中考数学必备7大知识36考点+提分技法全归纳（命题解码+思维导图+考点清单）

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 中考数学必备7大知识36考点+提分技法全归纳 内容导览知识·技法清单 知识点01数与式(6大考点) ..1 知识点02方程与不等式(5大考点) 8 知识点03函数(5大考点) ..12 知识点04三角形和四边形(6大考点) .18 知识点05圆(7大考点) ……24 知识点06图形变换(3大考点) 32 知识点07统计与概率(4大考点) 37 知识点01数与式 命题解码 考向 出题形式 命题角度 重 基础概念与运算辨 选择 1.实数的概念与分类（无理数、相反数、绝对值、倒数、科学 析 记数法辨析) 2.二次根式的概念与性质（有意义的条件、最简二次根式、同 类二次根式) 3.整式的相关概念（单项式/多项式的次数、系数，同类项的 判断) 4.分式有意义/无意义/值为0的条件辨析 重 核心运算与性质应 填空 1.实数的运算（含零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数 用 值、绝对值化简) 2.因式分解（提公因式法、公式法、十字相乘法的直接应用） 3.分式的化简求值（含整体代入、因式分解约分） 4.二次根式的化简与估值 难 综合运算与非负性 解答 1.分式/二次根式的混合运算（含化简求值、分母有理化、含 应用 参数的分式化简) 2.因式分解的综合应用（结合方程、代数式求值、恒等变形） 3.与整式/分式相关的规律探究题（数字规律、图形规律） 1/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.含绝对值、二次根式的非负性综合题（如“几个非负数和为 0求参数”) 变 情境与形式创新 选择/填 1.含新定义的数与式运算（如自定义运算规则、新定义数) 空 2.结合数轴的数与式问题（绝对值的几何意义、整式大小比 较、动点问题) 3.跨情境数与式应用（用代数式表示实际问题中的数量关系） 4.含参数的分式/二次根式取值范围问题 选择/填 新 跨学科与开放探究 1.结合跨学科情境的数与式问题（如统计数据、科技/文化热 空/解答 点背景下的数与式计算) 2.开放型数与式问题（如“写出一个满足条件的无理数/代数 式”) 3.数与式与函数/几何的综合题（如结合函数图像、几何图形 的代数式求值) 4.与数论相关的创新题（如整除性、奇偶性、数的分类拓 展) 翻一图串考法 2/42 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 常考/易错 0 先看该数是有限小数还是无限小数 有理数/无理数的区别 再看是循环小数还是不循环小数 常考热考 有理数的运算法则及运算律等同样适用 实数运算 0先进行乖方和开方运算 2再算乘除 运算顺序 0 最后算加减 ④如果遇到括号，则先进行括号里的运算 常考热考 0a20 非负数的表现形式 a2≥0 a≥0(a≥0) am.an -amtn am÷a am-n am元 底数不为0 数与式热考内容 幂的运算 ab)n 常考热考 =1(a≠0) 整式的常见运算 特殊 a n- 常在计算题中出现 e (a+)(a-b)=a2-b2 乘法公式 (a±b)2=a2±2ab+b2 有 提取公 观察剩 两项 平方差 因式 余项 公式 观察是否 检查每个多 项式是否都 因式分解的般步骤 有公因式 没有 观察多 三项 完全平 分解彻底. 项式 方公式 一提 套 三检查 有括号一先算括号里面的 运算顺序 无括号一先乘方一再乘除一最后加减 二次根式的混合运算 运算律一有理数的运算律仍适用 平方差公式一(Wa-V6(Va+⑥)=a-b(a≥0，b≥0) 运算公式 L完全平方公式-（√a±V6)2=a+b土2Vab(a≥0，b≥0） 先乘方，再乘除，最后加减 分式的混合运算 有括号时，先算括号内的运算 同级运算，按照从左到右的顺序进行 3/42 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点清单 考点01实数 1.实数的相关概念及性质（表格版） 名称 定义 性质 数轴 在数学中，通常用一条直线上的点表示数， 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示.反 这条直线叫做数轴， 之，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数 与数轴上的点是一一对应的 相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，我 1)若a,b互为相反数，则a+b=0 们称其中一个数是另一个数的相反数， 2)0的相反数是0 3)互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到 原点的距离相等且位于原点的两侧 绝对值 数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a 「a(a>0) 的绝对值，记作a. la=0(a=0) -a(a<0) 倒数 乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫 1)0没有倒数，倒数等于它本身的数是1和-1： 做另一个数的倒数， 2)若ab=1分a,b互为倒数： 若ab=-l台a,b互为负倒数： 2.实数的混合运算 先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算 实数计算的易错点： 1)负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； 2)一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数： 3a--{ a≠0，n为正整数)，a°=1(a≠0，n为正整数) 3.补充知识（特殊角的锐角三角函数值） 三角函数值 特殊角 30 45° 60° 4/42 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sina 3 2 cosa 2 2 1-2 tan a v 1 3 3 考点02整式运算 1.整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项 2.幂的运算 法则(m,n都是整数) 示例 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加，即a"a”=amn x2.x5=x2 幂的乘方 底数不变，指数相乘，即(a"）”=a (e）=x 积的乘方 积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的 (g22=x 积相乘，即(ab)”=ab 同底数幂的除法 底数不变，指数相减，即am÷a”=amn( (a≠0) x3÷x2=x3(x≠0) 3.整式的乘法 单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数，同底数幂 乘单项 分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母， (-2x3y2)3.4xy2=-32xy8 式 则连同它们的指数作为积的一个因式， 单项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式 乘多项 的每一项，再把所得的积相加.即 (-3x2y)-x+3x2y)=3xy-9xy2 式 na+b+c)=ma+mb+mc. 多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项 乘多项 乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相 5m-402m+3m=5m+7m-6m 2 式 加. (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 5/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 乘法 公式 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b 完全平方公式：(a士b)}=a±2ab+b2 4.整式的除法 单项式除 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的 以单项式 12a'b'x+3ab2 =4a'x' 因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的 指数作为商的一个因式。 多项式除 般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每 12d3-6a2+3a）÷3a=4c2-2a+1 以单项式 项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 am+b-cm)÷=a+b-c 考点03因式分解 有 提取公 观察剩 两项 平方差 因式 余项 公式 观察是否 检查每个多 有公因式 项式是否都 没有 观察多 三项 完全平 分解彻底。 项式 方公式 一提 二套 三检查 考点04分式的运算 加减运算 1)同分母分式：分母不变，把分子相加减， 即b士9=btc aaa 2)异分母分式：先通分，变为同分母的分式，再加减，即b士°_bd士ac a d ad 乘除运算 1)分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的 分母，即b.-bc a d ad 2)分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相 乘， 即b:c=b.d_bd a d a c ac 6/42 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 乘方运算 分式的乘方是把分子、分母分别乘方， 即 6 (n为正整数，且b≠0) 混合运算 分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方， 再乘除，最后加减；有括号时，先 进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行 考点05二次根式的运算 加减运算 般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次 根式合并，即m+元=(a+b)Vm,a√m-bNmi=(a-b)Vm 乘法运算 √ab=√ab(a≥0，b≥0) 除法运算 a -V a≥0，b>0) 混合运算 二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算. 考点06比较数的大小 (1)数轴比较法：将实数在数轴上表示出来，左边的数小于右边的数： (2)绝对值比较法：设a,b是两负实数，若|a>|b÷a<b: a-b>0台aDb a-b=0台a=b (3)求差比较法：设a,b是两实数， 若(a-K0台Kb >1台>b b 1÷a-b b （4)求商比较法：设a,b是两正实数，若6 <1白Kb (5)平方比较法：设a,b是两负实数，若a>b2一a<b: (6)估算法：设a,b为任意两个正实数，先估算出a,b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较. 7/42 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例如V2≈1.414，V3≈1.732，V5≈2.236： 【总结】比较实数大小的方法，常见的有作差法、作商法、倒 数法、数轴法、平方法、估算法.这里主要介绍一下平方法：对任意正实数a,b,若a>b2台a>b:对任 意负实数a,b,若2>b2分a<b. 知识点02方程与不等式 Q命题解码 考向 出题形式 命题角度 重 基础概念与运算辨 选择 1.一元一次方程、二元一次方程（组）的解的概念辨析 析 2.一元二次方程的根的判别式、根与系数关系（韦达定理）的 基本应用 3.不等式（组）的解集表示、整数解判断 4.分式方程的增根与无解的条件辨析 重 核心运算与性质应 填空 1.一元一次方程、二元一次方程组的求解 用 2.一元二次方程的求解（配方法、公式法、因式分解法） 3.分式方程的求解（含检验步骤） 4.一元一次不等式（组）的求解与解集表示 难 综合应用与含参讨 解答 1.含参数的方程（组）/不等式（组）的解的情况讨论（如解 论 的正负性、整数解个数) 2.一元二次方程与几何、函数的综合应用（如根的分布、面积 问题) 3.分式方程的实际应用（工程、行程、销售问题，含检验） 4.不等式（组）与函数结合的方案设计、最值问题 变 情境与形式创新 选择/填 1.含新定义的方程与不等式问题（如自定义方程、新定义不等 空 式) 2.结合数轴、函数图像的不等式解集分析（如一次函数与不等 式的关系) 3.跨情境方程建模（如结合统计、几何背景列方程/不等式） 4.含绝对值的方程与不等式 新 跨学科与开放探究 选择/填 1.结合跨学科情境的方程与不等式问题（如物理、化学、科技 空/解答 热点背景下的建模) 2.开放型方程与不等式问题（如“写出一个解为x=2的一元二 次方程”) 3.方程与不等式的规律探究题（如数列递推、周期性问题） 4.