数学真题重组（北京卷）学易金卷：2026年高考考前最后一卷

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考真题重组卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5[A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8[A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14.____________________ 15． ____________________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高考真题重组卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 肖 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 ▣ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5. 正确填涂■ 选择题（每小题4分，共40分) 1[AB][C]D] 6 [A][B][C][D] 2[A]B][C]D] 7[A]B][C][D] 3[A]B][C[D] 8[A][B][C][D] 口 4[A][B][C[D] 9[A][B][C][D] 5[A]B][CD] 10[AB][C]D] 二、 填空题（每小题5分， 共25分) 11 12 13 14. 15 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. (13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(14分) D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考真题重组卷 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2024·北京卷）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（热点）（2025·北京卷）已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 3．（2024·北京卷）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·北京卷）的展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·北京卷）已知，则（   ） A． B． C． D． 6．（2021·北京卷）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·北京卷）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 8．（新情境）（2024·北京卷）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 9．（热点）（2025·北京卷）8．设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 10.（2024·北京卷）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（    ） A．， B．， C．， D．， 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．（2024·北京卷）抛物线的焦点坐标为________． 12．（2023·北京卷）已知函数，则____________． 13．（2020·北京卷）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________． 14．（2022·北京卷）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________． 15．（2025·北京卷）关于定义域为的函数，给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是________． 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分）（2025·北京卷）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 17．（本小题满分13分）（2024·北京卷）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 18．（新情境）（本小题满分14分）（2025·北京卷）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 19．（热点）（本小题满分15分）（2025·北京卷）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 20．（本小题满分15分）（2022·北京卷）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 21．（新情境）（本小题满分15分）（2025·北京卷）已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考真题重组卷 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2024·北京卷）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得.故选：C. 2．（热点）（2025·北京卷）已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【解析】由可得，，所以， 故选：B. 3．（2024·北京卷）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.故选：D. 4．（2023·北京卷）的展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于，由二项展开式的通项得， 令解得，则所求系数为，故选：D 5．（2025·北京卷）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 6．（2021·北京卷）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，则，，则双曲线的方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故， 因此，双曲线的方程为.故选：B 7．（2025·北京卷）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以.故选：C. 8．（新情境）（2024·北京卷）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，则，即，所以.故选：D. 9．（热点）（2025·北京卷）8．设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【解析】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 故选：C. 10.（2024·北京卷）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】对任意给定，则，且， 可知，即， 再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域， 如图阴影部分所示，其中， 可知任意两点间距离最大值， 阴影部分面积. 故选：C. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．（2024·北京卷）抛物线的焦点坐标为________． 【答案】 【解析】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为. 12．（2023·北京卷）已知函数，则____________． 【答案】1 【解析】函数，所以. 13．（2020·北京卷）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________． 【答案】 【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点、、、， ， 则点，，， 因此，，. 14．（2022·北京卷）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________． 【答案】 0（答案不唯一） 1 【解析】若时，，∴； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求； 若时， 当时，单调递减，， 当时， ∴或， 解得，综上可得； 15．