 每份对应的级数为： （级） 小明走时扶梯移动的级数为： （级） 扶梯静止时由底到顶共： （级） 答：自动扶梯静止时由底到顶共级。 【考点剖析】解这类比较复杂的扶梯问题时应先写出顺行和逆行的数量关系式，通过比较找到扶梯的可见部分级数。再根据题中的倍数关系，借助比例并结合设份法来解决问题。 重难点考点七 比例的基本性质 【典例精讲】（2025·湖北武汉·小升初真题）已知a∶b＝c∶d，现将a扩大到原来的2倍，b缩小到原来的，不变，d应( )，比例仍然成立。 【答案】缩小到原来的 【思路引导】a扩大到原来的2倍是2a，b缩小到原来的是b，则2a∶b＝4a∶b，c不变，设变化后的d为d1，所以4a∶b＝c∶d1。再根据比例的性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。已知a∶b＝c∶d，则ad＝bc，故4a×d1＝bc，因为4a×d＝ad，所以d1＝d。 【完整解答】设变化后的d为d1 根据题意变化后的左边为：2a∶b＝4a∶b， 即4a∶b＝c∶d1， 由a∶b＝c∶d，得ad＝bc， 所以4a×d1＝bc。 因为4a×d＝ad，所以d1＝d，即d缩小到原来的。 因此，已知a∶b＝c∶d，现将a扩大到原来的2倍，b缩小到原来的，不变，d应缩小到原来的，比例仍然成立。 【变式训练1】（2025·安徽合肥·小升初真题）解决“等于b×，求a和b的最简整数比”这个数学问题时，静静运用比例的基本性质直接写出a∶b＝( )，再化成最简整数比是( )。 【答案】 ∶ 9∶8 【思路引导】根据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积。已知＝ ，要写成a∶b的形式，需要将a和b分别作为比例的外项和内项，即可解答第一空；再根据化简分数比的方法：比的前项和后项同时乘两个分母的最小公倍数，去掉分母化为整数比，即可解答第二空。 【完整解答】＝ a∶b＝∶ ∶ ＝（×12）：（×12） ＝9∶8 所以静静运用比例的基本性质直接写出a∶b＝∶，再化成最简整数比是9∶8。 【变式训练2】（2025·重庆渝北·小升初真题）“宫、商、角、徵、羽”是我国古代音乐的基本音阶，基本音阶“徵”的发音管长度比基本音阶“宫”的发音管长，且“徵”的发音管长度∶“宫”的发音管长度，那么_____。 【答案】 【思路引导】首先依据“徵的发音管长度比宫长”，把宫的长度看作单位“1”，得出徵的长度为1＋＝，进而转化得到徵与宫的长度比为；接着结合题目给出的比例，根据比例的基本性质“内项积等于外项积”列出方程，求出未知数b的值。 【完整解答】徵与宫的长度比∶（1＋）＝＝ 所以。 【考点剖析】先是把“徵比宫长”的分数关系，转化为“徵∶宫＝4∶3”的最简整数比；接着借助比例的基本性质，把比例式转成方程求出未知数b的值。 重难点考点八 解比例 【典例精讲】（2025·新疆克拉玛依·小升初真题）解方程或比例。 【答案】； ； ； ； 【思路引导】（1）先等式两边加，再除以； （2）先等式两边除以3，然后把化成2.5，再两边加2.5； （3）把化成，再等式两边乘20求出结果； （4）根据比例的基本性质“两外项之积等于两内项之积”，可得：，求出，再把0.3化成分数为，即，再用解出。 【完整解答】（1） 解： （2） 解： （3） 解： （4） 解： 【变式训练1】（2025·四川绵阳·小升初真题）解方程或解比例。              【答案】；； 【思路引导】先根据乘法分配律逆运算将方程变形为：，再根据等式性质2来解方程； 先根据乘法分配律将方程去括号得：，再结合乘法分配律逆运算将方程左边转化为：，最后根据等式性质1和等式性质2逐步解方程； 先根据比例的性质：内项积等于外项积，将方程转化为，再根据乘法分配律、等式的性质1和等式的性质2来解方程即可。 【完整解答】   解：            解： 解： 【变式训练2】（2025·湖北武汉·小升初真题）有两袋大米共重440千克，甲袋米吃了，乙袋米吃了，这时甲袋米的重量与乙袋米的重量之比为8∶5，问甲袋米原来重（    ）千克。 A．240 B．200 C．220 D．180 【答案】A 【思路引导】设甲袋米原来重千克，则乙袋米原来重千克，根据剩下的甲袋米的重量与乙袋米的重量之比为8∶5，可列出比例，求出的数值，即甲袋米原来的重量。 【完整解答】设甲袋米原来重千克，则乙袋米原来重千克，根据题意列式： 所以甲袋米原来的重量为240千克。 故答案为：A 【考点剖析】在解决含比值的方程时，核心是先利用比例的基本性质将比例式转化为普通方程，再通过等式的基本性质求解方程。 重难点考点九 比例的应用 【典例精讲】（2025·内蒙古通辽·小升初真题）鸡蛋羹是用鸡蛋制作的一道家常菜，细腻滑嫩，营养丰富。制作鸡蛋羹时需要在打散的蛋液中加入一定量的水，2个同样大小的鸡蛋大约需要加150毫升水，照这样计算，5个同样大小的鸡蛋大约需要加多少毫升水？ 【答案】375毫升 【思路引导】设5个同样大小的鸡蛋大约需要加x毫升水，根据鸡蛋个数∶需要加的水＝2∶150，列出比例解答即可。 【完整解答】解：设5个同样大小的鸡蛋大约需要加x毫升水。 5∶x＝2∶150 2x＝5×150 2x＝750 2x÷2＝750÷2 x＝375 答：5个同样大小的鸡蛋大约需要加375毫升水。 【变式训练1】（2025·北京丰台·小升初真题）科技小组的同学测量学校旗杆的高度。将一根高3米的竹竿直立在学校旗杆的旁边。同一时刻，量得竹竿的影长为1.2米，旗杆的影长为7.74米。那么，旗杆的高度是( )米。 【答案】19.35 【思路引导】根据题目，竹竿高度：竹竿影长＝旗杆高度：旗杆影长，据此设未知数并列出比例，进而解比例求出x值得解。 【完整解答】解：设旗杆高度为x米，则 3∶1.2＝x∶7.74 1.2x＝23.22 x＝19.35 因此，旗杆的高度是19.35米。 【变式训练2】（2025·重庆江北·小升初真题）甲种酒精纯酒精含量为72%，乙种酒精纯酒精含量为58%，混合后纯酒精含量为62%，如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为63.25%。第一次混合时，甲、乙两种酒精各取了多少升？ 【答案】甲取12升，乙取30升 【思路引导】混合后纯酒精含量为62%，则甲、乙两种酒精体积比为（62－58）∶（72－62）＝2∶5；每种酒精取的数量比原来都多15升，混合后纯酒精含量为63.25%，则甲、乙两种酒精体积比为（63.25－58）∶（72－63.25）＝3∶5。设第一次混合时，甲、乙两种酒精应各取2x升、5x升，则可列方程为（2x＋15）∶（5x＋15）＝3∶5，求出x的值，进一步得出2x、5x的值即可。 【完整解答】解：第一次混合时甲种酒精用量是乙种酒精用量的体积比（62%－58%）∶（72%－62%）＝2∶5 第二次混合时甲种酒精用量是乙种酒精用量的体积比（63.25%－58%）∶（72%－63.25%）＝3∶5 设第一次混合时，甲、乙两种酒精应各取2x升、5x升。 （2x＋15）∶（5x＋15）＝3∶5 5（2x＋15）＝3（5x＋15） 10x＋75＝15x＋45 75－45＝15x－10x 5x＝30 x＝30÷5 x＝6 甲种酒精：2×6＝12（升） 乙种酒精：5×6＝30（升） 答：第一次混合时，甲种酒精取了12升，乙种酒精取了30升。 【考点剖析】解题时由原来溶液质量的比例巧妙设未知数x，用含有x的代数式表示新溶剂质量，根据题中所给的溶剂质量关系设一个未知数表示另一个未知数，将题目简单化。 重难点考点十 正比例的应用 【典例精讲】（2025·福建宁德·小升初真题）如图，王老师驾驶纯电动新能源汽车匀速从A市途经B城到C市。 信息一：王老师从A市出发，以80千米/时的速度行驶了1.5小时到达B城； 信息二：AB两地路程比BC两地路程远20千米； 信息三：当汽车行驶20千米时，耗电量是3.5千瓦时。 (1)A市到C市的路程是多少千米？ (2)假设每千米的耗电量不变，当耗电量达到28千瓦时，这辆汽车行驶了多少千米？（用比例解） 【答案】(1)220千米 (2)160千米 【思路引导】（1）已知速度为80千米/时，行驶时间为1.5小时，根据：路程＝速度×时间，求出AB段的路程。已知AB两地路程比BC两地路程远20千米，用AB段的路程减去20千米，求出BC段的路程。用AB段路程加上BC段路程，求出总路程。 （2）已知每千米的耗电量不变，则汽车行驶的路程和耗电量成正比例关系。设耗电量达到28千瓦时对应的行驶路程为x千米， 根据正比例关系，“行驶20千米的耗电量”与“20千米”的比值，和“耗电量28千瓦时”与“x千米”的比值相等，据此列出比例方程并解方程，求出对应的行驶路程。 【完整解答】（1）80×1.5＝120（千米） 120－20＝100（千米） 120＋100＝220（千米） 答：A市到C市的路程是220千米。 （2）解：设当耗电量达到28千瓦时，这辆汽车行驶了x千米。 3.5x＝20×28 3.5x＝560 3.5x÷3.5＝560÷3.5 x＝160 答：当耗电量达到28千瓦时，这辆汽车行驶了160千米。 【变式训练1】（2025·江西上饶·小升初真题）下列描述错误的有（    ）个。 ①最大的负整数是﹣1。 ②两条直线不是相交就是平行。 ③a＋1＝b（a、b为自然数），它们的最小公倍数是ab。 ④两个等底等高的梯形一定能拼成一个平行四边形。 ⑤物体的高度与影长成正比例关系。 A．2 B．3 C．4 【答案】B 【思路引导】①最大的负整数是﹣1，最小的正整数是1，0既不是正数也不是负数，以此判断正误。 ②在同一个平面内，两条直线不是相交就是平行，以此判断正误。 ③若a＋1＝b（a、b为自然数），则a与b互质，互为质数的两个数最大公因数为1，最小公倍数为ab，以此判断正误。 ④两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形，以此判断正误。 ⑤在同一时间、同一地点，物体的高度和影长的比值是一定的，以此判断正误。 【完整解答】①最大的负整数是﹣1，①正确。 ②同一平面内，两条直线不是相交就是平行，②错误。 ③a＋1＝b（a、b为自然数），a与b互质，所以它们的最小公倍数是ab，③正确。 ④两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形，④错误。 ⑤在同一时间、同一地点，物体的高度和影长的比值是一定的（因为太阳光线的角度是固定的），⑤错误。 描述错误的有3个。 故答案为：B 【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）如图①，在底面积为100平方厘米、高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示。 （1）图②中，点_____表示烧杯中刚好注满水，点_____表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）求烧杯的底面积及注满水槽所用的时间。 【答案】（1）A；B （2）烧杯底面积是20平方厘米；注满水槽所用的时间是180秒 【思路引导】（1）观察图②，注水初期仅向烧杯注水，当烧杯刚好注满时，后续注水开始使水槽水面上升，此转折点为点A，故点A表示烧杯中刚好注满水。 当水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐时，后续注水的“有效底面积”变为水槽底面积（因烧杯已被水覆盖），水面上升速度改变，此转折点为点B，故点B表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）设烧杯的底面积为S平方厘米、高为厘米，注水速度为每秒v立方厘米，注满水槽所用时间为秒。 由图2知，当注水18秒时，烧杯刚好注满，此时烧杯容积等于注水体积，根据容积＝底面积×高，注水体积＝注水速度×时间（匀速注水情况），得到S＝18v；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是厘米（即烧杯高度），即100＝90V，因为90V=5×18V则有100＝5S，两边同时约掉，即可求出烧杯底面积S。 由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是18∶90＝1∶5，当注水速度一定时，此时体积比等于时间比，把烧杯的体积看成1份，水槽一半的体积就是5份，用水槽的底面积乘此时的高度10厘米，再除以5就可以得到烧杯的体积，即：100×10÷5＝200（立方厘米），再根据注水速度＝注水体积÷时间，得到注水速度，即200÷18＝（立方厘米/秒）；再用水槽的总体积除以注水速度，得到注满水槽所用时间，即100×20÷＝180（秒）。 【完整解答】（1）根据分析，可知： 图②中，点A表示烧杯中刚好注满水，点B表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）设烧杯的底面积为S平方厘米、高为厘米，注水速度为每秒v立方厘米，注满水槽所用时间为秒。 由图②知，当注水18秒时，烧杯刚好注满；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是厘米（即烧杯高度），于是S＝18V，100＝90V， 因为90V=5×18V，则有100＝5S， 所以S＝100÷5＝20（平方厘米） 由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是18∶90＝1∶5， 烧杯的体积：100×10÷5＝200（立方厘米） 注水速度：200÷18＝（立方厘米/秒） 注满水槽所用时间： 100×20÷ ＝2000÷ ＝2000× ＝180（秒） 答：烧杯的底面积为20平方厘米，注满水槽所用的时间为180秒。 【考点剖析】本题核心是利用恒定流量下“体积与时间成正比”的关系，结合图像转折点的实际意义（注满烧杯、水面平齐），通过建立方程求解未知量。关键在于理解不同注水阶段的“有效底面积”变化，从而关联体积、时间和底面积的关系。 重难点考点十一 反比例的应用 【典例精讲】（2025·江西吉安·小升初真题）宣纸是传统手工纸的杰出代表，居文房四宝之首，具有质地绵韧、不蛀不腐等特点。某宣纸厂需要加工一批宣纸，计划每天加工360张，15天完成。由于天气原因导致每天少加工了90张，要完成这批宣纸实际需要多少天？（用比例解答） 【答案】20天 【思路引导】设要完成这批宣纸实际需要x天，根据每天加工的张数与需要的天数成反比例，列出比例式，再解比例即可。 【完整解答】解：设要完成这批宣纸实际需要x天，则 （360－90）x＝360×15 270x＝5400 x＝5400÷270 x＝20 答：要完成这批宣纸实际需要20天。 【变式训练1】（2025·江西吉安·小升初真题）下面说法中正确的是（    ）。 A．一件商品原价50元，先提价20%，再降价20%后比原价便宜。 B．将一条1厘米长的线段向两端分别延长100米，就能得到一条直线。 C．把6.9改写成6.900，此时这两个数的大小相同，计数单位也相同。 D．一辆汽车从甲地开往乙地，去时用了6小时，返回时只用了4小时，这辆汽车往返的速度比是3∶2。 【答案】A 【思路引导】根据单位“1”×对应的分率＝对应的量，计算出降价后的商品价格，再与原价比较。 直线没有端点，可以向两端无限延长，长度是无法测量的。 在小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。小数点右边第一位是十分位，第二位是百分位，第三位是千分位……，对应的计数单位是十分之一（0.1），百分之一（0.01），千分之一（0.001）……。 这辆汽车去时和返回时的时间之比是3：2。当路程一定时，时间和速度成反比例。 据此分析四个选项，判断哪一句正确即可。 【完整解答】A．把这件商品提价20%后的价格看作单位“1”。根据百分数乘法的意义，用这件商品提价20%后的价格乘（1－20%），求出降价20%后的价格是50×（1＋20%）×（1－20%）＝50×1.2×0.8＝60×0.8＝48（元），比原价便宜；原题干说法正确。 B．一条1厘米长的线段向两端各延长100米，得到的图形长度是可以计量的，直线的长度无法测量。原题说法错误。 C．把6.9改写成6.900，此时这两个数的大小相同，6.9的计数单位是十分之一（0.1），6.900的计数单位是千分之一（0.001），计数单位不相同。原题说法错误。 D．一辆汽车从甲地开往乙地，去时用了6小时，返回时只用了4小时，这辆汽车去时和返回时的时间之比是3：2。这辆汽车往返的速度比是2∶3，原题说法错误。 故答案为：A 【变式训练2】从甲城到乙城，A汽车匀速行驶用6时，从乙城到甲城，B汽车匀速行驶用5时。现在AB两车分别从甲、乙两城同时出发相对匀速而行，相遇时A汽车行驶了210千米，甲、乙两城相距多远？ 【答案】462千米 【思路引导】根据题意可知相同的路程，A汽车用6时，B汽车用5时，据此求出AB两车的速度比＝∶ ＝5∶6；所用时间相同，甲和乙的速度比就等于所行路程比，即相遇时A汽车行驶的路程占5份，B汽车行驶行驶的路程占6份，据此可以列式计算。 【完整解答】AB两车的速度比：∶＝5∶6 两城的距离：210÷＝462（千米） 答：相距462千米。 【考点剖析】此题关键是理清相遇时他们的速度比就等于所行路程比。 重难点考点十二 应用比例尺画图 【典例精讲】（2025·湖北十堰·小升初真题）（1）学校在中心广场北偏西方向600米处，这幅图的比例尺是（    ）。 （2）书店在中心广场南偏东方向900米处，请在图中用“·”标出书店的位置。 【答案】（1）1∶30000 （2）见详解 【思路引导】（1）根据图上距离∶实际距离＝比例尺，用图上距离和实际距离的比化成前项是1的比，即是比例尺； （2）先用实际距离乘比例尺，求出图上距离；再以中心广场为观测点，向南偏东50°方向量出3厘米，标记“·”即可。 【完整解答】（1） 所以这幅图的比例尺是1∶30000。 （2） （厘米） 画图如下： 【变式训练1】（2025·四川内江·小升初真题）钓鱼岛及其附属岛屿自古以来就是我国领土。钓鱼岛位于中国东海，距我县直线距离约2000千米。 （1）如果按照1∶10000000的比例尺在纸上画出钓鱼岛到我县的直线距离，在纸上应画（    ）厘米。 （2）我国已经对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监测。一日，一艘海监执法船从A点出发，向正东方向航行200千米到达B点，在B点测得钓鱼岛在B点的东偏北30°方向上，距离B点约300千米。请你在图中用“”标出钓鱼岛的位置。 （3）海监执法船抵达钓鱼岛后，按原路返回A点，请用文字描述海监执法船的返回路线。 【答案】（1）20； （2）见详解； （3）从钓鱼岛向西偏南30°方向走300千米，再向正西走200千米即可到达A点 【思路引导】（1）先根据1千米＝100000厘米把2000千米换算成以厘米为单位，再根据图上距离＝实际距离×比例尺求出在纸上应画多少厘米； （2）先根据图上的1厘米表示实际的100千米用实际距离除以100求出图上应画多少厘米，再根据“上北下南，左西右东”的方位辨别方法确定位置，再结合给出的角度确定位置并画图即可； （3）位置的相对性：方向相反，角度相同，距离相等，再根据“东和西相对，南和北相对”确定出返回时的路线即可。 【完整解答】（1）2000千米＝200000000厘米 200000000×＝20（厘米） 如果按照1∶10000000的比例尺在纸上画出钓鱼岛到我县的直线距离，在纸上应画20厘米。 （2）200÷100＝2（厘米） 300÷100＝3（厘米） 作图如下： （3）答：返回时，从钓鱼岛向南偏西60°方向走300千米，再向正西走200千米即可到达A点。 【变式训练2】根据下面条件在图中标出各地点的位置。 学校正西方向300米是少年宫，少年宫正北方向200米是动物园，动物园东偏北30°距离200米处是医院。 （1）先自己确定合适的比例尺，再画出上述地点的平面图。 （2）小明从医院经动物园、少年宫到学校，小华从学校经少年宫、动物园到医院，两人同时出发，（沿图中路线行走），小明每分钟走65米，小华每分钟走75米，他们几分钟后相遇？在图上用“▲”标出他们的相遇地点。（写出计算过程） 【答案】（1）见详解 （2）5分钟；见详解 【思路引导】（1）根据题意，最大的距离是300米和图纸的大小，可以确定线段比例尺是：图上1厘米相当于实际距离的50米；然后求出每个地点的图上距离，根据方向与位置的作图方法，画出各地点的平面图。 （2）先用加法求出医院与学校的距离，然后根据相遇时间＝相遇路程÷速度和，求出两人的相遇时间；再根据路程＝速度×时间，分别用两人的速度乘相遇时间，求出相遇时两人各自走的路程，据此确定相遇地点，在图上标出来。 【完整解答】（1）学校正西方向300米是少年宫，图上距离是：300÷50＝6（厘米）； 少年宫正北方向200米是动物园，图上距离是200÷50＝4（厘米）； 动物园东偏北30°距离200米处是医院，图上距离是200÷50＝4（厘米）； 作图如下。 （2）医院与学校相距： 200＋200＋300 ＝400＋300 ＝700（米） 相遇时间： 700÷（65＋75） ＝700÷140 ＝5（分钟） 小明走了：65×5＝325（米） 小华走了：75×5＝375（米） 答：他们5分钟后相遇。 相遇地点如图中“▲”所示。 （以实际测量为准） 【考点剖析】（1）掌握根据方向、角度和距离确定物体的位置以及运用比例尺画图，关键是先确定合适的比例尺，进而根据这个比例尺计算出各个地点的图上距离。 （2）考查相遇问题，掌握速度、时间、路程之间的关系是解题的关键。 重难点考点十三 图上距离与实际距离的换算 【典例精讲】（2025·湖北武汉·小升初真题）如图是小刚从家出发乘坐出租车去展览馆的路线图（途经文化馆）。出租车在3千米以内（含3千米）的起步价是8元，以后路程每增加1千米车费就增加1.4元。请你算一算，小刚去展览馆一共需要多少元出租车费？ 【答案】45.8元 【思路引导】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，可求得小刚家到展览馆的实际距离，然后将这个距离的长度单位换算为千米，3千米内收费8元，超过部分每千米1.4元，求出相应的租车费用，据此作答即可。 【完整解答】 ＝6÷ ＝6×500000 ＝3000000（厘米） 3000000厘米＝30千米 8＋1.4×（30－3） ＝8＋1.4×27 ＝8＋37.8 ＝45.8（元） 答：小刚去展览馆一共需要45.8元出租车费。 【变式训练1】（2025·甘肃庆阳·小升初真题）上海中心大厦是我国第一高楼，小辰设计了一幅该高楼的宣传海报，海报的比例尺是，把线段比例尺改写为数值比例尺是( )，在海报上量得该高楼的高度是15.8cm，则该高楼的实际高度是( )m。 【答案】 1∶4000 632 【思路引导】 线段比例尺表示图上1cm相当于实际距离40m，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”以及进率“1m＝100cm”，把线段比例尺改写为数值比例尺。 已知在海报上量得该高楼的高度是15.8cm，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”以及进率“1m＝100cm”，求出该高楼的实际高度。 【完整解答】1cm∶40m ＝1cm∶（40×100）cm ＝1∶4000 15.8÷ ＝15.8×4000 ＝63200（cm） 63200cm＝632m 把线段比例尺改写为数值比例尺是（1∶4000），在海报上量得该高楼的高度是15.8cm，则该高楼的实际高度是（632）m。 【变式训练2】（2025·广东湛江·小升初真题）下列说法正确的有（    ）个。 ①要反映一个地区的气温变化情况，选择折线统计图比较合适； ②一张地图比例尺为1∶25000，图上距离为4cm的两地，它们的实际距离为10千米； ③七（1）班的男生人数占全班的，转进2名女生后女生人数占全班的，则原来女生人数为20人； ④图中的平行四边形、三角形和梯形的面积都相等。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】本题根据折线统计图反映事物的变化情况；利用“实际距离＝图上距离÷比例尺”进行计算；根据选项设出原来班级总人数，再列出变化后女生比例，令其与已知对应比例相等解方程即可解得原来班级总人数，最后乘女生原来所占比例即可解得；“平行四边形面积＝底×高、三角形面积＝×底×高、梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2”，结合各选项进行计算即可解得。 【完整解答】A．折线图能反映事物的变化情况，故要反映一个地区的气温变化情况，选择折线统计图比较合适，正确； B．地图比例尺为1∶25000，图上距离为4cm的两地，实际距离为，，错误； C．设原来班级人数为，男生人数为，则女生人数为，转进2名女生后全班人数为，此时女生人数变为，故，解得，故原来女生人数为（人），正确； D．设两条平行线之间的距离为，则平行四边形面积为，三角形的面积为，梯形面积为，故三者面积相等，正确。 因此正确的选项有3个。 故答案为：C 【考点剖析】本题的难点在于应充分理解折线图的应用场景、比例尺的计算、根据分式列出方程进行计算以及平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式。 重难点考点十四 图形的放大与缩小 【典例精讲】（2025·甘肃兰州·小升初真题）下面正方形格的边长表示1厘米。 (1)画出按放大后的图形。 (2)先填空，再画出旋转后的图形。绕O点按（    ）方向旋转（    ）后，能与拼成一个长方形。 (3)如果、点不动，点移动到( )时，会变成一个等腰三角形。 (4)梯形的面积是( )平方厘米。 【答案】(1)见详解 (2)逆；90；画图见详解 (3)（1，9） (4)14 【思路引导】（1）图形放大：按2∶1放大即各对应边长变为原来的2倍，形状不变。所有点坐标可通过网格直接读取。 （2）图形旋转：绕定点旋转时，旋转中心到各顶点距离不变，旋转角度决定图形位置；长方形的判定：四个角为直角且对边平行相等。观察△OAB与△OCD的位置关系，通过直角特征判断旋转方向与角度。 （3）等腰三角形判定：两边相等的三角形是等腰三角形。 （4）梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2。直接读取梯形EFGH的上底、下底和高的格数，代入梯形面积公式计算即可。 【完整解答】（1）从图中可知，先确定△OAB各顶点坐标，点O（4，7）；点A（7，7）；点B（7，9），按2∶1放大，各顶点横、纵坐标与O点的差值乘2，即各对应边长变为原来的2倍： 新A点（10，7），新B点（10，11）。 在网格中连接O（4，7）、新A（10，7）、新B（10，11），即为放大后的三角形。如下图： （2）△OAB绕O点逆时针旋转90°后，OB与OC重合，AB与OD、OA与CD平行且相等，即可与△OCD 拼成一个长方形。 逆时针90°后点位的变化：A（7，7）→（4，10），B（7，9）→（2，10），连接O（4，7）、（4，10）、（2，10）。作图如下： （3）点（1，9）到O的长度等于OB的长度，满足OA＝OB，△OAB就是等腰三角形。 因此，如果、点不动，点移动到（1，9）时，会变成一个等腰三角形。（答案不唯一） （4）（3＋4）×4÷2 ＝7×4÷2 ＝28÷2 ＝14（平方厘米） 所以，梯形的面积是14平方厘米。 【变式训练1】（2025·广东湛江·小升初真题）按要求画一画，填一填。 （1）将图中的圆向上平移5格后，对应的圆心用数对表示是（    ）。 （2）画出长方形绕点A顺时针旋转90°后的图形①。 （3）按1∶2的比画出图形①缩小后的图形②。 （4）以直线l为对称轴，画出图形M的另一半，使它成为一个轴对称图形。 【答案】（1）（3，8） （2）（3）（4）见详解 【思路引导】（1）平移规则；向上平移行加，向右平移列加。图中圆的圆心用数对表示为（3，3），将圆向上平移5格，则圆心也向上平移5格，则行数为3＋5＝8（格）；列数不变，因此平移后对应圆心用数对表示是（3；8）； （2）根据图形旋转的性质，图形旋转后，图形的形状和大小不变，只是图形的位置发生了变化，将图形的各个部分以A点为旋转中心，顺时针旋转90°，据此画出长方形旋转后图形①。 （3）图形①是长和宽分别是4格、2格的长方形；按1∶2的比例缩小，则长为：4÷2＝2（格），宽为：2÷2＝1（格），据此画出缩小后的图形②即可。 （4）根据轴对称图形的性质，各对称点到对称轴的距离相等，据此先描出各对称点的位置，然后顺次连接各点画出轴对称图形的另一半。据此解答。 【完整解答】（1）3＋5＝8（格） 即将图中的圆向上平移5格后，对应的圆心用数对表示是（3，8）。 （2）（3）（4）画图如下： 【变式训练2】下面每个小正方形的边长表示1厘米，请按要求完成下列各题。 （1）三角形顶点A用数对表示是（  ，  ），顶点B用数对表示是（  ，  ）。 （2）把三角形ABC向下平移5格，再向左平移4格，画出平移后的图形。 （3）把三角形ABC按2∶1放大，画出放大后的图形。 （4）画出三角形ABC绕C点顺时针旋转90°的图形。 （5）把三角形ABC绕AC轴旋转一周形成的物体是（      ），体积是（    ）立方厘米。 【答案】（1）（10，5）；（13，7） （2）见详解 （3）见详解 （4）见详解 （5）圆锥；12.56 【思路引导】（1）用数对表示位置，数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；三角形顶点A在第10列第5行，顶点B在第13列第7行，用数对表示出顶点A、B的位置。 （2）根据平移的特征，将三角形ABC的各顶点分别先向下平移5格，再向左平移4格，依次连接即可得到平移后的图形。 （3）三角形ABC按2∶1放大，即三角形ABC的各边都扩大到原来的2倍，由此求出放大后三角形的底和高，画出放大后的三角形。 （4）根据旋转的特征，将三角形ABC绕C点顺时针旋转90°，点C位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形。 （5）把三角形ABC绕AC轴旋转一周形成的物体是圆锥，那么AC等于圆锥的高，BC等于圆锥的底面半径；根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可求出这个圆锥的体积。 【完整解答】（1）三角形顶点A用数对表示是（10，5），顶点B用数对表示是（13，7）。 （2）把三角形ABC向下平移5格，再向左平移4格，平移后的图形如图中红色三角形； （3）放大后的三角形的底是：3×2＝6（厘米） 放大后的三角形的高是：2×2＝4（厘米） 放大后的图形如图中绿色三角形。 （4）三角形ABC绕C点顺时针旋转90°后的图形如图中蓝色三角形。 （5）把三角形ABC绕AC轴旋转一周形成的物体是圆锥； 圆锥的体积： ×3.14×22×3 ＝3.14×4 ＝12.56（立方厘米） 【考点剖析】掌握用数对表示位置、作平移后的图形、作旋转后的图形、作放大图形的作图方法，以及明确直角三角形旋转成圆锥，圆锥的底面半径和高与直角三角形直角边的关系，然后运用圆锥体积公式列式计算。 重难点考点十五 运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 【典例精讲】（2024·黑龙江齐齐哈尔·小升初真题）把一个长5cm、宽3cm的长方形按3∶1放大，得到的图形面积是( )cm2。 【答案】135 【思路引导】长方形按3∶1放大，则长、宽分别扩大到原来的3倍，求出放大后的长、宽，再根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，求出放大后长方形的面积即可。 【完整解答】（5×3）×（3×3） ＝15×9 ＝135（cm2） 得到的图形面积是135cm2。 【变式训练1】（2025·山东·小升初真题）摄影师把一张照片按2∶1的比放大，放大后照片的面积是原来照片的（    ）。 A．2倍 B．3 倍 C．4倍 D．8倍 【答案】C 【思路引导】照片一般是长方形；把一张照片按2∶1放大，根据图形放大与缩小的意义，就是这张照片的对应边放大到原来的2倍，设照片的长是a，宽是b，放大后的照片的长是2a，宽是2b，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，求出放大前和放大后照片的面积，再用放大后照片的面积÷放大前照片的面积，即可解答。 【完整解答】设照片的长是a，宽是b，则放大后照片的长是2a，宽是2b。 （2a×2b）÷（ab） ＝4ab÷ab ＝4 摄影师把一张照片按2∶1的比放大，放大后照片的面积是原来照片的4倍。 故答案为：C 【变式训练2】（2024·广东湛江·小升初真题）下列说法不正确的是（    ）。 A．小刚说：“我表弟是2020年2月29日出生的”。 B．三角形三个角度数比是2∶4∶3，最大的角是80°。 C．在50克水里加入5克盐，该盐水的含盐率是10%。 D．把一个平面图形按3∶1的比放大，放大后与放大前图形的面积之比是9∶1。 【答案】C 【思路引导】判断2020年是否为闰年，根据闰年的判断规则：普通年份看是否能被4整除，如果能就是闰年，平年2月有28天，闰年2月有29天；三角形的内角和是180°，三个角度数比是2∶4∶3，最大角是内角和的，求一个数的几分之几是多少用乘法计算；先计算出盐水的质量，再用盐的质量除以盐水的质量乘100%即可判断；一个图形按3∶1放大后，就是把这个图形的各边长放大3倍，也就是各边乘3，所得到的新图形的各边都是原图形的3倍，它的面积将是原图形的32倍，据此判断即可。 【完整解答】A．2020÷4＝505，没有余数，所以2020年是闰年，2月有29天，所以原题说法正确； B．180°×＝180°×＝20°×4＝80°，所以原题说法正确； C．5÷（50＋5）×100%＝5÷55×100%≈9.1%≠10%，所以原题说法错误； D．把一个平面图形按3∶1的比放大，放大后与放大前图形的面积之比是（3×3）∶1＝9∶1，所以原题说法正确。 故答案为：C 重难点考点十六 比例尺应用 【典例精讲】（2025·河南许昌·小升初真题）在比例尺是的图纸上量得甲、乙两地相距15cm，那么在另一张比例尺是的图纸上，这两地间的图上距离应是( )cm。 【答案】10 【思路引导】已知第一张图纸的比例尺是，图上距离为15cm，根据“”先求出甲、乙两地的实际距离；第二张图纸的比例尺是，根据“”，再求出新比例尺下的图上距离。 【完整解答】实际距离：（cm） 图上距离：（cm） 【变式训练1】（2025·四川遂宁·小升初真题）在比例尺为1∶6000000的地图上量得A、B两地相距8cm，一辆货车以每小时80千米的速度从A地开往B地。需要多少小时到达？ 【答案】6小时 【思路引导】首先计算A、B两地之间的实际距离，A、B两地之间的实际距离＝图上距离÷比例尺；A、B两地之间的实际距离÷汽车的行驶速度＝行驶时间，把数据代入即可求解。 【完整解答】8÷＝48000000（厘米） 48000000厘米＝480千米 480÷80＝6（小时） 答：需要6小时到达。 【变式训练2】（2024·江西景德镇·小升初真题）在标有的地图上，量得甲、乙两地相距9厘米。一列客车与一列货车从甲、乙两地同时相向而行，4小时后相遇，已知客车与货车的速度比是5∶4，求客车的速度。 【答案】50千米/小时 【思路引导】由线段比例尺可知图上1厘米代表实际40千米，据此求出甲乙两地的路程，进而根据“路程÷相遇时间＝速度之和”求出客车和货车的速度之和；进而根据按比例分配知识求出客车的速度。 【完整解答】由线段比例尺可知1厘米代表40千米 两地的路程：40×9＝360（千米） 速度和：360÷4＝90（千米） 客车速度；90×＝50（千米） 答：客车的速度是50千米/小时。 【考点剖析】此题有计算公式可用，根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论；用到的知识点：路程、相遇时间和速度之和三者之间的关系及按比例分配知识。 1．（2025·山东青岛·小升初真题）圆柱的侧面展开是一个正方形，则圆柱的高和半径比（    ）。 A．2∶1 B．π∶1 C．2π∶1 D．1∶π 【答案】C 【思路引导】圆柱的侧面展开是一个正方形，说明圆柱的底面周长等于圆柱的高。底面周长＝。 【完整解答】，则∶＝2π∶1。 所以圆柱的侧面展开是一个正方形，则圆柱的高和半径比2π∶1。 2．（2025·湖南长沙·小升初真题）下列四句话中，正确的是（    ）。 A．一种商品打折出售正好保本，则不打折时该商品只获20%的利润 B．林场种100棵树苗，死了3棵，又补种了3棵，共成活100棵，成活率为100% C．大牛和小牛头数的比是，表示大牛比小牛多 D．按1，8，27，（    ），125，216的规律排，括号中的数应为64 【答案】D 【思路引导】A．保本意味着“折后售价＝成本价”，未说明打几折，无法确定不打折时的利润率。 B．成活率＝成活棵数÷总棵数×100%。 C．假设大牛有4只，小牛有3只，用大牛的数量减去小牛的数量求出多的数量，再用多的数量除以小牛的数量即可求出大牛比小牛多的分率。 D．1＝1×1×1，8＝2×2×2，125＝5×5×5，216＝6×6×6，可以发现，第n个数就是n×n×n。 【完整解答】A．例如打八折保本，假设原价是100元，则成本价是100×80%＝100×0.8＝80（元） （100－80）÷80×100% ＝20÷80×100% ＝0.25×100% ＝25% 若打八折出售正好保本，则不打折时该商品获25%的利润，而非20%，该选项错误。 B．100÷（100＋3）×100% ＝100÷103×100% ≈0.971×100% ＝97.1% 成活率是97.1%，而非100%，该选项错误。 C．（4－3）÷3 ＝1÷3 ＝ 大牛比小牛多，而非，该选项错误。 D．4×4×4 ＝16×4 ＝64 括号中的数应为64，该选项正确。 3．（2025·湖南长沙·小升初真题）A、B、C、D四人一起完成一件工作，D做了一天就因病请假了，结果A做了6天，B做了5天，C做了4天，作为休息的代价，D拿出60元给A、B、C三人作为报酬，若按天数计算劳务费，则这60元中A分（    ）元。 A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】C 【思路引导】根据题意可知：他们一共做了（6＋5＋4＋1）天，那么平均算下来一个人做（6＋5＋4＋1）÷4＝4天； D做了一天因病请假，就少做了（4－1）天，则A多做了（6－4）天、B多做了（5－4）天，那么60元是给多做天数的报酬； 用60元除以多做的天数求出每天的报酬费，再乘A多做的天数即可得到应该分给A的钱数。 【完整解答】一共做的天数：6＋5＋4＋1＝16（天） 平均每人做的天数：16÷4＝4（天） A多做的天数：6－4＝2（天） B多做的天数：5－4＝1（天） 一共多做的天数：2＋1＝3（天） A应分：60÷3×2 ＝20×2 ＝40（元） 4．（2025·甘肃兰州·小升初真题）聪聪的妈妈做摊饼时发现，面、水的质量比是时，摊饼的口感最好。聪聪也想做这样的摊饼，她不能按下面第（    ）种方法确定面和水的用量。 A．每1kg面需要800g水。 B．用同样大的碗盛面、水，盛满面、盛满水的碗数比是5∶4。 C．保证面的质量是水的质量的1.25倍。 D．无论面、水的质量是多少，面一定要比水多200g。 【答案】D 【思路引导】根据题意可知，面和水的质量比是固定的比例关系，据此逐项分析各个选项即可。 【完整解答】A．每1kg面需要800g水。 1kg∶800g ＝1kg∶0.8kg 符合1∶0.8的比例，方法正确。 B．同样大的碗盛面、水，盛满面、盛满水的碗数比是5∶4。 5∶4 ＝（5÷5）∶（4÷5） ＝1∶0.8 符合1∶0.8的比例，方法正确。 C．保证面的质量是水的质量的1.25倍。 1∶0.8 ＝1÷0.8 ＝1.25 也就是面的质量是水的1.25倍，方法正确。 D．无论面、水的质量是多少，面一定要比水多200g。 这不是比例关系，不能保证面和水质量比是1∶0.8，方法错误。 她不能按“无论面、水的质量是多少，面一定要比水多200g”的方法确定面和水的用量。 5．（2025·山东青岛·小升初真题）下图是两个完全相同的等腰直角三角形，甲和乙分别是等腰直角三角形的两种不同的内接正方形，则图中甲与乙的面积比是( )。 【答案】9∶8 【思路引导】 如图，连接小正方形的对角线，等腰直角三角形1、2的面积都是小正方形乙的，等腰直角三角形5的面积是正方形乙的，可以求出正方形乙占大三角形的比例；等腰直角三角形3、4的面积都是小正方形甲的，可以求出正方形甲占大三角形的比例。两个大三角形的面积相等，那么正方形甲和正方形乙的面积比即可求出。 【完整解答】若设正方形乙的面积为1，则大三角形的面积是：1＋＋＋＝，正方形乙占大三角形的比例为：1÷＝；因为小三角形3、4的面积和等于正方形甲的面积，所以正方形甲占大三角形的比例是；那么正方形甲和正方形乙的面积比为：∶＝（×18）∶（×18）＝9∶8。 6．（2025·湖南长沙·小升初真题）小明到新华书店去买故事书和漫画书，他带的钱可以买12本故事书或9本漫画书。现在小明用这些钱买了4本故事书和一些漫画书。问小明共买了( )本书。 【答案】10 【思路引导】根据题意，同样的钱可以买的故事书和漫画书的本数之比是12∶9＝4∶3，也就是 4本故事书的钱可以买3本漫画书。用12减去4，算出少买了故事书的本数。除以4乘3，算出少买的钱去买漫画书可以买几本。最后再加上4，就是小明共买了几本。 【完整解答】12∶9＝（12÷3）∶（9÷3）＝4∶3 12－4＝8（本） 8÷4×3 ＝2×3 ＝6（本） 4＋6＝10（本） 7．（2025·湖南长沙·小升初真题）某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2点钟派车去该厂接某劳模来校作报告，往返需用1小时。这位劳模在下午1点钟便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车赶往学校，在下午2点40分到达。汽车速度是劳模步行速度的______倍。 【答案】8 【思路引导】分析题意，我们可以画图帮助分析，如下图，A是学校，C是工厂，B是相遇地点， 汽车从A到C往返需要1小时，从A到B往返要40分钟即小时，这说明AB＝AC，即也说明汽车从A到B要用40÷2＝20（分钟），而劳模由C到B要用1小时＋20分，即80分钟．是汽车的4倍，又知AB＝2BC，即汽车的路程是劳模的2倍，于是汽车的速度是劳模步行速度的4×2＝8倍。 【完整解答】汽车从A到B往返的时间是从A到C往返时间的：40÷60＝， 汽车从A到B往返的路程是从A到C往返路程的， 汽车从A到B用的时间：40÷2＝20（分钟）， 汽车从B到C用的时间：20÷2＝10（分钟）， 劳模从C到B用的时间：60＋20＝80（分钟）， 汽车时间是劳模时间的：10÷80＝， 所以汽车速度是劳模速度的8倍。 【考点剖析】此题主要根据汽车所用时间是劳模所用时间的几分之几，那么汽车速度就是劳模速度的几倍．只要求出从C到B汽车和劳模各用的时间，即可解决问题。 8．圆柱的体积一定，它的底面积和高成反比例。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。 【完整解答】由“圆柱的体积＝底面积×高”可知，当圆柱的体积一定时，那么它的底面积和高的乘积一定，根据反比例的意义可得出，它的底面积和高成反比例。 原题说法正确。 故答案为：√ 9．（2025·湖南永州·小升初真题）图上距离一定，实际距离和比例尺成反比例。( )。（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】两种相关联的量，若它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系。 【完整解答】已知图上距离一定，也就是实际距离和比例尺的乘积是定值，符合反比例的定义，因此实际距离和比例尺成反比例。 故答案为：√ 10．（2025·山东青岛·小升初真题）求未知数x。 （x＋0.7）×3＝24         【答案】x＝7.3； 【思路引导】（1）根据等式性质2，方程两边先同时除以3，再根据等式性质1，方程两边同时减0.7来解方程； （2）根据比例的基本性质将比例式转化成方程，再根据等式性质2，方程两边同时除以。其中比例的基本性质：内项积等于外项积。 【完整解答】（x＋0.7）×3＝24 解：（x＋0.7）×3÷3＝24÷3 x＋0.7＝8 x＋0.7－0.7＝8－0.7 x＝7.3 解： 11．（2025·湖南长沙·小升初真题）运一批水果，第一次运了20%，如果再运30吨，那么这时已运的与剩下的吨数比是1∶3，这批水果有多少吨？ 【答案】600吨 【思路引导】把这批水果的总吨数看作单位“1”。第一次运了20%，再运30吨后，已运的与剩下的吨数比是1∶3，说明此时已运的占总吨数的​＝​。因此30吨对应的分率是​－20%，用对应量÷对应分率即可求出总吨数。 【完整解答】1÷（1＋3） ＝1÷4 ＝ 30÷（－20%） ＝30÷（－） ＝30÷​ ＝30×20 ＝600（吨） 答：这批水果有600吨。 12．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们的工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况是甲、乙两人合做6天完成了工程的，因甲中途有事，由乙、丙合作2天，完成了余下工程的，之后三人合做5天完成了这项工程。如果按完成工作量的多少来付酬，每人应得多少元？ 【答案】 甲应得330元，乙应得910元，丙应得560元 【思路引导】把这项工程总量看作单位“1”。首先根据三个阶段的工作情况，分别求出甲乙合作、乙丙合作、三人合作的工作效率之和。其次，利用工作效率之和求出甲、乙、丙各自单独的工作效率。然后，统计每人参与工作的总天数，计算出每人完成的工作量。最后，根据三人完成工作量的比，按比例分配1800元工资。 【完整解答】设这项工程总量为1。 甲、乙工作效率之和： 余下工程： 乙、丙完成的工作量： 乙、丙工作效率之和： 三人完成的工作量： 甲、乙、丙工作效率之和： 甲的工作效率： 乙的工作效率： 丙的工作效率： 甲完成的工作量： 乙完成的工作量： 丙完成的工作量： 三人工作量之比： 总份数： 甲应得工资：（元） 乙应得工资：（元） 丙应得工资：（元） 答：甲应得330元，乙应得910元，丙应得560元。 13．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）将一条公路平均分给甲、乙两个工程队修筑。甲队已修的与剩下的比是2∶1，乙队已修的与剩下的比是5∶2，这条公路已修了全长的几分之几？ 【答案】 【思路引导】把这条公路的全长看作单位“1”，平均分给甲、乙两个工程队，那么两队分到的任务占全长的； 已知甲队已修的与剩下的比是2∶1，即甲队已修了甲队任务的，那么甲队已修的是全长的的；根据分数乘法的意义求出甲队已修了全长的几分之几； 已知乙队已修的与剩下的比是5∶2，即乙队已修了乙队任务的，那么乙队已修的是全长的的；根据分数乘法的意义求出乙队已修了全长的几分之几； 最后用加法求出甲、乙两队一共修了全长的几分之几。 【完整解答】甲、乙队分到的任务占全长的：1÷2＝ 甲队已修了全长的： × ＝× ＝ 乙队已修了全长的： × ＝× ＝ 一共修了： ＋ ＝＋ ＝ 答：这条公路已修了全长的。 14．（2025·湖南长沙·小升初真题）星期天早晨8：30，小萍骑电动车从家出发前往和谐广场。12分钟后，妈妈开车去追小萍，在距家6千米的地方追上了小萍。这时，妈妈收到一个电话，需要回家收个快递，于是立即掉头回家，拿到快递后没有停留（接快递时间忽略不计），立刻又回头去追小萍，妈妈再次追上小萍的时候，距家18千米，问：妈妈第二次追上小萍的时间是几时几分？ 【答案】9时42分 【思路引导】先看路程：妈妈第一次追上到第二次追上，小萍走了12千米，妈妈走了24千米，相同时间内妈妈路程是小萍的2倍，所以妈妈速度是小萍的2倍。 路程相同时，速度与时间成反比，走同样6千米，小萍用时是妈妈的2倍，时间差12分钟，说明小萍走6千米用24分钟，妈妈用12分钟。 小萍速度：6÷24＝0.25千米/分，走18千米总用时：18÷0.25＝72分钟。 出发时间8时30分，加72分钟即为最终时间。 【完整解答】速度比：妈妈速度∶小萍速度＝（6＋18）∶（18－6）＝24∶12＝2∶1 小萍走6千米用时：12×2＝24（分钟） 小萍速度：6÷24＝0.25（千米/分钟） 小萍走18千米总用时18÷0.25＝72（分钟） 最终时间：8时30分＋72分＝8时30分＋1时12分＝9时42分 答：妈妈第二次追上小萍的时间是9时42分。 【考点剖析】本题关键是利用相同时间内的路程比得出速度倍数关系，再结合时间差求出小萍速度与总用时。 15． （2025·山东青岛·小升初真题） （1）在图上描出下列点：A（4，4），B（5，8），C（6，6）。 （2）依次连接ABC三点，并将所得的图形绕A点按顺时针旋转90°。 （3）将旋转后的图形向右平移5格。 （4）在网格里将平移后的图形按2∶1放大，画出放大后的图形。 （5）求放大后的三角形的面积。（每格表示1厘米） 【答案】（1）（2）（3）（4）见详解 （5）12平方厘米 【思路引导】（1）数对的第一个数表示列，第二个数表示行，据此确定各点的位置。 （2）依次连接ABC三点围成三角形。作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可。 （3）作平移后的图形步骤：找点－找出构成图形的关键点；定方向、距离－确定平移方向和平移距离；画线－过关键点沿平移方向画出平行线；定点－由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置；连点－连接对应点。 （4）把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1。 （5）将放大后的三角形分成2个三角形，根据三角形面积＝底×高÷2，计算出一个三角形的面积，乘2即可。 【完整解答】 （1） （2）（3）（4） （5）如图 3×4÷2＋3×4÷2 ＝6＋6 ＝12（平方厘米） 放大后的三角形的面积是12平方厘米。 学科网（北京）股份有限公司 $2026年小升初数学二轮复习重点难点精讲•精练•精测「全国通用培优讲义」 第三讲 比和比例『小升初二轮复习讲练测』 【考向预测+知识梳理+16个考点讲练+能力提升练 共63题】 ［原卷版］ 同学你好，该份讲义专为冲刺理想初中的你量身打造。讲义精准把握近年升学命题趋势，科学预测高频考点与重难点考向，明确填空、选择、计算、应用等题型的命题规律，让你复习不盲目、备考有方向。 内容上系统梳理核心知识，将数与代数、图形几何、统计概率、应用题等模块串联成完整知识体系，查漏补缺夯实基础。同时配套近年名校真题分类训练，按考点划分，搭配详细解题思路与方法点拨，帮你熟练掌握答题技巧，突破易错题型，快速提升应试能力，高效备战小升初考试。 2026年升学考向预测 2 预测一：主要知识点 2 预测二：重点难点 2 预测三：考察方向 2 预测四：预测难度 2 重点难点知识梳理 3 知识点梳理01：比 3 知识点梳理02：比例 4 知识点梳理03：正比例和反比例 4 知识点梳理04：比例尺 5 考点分类真题汇编讲练 5 重难点考点一 比的基本性质 5 重难点考点二 比的化简 5 重难点考点三 比与分数、除法的关系 6 重难点考点四 百分数、分数、小数和比的互化 6 重难点考点五 按比分配问题 6 重难点考点六 比的应用 7 重难点考点七 比例的基本性质 8 重难点考点八 解比例 8 重难点考点九 比例的应用 9 重难点考点十 正比例的应用 9 重难点考点十一 反比例的应用 11 重难点考点十二 应用比例尺画图 11 重难点考点十三 图上距离与实际距离的换算 13 重难点考点十四 图形的放大与缩小 14 重难点考点十五 运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 15 重难点考点十六 比例尺应用 15 能力提升过关检测 16 预测一：主要知识点 涵盖比的意义与基本性质、比与除法/分数的关系、求比值与化简比；比例的意义与基本性质、解比例；按比分配问题、比例尺的应用及正反比例的意义与图像判断，同时包含比和比例在实际生活中的综合应用。 预测二：重点难点 重点是比的化简、求比值、解比例以及按比分配的实际应用；难点是比与分数、除法的综合转化，正反比例的精准判断与图像识别，以及复杂情境下利用比例模型解决行程、工程、几何等综合性问题。 预测三：考察方向 以填空、选择、解比例、解决问题为主，常与图形面积、行程问题、商品折扣、地图比例尺等场景结合；侧重比例思想的构建与实际转化，强调步骤清晰、比例列式规范，以及对变量关系的逻辑分析。 预测四：预测难度 整体以基础题、中档题为主，占比约85%，侧重基础概念与常规应用；难题集中在多步骤比例综合题、正反比例的实际辨析及复杂几何建模，占比约15%，侧重思维的灵活性与深层理解，整体难度适中，注重知识迁移与解题策略。 知识点梳理01：比 1.比的意义：两个数相除又叫作两个数的比。 2.比的各部分名称及比的读法： 4 ： 5=4÷5=0.8 ↓ ↓ ↓ ↓ 前项 比号 后项 比值 3.比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外)，比值不变 4.求比值与化简比 （1）求比值：前项除以后项所得的商是比的结果，叫比值。 同类量的比，其比值没有单位名称; 不同类量的比，其比值有单位名称。例如: 100千米:5时=20千米/时 （2）化简比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。 把两个数的比化成最简整数比的，称为化简比或比的化简。 5.比与分数、除法的关系 关系：比与分数相比，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数值，比号相当于分数线;比与除法比较，比的前项相当于除法中的被除数，比的后项相当于除法中的除数，比值相当于商，比号相当于除号。 （1）比、分数和除法之间的联系与区别如下表所示: 名称 比 分数 除法 联系 前项 分子 被除法 ：（比号） 一（分数线） ÷（除号） 后项 分母 除数 比值 分数值 商 区别 同类量的比表示两个数的倍比关系；不同类量的比表示一个新的量。 分数是一种数 除法是一种运算 （2）比的基本性质、分数的基本性质及商不变的规律之间的联系。由比与分数、除法各部分间的关系可知，比的基本性质、分数的基本性质以及商不变的规律三者只是说法不同，其实质是一样的。 6.按比分配: （1）在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配，这种分配方法通常叫作按比分配。 （2）按比分配应用题的特征：已知总数量和部分数量的比，求各部分数量。 （3）常用的解题方法有两种：一种是先求总份数，再求各部分量占总量的几分之几，最后求各部分数量；另一种是先求每份是多少，再求几份是多少。 知识点梳理02：比例 1.比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。 2.比例的各部分名称：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 3.比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。 4.比和比例的区别 （1）比表示两个量相除的关系，它有两项（即前、后项）；比例表示两个比相等的式子，它有四项（即两个内项和两个外项）。 （2）比有基本性质，它是化简比的依据；比例出有基本性质，它是解比例的依据。 5.解比例: 解比例就是求比例中的未知项，也就是已知比例中的任意三项，就可以求出未知项。解比例的依据是比例的基本性质。 知识点梳理03：正比例和反比例 1.判断正比例和反比例的方法: （1）分析数量关系，确定哪两种量是相关联的量。 （2）分析两种相关联的量，看它们之间是比值一定还是积一定。 （3）如果是比值一定，就成正比例；如果是积一定，就成反比例；如果比值和积都不是一定的，就不成比例。 2.正比例图像:正比例图像是一条直线。 3.用比例的知识解决实际问题 （1）用比例知识解决的实际问题可分为正比例问题和反比例问题两类。 （2）应用比例知识解决实际问题的一般方法和步骤: ①判断题中两种相关联的量是成正比例还是成反比例；②设未知量为x；③列出比例，解比例；④检验并作答。 知识点梳理04：比例尺 1.比例尺的意义 (1)图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。即， (2) 2.比例尺的分类 (1)数值比例尺：1:200000或，比例尺一般写成前项是1或后项是1的形式 (2)线段比例尺：这种用线段表示的比例尺，叫作线段比例尺 3求图上距离或实际距离： 图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺 重难点考点一 比的基本性质 【典例精讲】（2025·内蒙古通辽·小升初真题）下列说法正确的是（    ）。 A．女生人数和全班人数的比是，男生人数和女生人数的比是 B．比的前项和后项同时乘一个相同的数，比值不变 C．最简单的整数比，就是比的前项和后项都是质数的比 D．如果，那么A是比的前项，B是比的后项，C是比的比值 【变式训练1】（2025·河北唐山·小升初真题）如果X∶Y＝，那么（X×9）∶（Y×9）＝（    ）。 A． B． C．9 D．81 【变式训练2】某段高速公路对过往车辆的收费标准是：大型车30元，中型车15元，小型车10元。据统计2017年3月15日8：00至9：00之间，通过该收费站大型车和中型车之比是，中型车和小型车之比是，小型车通行费总数比大型车多1500元。那么，这一个小时收费站的收费总数是________元。 重难点考点二 比的化简 【典例精讲】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一个圆柱和一个圆锥，底面周长的比是，体积比是，那么这个圆柱和这个圆锥的高的比是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练1】（2025·四川绵阳·小升初真题）一段公路长20km，甲队单独修要8天修完，乙队单独修要10天修完。甲乙两队的工作效率之比是( )。 【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）将甲组人数的分给乙组，则乙组人数就比甲组剩下的人数多，原来甲、乙两组人数的比是（    ）。 A． B． C． D． 重难点考点三 比与分数、除法的关系 【典例精讲】（2025·安徽合肥·小升初真题）4÷5＝＝（    ）∶10＝（    ）%＝（    ）折。 【变式训练1】（2025·江西吉安·小升初真题）李阿姨创作了一幅剪纸纹样，阴影部分面积与整个图形面积的关系如下：3∶5（    ）＝（    ）%＝（    ）（填小数）。 【变式训练2】甲、乙两人都从A地去B地，他们的速度比为3∶2，当甲行了11千米时，乙行了5.5千米，当甲到达B地时，乙离B地还有的路程。AB两地相距多少千米？ 重难点考点四 百分数、分数、小数和比的互化 【典例精讲】（2025·浙江宁波·小升初真题）（    ）÷1.8＝35∶（    ）＝＝≈（    ）%（百分号前保留一位小数）。 【变式训练1】（2025·海南省直辖县级单位·小升初真题）（    ）∶20＝20÷（    ）＝0.8＝。 【变式训练2】（2024·河北邯郸·小升初真题）（    ）∶（    ）＝＝0.75＝（    ）%＝（    ）（填成数）。 重难点考点五 按比分配问题 【典例精讲】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）乌龟和兔子进行1000米赛跑，兔子速度是乌龟速度的5倍，当它们从起点同时出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它500米，兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后10米，求兔子睡觉期间，乌龟跑了___________米。 【变式训练1】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）甲、乙、丙三人合租一辆车运同样多的货物，从A地到B地需要运费180元，甲在全程的处卸货，乙在全程的处卸货，只有丙到达了B地。丙应该付车费___________元。 【变式训练2】（2025·江苏苏州·小升初真题）棋牌室里有三堆围棋子，每堆都有90枚。第一堆中的黑子与第三堆中的白子同样多，第二堆中黑子的枚数是白子的5倍。这三堆围棋子中共有多少枚黑子？白子占棋子总数的几分之几？ 重难点考点六 比的应用 【典例精讲】（2025·甘肃兰州·小升初真题）甲、乙两车分别从、两地同时出发，相向而行。甲车每小时行80千米，当两车在途中相遇时，甲、乙两车所行的路程比是。相遇后，甲车保持原来的速度继续向前行驶，1.5小时到达地。乙车的速度是多少千米/小时？、两地间的路程是多少千米？ 【变式训练1】2025·浙江宁波·小升初真题）甲、乙、丙三人同乘一辆出租车，甲在全程的一半处下车，乙在全程的，丙到终点下车。打车总价是180元，按照路程合理分摊路费丙应付________元。 【变式训练2】（2025·重庆江北·小升初真题）自动扶梯由下向上，小明由上向下走了100级到底，小红由下往上走了50级到顶，已知小明步行速度是小红的3倍，求自动扶梯静止时由底到顶共多少级？ 重难点考点七 比例的基本性质 【典例精讲】（2025·湖北武汉·小升初真题）已知a∶b＝c∶d，现将a扩大到原来的2倍，b缩小到原来的，不变，d应( )，比例仍然成立。 【变式训练1】（2025·安徽合肥·小升初真题）解决“等于b×，求a和b的最简整数比”这个数学问题时，静静运用比例的基本性质直接写出a∶b＝( )，再化成最简整数比是( )。 【变式训练2】（2025·重庆渝北·小升初真题）“宫、商、角、徵、羽”是我国古代音乐的基本音阶，基本音阶“徵”的发音管长度比基本音阶“宫”的发音管长，且“徵”的发音管长度∶“宫”的发音管长度，那么_____。 重难点考点八 解比例 【典例精讲】（2025·新疆克拉玛依·小升初真题）解方程或比例。 【变式训练1】（2025·四川绵阳·小升初真题）解方程或解比例。              【变式训练2】（2025·湖北武汉·小升初真题）有两袋大米共重440千克，甲袋米吃了，乙袋米吃了，这时甲袋米的重量与乙袋米的重量之比为8∶5，问甲袋米原来重（    ）千克。 A．240 B．200 C．220 D．180 重难点考点九 比例的应用 【典例精讲】（2025·内蒙古通辽·小升初真题）鸡蛋羹是用鸡蛋制作的一道家常菜，细腻滑嫩，营养丰富。制作鸡蛋羹时需要在打散的蛋液中加入一定量的水，2个同样大小的鸡蛋大约需要加150毫升水，照这样计算，5个同样大小的鸡蛋大约需要加多少毫升水？ 【变式训练1】（2025·北京丰台·小升初真题）科技小组的同学测量学校旗杆的高度。将一根高3米的竹竿直立在学校旗杆的旁边。同一时刻，量得竹竿的影长为1.2米，旗杆的影长为7.74米。那么，旗杆的高度是( )米。 【变式训练2】（2025·重庆江北·小升初真题）甲种酒精纯酒精含量为72%，乙种酒精纯酒精含量为58%，混合后纯酒精含量为62%，如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为63.25%。第一次混合时，甲、乙两种酒精各取了多少升？ 重难点考点十 正比例的应用 【典例精讲】（2025·福建宁德·小升初真题）如图，王老师驾驶纯电动新能源汽车匀速从A市途经B城到C市。 信息一：王老师从A市出发，以80千米/时的速度行驶了1.5小时到达B城； 信息二：AB两地路程比BC两地路程远20千米； 信息三：当汽车行驶20千米时，耗电量是3.5千瓦时。 (1)A市到C市的路程是多少千米？ (2)假设每千米的耗电量不变，当耗电量达到28千瓦时，这辆汽车行驶了多少千米？（用比例解） 【变式训练1】（2025·江西上饶·小升初真题）下列描述错误的有（    ）个。 ①最大的负整数是﹣1。 ②两条直线不是相交就是平行。 ③a＋1＝b（a、b为自然数），它们的最小公倍数是ab。 ④两个等底等高的梯形一定能拼成一个平行四边形。 ⑤物体的高度与影长成正比例关系。 A．2 B．3 C．4 【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）如图①，在底面积为100平方厘米、高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示。 （1）图②中，点_____表示烧杯中刚好注满水，点_____表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）求烧杯的底面积及注满水槽所用的时间。 重难点考点十一 反比例的应用 【典例精讲】（2025·江西吉安·小升初真题）宣纸是传统手工纸的杰出代表，居文房四宝之首，具有质地绵韧、不蛀不腐等特点。某宣纸厂需要加工一批宣纸，计划每天加工360张，15天完成。由于天气原因导致每天少加工了90张，要完成这批宣纸实际需要多少天？（用比例解答） 【变式训练1】（2025·江西吉安·小升初真题）下面说法中正确的是（    ）。 A．一件商品原价50元，先提价20%，再降价20%后比原价便宜。 B．将一条1厘米长的线段向两端分别延长100米，就能得到一条直线。 C．把6.9改写成6.900，此时这两个数的大小相同，计数单位也相同。 D．一辆汽车从甲地开往乙地，去时用了6小时，返回时只用了4小时，这辆汽车往返的速度比是3∶2。 【变式训练2】从甲城到乙城，A汽车匀速行驶用6时，从乙城到甲城，B汽车匀速行驶用5时。现在AB两车分别从甲、乙两城同时出发相对匀速而行，相遇时A汽车行驶了210千米，甲、乙两城相距多远？ 重难点考点十二 应用比例尺画图 【典例精讲】（2025·湖北十堰·小升初真题）（1）学校在中心广场北偏西方向600米处，这幅图的比例尺是（    ）。 （2）书店在中心广场南偏东方向900米处，请在图中用“·”标出书店的位置。 【变式训练1】（2025·四川内江·小升初真题）钓鱼岛及其附属岛屿自古以来就是我国领土。钓鱼岛位于中国东海，距我县直线距离约2000千米。 （1）如果按照1∶10000000的比例尺在纸上画出钓鱼岛到我县的直线距离，在纸上应画（    ）厘米。 （2）我国已经对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监测。一日，一艘海监执法船从A点出发，向正东方向航行200千米到达B点，在B点测得钓鱼岛在B点的东偏北30°方向上，距离B点约300千米。请你在图中用“”标出钓鱼岛的位置。 （3）海监执法船抵达钓鱼岛后，按原路返回A点，请用文字描述海监执法船的返回路线。 【变式训练2】根据下面条件在图中标出各地点的位置。 学校正西方向300米是少年宫，少年宫正北方向200米是动物园，动物园东偏北30°距离200米处是医院。 （1）先自己确定合适的比例尺，再画出上述地点的平面图。 （2）小明从医院经动物园、少年宫到学校，小华从学校经少年宫、动物园到医院，两人同时出发，（沿图中路线行走），小明每分钟走65米，小华每分钟走75米，他们几分钟后相遇？在图上用“▲”标出他们的相遇地点。（写出计算过程） 重难点考点十三 图上距离与实际距离的换算 【典例精讲】（2025·湖北武汉·小升初真题）如图是小刚从家出发乘坐出租车去展览馆的路线图（途经文化馆）。出租车在3千米以内（含3千米）的起步价是8元，以后路程每增加1千米车费就增加1.4元。请你算一算，小刚去展览馆一共需要多少元出租车费？ 【变式训练1】（2025·甘肃庆阳·小升初真题）上海中心大厦是我国第一高楼，小辰设计了一幅该高楼的宣传海报，海报的比例尺是，把线段比例尺改写为数值比例尺是( )，在海报上量得该高楼的高度是15.8cm，则该高楼的实际高度是( )m。 【变式训练2】（2025·广东湛江·小升初真题）下列说法正确的有（    ）个。 ①要反映一个地区的气温变化情况，选择折线统计图比较合适； ②一张地图比例尺为1∶25000，图上距离为4cm的两地，它们的实际距离为10千米； ③七（1）班的男生人数占全班的，转进2名女生后女生人数占全班的，则原来女生人数为20人； ④图中的平行四边形、三角形和梯形的面积都相等。 A．1 B．2 C．3 D．4 重难点考点十四 图形的放大与缩小 【典例精讲】（2025·甘肃兰州·小升初真题）下面正方形格的边长表示1厘米。 (1)画出按放大后的图形。 (2)先填空，再画出旋转后的图形。绕O点按（    ）方向旋转（    ）后，能与拼成一个长方形。 (3)如果、点不动，点移动到( )时，会变成一个等腰三角形。 (4)梯形的面积是( )平方厘米。 【变式训练1】（2025·广东湛江·小升初真题）按要求画一画，填一填。 （1）将图中的圆向上平移5格后，对应的圆心用数对表示是（    ）。 （2）画出长方形绕点A顺时针旋转90°后的图形①。 （3）按1∶2的比画出图形①缩小后的图形②。 （4）以直线l为对称轴，画出图形M的另一半，使它成为一个轴对称图形。 【变式训练2】下面每个小正方形的边长表示1厘米，请按要求完成下列各题。 （1）三角形顶点A用数对表示是（  ，  ），顶点B用数对表示是（  ，  ）。 （2）把三角形ABC向下平移5格，再向左平移4格，画出平移后的图形。 （3）把三角形ABC按2∶1放大，画出放大后的图形。 （4）画出三角形ABC绕C点顺时针旋转90°的图形。 （5）把三角形ABC绕AC轴旋转一周形成的物体是（      ），体积是（    ）立方厘米。 重难点考点十五 运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 【典例精讲】（2024·黑龙江齐齐哈尔·小升初真题）把一个长5cm、宽3cm的长方形按3∶1放大，得到的图形面积是( )cm2。 【变式训练1】（2025·山东·小升初真题）摄影师把一张照片按2∶1的比放大，放大后照片的面积是原来照片的（    ）。 A．2倍 B．3 倍 C．4倍 D．8倍 【变式训练2】（2024·广东湛江·小升初真题）下列说法不正确的是（    ）。 A．小刚说：“我表弟是2020年2月29日出生的”。 B．三角形三个角度数比是2∶4∶3，最大的角是80°。 C．在50克水里加入5克盐，该盐水的含盐率是10%。 D．把一个平面图形按3∶1的比放大，放大后与放大前图形的面积之比是9∶1。 重难点考点十六 比例尺应用 【典例精讲】（2025·河南许昌·小升初真题）在比例尺是的图纸上量得甲、乙两地相距15cm，那么在另一张比例尺是的图纸上，这两地间的图上距离应是( )cm。 【变式训练1】（2025·四川遂宁·小升初真题）在比例尺为1∶6000000的地图上量得A、B两地相距8cm，一辆货车以每小时80千米的速度从A地开往B地。需要多少小时到达？ 【变式训练2】（2024·江西景德镇·小升初真题）在标有的地图上，量得甲、乙两地相距9厘米。一列客车与一列货车从甲、乙两地同时相向而行，4小时后相遇，已知客车与货车的速度比是5∶4，求客车的速度。 1．（2025·山东青岛·小升初真题）圆柱的侧面展开是一个正方形，则圆柱的高和半径比（    ）。 A．2∶1 B．π∶1 C．2π∶1 D．1∶π 2．（2025·湖南长沙·小升初真题）下列四句话中，正确的是（    ）。 A．一种商品打折出售正好保本，则不打折时该商品只获20%的利润 B．林场种100棵树苗，死了3棵，又补种了3棵，共成活100棵，成活率为100% C．大牛和小牛头数的比是，表示大牛比小牛多 D．按1，8，27，（    ），125，216的规律排，括号中的数应为64 3．（2025·湖南长沙·小升初真题）A、B、C、D四人一起完成一件工作，D做了一天就因病请假了，结果A做了6天，B做了5天，C做了4天，作为休息的代价，D拿出60元给A、B、C三人作为报酬，若按天数计算劳务费，则这60元中A分（    ）元。 A．20 B．30 C．40 D．50 4．（2025·甘肃兰州·小升初真题）聪聪的妈妈做摊饼时发现，面、水的质量比是时，摊饼的口感最好。聪聪也想做这样的摊饼，她不能按下面第（    ）种方法确定面和水的用量。 A．每1kg面需要800g水。 B．用同样大的碗盛面、水，盛满面、盛满水的碗数比是5∶4。 C．保证面的质量是水的质量的1.25倍。 D．无论面、水的质量是多少，面一定要比水多200g。 5．（2025·山东青岛·小升初真题）下图是两个完全相同的等腰直角三角形，甲和乙分别是等腰直角三角形的两种不同的内接正方形，则图中甲与乙的面积比是( )。 6．（2025·湖南长沙·小升初真题）小明到新华书店去买故事书和漫画书，他带的钱可以买12本故事书或9本漫画书。现在小明用这些钱买了4本故事书和一些漫画书。问小明共买了( )本书。 7．（2025·湖南长沙·小升初真题）某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2点钟派车去该厂接某劳模来校作报告，往返需用1小时。这位劳模在下午1点钟便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车赶往学校，在下午2点40分到达。汽车速度是劳模步行速度的______倍。 8．圆柱的体积一定，它的底面积和高成反比例。( )（判断对错） 9．（2025·湖南永州·小升初真题）图上距离一定，实际距离和比例尺成反比例。( )。（判断对错） 10．（2025·山东青岛·小升初真题）求未知数x。 （x＋0.7）×3＝24         11．（2025·湖南长沙·小升初真题）运一批水果，第一次运了20%，如果再运30吨，那么这时已运的与剩下的吨数比是1∶3，这批水果有多少吨？ 12．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们的工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况是甲、乙两人合做6天完成了工程的，因甲中途有事，由乙、丙合作2天，完成了余下工程的，之后三人合做5天完成了这项工程。如果按完成工作量的多少来付酬，每人应得多少元？ 13．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）将一条公路平均分给甲、乙两个工程队修筑。甲队已修的与剩下的比是2∶1，乙队已修的与剩下的比是5∶2，这条公路已修了全长的几分之几？ 14． （2025·湖南长沙·小升初真题）星期天早晨8：30，小萍骑电动车从家出发前往和谐广场。12分钟后，妈妈开车去追小萍，在距家6千米的地方追上了小萍。这时，妈妈收到一个电话，需要回家收个快递，于是立即掉头回家，拿到快递后没有停留（接快递时间忽略不计），立刻又回头去追小萍，妈妈再次追上小萍的时候，距家18千米，问：妈妈第二次追上小萍的时间是几时几分？ 15.（2025·山东青岛·小升初真题） （1）在图上描出下列点：A（4，4），B（5，8），C（6，6）。 （2）依次连接ABC三点，并将所得的图形绕A点按顺时针旋转90°。 （3）将旋转后的图形向右平移5格。 （4）在网格里将平移后的图形按2∶1放大，画出放大后的图形。 （5）求放大后的三角形的面积。（每格表示1厘米） 学科网（北京）股份有限公司 $