方程（组）与函数、几何的综合压轴题（如动点问题中的方 程建模) 8/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 丽一图串考法 解方程的基础 相同的数 等式的性质1一等号两边同时一加（或减） - 等式仍然成立 相同式子 等式的性质 乘一同一个数 等式的性质2一等号两边同时 等式仍然成立 除以一同一个不为0的数 代入消元法一用一个未知数表示另一个，代入消去未知数 解二元一次方程组 加减消元法一通过方程加减消去某一未知数 小提示一优先消系数为1或绝对值小的未知数，简化计算 0 去分母一两边同乘最简公分母一 化成整式方程 2解整式方程一求出整式方程的解 解分式方程 易错易混 值0一有解 代入最简公分母 目验根 值=0一无解 增根一分式方程化整式方程后，使原分母为0的解 常用方法 直接开方法一特征一ax2=b(a≠0，b≥0) (aa+b)2=c(a≠0) 方程与不等式 配方法一特征 适用于所有一元二次方程，是推导求根公式的基础 r判别式一△=b2-4aC一使用条件一△≥0 -b士√ 根为x= 一元二次方程的解法 ·公式法 求根公式一当△≥0时， 2a 「△>0兮两个不相等的实数根 解（根） △=0分两个相等的实数根 a#0 易忽略 L△<0伫无实数根 提公因式法一提取公共因式 因式分解法一 常见方法 公式法一利用平方差/完全平方公式 儿十字相乘法一拆分二次项、常数项配系数 前提一△≥0 根与系数的关系 ·关系 1十x2= a2+bc+c=0(a≠0) E1E2= 解不等式组基础 加或减)一同一个数（式子） 不等号方向不变 不等式的性质 不等式两边同时 乘（或除以）一同一个正数 乘（或除以）一同一个负数一不等号方向改变 求各个不等式的解集 元 次不等式组的解法 再求公共部分 9/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点清单 考点01解一元一次方程 步骤 具体做法 变形的依据 注意享项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最 等式的 1)不要漏乘不含分母的项； 小公倍数 性质2 2)当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再 去分母 3)如果分子是多项式，去分母后要将分子作为一 个整体加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最 去括号法 1)去括号时，括号前的数不要漏乘括号内的每一 后去大括号 则，分配律 项： 2)当括号外的因数是负数时，去括号后原括号内 的各项均要变号。 移项 把含有未知数的项移到方程一 等式的 1)移项时不要丢项： 边，其它项都移到方程另一边 性质1 2)将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在 【易错点】移项过程中未变号 方程同一边改变项的位置时不变号 合并同 把方程变为ax=b(a≠0)的形 合并同类项 1)系数的符号处理要得当： 类项 式 法则 2)未知数及其指数不变. 系数化 将方程两边都除以未知数的系 等式的 不要将分子，分母的位置颠倒 为1 数a,得到方程的解x。 性质2 考点02解二元一次方程组 解二元一次方程组的一般步骤 1)把二元一次方程组中的一个未知数消掉（代入消元或加减消元）使其变成一元一次方程： 2)解一元一次方程，求出一个未知数的值： 3)将求出的未知数的值代入原方程，求出另一个未知数的值： 4)写出方程组的解. 10/ 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【注意】 1)消元时要根据方程组的特点决定首先消去哪个未知数： 2)原方程组的每个方程在求解过程中至少要用到一次： 3)将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组的每一个方程中进行检验，看每个方程等号左、右两边的 值是否相等，若都相等，则是原方程组的解，只要有一个方程等号左、右两边的值不相等，就不是原方程组 的解 考点03解分式方程 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程，即分式方程)整式方程. 具体作法：将分式方程两边同乘最简公分母，约去分母，化为整式方程，再求根验根. 1)去分母一方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 2)解整式方程→去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 3)验根→将整式方程的解代入最简公分母， 若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，（可将这个解代入分式方程看左右两边是 否相等) 若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解 【易错点】 1)去分母时漏乘某些项而导致计算结果错误 2)方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为0，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根， 考点04解一元二次方程 根据方程的特点，选择适当的求根方法： 1)若方程具有(x+n)=a(a≥0)的形式，可用直接开平方法求解： 2)当一元二次方程一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用因式分解法求解 3)公式法是一种最常用的方法，用时一定要把一元二次方程化为一般形式，确定a,b,c的值，在 △=b2-4c≥0的条件下代入公式求解 方法 说明 直接开平方法 方程没有一次项时用直接开平方法较为简单（最直接的方法） 11/ 60学科网·上好课 www.zxx .com 上好每一堂课 方法 说明 配方法 二次项系数为1，一次项系数为偶数时，用此方法较为简单(最基本的方法) 在配方法和公式法中，当各项系数均为整数，且绝对值较小时，首选公式法(万能 公式法 方法) 方程没有常数项时用因式分解法较为简单；当方程中含有括号时，不要急于去括 因式分解法 号，应观察是否能看作整体，直接因式分解(最简便的方法) 【总结】对于配方法、公式法和因式分解法，一般来说因式分解法较为简单，应优先考虑；对于整系数的 一元二次方程，若一次项系数为偶数，则可以考虑用配方法；若以上两种方法都不太方便的话，则用公式 法. 考点05解一元一次不等式组 一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 【易错点】 1)利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 2)当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变. 3)关于x的不等式组 $$\left\{ \begin{array}{l} x \ge a \\ x \le a \end{array} \right.$$ 的解集为 X=a， ，关于x的不等式组 m $$\left\{ \begin{array}{l} x > a \\ x < a \end{array} \right.$$ 知识点03函数 命题解码 考向 出题形式 命题角度 重 基础概念与运算辨 选择 1.函数的定义与自变量取值范围(分式、二次根式、零指数幂 析 综合) 12/ 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.一次/反比例/二次函数的图像与基本性质辨析(k、a、b、c 的作用) 3.函数值的计算、增减性判断与大小比较 4.函数图像的识别（实际问题图像、动点图像） 5.函数的对称性、平移规律辨析 重 核心运算与性质应 填空 1.待定系数法求函数解析式（一次、反比例、二次函数） 用 2.函数图像的平移、对称、旋转变换计算 3.反比例函数k的几何意义（面积相关计算） 4.二次函数的顶点、对称轴、最值计算 5.一次函数与坐标轴的交点、与反比例函数的交点问题 难 综合应用与含参讨 解答 1.一次函数与反比例函数的综合（交点、面积、不等式解集） 论 2.二次函数与几何综合（存在性问题：等腰/直角三角形、平 行四边形、菱形等) 3.二次函数的最值问题（项点最值、区间最值、面积最值） 4.含参数的一次/二次函数问题（参数对图像、交点、性质的 影响) 5.函数与方程、不等式的综合（利用图像解不等式、方程根的 分布) 变 选择/填 1.分段函数的实际应用（阶梯计费、行程分段问题） 情境与形式创新 空/解答 2.函数建模的实际问题（一次/二次函数解决利润、方案选 择) 3.函数图像的信息解读（图表、图像结合的实际问题） 4.反比例函数与几何图形的非常规综合（比例、相似、面积） 5.函数性质的变式探究（自定义函数、新运算） 选择/填 1.跨学科情境的函数建模（物理运动轨迹、跨学科实际问题） 新 跨学科与开放探究 空/解答 2.函数的新定义与开放探究题（自定义函数、规律探究） 3.二次函数的实际应用（抛物线型建筑、运动轨迹、优化问 题) 4.函数与统计、大数据结合的图表分析题 5.多模块融合的开放题（函数+几何+代数的综合探究） 一图串考法 13/ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一×轴一b=0 轴上的点 y轴一a=0 原点一(0,0) 到x轴距离一b】 点到坐标轴的距离 到y轴距离一a 特殊点坐标特征一(a,b) 易措点一距离是正数，取坐标的绝对值 三象限一a=b 家限角平分线上的点四象限一a北0一那ab 与轴平行一纵坐标相等，横坐标不等 平行于轴的线 与y轴平行一横坐标相等，纵坐标不等 一b>0一在正半轴 ×=0一与y轴交点(0，b)十b<0一在负半轴 与坐标轴交点 Lb=0一过原点 y=0- 与×轴文点（一0）一与x轴交点 一次函数 k 上升k>0)/下降k<0)趋势 直线位置十b 与y轴交点的纵坐标 由k, b的符号确定示例：k◇0，b>0一一、二、三象限 函数 双曲线 关于原点中心对称的两条分支组成一补充双曲线还关于直线y=X、y=-X轴对称 y 双曲线位于第一、三象限一X,y同号 k>0 反比例函数 在每个象限内，y随x的增大而减小 双曲线位于第二、四象限一×，y异号 k<0 性质 在每个象限内，y随x的增大而增大 重滩点 所得矩形的面积为k k的几何意义一双曲线上任一点向x、y轴作垂线 所得直角三角形的面积为2内 一抛物线到=2+bx+ca≠0)一若点（红1，八、 (2,)在抛物线上一对称轴为：江=1十型 2 ①a的作用一a>0开口向上，a<0开口向下 ·ab>0一在y轴左侧 二次函数 2系数a、b的配合作用 ab<0一在y轴右侧 b=0一y轴 Cc>0一与y轴正半轴相交 ③系数c的作用 c=0一经过原点 与系数a、b、c的关系 c<0一与y轴负半轴相交 △>0+有2个交点 ④与x轴交点的关联一 由判别式△=b2-4ac决定 十△=0+有1个交点 L△<0→无交点 厂=1：y=a+b+c一判断a+b+c的符号 x=-1:y=a-b+c一判断a-b+c的符号 ⑤特殊值对应的函数值 X=2:y=4a+2b+c一判断4a+2b+c的符号 ×=-2:y=4a-2b+c一判断4a-2b+c的符号 国考点清单 14/ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点01一次函数的图像与性质 k>0 k<0 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 图像 趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小 与y轴 交点的 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 位置 经过 第一、二、 第一、三、 第一、二 第二、三、 第一、三象限 第二、四象限 的象限 三象限 四象限 四象限 四象限 1)直线y=kx+b(k1≠0)与直线y=kx+b,(k,≠0)平行 飞1=飞3,6≠b 拓展 2)直线y=kx+b(k1≠0)与直线y=k2x+b,(k≠0)垂直台 %3=-1 【补充说明】一次函数y=x+b(k≠O)的性质主要是指函数的增减性，即y随x的变化情况，它只与k的 符号有关，与b的符号无关. 考点02反比例函数的图像与性质 k的符号 k>0 k<0 图像 图像位置 图像分别位于第一、第三象限(x、y同 图像分别位于第二、第四象限(x、y异 号) 号) 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 图像特征 1)图像是关于直线y=x和y=-x对称的双曲线： 2)图像是关于原点对称的双曲线： 15/ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)图像无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交 【易错易混】 1.反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前 提.当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x 的增大而减小.同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大 2.反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数 的增减性，也可以推断出k的符号。 3.双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个 分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）. 考点03二次函数的图像与性质 基本形式 y=ax2 y=ax'+k y=a(x-h) y=a(x-h)+k y=ax2+bx+c h>0,k>0 a>0 >.X 图 像 h<0k>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h b 2a 顶点坐标 (0,0) (O,k) (h,0) (h,k) 4ac-b2 2a 4a 最 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值： 值 a0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值 16/ 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【小结】二次函数曼小值（域最大值）为0(k或4c-b子) 4a 增 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大。 减 性 a0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 考点04二次函数的图像特征与各项系数之间的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口 的大小(a越大，开口越小). a<0 开口向下 b=0 对称轴是y轴，即-云0 b 左同右异中间0 a,b同号 对称轴在y轴左侧，即- 2a0 a,b异号 对称挂在y轴右侧，即-品>0 c=0 图像过原点 c c>0 与y轴正半轴相交 c决定了抛物线与y轴交点的位置. c<0 与y轴负半轴相交 b2-4ac>0 与x轴有两个不同的交点 b2-4ac b2-4ac的正负决定抛物线与x轴交点个数 考点05函数的平移 1.一次函数的平移变换 平移变换 平移方式(m>0) 函数解析式 向上平移m个单位 y-kx+b+m y=kx+b 向下平移m个单位 y-kx+b-m 17/ 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 向左平移m个单位 y=k(x+m)+b 向右平移m个单位 y=k(x-m)+b 【总结】一次函数图象平移后，k值不变因此可求出原函数图象上任意一点平移后得到的点的坐标，再利用 待定系数法即可求出平移后的解析式 2.二次函数图像的平移 平移方式(n>0) 般式y=ax2+bx+c 顶点式y=a(x-h)2+k 平移口决 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)'+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax +bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax +bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 平移口诀： 左加右减（只改变x),上加下减（只改变y) 知识点04三角形和四边形 命题解码 考向 出题形式 命题角度 重 基础概念与运算辨 选择 1.三角形的分类、三边关系、内角和定理辨析 析 2.特殊三角形（等腰、等边、直角三角形）的性质与判定辨析 3.三角形的高、中线、角平分线、中位线的性质应用 4.多边形内角和、外角和公式的直接应用 5.平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义与性质辨析 6.轴对称、中心对称图形的识别（结合三角形/四边形） 重 核心运算与性质应 填空 1.三角形角度计算（含外角定理、直角三角形两锐角互余） 用 2.等腰/直角三角形的边长、周长、面积计算（含勾股定理） 3.三角形中位线定理的相关计算 4.平行四边形、矩形、菱形、正方形的边长、对角线、面积计 算 5.特殊四边形的对称性、边长/角度的性质应用计算 6.多边形的边数、内角和/外角和的逆向计算 难 综合应用与含参讨 解答 1.三角形全等/相似的证明与性质应用（含多步证明、线段/角 论 度转化) 18/ 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.特殊三角形（等腰/直角）与四边形的综合证明与计算 3.平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质综合题 4.三角形/四边形的动点问题（点动、线动、面动，含存在性 讨论) 5.含参数的三角形/四边形问题（如边长含参、角度含参的分 类讨论) 6.几何最值问题（如将军饮马模型、折叠问题中的最值） 变 选择/填 1.三角形/四边形的折叠、旋转、平移等几何变换问题 情境与形式创新 空/解答 2.以实际情境为载体的几何建模题（如测量、拼接问题） 3.开放性几何题（如条件开放、结论开放的三角形/四边形证 明) 4.几何图形的变式探究（如条件弱化、结论推广的多问探究) 5.结合网格、坐标系的三角形/四边形问题（坐标法解几何） 选择/填 1.跨学科情境的几何问题（如物理受力分析、工程测量中的三 新 跨学科与开放探究 空/解答 角形/四边形应用) 2.几何新定义问题（如自定义“等邻边四边形”“奇异三角 形”等) 3.几何规律探究题（如多边形分割、图形拼接的规律总结) 4.多模块融合题（三角形/四边形与函数、方程、统计的综 合) 5.开放探究类压轴题（如条件探究、结论探究、方法探究的多 问压轴) 丽一图串考法 19/ 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三边性质一关系一两边之差第三边<两边之和 三角形的性质 内角和-180 角度性质 外角=不相邻的两个内角之和 等边对等角 性质三线合一 等腰三角形 两腰相等 定义法一有两边相等的4 判定 等角对等边 三个角相等且为60 性质 三边相等 等边三角形 一般三角形 三个角相等 特殊三角形 判定 三条边相等 等腰三角形中，有一个角是60 角的性质一两锐角互余 性质边的性质一两直角边的平方和-斜边的平方（勾股定理） 中线斜边的一半 待殊线的性质 直角三角形 若A0则a- 三 厂有一个角是直角 角的荆定两个内角互余 角形与四边 判定 线段判定一中线-斜边的一半 勾股定理逆定理一a2+b2=c2 热门考点 核心元素 边一两条直角边a,b以.斜边c) 角一两个锐角（∠A.B 三边关系一a2+b2=c2 两锐角关系一∠A+∠B=90 基本关系 解直角三角形 i血A=cosB=4 边角关系十 sinB=COSA= c 1 tanA= tanB=方 殊结论（∠A=30时 30'角对边=斜边的-华：a=2 继承平行四边形所有性质 四个角都是直角 性质 对角线相等 既是中心对称图形，又是轴对称图形 矩形 有一个角是直角的平行四边形 判定 有三个角是直角的四边形 对角线{对角线相等的平行四边形 特殊平行四边形 四条边部相等 性质 对角线互相垂直目平分一组对角 形 有一组邻边相等的平行四边形 判定 四条边都相等的四边形 对角线{ 互相垂直的平行四边形 四条边相等，四个角是直角 性质 对角线相等且互相垂直平分、平分一组对角 有4条对称轴（既是中心/轴对称图形） 正方形 边 有一组邻边相等的柜形 判定 角{ 有一个角是直角的美形 对角线互相垂直的柜形 对角线 对角线相等的菱形 20/ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 色考点清单 考点01特殊三角形的性质与判定 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 性 (1)两腰相等。 (1)三边相等 (1)两锐角之和等于90° 质 (2)两底角相等（简写成“等边 (2)三个内角相等，都等于60°. (2)斜边上的中线等于斜边的 对等角”) (3)是轴对称图形，有三条对称 一半 (3)顶角的平分线、底边上的中 轴。 (3)30°角所对的直角边等于 线、底边上的高线互相重合（简 (4)等边三角形三条角平分线的 斜边的一半 称“三线合一”) 交点、三条高线的交点、三条中 (4)勾股定理：两直角边的平方 (4)是轴对称图形，有一条对称 线的交点重合. 和等于斜边的平方，即a2+ 轴 b2=c2(a,b为直角边，c为 斜边) 判 (1)有两条边相等的三角形是等 (1)三边相等的三角形是等边三 (1)有一个角为90°的三角形 定 腰三角形 角形 是直角三角形 (2)有两个角相等的三角形是等 (2)三个角都相等的三角形是等 (2)有两个角互余的三角形是 腰三角形（依据“等角对等 边三角形 直角三角形， 边”) (3)有一个角等于60°的等腰三 (3)勾股定理的逆定理：若a2+ 角形是等边三角形. b2=c2,则以a,b,c为三边 的三角形是直角三角形 面 S=h(a为等腰三角形的 2 S=V 2a2(a为等边三角形的 sab=cm(a,b为直角 积 4 底边长，h为底边上的高) 边，c为斜边，m为斜边上的 边长). 高)· 考点02全等三角形的性质与判定 全等三角形的性质： 1)全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2)全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等. 21/ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)全等三角形的周长相等，面积相等（注意：周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形） 判定两个三角形全等的思路：证明两个三角形全等时，要认真分析己知条件，仔细观察图形，弄清已具备了 哪些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法，一般可按下面的思路 进行： 找第三边 SSS 定两 已知两边 找夹角 SAS 找直角 HL 一边为角的对边 AAS 找另一角 角 已知一边、一角 找夹角的另一边 SAS 一边是角的邻边 找夹边的另一角 ASA 找边的对角 AAS 等 找夹边 ASA 已知两角 思 找其中一角的对边 AAS 考点03相似三角形的性质与判定 1.相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。 ②相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比. ③相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方 ④三角形的相似具有传递性：若△ABC∽△DC,△ABC∽△ADB,则△FDC∽△ADB. 【易错点】对相似三角形的面积比不清而出错 2.相似三角形的判定 判定三角形相似的常用定理 直角三角形相似的判定方法 1 平行于三角形一边的直线和其他两边相交， 有一个锐角相等的两个直角三角形相似 所构成的三角形与原三角形相似。 2 三边成比例的两个三角形相似 两组直角边成比例的两个直角三角形相似： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似 两角分别相等的两个三角形相似。 22/ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点04解直角三角形 已知条件 解法步骤 图示 斜边和一直角边 C=sinA→∠A→∠B=90°-∠A 两 (如a,c) a,c→ A b=vc-a 边 两直角边 a,b→b =tamA→∠A→∠B=90°-∠1 (如a,b) c=va+b B 斜边、锐角 ∠B=90°-∠A c,∠A→ (如c,∠A) a=csin d,b=ccosd 一直角 对边，锐角 ∠B=90°-∠A 边 边， (如a,∠A) a,∠A→ a a b=- ,C= tand sind 锐角 帝 邻边，锐角 ∠B=90°-∠A (如b,∠A) b,∠A→ b a=btan A,c=- sA 考点05特殊四边形的性质 四边形 边 角 对角线 对称性 平行四边形 对边平行且相等 对角相等 两条对角线互相平分 中心对称图形 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形、中心对 称图形 菱形 对边平行且四条边 对角相等 两条对角线互相垂直平分，且 轴对称图形、中心对 都相等 每一条对角线平分一组对角 称图形 正方形 对边平行且四条边 四个角都是直角 两条对角线互相垂直平分且相 轴对称图形、中心对 都相等 等，每一条对角线平分一组对 称图形 角 23/ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点06特殊四边形的判定 四边形 边 角 对角线 平行四 1)两组对边分别平行 两组对角分别相等 两组对角线互相平分 边形 2)两组对边分别相等 3)一组对边平行且相等 矩形 1)平行四边形+一直角 平行四边形+两条对角线相等 2)四边形+三直角 菱形 1)平行四边形+一组邻边相等 平行四边形+两条对角线互相垂直 2)四边形+四条边都相等 正方形 矩形+一组邻边相等 菱形+一直角 矩形+对角线互相垂直 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 菱形+对角线相等 知识点05圆 命题解码 考向 出题形式 命题角度 重 基础概念与运算辨 选择 1.圆的基本概念辨析（圆心、半径、弦、弧、圆心角、圆周角 析 的定义与关系) 2.垂径定理及其推论的辨析与直接应用 3.圆周角定理（直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相 等)的辦析 4.点与圆、直线与圆的位置关系判定(d与r的数量关系) 5.圆的对称性（轴对称、中心对称）的识别与应用 6.正多边形与圆的基本概念辨析（中心角、边心距） 重 核心运算与性质应 填空 1.垂径定理相关计算（弦长、半径、弦心距的勾股定理应用） 用 2.圆心角、圆周角的角度计算（含多步转化） 3.弧长、扇形面积的公式直接计算 4.圆锥的侧面积、全面积与展开图相关计算 5.切线的性质应用（切线与半径垂直)的基础计算 6.圆内接四边形的性质（对角互补）相关角度计算 24/ 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 难 综合应用与含参讨 解答 1.切线的判定与性质综合题（证明切线、利用切线性质计算线 论 段/角度) 2.圆与三角形/四边形的综合（圆内接三角形、四边形的证明 与计算) 3.圆的综合证明与计算（垂径定理、圆周角定理、切线性质的 多步综合) 4.圆与函数的综合（坐标系中圆与一次/二次函数的交点、切 线问题) 5.含参数的圆的问题（如圆心坐标、半径含参的位置关系讨 论) 6.圆中的最值问题（如线段最值、弧长最值、面积最值） 变 情境与形式创新 选择/填 1.圆的折叠、旋转等几何变换问题（如折叠后形成的圆的相关 空/解答 计算) 2.实际情境中的圆建模问题（如圆形零件、扇形零件的测量与 计算) 3.结合网格、坐标系的圆的问题（坐标法解决圆的位置关系、 切线问题) 4.圆的变式探究题（如条件弱化、结论推广的多问探究） 5.与相似、勾股定理结合的圆的综合题（圆中线段比例、长度 计算) 新 跨学科与开放探究 选择/填 1.跨学科情境的圆的问题（如物理中的圆周运动、工程中的圆 空/解答 形构件问题) 2.圆的新定义问题（如自定义“等弧圆”“伴随圆”等） 3.圆的开放探究题（如条件开放、结论开放的圆的证明与计 算) 4.多模块融合压轴题（圆+函数+几何变换的综合探究） 5.与大数据、实际应用结合的圆的优化问题（如扇形面积的最 值设计) 翻一图串考法 25/ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 垂径定理的五个元素 过圆心垂直弦 平分弦（非直径）平分优弧平分劣弧 垂径定理模型 知二推三目一任意2个元素一另外3个一平分的弦不能是直径 公式一弦长一半：十弦心距=半径： 构造Rt计算线段长度 题型一已知半径弦长/弦心距，求另外一个量 Γ所对的弧相等 基本结论一相等的圆心角 L所对的弦相等 一弧、弦、圆心角的关系 一所对的圆心角相等 同弧或等等弧 前提：同圆/等圆中 性质 所对的弦相等 推论 所对的圆心角相等 两条弦相等 L所对的弧（同类型）相等 厂定理一 条弧所对圆周角=所对圆心角的一半 圆周角定理 厂半圆（或直径所对的圆周角是直角 推论 L90的圆周角所对的弦是直径 「对角互补 圆内接四边形一性质 L任意一个外角等于它的内对角 符号说明一d为点到圆心的距离，r为圆的半径 点和圆 点在圆内分d<r 位置关系 点在圆上分d=r 点在圆外台d>r 符号说明一d为直线到圆心的距离，r为圆的半径 相较一关系一d<r 位置关系 关系一d-r 性质一圆的切线垂直过切点的半径 圆 热烤 经过半径外端且垂直于这条半径的直线，是圆的切线 直线和圆 相切判定 有明确交点，连半径，证直线与半径垂直 证明直线与圆相切 无明确的交点，过圆心作垂线段，证其等于半径 圆外一点圆的2条切线，切线长相等 切线长一切线长定理 点与圆心的连线平分切线夹角 关系一d>r 相离 特征一直线和圆无公共点 ·正多边形必有外接圆，一个圆有无数个内接正多边形 正多边形与圆 ΓAC2+0C2=A02 L中心、边中点、顶点组成Rt ∠A00=A0B 性质 符号说明一是圆心角度数，r为圆的半径 孤长公式 rl= 包开P 公式 180 LL,n,三个变量，知二推 与圆有关的计算 面积一8= nR2 360 扇形 周长一C=2R+1=2R+ nr几 180 扇（弓）形面积 26/ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 色考点清单 考点01圆的基本性质 1.垂径定理及推论 定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.如图，CD D 是⊙0的直径，AB为弦，CD⊥AB于点E,则AE=BE, AC=BC.AD=BD 推论 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.如图，CD是⊙0的直径，AB BE, 则CD⊥AB,AC=BC,AD=BD 延伸 (1)平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧. (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧！ 小技巧 条直线如果具备：①经过圆心；②垂直于弦，③平分弦（非直径），④平分弦所对的优弧， ⑤平分弦所对的劣弧，上述五个条件中的任意两个条件都可以推出其它三个结论，简称“知 推三” 2孤、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 如图所示，·∠AOB=∠COD,∴.AB=CD,AB=CD B 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量 都分别相等 【注意】不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，如果遗漏了这个前提条件，即使圆心角相等，所对的 弧、弦也不一定相等 3.圆周角定理及推论 定理 条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 27/ 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 常见图 形 0 结论 1 LBAC=2∠BOC 推论 1)同弧或等弧所对的圆周角相等 2)半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 4.圆内接四边形的概念及性质 概念 如果一个四边形的所有顶点均在同一个圆上，那么这个四边 形叫做圆内接四边形， 性质 圆内接四边形对角互补 ∠BAD+∠BCD=180°， ∠ABC+∠ADC=180° 延伸 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（即与该外角 ∠1=∠2 相邻的内角的对角)· 考点02切线相关 1,切线的定义：线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点. 2.性质与判定： 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 判定 1)定义法：当直线与圆有且只有一个公共点时，直线与圆相切： 2)数量关系法：当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切： 3)判定定理法：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 3.切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.如图中的PA, PB两条线段的长为点P到⊙0切线长(PA,PB与⊙0相切). 4.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹 角 28/ 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 考点03三角形的内心和外心 三角形的内切圆 三角形的外接圆 圆心的确 三角形三条角平分线的交点， 三角形三边垂直平分线的交点， 定 叫三角形的内心 叫三角形的外心 图示 D 圆心的性 1)内心到三角形三边的距离相等， 1)外心到三角形三个顶点的距离相等， 质 即0D=0E=0F. 即0A=0B=0C. 2)OA、OB、OC分别平分 2)∠A=∠B0C 2 ∠BAC、∠ABC、∠ACB. 1 3)∠B0C=90°+2∠BAC, 圆心的位 一定在三角形的内部 锐角三角形：在三角形的内部： 置 直角三角形：为三角形的斜边的中点： 钝角三角形：在三角形的外部 考点04正多边形与圆有关计算 1)内角：正n边形的每个内角和为n-2x180 =1800360° 360° 2)外角/中心角：正n边形的每个外角/中心角为 29/ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)周长：正n边形的周长1=a(a为边长). 中心角 4)面积：正n边形的面积S=二rl(r为边心距，为周长) 5)正多边形的毕径，边长和边心距之间的关系为R2=r2十 a 内角 边心距 R 6)正多边形的半径，边长和中心角之间的关系为a=2R·sin 80° n 7)正多边形的半径，边心距和中心角之间的关系为r=R·Co 180° n 【技巧总结】 1)正六边形的边长等于正六边形的外接圆的半径， 2)正方形的边长等于正方形的外接圆的半径的v2倍： 3)正三角形的边长等于正三角形的外接圆的半径的V3倍. 考点05弧长与扇形面积 nπR 弧长公式：1= (n为圆心角的度数，R为圆的半径). 180 扇形的面积公式：S扇形 nπR2 a为圆心角的度数，R为圆的半径)=R1是n° 的圆心角所对的弧 360 2 长) 【补充】 1)根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，1，n,R中的任意两个量，都可以求出另外两个量. 2)在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然 后直接代入公式8形或8形R中求解即可。 3当已知半径R和圆心角的度数求扇形的面积时，可以选用公式S扇形= nπR2 :当已知半径R和弧长1求 360 扇形的面积时，可以选用公式S影一R。 30/ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点06圆锥的相关计算 圆锥常见量之间的关系（如图） 设圆锥的母线长为1，底面圆的半径为r,高为h (1)这个扇形的弧长为2πr; (2)r2+h2=12; 1 3)自=2-2=元1 (4)S维全=πl+元r2=πr(1+r2） (5)圆锥侧面展开图的圆心角度数为n=·360←2元7= 1 360 【补充】求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个 扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长，即2mr-, 1801 来建立圆锥底面圆的 半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系. 考点07阴影部分面积计算 1.弓形面积的求法 当弓形所含的弧是劣弧 当弓形所含的弧是优弧 当弓形所含的弧是半圆 A B B S号=S扇形408 △AOB S号=S扇形AoB+SAOB 1 2.求不规则图形面积的常用方法 1)求和（差）法：把图形适当分割，将不规则图形的面积转化成几个规则图形面积的和或差 如图(1)， S阴影=S扇形OAB一S AODE 2)等积转化法：通过等面积转化，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来计算。 如图（②），点D为AB的中点，则S阴影=SA4BD。 如图(3)，已知扇形A0B,DO/AB,则S阴影=S。DAB+S号形AB=SaAB+S号形AB=S形AOA 31/ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)容斥原理法：当阴影部分由几个图形叠加而成时，利用“阴影部分的面积=叠加前的几个图形的面积之和 一（多加部分的面积+空白部分的面积）”求解 如图(4)，阴影部分是扇形ABE和扇形ACD的重叠部分，则 S阴影=S扇形ABB+S扇形AcD-S,ABc B 图(1)图(2)图(3)图(4) 知识点06图形变换 命题解码 考向 出题形式 命题角度 重 基础概念与运算辨 选择 1.轴对称、中心对称图形的识别（含三角形、四边形、圆等基 灰 础图形) 2.平移、旋转、轴对称的基本概念辨析（对应点、对应线段、 对应角的性质) 3.图形变换的坐标变化规律辨析（平移、对称、旋转后的坐标 变化) 4.三视图与投影的概念辨析（主视图、左视图、俯视图，平行 投影与中心投影) 5.图形变换的对称性判断（如正多边形的对称轴数量、中心对 称的判定) 重 核心运算与性质应 填空 1.平移变换的坐标计算（沿x轴、y轴平移后的点坐标、图形 用 面积变化) 2.轴对称变换的计算（对称点坐标、对称轴方程、折叠问题中 的角度/边长计算) 3.旋转变换的计算（旋转中心、旋转角、对应点距离、旋转后 图形的边长/角度) 4.三视图相关计算（由三视图还原几何体、计算几何体的表面 积与体积) 5.图形变换中的面积、周长计算（如平移/旋转后图形的面积 不变性应用) 难 综合应用与含参讨 解答 1.折叠问题综合（三角形、四边形、圆的折叠，含多步推理、 论 存在性问题) 32/ 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.旋转问题综合（以三角形、四边形为载体的旋转，含全等/ 相似证明、最值问题) 3.图形变换与函数综合（坐标系中平移、对称、旋转与一次/ 二次函数的结合) 4.含参数的图形变换问题（如旋转中心、平移距离含参的分类 讨论) 5.图形变换中的几何最值问题（如将军饮马、胡不归模型，利 用轴对称求最值) 变 情境与形式创新 选择/填 1.网格背景下的图形变换问题（在网格中作平移、对称、旋转 空/解答 后的图形) 2.图形变换的实际情境建模（如剪纸、拼图、图案设计中的轴 对称/中心对称) 3.多变换组合问题（平移+旋转、轴对称+旋转的复合变换问 题) 4.结合相似、勾股定理的图形变换问题（如旋转构造全等/相 似三角形) 5.图形变换的信息解读题（结合生活场景的变换规律分析） 新 跨学科与开放探究 选择/填 1.跨学科情境的图形变换问题（如物理运动轨迹、建筑设计中 空/解答 的图形变换应用) 2.图形变换的新定义问题（如自定义“旋转变换”“反射变 换”的规则探究) 3.开放探究类图形变换题（如给定部分变换条件，探究变换规 律或结论) 4.多模块融合压轴题（图形变换+函数+几何的综合探究题） 5.图案设计与优化问题（利用图形变换设计对称图案，探究最 优方案) 园一图串考法 33/ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 r向右平移a个单位一(x+a,y) 向左平移a个单位一(x-a,y) ·平移一平移后坐标 右加左减横坐标，上加下减纵坐标 图形变换 向上平移a个单位一（仪，yta) 向下平移a个单位一(x,y-a) 关于轴对称一(x,y) 坐 一(Xy) 对称一对称点坐标 关于y轴对称一(x,y) 关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变 标 关于原点对称一（←×，-y) 绕原点顺时针旋转90°一(y,-×刈 ·旋转一旋转点坐标 合 绕原点逆时针旋转90°一（←y,刈 绕原点顺时针/逆时针旋转180°一（←×，-y) 考点 0平移前后图形全等 ⑦对应线段：平行/共线+相等，对应角：相等 平移的性质 目对应点连线平行/共线+相等 图形变换 ④对应点距离=平移距离 对应点所连线段被对称轴垂直平分 轴对称的性质 对应线段相等、对应角相等 旋转前后图形全等一△ABC兰△ADE 对应点到旋转中心距离相等一AB=AD 对应点与旋转中心的连线夹角=旋转角一∠DAB=旋转角 旋转的性质 解决旋转问题的关键 找旋转角、对应点，用旋转性质 两个图形全等一△ABC兰△A'B'C 经过中心一AA过点O 对应点的连线 中心对称的性质 -被对称中心平分一AO=A'O 色考点清单 考点01图形的对称 1.轴对称图形与轴对称 轴对称图形 轴对称 概念 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它 两旁的部分能够互相重合，那么这个图形 能够与另一个图形重合，那么称这两个图 就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称 形关于这条直线对称，也称这两个图形成 轴 轴对称，这条直线叫做对称轴， 34/ 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图示 B CC' 性质 被对称轴分成的两部分是全等图形 1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分： 2.对应线段相等，对应角相等： 3.两个图形全等 区 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 具有特殊形状的图形 别 对象不同 两个图形 一个图形 对称轴的 在两个图形之间 过图形的某条直线 位置不同 对称轴的 只有一条 不一定只有一条 数量不同 联系 1)沿对称轴折叠，两个图形重合 1)沿对称轴折叠，图形的两部分重合 2)如果把成轴对称的两个图形看成一个整 2)如果把轴对称图形的两部分看作两个图 体，那么它就是一个轴对称图形 形，那么这两个图形成轴对称 特别提醒：折叠的实质是轴对称变换，折痕所在的直线是对称轴，折叠前后的图形全等，对应点的连线被折 痕所在直线垂直平分， 2.