（2025·北京卷）关于定义域为的函数，给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是________． 【答案】②③ 【解析】对于①，若存在在上的增函数，满足， 则，即， 故时，，故， 故即，矛盾，故①错误； 对于②，取，该函数为上的减函数且， 故该函数符合，故②正确； 对于③，取， 此时，由可得有无穷多个， 故③正确； 对于④，若存在，使得， 令，则，但，矛盾， 故满足的函数不存在，故④错误. 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分）（2025·北京卷）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 【解】（1）因为，所以， ……………………4分 由正弦定理有，解得； ……………………8分 （2）如图所示，若存在，则设其边上的高为， 若选①，，因为，所以， ……………………10分 因为，这表明此时三角形有两个钝角， 而这是不可能的，所以此时三角形不存在， 故边上的高也不存在； ……………………13分 若选②，，由有， 由正弦定理得,所以， ……………………9分 所以由余弦定理得, ……………………10分 此时三角形是存在的，且唯一确定， 所以,即， ……………………12分 所以边上的高； ……………………13分 若选③，的面积是，则， ……………………10分 解得，可以唯一确定 ……………………11分 进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定， 这表明此时三角形是存在的， 且边上的高满足：， 即. ……………………13分 17．（本小题满分13分）（2024·北京卷）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【解】（1）取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形 ……………………2分 故，而平面，平面， 所以平面. ……………………4分 （2） 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， …………………6分 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 ……………………8分 设平面的法向量为， 则由可得，取， ……………………9分 设平面的法向量为， 则由可得，取， ……………………11分 故， ……………………12分 故平面与平面夹角的余弦值为 ……………………13分 18．（新情境）（本小题满分14分）（2025·北京卷）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 【解】（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率. ……………………2分 （2）设为“从甲校抽取1人做对”，则，， 设为“从乙校抽取1人做对”，则，， ……………………3分 设为“恰有1人做对”，故 ………5分 依题可知，可取， ，，， ………………7分 故的分布列如下表： 故. ……………………9分 （3）设为 “甲校掌握这个知识点的学生做该题”， 因为甲校掌握这个知识点则有的概率做对该题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个， 故， ……………………11分 即，故， 同理有，，故， ……………………13分 故. ……………………14分 19．（热点）（本小题满分15分）（2025·北京卷）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 【解】（1）由椭圆可知，，所以， ……………………1分 又，所以， ……………………2分 ， ……………………3分 故椭圆E的方程为； ……………………4分 （2）联立，消去得，， 整理得，①， ……………………6分 又，所以，， 故①式可化简为，即，所以， 所以直线与椭圆相切，为切点. ……………………8分 设，易知，当时，由对称性可知，． 故设，易知， ……………………9分 联立，解得， 联立，解得， …………………11分 所以 ， ……………………13分 ， 故． ……………………15分 20．（本小题满分15分）（2022·北京卷）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 【解】（1）解：因为，所以， 即切点坐标为， ……………………2分 又， ∴切线斜率 ……………………4分 ∴切线方程为： ……………………5分 （2）解：因为，     所以， ……………………6分 令， 则， ……………………8分 ∴在上单调递增， ∴ ∴在上恒成立， ∴在上单调递增. ……………………10分 （3）解：原不等式等价于， 令，， 即证， ……………………11分 ∵， ， 由（2）知在上单调递增， ……………………13分 ∴， ∴ ∴在上单调递增，又因为， ∴，所以命题得证. ……………………15分 21．（新情境）（本小题满分15分）（2025·北京卷）已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 【解】（1）根据题目定义可知，或， ……………………2分 若第一项为，显然或不符合题意（不在集合中）， 所以下一项是或； ……………………4分 （2）假设二者同时出现在中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨设在之前. 显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的， 所以从到必定要向下一项走奇数次. ……………………6分 但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中， 所以从到必定要向下一项走偶数次. 这导致矛盾，所以二者不能同时出现在中. ……………………8分 （3）法1：若中的所有元素构成K列，考虑K列中形如的项， 这样的项共有个，由题知其下一项为，共计16个， ………10分 而，因为只能6由2来，3只能由7来， 横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点， ……………………13分 即对于16个，有12个与之相对应，矛盾． 综上，由M的全部元素组成的序列都不是K列． ……………………15分 法2：假设全体元素构成一个K列，则. 设，. 则和都包含个元素，且中元素的相邻项必定在中. 如果存在至少两对相邻的项属于，那么属于的项的数目一定多于属于的项的数目， 所以至多存在一对相邻的项属于. ……………………9分 如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如和， 否则将导致属于的项的个数比属于的项的个数多2，此时. 从而这个序列的前项中，第奇数项属于，第偶数项属于； 这个序列的后项中，第奇数项属于，第偶数项属于. 如果不存在相邻的属于的项，那么也可以看作上述表示在或的特殊情况. 这意味着必定存在，使得. ……11分 由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数的点的数量一定分别是和（不一定对应）. 但容易验证，和都包含个横纵坐标之和为奇数的点和个横纵坐标之和为偶数的点，所以，得. 从而有. 这就得到. ……………………13分 再设，. 则同理有. 这意味着. 从而得到，但显然它们是不同的集合，矛盾. 所以由M的全部元素组成的序列都不是K列． ……………………15分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考真题重组卷 数学·参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B D D C B C D C C 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11． 12．1 13． 14．0（答案不唯一） 1 15．②③ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分13分） 【解】（1）因为，所以， ……………………4分 由正弦定理有，解得； ……………………8分 （2）如图所示，若存在，则设其边上的高为， 若选①，，因为，所以， ……………………10分 因为，这表明此时三角形有两个钝角， 而这是不可能的，所以此时三角形不存在， 故边上的高也不存在； ……………………13分 若选②，，由有， 由正弦定理得,所以， ……………………9分 所以由余弦定理得, ……………………10分 此时三角形是存在的，且唯一确定， 所以,即， ……………………12分 所以边上的高； ……………………13分 若选③，的面积是，则， ……………………10分 解得，可以唯一确定 ……………………11分 进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定， 这表明此时三角形是存在的， 且边上的高满足：， 即. ……………………13分 17．（本小题满分13分） 【解】（1）取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形 ……………………2分 故，而平面，平面， 所以平面. ……………………4分 （2） 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， …………………6分 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 ……………………8分 设平面的法向量为， 则由可得，取， ……………………9分 设平面的法向量为， 则由可得，取， ……………………11分 故， ……………………12分 故平面与平面夹角的余弦值为 ……………………13分 18．（新情境）（本小题满分14分） 【解】（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率. ……………………2分 （2）设为“从甲校抽取1人做对”，则，， 设为“从乙校抽取1人做对”，则，， ……………………3分 设为“恰有1人做对”，故 ………5分 依题可知，可取， ，，， ………………7分 故的分布列如下表： 故. ……………………9分 （3）设为 “甲校掌握这个知识点的学生做该题”， 因为甲校掌握这个知识点则有的概率做对该题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个， 故， ……………………11分 即，故， 同理有，，故， ……………………13分 故. ……………………14分 19．（热点）（本小题满分15分） 【解】（1）由椭圆可知，，所以， ……………………1分 又，所以， ……………………2分 ， ……………………3分 故椭圆E的方程为； ……………………4分 （2）联立，消去得，， 整理得，①， ……………………6分 又，所以，， 故①式可化简为，即，所以， 所以直线与椭圆相切，为切点. ……………………8分 设，易知，当时，由对称性可知，． 故设，易知， ……………………9分 联立，解得， 联立，解得， …………………11分 所以 ， ……………………13分 ， 故． ……………………15分 20．（本小题满分15分） 【解】（1）解：因为，所以， 即切点坐标为， ……………………2分 又， ∴切线斜率 ……………………4分 ∴切线方程为： ……………………5分 （2）解：因为，     所以， ……………………6分 令， 则， ……………………8分 ∴在上单调递增， ∴ ∴在上恒成立， ∴在上单调递增. ……………………10分 （3）解：原不等式等价于， 令，， 即证， ……………………11分 ∵， ， 由（2）知在上单调递增， ……………………13分 ∴， ∴ ∴在上单调递增，又因为， ∴，所以命题得证. ……………………15分 21．（新情境）（本小题满分15分） 【解】（1）根据题目定义可知，或， ……………………2分 若第一项为，显然或不符合题意（不在集合中）， 所以下一项是或； ……………………4分 （2）假设二者同时出现在中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨设在之前. 显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的， 所以从到必定要向下一项走奇数次. ……………………6分 但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中， 所以从到必定要向下一项走偶数次. 这导致矛盾，所以二者不能同时出现在中. ……………………8分 （3）法1：若中的所有元素构成K列，考虑K列中形如的项， 这样的项共有个，由题知其下一项为，共计16个， ………10分 而，因为只能6由2来，3只能由7来， 横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点， ……………………13分 即对于16个，有12个与之相对应，矛盾． 综上，由M的全部元素组成的序列都不是K列． ……………………15分 法2：假设全体元素构成一个K列，则. 设，. 则和都包含个元素，且中元素的相邻项必定在中. 如果存在至少两对相邻的项属于，那么属于的项的数目一定多于属于的项的数目， 所以至多存在一对相邻的项属于. ……………………9分 如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如和， 否则将导致属于的项的个数比属于的项的个数多2，此时. 从而这个序列的前项中，第奇数项属于，第偶数项属于； 这个序列的后项中，第奇数项属于，第偶数项属于. 如果不存在相邻的属于的项，那么也可以看作上述表示在或的特殊情况. 这意味着必定存在，使得. ……11分 由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数的点的数量一定分别是和（不一定对应）. 但容易验证，和都包含个横纵坐标之和为奇数的点和个横纵坐标之和为偶数的点，所以，得. 从而有. 这就得到. ……………………13分 再设，. 则同理有. 这意味着. 从而得到，但显然它们是不同的集合，矛盾. 所以由M的全部元素组成的序列都不是K列． ……………………15分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考真题重组卷 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2024·北京卷）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（热点）（2025·北京卷）已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 3．（2024·北京卷）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·北京卷）的展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·北京卷）已知，则（   ） A． B． C． D． 6．（2021·北京卷）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·北京卷）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 8．（新情境）（2024·北京卷）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 9．（热点）（2025·北京卷）8．设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 10.（2024·北京卷）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（    ） A．， B．， C．， D．， 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．（2024·北京卷）抛物线的焦点坐标为________． 12．（2023·北京卷）已知函数，则____________． 13．（2020·北京卷）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________． 14．（2022·北京卷）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________． 15．（2025·北京卷）关于定义域为的函数，给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是________． 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分）（2025·北京卷）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 17．（本小题满分13分）（2024·北京卷）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 18．（新情境）（本小题满分14分）（2025·北京卷）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 19．（热点）（本小题满分15分）（2025·北京卷）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 20．（本小题满分15分）（2022·北京卷）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 21．（新情境）（本小题满分15分）（2025·北京卷）已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $