圆锥曲线中的融合、交汇问题 课件——2026届高三数学二轮复习

2026高考数学——圆锥曲线中的融合、交汇问题 圆锥曲线的交汇、创新问题，主要是考查新定义轨迹下的性质、 生成曲线下的交汇问题，以及与函数导数交汇问题. 例1 [2025·聊城二模] 如图，柱体上、下底面是 椭圆面，， 分别是上、下底面椭圆的长 轴，， 分别是上、下底面椭圆的短轴， 四边形和为矩形，， 分别为上、 下底面椭圆的长轴和短轴的交点， .，是下底面椭圆上的两个动点，不与 平行 或重合. 类型一 圆锥曲线与立体几何交汇问题 2 （1）证明： 平面 ； 证明：因为四边形为矩形，所以 ， ， 由题意得，，分别为和 的中点，所以 ， ， 所以四边形 为平行四边形. 因为，所以，同理可得， . 因为，， 平面，所以 平面 . 3 （2）若的面积为定值，求 的长度； 4 解：如图，以为坐标原点，，， 所在 直线分别为，， 轴，建立如图所示的空间直角 坐标系. 设，，则 ，所以 ，， 则点 到直线 的距离 ， 所以 . 5 因为底面椭圆的焦点在轴上， ， 即长轴长为，短轴长为2，所以点 的坐标满 足，即，代入 得 . 因为的面积为定值，所以 ，则 ，由（1）知，故 的长 度为 . （3）在（2）的条件下，当平面 平面时，求点 到直 线 的距离的取值范围. 解：由（1）知，设 ， ， 则， ， . 设平面的法向量为 ，则 7 令，得， ，则 . 设平面的法向量为 ，则 令 ，得 ，，则 . 因为平面 平面，所以 ，得 ， 在平面内，椭圆的方程为 ，设直 线在平面内的方程为 ，代入 椭圆方程得 ， 由，得 . 由根与系数的关系得 所以 ， 即 ，化简得 ， 又点到直线 的距离 ， 所以 ，所以 . 故点到直线的距离的取值范围为 . 自测题 [2025·湖南长沙周南中学模拟]如图，在四 棱锥中，底面 是边长为3的正方 形， 平面，点 为底面上的动点，记 到的距离为，若，则点 在底面正 方形内的轨迹的长度为( ) A.2 B. C. D. √ 11 [解析] 连接，因为 平面, 平面，所以，所以 , . 在平面中，以为原点， ， 所在直线分别为, 轴建立平面直角坐标系如 图所示，则，. 设 ，因为 ,所以, 即 ，则，整理得，所以点 的轨迹是以为圆心，半径为2的圆. 12 在中，令 ，解得， 令，因为，所以 ， 所以点在底面正方形内的轨迹的长度是 .故选B. 13 例2 [2024· 新课标Ⅱ卷] 如图，已知双曲线 , 点在上，为常数， ，按照如下方式依次构造点 过点作斜率为的直线与的左支交于点 , 令为关于轴的对称点，记的坐标为 . 类型二 圆锥曲线与数列交汇问题 14 （1）若,求, ; 解： 点在 上，,得 . 过点且斜率的直线的方程为 ,即 . 由解得 或,， 得, . 15 （2）证明：数列是公比为 的等比数列； 证明：由题知,当且时，关于 轴的对称点是 , 与在同一条斜率为 的直线上， 则,即,且 ， 又，都在双曲线 上， 由 得 , 16 将①式代入上式得 , 由 得 ，即 ，由题知 , ， 又, 数列是公比为 的等比数列. （3）设为的面积，证明：对于任意正整数 ， . 证明：由（2）得数列是公比为 的等比数列， ， . 记,则, , , , . 18 ， , , , 即 . 自测题 [2025· 东北三省二模] 如图，已知抛 物线的焦点为 .抛物线上有一点 ，直线 与抛物线 的另一个交点为 .按照如下方式依次构造点 ,,,过作轴的垂线，垂足为 ， 垂线与抛物线的另一个交点为；作直线，与抛物线 的 另一个交点为，直线与轴的交点为.记 , , ,,1,2, . 20 （1）若，求,,, . 解：由已知得,,则 . 直线的方程为 ，与抛物线的方程 联立可得； ，与抛物线的方程联立可得 ，则 . 由,，可得. 综上可得，, , , . 21 （2）求证数列是等比数列，并用 表示数列 的通项公式. 证明：一方面，对任意的正整数 ，都有直线 过点 . 设直线的方程为 ，由 得 ， ，则, ， 因为, ，所以 ，即 . 22 另一方面，对任意的正整数 ，都有直线过点 . 设直线的方程为 ， 由 得 ， ， 则, ， 因为, ，所以 ， 由 ，得 ， 两式相乘得 ， 把①代入②，得 ，即 ， 即 . 因为，，所以直线 的 方程为， 由 消去 得 ， 所以，得，则 ， 又，所以直线 的方程为 ， 由消去 得 ， 所以 , 又,所以,则 . 因为,所以直线 的方程为 ，令 ， 得，所以,可得 . 综上可得，数列 是等比数列，且公比为 ， 又，所以 的通项公式为 . （3）对任意的正整数,与 的面积 之比是否为定值？若是，请用 表示这个定值；若不是，请说明理由. 解： ， 26 ， 所以 ， 所以面积之比为定值 . 例3 [2025·广东广州一模] 已知动点到点 的距离等于它到直 线的距离，记动点的轨迹为曲线 . （1）求 的方程. 解：由抛物线的定义得动点的轨迹是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，其开口向右， 所以，故的方程为 . 类型三 圆锥曲线与函数、导数交汇问题 28 （2）为坐标原点，过点且斜率存在的直线与相交于, 两点，直线与直线相交于点，过点且与 相切的直线交 轴于点 . （ⅰ）证明：直线 . 证明：由题可知，直线 的斜率存在且不为0. 设直线的方程为，则直线的斜率为 . 设,，不妨设, . 由得，则, . 由，得 ， 29 则曲线在点处的切线的斜率为 ， 则切线方程为 ，令 ，得，即 . 直线的方程为，令，得 ， 即， 所以直线 的斜率 ， 所以，即直线 . （ⅱ）满足四边形的面积为12的直线 共有多少条？说明理由. 解：由得，，所以 ， 又因为，所以轴，即四边形 为平行四边形. 由 ，得 . 31 若四边形的面积为12，则 ，整理得 . 设,，则 . 设, ， 则 ， 所以在上单调递增， 又 , ， 所以存在，使得 ， 所以在上单调递减，在 上单调递增， 又，, ， 所以 有2个零点， 即有2个根，其中时，直线 的 斜率不存在，舍去，另一根在 内. 由对称性可得，交换点， 的位置也符合题意，所以满足四边形 的面积为12的直线 共有2条. 自测题 已知椭圆的上焦点为 ，左顶 点为，是抛物线上一点，直线 与抛物线相切于点 . （1）若椭圆的离心率为，求椭圆 的方程； 解：因为椭圆的上焦点为，所以 ， 由题意得解得 故椭圆的方程为 . 34 （2）设，直线与椭圆相交于,两点，且线段, 的中 点的横坐标相等，求 的最小值； 解：当时，，故椭圆的方程为, . 易得函数的图象在点 处的切线方程为 ，即直线的方程为 . 联立直线与椭圆的方程，消去 ，得 ，从而线段 的中 点的横坐标为 ， 35 由题意知，，故 ，当且仅当 时，等号成立. 故的最小值为 . （3）设，抛物线的准线与椭圆相交于轴右侧的点，若 同时也是椭圆在点处的切线，求 的所有可能取值. 解：由题意可得，抛物线可以看成是由抛物线 向上或向下平移个单位长度向上平移， 向下平移)得 到的，所以抛物线的准线方程为，即的纵坐标为 . 由（2）得直线的方程为，故 ，代入椭圆 的方程，得 . 37 ， 则，整理得 ， 代入，得 ， 故，解得 或0. 因为，所以不符合要求，所以，相应地， . 综上， 的所有可能取值为2. $