中心对称图形与中心对称 中心对称图形 中心对称 概念 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果 把一个图形绕某点旋转180°，如果它能够与另一 旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么 个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对 这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它 称或中心对称，这个点叫做对称中心 的对称中心. 图形 D B 性质 过对称中心的直线把中心对称图形分成的两 1)中心对称的两个图形是全等图形： 部分的周长与面积分别相等！ 2)中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对 称中心，而且被对称中心所平分： 35/ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)中心对称的两个图形，对应线段平行（或在一条 直线上)且相等 区别 指具有某种性质的一个图形 指两个图形的（位置）关系 考点02图形的平移 概念 把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形这种移动叫做平移.它责 移动方向和距离决定的： 图示 平移方向 D 平移距离 性质 1)平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等. 2)平移前后对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、对应角相等 3)任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移 距离。 作图步骤 1)定：根据题目要求，确定平移的方向和距离： 2)找：找出确定图形形状的关键点： 3)移：过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线段， 得到关键点的对应点： 4)连：按原图顺序依次连接各对应点 【注意】确定一个图形平移后的位置需要三个条件：①图形原位置：②平移的方向；③平 移的距离。 考点03图形的旋转 概念 把一个平面图形绕着平面内某一点0转动一个角度，叫图形的旋转，点0叫做旋转中心，转 动的角叫旋转角 要素 旋转中心、旋转方向、旋转角 36/ 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图示 旋转方向 B A C" 旋转角 性质 1)旋转前后的两个图形全等： 2)对应点到旋转中心的距离相等： 3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 作图步骤 1)根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角： 2)找出原图形的关键点： 3)连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点： 4)按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形。 知识点07统计与概率 命题解码 考向 出题形式 命题角度 重 基础概念与运算辨 选择 1.普查与抽样调查的适用场景辨析 析 2.总体、个体、样本、样本容量概念识别 3.平均数、中位数、众数、方差的意义与判断 4.必然事件、不可能事件、随机事件的区分 5.频率与概率的概念辨析 6.常见统计图（条形、折线、扇形）特点判断 重 核心运算与性质应 填空 1.平均数、加权平均数、中位数、众数计算 用 2.方差、极差的计算与数据稳定性判断 3.扇形统计图圆心角度数计算 4.简单随机事件概率直接计算 5.根据频数、频率求总数或某组频数 6.用样本估计总体的简单计算 难 综合应用 解答 1.统计图综合补全与信息分析（条形+扇形+表格） 2.统计推断与决策类问题（根据数据提建议） 3.列表法或画树状图求两步及以上随机试验概率 4.概率与统计结合的实际应用题 5.游戏公平性判断与方案设计 6.统计图表与方程、不等式的简单综合 37/ 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变 情境与形式创新 选择/填 1.结合生活实际的统计图表信息题 空/解答 2.重复试验下用频率估计概率 3.几何概型（面积、长度类概率计算） 4.多组数据对比分析与综合评价 5.统计量变化对数据结果的影响分析 选择/填 新 跨学科与开放探究 1.结合环保、体育、健康等真实背景的统计题 空/解答 2.新定义统计量或概率规则的阅读理解题 3.数据收集、整理、描述、分析的完整流程考查 4.开放设问：根据统计数据提出合理建议 5.概率与函数、几何图形结合的综合探究题 丽一图串考法 「优点一数据全面、结果精准 全面调查 缺点一花费多、工作量大、耗时长，部分情况无法普查 方式 优点一花费少、省时、易操作 抽样调查 儿缺点一样本若不具代表性，结果可能偏离真实情况 数据的收集整理与描述 9 特点一用扇形面积表示各部分占总体的比例 扇形统计图 常用统计图 特点一用长方形高度表示数据的数量多少，直观对比 条形统计图 空 一特点一用折线起伏表示数据的变化趋势 折线统计图 统计与概率 平均数一易受极端值影响，适合数据分布均匀的情况 中位数一不受极端值影响，适合数据有异常值的情况 统计量的选择与应用 众数一反映数据的多数水平”，适合市场调研 方差一比较两组数据的稳定性 公式法（估典概型一P4)=严厂m: 事件A出现的次数 nLn:所有事件的总数 适用条件一涉及两个因素、可能性相等、结果数目较少 直接列举法 注意 按顺序列举，保证不重不漏 列表法一适用条件一涉及两个因素、可能性相等、结果数日较多 概率的 计算方法 树状图法 适用条件一涉及因素23个、可能性相等 适用场景一结果有无限个，且每个结果发生的可能性相等 一几何概率 公式一P(A)= 事件A对应的区域面积 整个图形的总面积 通过大量重复试验，用事件发生的频率估计概率 用频率估计概率一方法 频率一 发生次数 试验总次致 国考点清单 38/ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点01数据的收集 1.普查与抽祥调查 概念 优峡点 举例 普查 考察全体对象的调查叫 优点：收集到的数据全面、准确。 1)检测“神舟十六号”飞船的零 做全面调查， 部件。 缺点：一般花费多、工作量大，耗 2)了解全班50名同学每天体育锻 时长 炼的时间 只抽取一部分对象进行 优点：调查范围小，花费少、工作 1)测试一批灯泡的使用寿命或炮 抽样 调查，然后根据调查数 量较小，省时 弹的杀伤半径等， 调查 据推断全体对象的情况 峡点：抽取的样本是否具有代表 2)调查某批中性笔的使用寿命. 叫做抽样调查 性，直接关系到对总体估计的准确 3)了解全国中学生的视力和用眼 程度 卫生情况 2.总体、个体、样本、样本容量与简单随机抽样 分类 概念 注意事项 举例 总体 要考察的全体对象 考察一个班学生的身高，那么总 对全市2.3万名初中毕业生升学考试的数 称为总体 体就是指这个班学生身高的全 学成绩进行统计调查，为了了解这2.3万 体，不能错误地理解为学生的全 体为总体 学生的数学成绩，从中抽取1000名学生的 个体 组成总体中的每一 总体包含每一个个体，所有的个 数学成绩进行统计.那么： 个考察对象 体组成总体 总体指的是2.3万名学生的数学成绩： 样本 被抽取的个体组成 样本是总体的一部分，一个总体 个体指的是每一个学生的数学成绩： 一个样本 中可以有许多样本，样本能够在 定程度上反映总体 样本指的是1000名学生的数学成绩： 样本 样本中个体的数目 样本容量是一个数字，不带单 样本容量是1000. 容量 称为样本容量 位 考点02平均数、中位数、众数、方差 分类 定义 特点/意义 应用 39/ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 平均 算术平均数：一般地，对于n个数X1,X2,…, 反映一组数据的平均 根据两组数据的平 数 水平，容易受到极端 均数评价、比较两 X,则这n个数的平均数为 值的影响 组数据的整体水平. x=,十+X,记作“x”,读作“x拔” n 加权平均数：若n个数x1,x2,…,xn的权分别 是w1,w2:…,w,则产1w1+2w2++nw2 w1+w2+…+Wn 叫做这n个数的加权平均数. 中位 一般地，将一组数据按大小顺序排列后，处于中 反映一组数据的“中 判断某个数据在某 数 间位置的数叫做这组数据的中位数.如果数据的 等水平” 组数据中所处的位 个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数 置，比中位数大，位 据的中位数。 于前50%；比中位数 小，位于后50%. 众数 组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的 反映一组数据的“多 常与“最受欢迎” 众数 数水平”，只与数据 “最满意”“最佳” 出现的次数有关 有关 方差 设有n个数据x1,x2,…,xn,各个数据与平均 方差是用来衡量数据 在平均数相同的情 数x的差的平方分别是(x1-)2,(x2-)2, 在平均数附近波动大 况下，比较两组数据 ,(xn-)2,我们用这些值的平均数，即用 小的量，方差越大， 的稳定性 s2=01-x》+(c2-列2+…+m-习]来 数据的波动性越大， 方差越小，数据的波 衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据 动性越小 的方差，记作s2 考点03统计图/表的分析 类型 图示 特点 扇形统计图 1)各百分比之和为1； B C 2)扇形圆心角的度数=该部分所占百分比 30% /D ×360° 10% 3)特点：能清楚地表示出各部分在总体中所 40/ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 占的百分比 条形统计图 人数 1)能清楚地表示出各部分的具体数目 20 2)各部分数量之和等于抽样数据总数（样本容 10 量) 以 菜品 折线统计图 ◆气温/C 1)能清楚地反映事物的变化情况 34 30 28 37 2 周日周一周二周三周四周五周六日期 频数分布表 分组 频数 频率 1)各组频率之和等于1 151.5-156.5 0.15 156.5-161.5 0.10 161.5166.5 6 a 166.5-171.5 0.25 171.5~176.5 4 0.20 频数分布直方图 个频数 1)能清晰、直观地显示各组频数的分布情况 20H 20 及数据的整体状况， 1614 16 12 2)各组频数之和等于抽样数据总数（样本容 4 量) 102030405060使用次数 考点04概率的计算 概率的计算 1.计算概率的公式：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等， 事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=”,即 n P(随机事件A)=随机事件A可能出现的结果数 所有可能出现的结果数 2.列举法求概率 41/ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1)列举法：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等， 我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法. 2)列表法：当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的 结果，这种方法叫列表法 3)画树状图法：当一次试验涉及两个或两个以上因素时，可采用画树状图法不重不漏地列举出所有 可能出现的结果，再根据概率公式计算， 3.用颜率估计概率：一般地，在大量重复试验中，随着试验次数的增加，事件A发生的频率”会稳定于 某个常数p,我们称事件A发生的概率为p. 42/ 中考数学必备7大知识36考点+提分技法全归纳 内容导览知识·技法清单 知识点01数与式（6大考点） 1 知识点02方程与不等式（5大考点） 8 知识点03函数（5大考点） 12 知识点04三角形和四边形（6大考点） 18 知识点05圆（7大考点） 24 知识点06图形变换（3大考点） 32 知识点07统计与概率（4大考点） 37 知识点01数与式 考向 出题形式 命题角度 基础概念与运算辨析 选择 1.实数的概念与分类（无理数、相反数、绝对值、倒数、科学记数法辨析） 2.二次根式的概念与性质（有意义的条件、最简二次根式、同类二次根式） 3.整式的相关概念（单项式/多项式的次数、系数，同类项的判断） 4.分式有意义/无意义/值为0的条件辨析 核心运算与性质应用 填空 1.实数的运算（含零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值、绝对值化简） 2.因式分解（提公因式法、公式法、十字相乘法的直接应用） 3.分式的化简求值（含整体代入、因式分解约分） 4.二次根式的化简与估值 综合运算与非负性应用 解答 1.分式/二次根式的混合运算（含化简求值、分母有理化、含参数的分式化简） 2.因式分解的综合应用（结合方程、代数式求值、恒等变形） 3.与整式/分式相关的规律探究题（数字规律、图形规律） 4.含绝对值、二次根式的非负性综合题（如“几个非负数和为0求参数”） 情境与形式创新 选择/填空 1.含新定义的数与式运算（如自定义运算规则、新定义数） 2.结合数轴的数与式问题（绝对值的几何意义、整式大小比较、动点问题） 3.跨情境数与式应用（用代数式表示实际问题中的数量关系） 4.含参数的分式/二次根式取值范围问题 跨学科与开放探究 选择/填空/解答 1.结合跨学科情境的数与式问题（如统计数据、科技/文化热点背景下的数与式计算） 2.开放型数与式问题（如“写出一个满足条件的无理数/代数式”） 3.数与式与函数/几何的综合题（如结合函数图像、几何图形的代数式求值） 4.与数论相关的创新题（如整除性、奇偶性、数的分类拓展） 考点01实数 1.实数的相关概念及性质（表格版） 名称 定义 性质 数轴 在数学中，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴. 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示.反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的. 相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，我们称其中一个数是另一个数的相反数. 1）若a，b互为相反数，则a+b=0 2）0的相反数是0 3）互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离相等且位于原点的两侧. 绝对值 数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|． 倒数 乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. 1）0没有倒数，倒数等于它本身的数是1和-1； 2）若ab=1a，b互为倒数； 若ab=-1a，b互为负倒数； 2.实数的混合运算 先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 实数计算的易错点： 1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； 2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 3）， 3.补充知识（特殊角的锐角三角函数值） 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sinα cosα tanα 1 考点02整式运算 1.整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 2.幂的运算 法则（m，n都是整数） 示例 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加，即 幂的乘方 底数不变，指数相乘，即 积的乘方 积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即 同底数幂的除法 底数不变，指数相减，即（a≠0） 3.整式的乘法 单项式乘单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数，同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 单项式乘多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即. 乘法 公式 平方差公式： 完全平方公式： 4.整式的除法 单项式除以单项式 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 多项式除以单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 考点03因式分解 考点04分式的运算 加减运算 1）同分母分式：分母不变，把分子相加减，即. 2）异分母分式：先通分，变为同分母的分式，再加减，即. 乘除运算 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 乘方运算 分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，且b≠0） 混合运算 分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 考点05二次根式的运算 加减运算 一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，即. 乘法运算 除法运算 混合运算 二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算. 考点06比较数的大小 （1）数轴比较法：将实数在数轴上表示出来，左边的数小于右边的数； （2）绝对值比较法：设a，b是两负实数，若|a|＞|b|a＜b； （3）求差比较法：设a，b是两实数，若 （4）求商比较法：设a，b是两正实数，若 （5）平方比较法：设a，b是两负实数，若a＜b； （6）估算法：设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较.例如≈1.414，≈1.732，≈2.236；【总结】比较实数大小的方法，常见的有作差法、作商法、倒数法、数轴法、平方法、估算法.这里主要介绍一下平方法：对任意正实数a，b，若a＞b；对任意负实数a，b，若a＜b. 知识点02方程与不等式 考向 出题形式 命题角度 基础概念与运算辨析 选择 1.一元一次方程、二元一次方程（组）的解的概念辨析 2.一元二次方程的根的判别式、根与系数关系（韦达定理）的基本应用 3.不等式（组）的解集表示、整数解判断 4.分式方程的增根与无解的条件辨析 核心运算与性质应用 填空 1.一元一次方程、二元一次方程组的求解 2.一元二次方程的求解（配方法、公式法、因式分解法） 3.分式方程的求解（含检验步骤） 4.一元一次不等式（组）的求解与解集表示 综合应用与含参讨论 解答 1.含参数的方程（组）/不等式（组）的解的情况讨论（如解的正负性、整数解个数） 2.一元二次方程与几何、函数的综合应用（如根的分布、面积问题） 3.分式方程的实际应用（工程、行程、销售问题，含检验） 4.不等式（组）与函数结合的方案设计、最值问题 情境与形式创新 选择/填空 1.含新定义的方程与不等式问题（如自定义方程、新定义不等式） 2.结合数轴、函数图像的不等式解集分析（如一次函数与不等式的关系） 3.跨情境方程建模（如结合统计、几何背景列方程/不等式） 4.含绝对值的方程与不等式 跨学科与开放探究 选择/填空/解答 1.结合跨学科情境的方程与不等式问题（如物理、化学、科技热点背景下的建模） 2.开放型方程与不等式问题（如“写出一个解为x=2的一元二次方程”） 3.方程与不等式的规律探究题（如数列递推、周期性问题） 4.方程（组）与函数、几何的综合压轴题（如动点问题中的方程建模） 考点01解一元一次方程 步骤 具体做法 变形的依据 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 等式的 性质2 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要将分子作为一个整体加上括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号法则，分配律 1)去括号时，括号前的数不要漏乘括号内的每一项; 2)当括号外的因数是负数时，去括号后原括号内的各项均要变号. 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 【易错点】移项过程中未变号 等式的 性质1 1）移项时不要丢项； 2）将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在方程同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0)的形式 合并同类项法则 1）系数的符号处理要得当； 2）未知数及其指数不变. 系数化为1 将方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x= 等式的 性质2 不要将分子，分母的位置颠倒 考点02解二元一次方程组 解二元一次方程组的一般步骤 1）把二元一次方程组中的一个未知数消掉(代入消元或加减消元)使其变成一元一次方程； 2）解一元一次方程，求出一个未知数的值； 3）将求出的未知数的值代入原方程，求出另一个未知数的值； 4）写出方程组的解. 【注意】 1）消元时要根据方程组的特点决定首先消去哪个未知数； 2）原方程组的每个方程在求解过程中至少要用到一次； 3）将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组的每一个方程中进行检验，看每个方程等号左、右两边的值是否相等，若都相等，则是原方程组的解，只要有一个方程等号左、右两边的值不相等，就不是原方程组的解. 考点03解分式方程 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程，即. 具体作法：将分式方程两边同乘最简公分母，约去分母，化为整式方程，再求根验根. 1）去分母→方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 2）解整式方程→去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 3）验根→将整式方程的解代入最简公分母， 若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，（可将这个解代入分式方程看左右两边是否相等） 若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【易错点】 1）去分母时漏乘某些项而导致计算结果错误. 2）方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 考点04解一元二次方程 根据方程的特点，选择适当的求根方法： 1）若方程具有的形式，可用直接开平方法求解； 2）当一元二次方程一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用因式分解法求解. 3）公式法是一种最常用的方法，用时一定要把一元二次方程化为一般形式，确定a，b，c的值，在的条件下代入公式求解. 方法 说明 直接开平方法 方程没有一次项时用直接开平方法较为简单（最直接的方法） 配方法 二次项系数为1，一次项系数为偶数时，用此方法较为简单（最基本的方法） 公式法 在配方法和公式法中，当各项系数均为整数，且绝对值较小时，首选公式法（万能方法） 因式分解法 方程没有常数项时用因式分解法较为简单；当方程中含有括号时，不要急于去括号，应观察是否能看作整体，直接因式分解（最简便的方法） 【总结】对于配方法、公式法和因式分解法，一般来说因式分解法较为简单，应优先考虑;对于整系数的一元二次方程，若一次项系数为偶数，则可以考虑用配方法；若以上两种方法都不太方便的话，则用公式法. 考点05解一元一次不等式组 一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 【易错点】 1）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 2）当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变. 3）关于x的不等式组的解集为x=a，关于x的不等式组无解. 知识点03函数 考向 出题形式 命题角度 基础概念与运算辨析 选择 1.函数的定义与自变量取值范围（分式、二次根式、零指数幂综合） 2.一次/反比例/二次函数的图像与基本性质辨析（k、a、b、c的作用） 3.函数值的计算、增减性判断与大小比较 4.函数图像的识别（实际问题图像、动点图像） 5.函数的对称性、平移规律辨析 核心运算与性质应用 填空 1.待定系数法求函数解析式（一次、反比例、二次函数） 2.函数图像的平移、对称、旋转变换计算 3.反比例函数k的几何意义（面积相关计算） 4.二次函数的顶点、对称轴、最值计算 5.一次函数与坐标轴的交点、与反比例函数的交点问题 综合应用与含参讨论 解答 1.一次函数与反比例函数的综合（交点、面积、不等式解集） 2.二次函数与几何综合（存在性问题：等腰/直角三角形、平行四边形、菱形等） 3.二次函数的最值问题（顶点最值、区间最值、面积最值） 4.含参数的一次/二次函数问题（参数对图像、交点、性质的影响） 5.函数与方程、不等式的综合（利用图像解不等式、方程根的分布） 情境与形式创新 选择/填空/解答 1.分段函数的实际应用（阶梯计费、行程分段问题） 2.函数建模的实际问题（一次/二次函数解决利润、方案选择） 3.函数图像的信息解读（图表、图像结合的实际问题） 4.反比例函数与几何图形的非常规综合（比例、相似、面积） 5.函数性质的变式探究（自定义函数、新运算） 跨学科与开放探究 选择/填空/解答 1.跨学科情境的函数建模（物理运动轨迹、跨学科实际问题） 2.函数的新定义与开放探究题（自定义函数、规律探究） 3.二次函数的实际应用（抛物线型建筑、运动轨迹、优化问题） 4.函数与统计、大数据结合的图表分析题 5.多模块融合的开放题（函数+几何+代数的综合探究） 考点01一次函数的图像与性质 k＞0 k＜0 图像 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限 拓展 1）直线与直线平行 2）直线与直线垂直 【补充说明】一次函数的性质主要是指函数的增减性，即y随x的变化情况，它只与k的符号有关，与b的符号无关. 考点02反比例函数的图像与性质 k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像位置 图像分别位于第一、第三象限（x、y同号） 图像分别位于第二、第四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 图像特征 1）图像是关于直线y=x和y=-x对称的双曲线； 2）图像是关于原点对称的双曲线； 3）图像无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交. 【易错易混】 1.反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2.反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3.双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 考点03二次函数的图像与性质 基本形式 图像 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 考点04二次函数的图像特征与各项系数之间的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a＞0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a＜0 开口向下 b b=0 对称轴是y轴，即=0 左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c c=0 图像过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 与x轴有两个不同的交点 的正负决定抛物线与x轴交点个数 考点05函数的平移 1.一次函数的平移变换 平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式 向上平移m个单位 向下平移m个单位 向左平移m个单位 向右平移m个单位 【总结】一次函数图象平移后，k值不变因此可求出原函数图象上任意一点平移后得到的点的坐标，再利用待定系数法即可求出平移后的解析式. 2.二次函数图像的平移 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h)2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 平移口诀：左加右减（只改变x），上加下减（只改变y）. 知识点04三角形和四边形 考向 出题形式 命题角度 基础概念与运算辨析 选择 1.三角形的分类、三边关系、内角和定理辨析 2.特殊三角形（等腰、等边、直角三角形）的性质与判定辨析 3.三角形的高、中线、角平分线、中位线的性质应用 4.多边形内角和、外角和公式的直接应用 5.平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义与性质辨析 6.轴对称、中心对称图形的识别（结合三角形/四边形） 核心运算与性质应用 填空 1.三角形角度计算（含外角定理、直角三角形两锐角互余） 2.等腰/直角三角形的边长、周长、面积计算（含勾股定理） 3.三角形中位线定理的相关计算 4.平行四边形、矩形、菱形、正方形的边长、对角线、面积计算 5.特殊四边形的对称性、边长/角度的性质应用计算 6.多边形的边数、内角和/外角和的逆向计算 综合应用与含参讨论 解答 1.三角形全等/相似的证明与性质应用（含多步证明、线段/角度转化） 2.特殊三角形（等腰/直角）与四边形的综合证明与计算 3.平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质综合题 4.三角形/四边形的动点问题（点动、线动、面动，含存在性讨论） 5.含参数的三角形/四边形问题（如边长含参、角度含参的分类讨论） 6.几何最值问题（如将军饮马模型、折叠问题中的最值） 情境与形式创新 选择/填空/解答 1.三角形/四边形的折叠、旋转、平移等几何变换问题 2.以实际情境为载体的几何建模题（如测量、拼接问题） 3.开放性几何题（如条件开放、结论开放的三角形/四边形证明） 4.几何图形的变式探究（如条件弱化、结论推广的多问探究） 5.结合网格、坐标系的三角形/四边形问题（坐标法解几何） 跨学科与开放探究 选择/填空/解答 1.跨学科情境的几何问题（如物理受力分析、工程测量中的三角形/四边形应用） 2.几何新定义问题（如自定义“等邻边四边形”“奇异三角形”等） 3.几何规律探究题（如多边形分割、图形拼接的规律总结） 4.多模块融合题（三角形/四边形与函数、方程、统计的综合） 5.开放探究类压轴题（如条件探究、结论探究、方法探究的多问压轴） 考点01特殊三角形的性质与判定 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 性质 (1)两腰相等. (2)两底角相等（简写成“等边对等角”）. (3)顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）. (4)是轴对称图形，有一条对称轴. (1)三边相等. (2)三个内角相等，都等于60°. (3)是轴对称图形，有三条对称轴. (4)等边三角形三条角平分线的交点、三条高线的交点、三条中线的交点重合. (1)两锐角之和等于90°. (2)斜边上的中线等于斜边的一半. (3)30°角所对的直角边等于斜边的一半. (4)勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方，即（a，b为直角边，c为斜边）. 判定 (1)有两条边相等的三角形是等腰三角形. (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形（依据“等角对等边”）. (1)三边相等的三角形是等边三角形. (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. (3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. (1)有一个角为90°的三角形是直角三角形. (2)有两个角互余的三角形是直角三角形. (3)勾股定理的逆定理：若，则以a，b，c为三边的三角形是直角三角形. 面积 （a为等腰三角形的底边长，h为底边上的高）. （a为等边三角形的边长）. S=（a，b为直角边，c为斜边，m为斜边上的高）. 考点02全等三角形的性质与判定 全等三角形的性质： 1）全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等． 3）全等三角形的周长相等，面积相等（注意：周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形）. 判定两个三角形全等的思路：证明两个三角形全等时，要认真分析已知条件，仔细观察图形，弄清已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法，一般可按下面的思路进行: 考点03相似三角形的性质与判定 1.相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. ②相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比. ③相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方. ④三角形的相似具有传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 【易错点】对相似三角形的面积比不清而出错 2.相似三角形的判定 判定三角形相似的常用定理 直角三角形相似的判定方法 1 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 2 三边成比例的两个三角形相似. 两组直角边成比例的两个直角三角形相似. 3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 4 两角分别相等的两个三角形相似． 考点04解直角三角形 已知条件 解法步骤 图示 两 边 斜边和一直角边 (如a，c) 两直角边 (如a，b) 一 边 一 角 斜边、锐角 （如c，∠A） 一直角边，一锐角 对边，锐角 （如a，∠A） 邻边，锐角 （如b，∠A） 考点05特殊四边形的性质 四边形 边 角 对角线 对称性 平行四边形 对边平行且相等 对角相等 两条对角线互相平分 中心对称图形 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形、中心对称图形 菱形 对边平行且四条边都相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角 轴对称图形、中心对称图形 正方形 对边平行且四条边都相等 四个角都是直角 两条对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 轴对称图形、中心对称图形 考点06特殊四边形的判定 四边形 边 角 对角线 平行四边形 1）两组对边分别平行 2)两组对边分别相等 3)一组对边平行且相等 两组对角分别相等 两组对角线互相平分 矩形 1）平行四边形+一直角 2）四边形+三直角 平行四边形+两条对角线相等 菱形 1）平行四边形+一组邻边相等 2）四边形+四条边都相等 平行四边形+两条对角线互相垂直 正方形 矩形+一组邻边相等 菱形+一直角 矩形+对角线互相垂直 菱形+对角线相等 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 知识点05圆 考向 出题形式 命题角度 基础概念与运算辨析 选择 1.圆的基本概念辨析（圆心、半径、弦、弧、圆心角、圆周角的定义与关系） 2.垂径定理及其推论的辨析与直接应用 3.圆周角定理（直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等）的辨析 4.点与圆、直线与圆的位置关系判定（d与r的数量关系） 5.圆的对称性（轴对称、中心对称）的识别与应用 6.正多边形与圆的基本概念辨析（中心角、边心距） 核心运算与性质应用 填空 1.垂径定理相关计算（弦长、半径、弦心距的勾股定理应用） 2.圆心角、圆周角的角度计算（含多步转化） 3.弧长、扇形面积的公式直接计算 4.圆锥的侧面积、全面积与展开图相关计算 5.切线的性质应用（切线与半径垂直）的基础计算 6.圆内接四边形的性质（对角互补）相关角度计算 综合应用与含参讨论 解答 1.切线的判定与性质综合题（证明切线、利用切线性质计算线段/角度） 2.圆与三角形/四边形的综合（圆内接三角形、四边形的证明与计算） 3.圆的综合证明与计算（垂径定理、圆周角定理、切线性质的多步综合） 4.圆与函数的综合（坐标系中圆与一次/二次函数的交点、切线问题） 5.含参数的圆的问题（如圆心坐标、半径含参的位置关系讨论） 6.圆中的最值问题（如线段最值、弧长最值、面积最值） 情境与形式创新 选择/填空/解答 1.圆的折叠、旋转等几何变换问题（如折叠后形成的圆的相关计算） 2.实际情境中的圆建模问题（如圆形零件、扇形零件的测量与计算） 3.结合网格、坐标系的圆的问题（坐标法解决圆的位置关系、切线问题） 4.圆的变式探究题（如条件弱化、结论推广的多问探究） 5.与相似、勾股定理结合的圆的综合题（圆中线段比例、长度计算） 跨学科与开放探究 选择/填空/解答 1.跨学科情境的圆的问题（如物理中的圆周运动、工程中的圆形构件问题） 2.圆的新定义问题（如自定义“等弧圆”“伴随圆”等） 3.圆的开放探究题（如条件开放、结论开放的圆的证明与计算） 4.多模块融合压轴题（圆+函数+几何变换的综合探究） 5.与大数据、实际应用结合的圆的优化问题（如扇形面积的最值设计） 考点01圆的基本性质 1.垂径定理及推论 定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.如图，CD是O的直径，AB为弦，CD⊥AB于点E，则AE＝BE， 推论 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.如图，CD是O的直径，AE＝BE，则CD⊥AB，. 延伸 （1）平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧. （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 小技巧 一条直线如果具备：①经过圆心；②垂直于弦，③平分弦（非直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，上述五个条件中的任意两个条件都可以推出其它三个结论，简称“知二推三”. 2.弧、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 如图所示，∵∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD，. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 【注意】不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，如果遗漏了这个前提条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等. 3.圆周角定理及推论 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 常见图形 结论 推论 1）同弧或等弧所对的圆周角相等. 2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径. 4.圆内接四边形的概念及性质 概念 如果一个四边形的所有顶点均在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形. 性质 圆内接四边形对角互补. ∠BAD+∠BCD=180°， ∠ABC+∠ADC=180° 延伸 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（即与该外角相邻的内角的对角）. ∠1=∠2 考点02切线相关 1.切线的定义：线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点． 2.性质与判定： 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径. 判定 1）定义法：当直线与圆有且只有一个公共点时，直线与圆相切； 2）数量关系法：当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切； 3）判定定理法：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 3.切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.如图中的PA，PB两条线段的长为点P到⊙O切线长（PA，PB与⊙O相切）. 4.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 考点03三角形的内心和外心 三角形的内切圆 三角形的外接圆 圆心的确定 三角形三条角平分线的交点， 叫三角形的内心 三角形三边垂直平分线的交点， 叫三角形的外心 图示 圆心的性质 1）内心到三角形三边的距离相等， 即OD=OE=OF. 2）OA、OB、OC分别平分 ∠BAC、∠ABC、∠ACB. 3）∠BOC＝90°＋∠BAC. 1）外心到三角形三个顶点的距离相等， 即OA=OB=OC. 2） 圆心的位置 一定在三角形的内部 锐角三角形：在三角形的内部； 直角三角形：为三角形的斜边的中点； 钝角三角形：在三角形的外部 考点04正多边形与圆有关计算 1）内角：正n边形的每个内角和为. 2）外角/中心角：正n边形的每个外角/中心角为. 3）周长：正n边形的周长. 4）面积：正n边形的面积. 5）正多边形的半径，边长和边心距之间的关系为 6）正多边形的半径，边长和中心角之间的关系为 7）正多边形的半径，边心距和中心角之间的关系为 【技巧总结】 1）正六边形的边长等于正六边形的外接圆的半径. 2）正方形的边长等于正方形的外接圆的半径的倍. 3）正三角形的边长等于正三角形的外接圆的半径的倍. 考点05弧长与扇形面积 弧长公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径). 扇形的面积公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径)=(l是n°的圆心角所对的弧长). 【补充】 1）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量． 2）在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然后直接代入公式S扇形=或S扇形=R中求解即可． 3当已知半径R和圆心角的度数求扇形的面积时，可以选用公式；当已知半径R和弧长l求扇形的面积时，可以选用公式. 考点06圆锥的相关计算 圆锥常见量之间的关系（如图） 设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，高为h （1）这个扇形的弧长为2πr； （2）； （3） （4） （5）圆锥侧面展开图的圆心角度数为 【补充】求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长，即2r=，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系. 考点07阴影部分面积计算 1.弓形面积的求法 当弓形所含的弧是劣弧 当弓形所含的弧是优弧 当弓形所含的弧是半圆 2.求不规则图形面积的常用方法 1）求和(差)法：把图形适当分割，将不规则图形的面积转化成几个规则图形面积的和或差. 如图(1)， 2）等积转化法：通过等面积转化，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来计算. 如图(2)，点D为的中点，则。 如图(3)，已知扇形AOB，DO∥AB，则. 3）容斥原理法：当阴影部分由几个图形叠加而成时，利用“阴影部分的面积=叠加前的几个图形的面积之和−（多加部分的面积+空白部分的面积）”求解. 如图(4)，阴影部分是扇形ABE和扇形ACD的重叠部分，则 图（1）图（2）图（3）图（4） 知识点06图形变换 考向 出题形式 命题角度 基础概念与运算辨析 选择 1.轴对称、中心对称图形的识别（含三角形、四边形、圆等基础图形） 2.平移、旋转、轴对称的基本概念辨析（对应点、对应线段、对应角的性质） 3.图形变换的坐标变化规律辨析（平移、对称、旋转后的坐标变化） 4.三视图与投影的概念辨析（主视图、左视图、俯视图，平行投影与中心投影） 5.图形变换的对称性判断（如正多边形的对称轴数量、中心对称的判定） 核心运算与性质应用 填空 1.平移变换的坐标计算（沿x轴、y轴平移后的点坐标、图形面积变化） 2.轴对称变换的计算（对称点坐标、对称轴方程、折叠问题中的角度/边长计算） 3.旋转变换的计算（旋转中心、旋转角、对应点距离、旋转后图形的边长/角度） 4.三视图相关计算（由三视图还原几何体、计算几何体的表面积与体积） 5.图形变换中的面积、周长计算（如平移/旋转后图形的面积不变性应用） 综合应用与含参讨论 解答 1.折叠问题综合（三角形、四边形、圆的折叠，含多步推理、存在性问题） 2.旋转问题综合（以三角形、四边形为载体的旋转，含全等/相似证明、最值问题） 3.图形变换与函数综合（坐标系中平移、对称、旋转与一次/二次函数的结合） 4.含参数的图形变换问题（如旋转中心、平移距离含参的分类讨论） 5.图形变换中的几何最值问题（如将军饮马、胡不归模型，利用轴对称求最值） 情境与形式创新 选择/填空/解答 1.网格背景下的图形变换问题（在网格中作平移、对称、旋转后的图形） 2.图形变换的实际情境建模（如剪纸、拼图、图案设计中的轴对称/中心对称） 3.多变换组合问题（平移+旋转、轴对称+旋转的复合变换问题） 4.结合相似、勾股定理的图形变换问题（如旋转构造全等/相似三角形） 5.图形变换的信息解读题（结合生活场景的变换规律分析） 跨学科与开放探究 选择/填空/解答 1.跨学科情境的图形变换问题（如物理运动轨迹、建筑设计中的图形变换应用） 2.图形变换的新定义问题（如自定义“旋转变换”“反射变换”的规则探究） 3.开放探究类图形变换题（如给定部分变换条件，探究变换规律或结论） 4.多模块融合压轴题（图形变换+函数+几何的综合探究题） 5.图案设计与优化问题（利用图形变换设计对称图案，探究最优方案） 考点01图形的对称 1.轴对称图形与轴对称 轴对称图形 轴对称 概念 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴. 图示 性质 被对称轴分成的两部分是全等图形. 1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分； 2.对应线段相等，对应角相等； 3.两个图形全等. 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 具有特殊形状的图形 对象不同 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 在两个图形之间 过图形的某条直线 对称轴的数量不同 只有一条 不一定只有一条 联系 1)沿对称轴折叠，两个图形重合. 2)如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形. 1)沿对称轴折叠，图形的两部分重合. 2)如果把轴对称图形的两部分看作两个图形，那么这两个图形成轴对称. 特别提醒:折叠的实质是轴对称变换，折痕所在的直线是对称轴，折叠前后的图形全等，对应点的连线被折痕所在直线垂直平分. 2.中心对称图形与中心对称 中心对称图形 中心对称 概念 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 把一个图形绕某点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心. 图形 性质 过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分的周长与面积分别相等. 1）中心对称的两个图形是全等图形； 2）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分； 3）中心对称的两个图形，对应线段平行（或在一条直线上）且相等. 区别 指具有某种性质的一个图形 指两个图形的(位置)关系 考点02图形的平移 概念 把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形这种移动叫做平移．它是由移动方向和距离决定的. 图示 性质 1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等. 2）平移前后对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、对应角相等. 3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离. 作图步骤 1）定：根据题目要求，确定平移的方向和距离； 2）找：找出确定图形形状的关键点； 3）移：过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线段，得到关键点的对应点； 4）连：按原图顺序依次连接各对应点. 【注意】确定一个图形平移后的位置需要三个条件：①图形原位置；②平移的方向；③平移的距离. 考点03图形的旋转 概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫旋转角. 要素 旋转中心、旋转方向、旋转角 图示 性质 1）旋转前后的两个图形全等； 2）对应点到旋转中心的距离相等； 3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 作图步骤 1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2）找出原图形的关键点； 3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； 4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 知识点07统计与概率 考向 出题形式 命题角度 基础概念与运算辨析 选择 1.普查与抽样调查的适用场景辨析 2.总体、个体、样本、样本容量概念识别 3.平均数、中位数、众数、方差的意义与判断 4.必然事件、不可能事件、随机事件的区分 5.频率与概率的概念辨析 6.常见统计图（条形、折线、扇形）特点判断 核心运算与性质应用 填空 1.平均数、加权平均数、中位数、众数计算 2.方差、极差的计算与数据稳定性判断 3.扇形统计图圆心角度数计算 4.简单随机事件概率直接计算 5.根据频数、频率求总数或某组频数 6.用样本估计总体的简单计算 综合应用 解答 1.统计图综合补全与信息分析（条形+扇形+表格） 2.统计推断与决策类问题（根据数据提建议） 3.列表法或画树状图求两步及以上随机试验概率 4.概率与统计结合的实际应用题 5.游戏公平性判断与方案设计 6.统计图表与方程、不等式的简单综合 情境与形式创新 选择/填空/解答 1.结合生活实际的统计图表信息题 2.重复试验下用频率估计概率 3.几何概型（面积、长度类概率计算） 4.多组数据对比分析与综合评价 5.统计量变化对数据结果的影响分析 跨学科与开放探究 选择/填空/解答 1.结合环保、体育、健康等真实背景的统计题 2.新定义统计量或概率规则的阅读理解题 3.数据收集、整理、描述、分析的完整流程考查 4.开放设问：根据统计数据提出合理建议 5.概率与函数、几何图形结合的综合探究题 考点01数据的收集 1.普查与抽样调查 概念 优缺点 举例 普查 考察全体对象的调查叫做全面调查. 优点：收集到的数据全面、准确. 缺点：一般花费多、工作量大，耗时长. 1）检测“神舟十六号”飞船的零部件. 2）了解全班50名同学每天体育锻炼的时间. 抽样调查 只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况叫做抽样调查. 优点：调查范围小，花费少、工作量较小，省时. 缺点：抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度. 1）测试一批灯泡的使用寿命或炮弹的杀伤半径等. 2）调查某批中性笔的使用寿命. 3）了解全国中学生的视力和用眼卫生情况. 2.总体、个体、样本、样本容量与简单随机抽样 分类 概念 注意事项 举例 总体 要考察的全体对象称为总体 考察一个班学生的身高，那么总体就是指这个班学生身高的全体，不能错误地理解为学生的全体为总体. 对全市2.3万名初中毕业生升学考试的数学成绩进行统计调查，为了了解这2.3万学生的数学成绩，从中抽取1000名学生的数学成绩进行统计.那么: 总体指的是2.3万名学生的数学成绩； 个体指的是每一个学生的数学成绩； 样本指的是1000名学生的数学成绩； 样本容量是1000. 个体 组成总体中的每一个考察对象 总体包含每一个个体，所有的个体组成总体 样本 被抽取的个体组成一个样本 样本是总体的一部分，一个总体中可以有许多样本，样本能够在一定程度上反映总体. 样本容量 样本中个体的数目称为样本容量 样本容量是一个数字，不带单位. 考点02平均数、中位数、众数、方差 分类 定义 特点/意义 应用 平均数 算术平均数：一般地，对于n个数x1，x2，…，xn，则这n个数的平均数为，记作“”，读作“x拔”. 反映一组数据的平均水平，容易受到极端值的影响 根据两组数据的平均数评价、比较两组数据的整体水平. 加权平均数：若个数，，…，的权分别是，，…，，则叫做这个数的加权平均数. 中位数 一般地，将一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数叫做这组数据的中位数.如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数. 反映一组数据的“中等水平” 判断某个数据在某组数据中所处的位置，比中位数大,位于前50%；比中位数小,位于后50%. 众数 一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 反映一组数据的“多数水平”，只与数据出现的次数有关 常与“最受欢迎”“最满意”“最佳”有关. 方差 设有n个数据，，…，，各个数据与平均数的差的平方分别是，我们用这些值的平均数，即用来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作. 方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小. 在平均数相同的情况下,比较两组数据的稳定性. 考点03统计图/表的分析 类型 图示 特点 扇形统计图 1）各百分比之和为1； 2）扇形圆心角的度数=该部分所占百分比×360°； 3）特点：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比. 条形统计图 1）能清楚地表示出各部分的具体数目； 2）各部分数量之和等于抽样数据总数(样本容量). 折线统计图 1）能清楚地反映事物的变化情况. 频数分布表 1）各组频率之和等于1 频数分布直方图 1）能清晰、直观地显示各组频数的分布情况及数据的整体状况； 2）各组频数之和等于抽样数据总数(样本容量). 考点04概率的计算 概率的计算 1.计算概率的公式：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率，即. 2.列举法求概率 1）列举法：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法. 2）列表法：当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法. 3）画树状图法：当一次试验涉及两个或两个以上因素时，可采用画树状图法不重不漏地列举出所有可能出现的结果，再根据概率公式计算. 3.用频率估计概率：一般地，在大量重复试验中，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会稳定于某个常数p，我们称事件A发生的概率为p. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $