模块三 常考题讲练(范围：第1-3章 期中备考必刷练 37个题型 共74题）-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

2025-2026学年北师大版数学七年级下册期中考前必刷练精讲练【易错题重难点题型】 模块三 常考题题型讲练『期中备考必刷练』 ［北师大版（新教材）七年级下册第1-3章］ 题型序列 题型名称 常考题型一 负整数指数幂 常考题型二 用科学记数法表示绝对值大于1的数 常考题型三 用科学记数法表示绝对值小于1的数 常考题型四 幂的混合运算 常考题型五 计算单项式乘多项式及求值 常考题型六 多项式乘多项式与图形面积 常考题型七 (x+p) (x+q）型多项式乘法 常考题型八 已知多项式乘积不含某项求字母的值 常考题型九 多项式乘法中的规律性问题 常考题型十 平方差公式与几何图形 常考题型十一 运用完全平方公式进行运算 常考题型十二 完全平方公式在几何图形中的应用 常考题型十三 整式乘法混合运算 常考题型十四 多项式乘多项式——化简求值 常考题型十五 通过对完全平方公式变形求值 常考题型十六 求完全平方式中的字母系数 常考题型十七 用科学记数法表示数的除法 常考题型十八 整式四则混合运算 常考题型十九 整式的混合运算 常考题型二十 与余角、补角有关的计算 常考题型二十一 同(等）角的余(补)角相等的应用 常考题型二十二 同位角相等两直线平行 常考题型二十三 内错角相等两直线平行 常考题型二十四 同旁内角互补两直线平行 常考题型二十五 根据平行线的性质求角的度数 常考题型二十六 平行线的性质在生活中的应用 常考题型二十七 根据平行线判定与性质求角度 常考题型二十八 根据平行线判定与性质证明 常考题型二十九 判断事件发生的可能性的大小 常考题型三十 用频率估计概率的综合应用 常考题型三十一 列举法求概率 常考题型三十二 根据概率公式计算概率 常考题型三十三 已知概率求数量 常考题型三十四 游戏的公平性 常考题型三十五 几何概率 常考题型三十六 概率在转盘抽奖中的应用 常考题型三十七 概率在比赛中的应用 常考题型一 负整数指数幂 1．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）计算： __； ___． 【答案】 1 【详解】解：；． 2．（25-26七年级下·江苏南京·期中）___． 【答案】 【详解】解：. 常考题型二 用科学记数法表示绝对值大于1的数 3．（25-26七年级下·广东茂名·期中）茂名作为全国荔枝早熟产区和最大产区，全市2025年荔枝产量约630000吨．数据630000用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 4．（25-26七年级下·重庆·月考）根据重庆市教委发布的信息，2025年重庆市参加中考的初中毕业生人数约为351800人，则数据351800用科学记数法表示为___________． 【答案】 【详解】解：. 常考题型三 用科学记数法表示绝对值小于1的数 5．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.00000000207毫米，将数据0.00000000207用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定的值要看原数变为时小数点移动的位数，的绝对值与移动位数相同． 【详解】解：． 6．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）用科学记数法表示___________． 【答案】 【分析】根据科学记数法的定义，将绝对值小于1的数表示为的形式，其中满足，为整数，即可求解． 【详解】解：根据题意得，． 常考题型四 幂的混合运算 7．（25-26七年级下·重庆·期末）若，则________． 【答案】 【分析】主要考查幂的混合运算，负整数指数幂，熟练掌握同底数幂的乘法法则和除法法则是解题的关键． 先运算，再化简方程，推出，代入即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 将代入得：． 故答案为：． 8．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义新运算：，则的运算结果是____________． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握新定义法则的运算顺序是关键． 根据新运算的定义，将 和 代入公式 进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 故答案为： 常考题型五 计算单项式乘多项式及求值 9．（25-26七年级下·江苏南京·月考）计算的结果是__________． 【答案】 【分析】根据单项式乘多项式的运算法则，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即可得到结果． 【详解】解： ． 10．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、根据合并同类项法则，合并同类项后所得项的系数是合并前各同类项系数的和，字母连同它的指数不变， 则，∴原运算错误，不符合题意； B、根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加， 则，∴原运算错误，不符合题意； C、根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘， 则，∴原运算正确，符合题意； D、根据单项式乘多项式法则，单项式乘多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 则，∴原运算错误，不符合题意． 常考题型六 多项式乘多项式与图形面积 11．（25-26七年级下·江苏南京·期中）长方形的长为，宽为，现将长和宽分别增加和． (1)求扩建后长方形的面积；（用含x的代数式表示） (2)当时，求扩建后长方形的面积比原来增加了多少平方厘米． 【答案】(1) (2)扩建后长方形的面积比原来增加了． 【分析】（1）扩建后长方形的长为，宽为，再利用长方形的面积公式计算即可求解； （2）根据题意列式并化简，再将代入即可求解． 【详解】（1）解：扩建后长方形的面积为： ； （2）解： ， 当时，， 扩建后长方形的面积比原来增加了． 12．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）如图，某小区有一块长、宽的长方形空地，物业规划了一块长方形草坪（阴影部分），草坪的三面都留有宽度为的小路（空白部分）． (1)求该长方形草坪（阴影部分）的面积；（用含，的代数式表示） (2)若，，种植草坪的价格为每平方米30元，那么种植草坪需要多少元？ 【答案】(1)该长方形草坪的面积为； (2)种植草坪需要8190元． 【分析】（1）根据题意列出算式，进行计算即可； （2）将，代入求出解析（1）中的代数式，求出草坪的面积，然后求出种植草坪需要的价格即可． 【详解】（1）解： ． 答：该长方形草坪的面积为． （2）解：当，时， ． （元）． 答：种植草坪需要8190元． 常考题型七 (x+p) (x+q）型多项式乘法 13．（25-26七年级下·四川成都·月考）若，则的值为______． 【答案】2 【分析】将展开，得到，再比较二次三项式的各项系数，得到，，解得，，即得答案． 【详解】解：， 比较系数，得，， 解得，， ． 14．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若，，则M与N的大小关系为（    ）． A． B． C． D．M与N的大小由x的取值而定 【答案】A 【分析】先根据多项式乘法法则展开M和N，再计算，根据差的正负判断大小关系． 【详解】解： ， ∴． 常考题型八 已知多项式乘积不含某项求字母的值 15．（25-26七年级下·浙江舟山·期中）若化简的结果中，的一次项系数是，则__________． 【答案】 【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果中x的一次项系数是，求出m的值即可． 【详解】解：， ∵的一次项系数是， ∴， 解得：． 16．（24-25七年级下·广东深圳·期中）若的计算结果中没有关于的一次项，则________． 【答案】 【分析】先根据多项式乘多项式法则展开，再根据结果中没有关于的一次项，得到一次项的系数为 0 ，即可求解． 【详解】解： 若的计算结果中没有关于的一次项， 则， 解得：． 常考题型九 多项式乘法中的规律性问题 17．（25-26七年级下·福建漳州·月考）我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【分析】利用“杨辉三角”将展开，据此解答即可． 【详解】解：杨辉三角的规律是：每行两端的数为1，中间的数为上一行相邻两数之和． 的系数行：1，5，10，10，5，1； 的系数行：1，6，15，20，15，6，1； 即 则的展开式中，含项的系数是15． 18．（25-26七年级下·福建南平·期末）我国南宋时期数学家杨辉于年写下了《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 当代数式的值为时，则值为______． 【答案】 【分析】本题考查展开式的系数规律，根据题意得到是解决问题的关键． 先由图表给出了展开式的系数规律得到，进而得到，最后根据题意列方程求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ， 代数式的值为， ， 则，解得， 故答案为：． 常考题型十 平方差公式与几何图形 19．（24-25七年级下·贵州·期中）如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作能验证的等式是_______； (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则_______． ②计算：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景、平方差公式的应用以及规律型运算，熟练掌握平方差公式的推导与运用是解答本题的关键． （1）通过分别计算图和图中阴影部分的面积，利用面积相等验证平方差公式； （2）①将变形为平方差公式的形式，代入已知条件求解； ②利用平方差公式对原式逐项分解，再通过等差数列求和计算结果． 【详解】（1）解：图阴影部分面积可表示为，图阴影部分面积可表示为， 故上述操作能验证的等式是； （2）解：①， ； ②原式 ． 20．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）数形结合是初中数学重要的思想方法，图①到图②的变化过程描述了一个重要的数学公式，这个公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两个图形的面积相等，列出等式即可． 【详解】解：图①中长方形的面积为：， 图②中相应图形的面积为：， 因此可以得出相应的公式：． 常考题型十一 运用完全平方公式进行运算 21．（25-26七年级下·江苏南京·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】原式，值为4 【分析】根据乘法公式先化简，再代值计算即可． 【详解】解：原式， 当时，原式． 22．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的相关运算法则，依次根据对应法则计算每个选项，即可判断出正确结果. 【详解】解：选项A： ，计算正确； 选项B： ，计算错误； 选项C： ，计算错误； 选项D： ，计算错误. 常考题型十二 完全平方公式在几何图形中的应用 23．（25-26七年级下·河南驻马店·月考）某小区有一块长为，宽为的长方形空地，物业部门计划进行绿化（如图阴影部分），中间部分将修建一个仿古小景点（如图中间的正方形所示）． (1)求绿化面积是多少平方米 (2)求出当，时的绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题考查了多项式乘法、完全平方公式及代数式求值．解题的关键是利用绿化面积等于长方形面积减去正方形面积，正确列式并化简，再代入数值求解． （1）先分别表示出长方形和正方形的面积，再相减并化简； （2）将代入第（1）问化简后的代数式直接计算． 【详解】（1）解：由题意，长方形空地的面积为，中间正方形小景点的边长为，面积为， 绿化面积为： ， ， ， ； 答：绿化面积是平方米； （2）解：当时， ， ， ． 答：当时，绿化面积为150平方米． 24．（25-26七年级下·北京·开学考试）已知，若正方形的边长为，其面积记为，长方形的长为，宽为，其面积记为，用等式表示与的数量关系为___________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，整式的混合运算的应用，掌握相关运算法则是解题关键．由题意可知，，，再计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 则 ． 即． 常考题型十三 整式乘法混合运算 25．（2026·吉林长春·一模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的乘法运算，合并同类项，根据完全平方公式，平方差公式进行化简，再合并同类项，最后将字母的值代入，即可求解． 【详解】解： ． 当 ， 时，原式 ． 26．（25-26七年级下·江西宜春·期末）化简求值，其中． 【答案】化简结果为，求值为 【分析】本题考查整式的混合运算及化简求值，涉及平方差公式、完全平方公式及单项式乘多项式的运算法则，关键是准确运用公式展开，注意符号的处理，避免合并同类项时出错．先利用乘法公式和整式运算法则将原式展开，再合并同类项化简为最简整式，最后代入计算出结果； 【详解】解： ． 当时，原式． 常考题型十四 多项式乘多项式——化简求值 27．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】根据整式的乘法公式展开整理，再将数值代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 28．（25-26七年级下·陕西西安·开学考试）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】首先计算多项式乘以多项式和单项式乘以多项式，然后合并同类项后代数求解． 【详解】解： ∵， ∴原式． 常考题型十五 通过对完全平方公式变形求值 29．（25-26七年级下·内蒙古包头·月考）若，，则_____． 【答案】5 【分析】运用完全平方公式将两个式子变形后，再进行相加求解即可． 【详解】解：由题意得，；， ∴ 解得． 30．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知，则的值是（    ） A．12 B．6 C．3 D．0 【答案】A 【分析】由，可得，再对所求多项式进行因式分解，整体代入即可求解． 【详解】解： ∵ ， ∴ ， ∴． 常考题型十六 求完全平方式中的字母系数 31．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如果是一个完全平方式，则______． 【答案】 【分析】根据完全平方式的特点列出关于的等式，即可求出的值． 【详解】解：， ， 解得． 32．（25-26七年级下·江苏南京·期中）若多项式是完全平方式，则常数k的值为（   ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据多项式中的两个平方项确定完全平方公式的两个底数，再根据完全平方公式的乘积二倍项确定k的值，需考虑两种情况. 【详解】解：∵ = ∴ ， 化简可得 . 常考题型十七 用科学记数法表示数的除法 33．（25-26七年级下·上海黄浦·月考）2022年我国粮食总产量大约为．如果按我国人口人计算，那么人均粮食产量大约是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式．根据单项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：人均粮食产量为： ． 故答案为． 34．（24-25七年级下·山西运城·月考）查阅资料可知，太阳和地球之间的距离约为，光在真空中的速度约为，太阳光照射到地球大约需要______s． 【答案】或500 【分析】本题考查单项式除以单项式的应用，利用时间等于路程除以速度，以及单项式除以单项式的法则进行计算即可. 【详解】解：； 故答案为：500 常考题型十八 整式四则混合运算 35．（25-26七年级下·广东珠海·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，整式的化简求值， 先根据整式的乘法计算括号内的，再根据整式的除法计算，然后代入求值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 36．（25-26七年级下·甘肃金昌·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，熟练运用整式乘法法则是解题的关键．本题运用整式乘法法则进行运算即可，而且逆用乘法的分配律可以简化计算． 【详解】解： 常考题型十九 整式的混合运算 37．（24-25七年级下·江苏南京·周测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】首先，将整式运用平方差公式及完全平方公式展开化简，然后，将x，y的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 38．（25-26七年级下·广东清远·月考）先化简，再求值：其中 【答案】，0 【详解】解：原式 ； 当时，则原式． 常考题型二十 与余角、补角有关的计算 39．（25-26七年级下·辽宁辽阳·月考）下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②相等的两个角是对顶角：③若，则与互为余角；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，其中错误的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据垂线的性质，对顶角的定义，余角与补角的定义，垂线段最短的性质逐一判断即可． 【详解】解：①一条直线上有无数个点，过任意一点都能作这条直线的一条垂线，因此一条直线有无数条垂线，原说法错误； ②相等的两个角不一定是对顶角，原说法错误； ③若，则与互为补角，和为的两个角才互为余角，原说法错误； ④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，原说法正确，不符合要求． 40．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）一个角的余角比它的补角的多，则这个角的度数为_____________°． 【答案】27 【分析】根据余角，补角的定义，设未知数列一元一次方程求解． 【详解】解：设这个角的度数为，则这个角的余角为，补角为． 根据题意列方程得： 解得：， 即这个角的度数为． 常考题型二十一 同(等）角的余(补)角相等的应用 41．（24-25七年级下·四川广安·期末）已知和互为补角，和互为补角．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“同角的补角相等”即可推出与的关系，即可求解． 【详解】解∶∵和互为补角，和互为补角， ∴． 42．（25-26七年级下·四川巴中·月考）若，，则，理由是________ 【答案】同角的补角相等 【分析】和都与同一个角互补，根据补角的性质即可推出结论． 【详解】解：，， （同角的补角相等）． 故答案为：同角的补角相等 常考题型二十二 同位角相等两直线平行 43．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）现有直线和直线外一点C，如图是小明同学利用“过直线外一点作已知直线的平行线”的作图痕迹，请问该同学这样作平行线依据的判定定理是：________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了过直线外一点作已知直线的平行线，同位角相等，两直线平行，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，观察作图过程，得出，又因为是一组同位角，即该同学这样作平行线依据的判定定理是同位角相等，两直线平行． 【详解】解：依题意， 观察作图过程，得出， ∵是一组同位角， 即该同学这样作平行线依据的判定定理是同位角相等，两直线平行， 故答案为：同位角相等，两直线平行． 44．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，已知直线，以及直线外一点．利用尺规作图按下列步骤操作如下： ①在直线上取一点，经过点和点，作直线； ②作，并使得与是一对同位角； ③反向延长射线，得到直线． 根据以上作法，下列结论错误的为（   ） A． B．的理论依据是同位角相等，两直线平行 C．若，则 D． 【答案】C 【分析】本题考查了作平行线，平行线的判定，掌握平行线的判定是解答本题的关键．根据平行线的判定即可判断，，根据可判断，根据等角的补角相等可判断． 【详解】解：， ， 故不符合题意； 的理论依据是同位角相等，两直线平行， 故不符合题意； ， ， ， 故符合题意； ， ， ， 故不符合题意， 故选：． 常考题型二十三 内错角相等两直线平行 45．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）如图，将两块相同的直角三角板按图示摆放，则与平行，这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点之间线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键． 根据内错角相等，两直线平行直接得到答案． 【详解】解：由题意得， 根据内错角相等，两直线平行可得． 故选：B． 46．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （    ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 【答案】90，垂直的定义，，，，， 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是平行线的性质与判定定理． 首先得到，然后由得到，即可得到． 【详解】证明：∵，（已知） ∴（垂直的定义） 又∵（已知） ∴（等式的性质） 即 ∴（内错角相等，两直线平行） 常考题型二十四 同旁内角互补两直线平行 47．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在下列四组条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．根据平行线的判定定理逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，不能得到，不符合题意； B、由，不能得到，不符合题意； C、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，符合题意； D、由不能得到，不符合题意； 故选：C． 48．（2025七年级下·江苏连云港·专题练习）如图，，当___________度时，． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定（同旁内角互补，两直线平行），熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．要使，需利用平行线的判定（同旁内角互补，两直线平行）确定的度数． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 常考题型二十五 根据平行线的性质求角的度数 49．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）小明参加定向比赛，如图，从地沿北偏东方向到地，再从地沿北偏西方向到地．从地沿_________方向跑，可以保持与的方向一致． 【答案】北偏东 【分析】如图（见解析），先求出，的度数，再求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】解：如图，由题意得：， ∴，， ∴， 从地出发，要保持与的方向一致，即要使， 则， ∴， ∴从地沿北偏东方向跑，可以保持与的方向一致． 50．（25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）如图，已知，，平分，则的度数为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，最后利用平行线的性质求出即可． 【详解】解：， ． 平分， ． ， ． 常考题型二十六 平行线的性质在生活中的应用 51．（25-26七年级下·陕西西安·月考）小颖从酒店骑车前往位于酒店南偏东方向的大唐芙蓉园游玩．到大唐芙蓉园后，此时定位显示酒店位于大唐芙蓉园的___________方向． 【答案】 北偏西 【详解】解：如图，酒店位于大唐芙蓉园的北偏西. 52．（25-26七年级下·湖北荆州·月考）2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中，，，；求的度数． 【答案】 【分析】根据平行线的性质得到，再由题意得到，则，据此求解即可 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 常考题型二十七 根据平行线判定与性质求角度 53．（25-26七年级下·福建龙岩·月考）如图，已知，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接,由平行线的性质得到，则可证明，得到，据此可得． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 54．（25-26七年级下·重庆垫江·月考）如图，，，，求的度数，请将解题过程填写完整． 解：（已知） ________（） 又（已知） （） ________（） 【答案】；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行 【分析】由 得到 ，由等量代换得到 ，则 ，即可得到 ，由 即可得到 的度数． 【详解】解： （已知）， （两直线平行，同位角相等）， 又 （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， ． 常考题型二十八 根据平行线判定与性质证明 55．（25-26七年级下·河南驻马店·期末）如图，B，C，E三点在同一直线上，A，F，E三点在同一直线上，．若，则与平行吗？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先证明，得到，则可证明，再证明，得到，则可证明． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 56．（25-26七年级下·山东青岛·期末）已知：如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定及性质是解题关键． （1）利用平行公理的推论得到，再由“两直线平行，内错角相等”可推出； （2）由和推出，再结合求出． 【详解】（1）证明： ，， ， ． （2）解： ，， ， ， ， ． 常考题型二十九 判断事件发生的可能性的大小 57．（24-25七年级下·上海·期中）一个不透明的袋子中装有白球与黑球，它们除颜色外均相同，现任意摸一个球，如果摸出白球比黑球的可能性大，则袋中白球数____黑球数．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＞ 【分析】本题主要考查可能性的大小，根据从中任意摸出1个球，摸出白球比黑球的可能性大，可得答案． 【详解】解：∵任意摸一个球，若摸出白球比黑球的可能性大， ∴袋中白球数＞黑球数． 故答案为：＞． 58．（25-26七年级下·重庆·自主招生）袋子里有15个红球和20个白球，球除颜色外完全相同，从中任意摸出1个球，那么摸出______球的可能性大． 【答案】白 【分析】本题主要考查了可能性的大小，根据数量多则可能性大，即可解答． 【详解】解：袋中有红球15个，白球20个， ∵， ∴摸出白球的可能性大． 故答案为：白． 常考题型三十 用频率估计概率的综合应用 59．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.8附近，则x的值为（   ） A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，根据频率估计概率，摸出黑球的概率为0.8，利用概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵摸出黑球的频率稳定在0.8附近， ∴摸出黑球的概率为0.8， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 故选：B． 60．（25-26七年级下·浙江台州·期末）某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示． 试验的种子数/粒 200 400 600 800 1000 发芽的频率 0.935 0.845 0.883 0.898 0.901 据此估计，这批种子中大约有_____是能发芽的．（精确到个位） 【答案】90 【分析】此题主要考查了模拟实验，利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，解答此题的关键是判断出：大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.901左右．根据频率稳定性，当试验种子数较大时，发芽频率趋近于概率，取1000粒时的频率0.901作为概率估计值，再计算种子中能发芽的重量． 【详解】解：由试验数据可知，试验种子数为1000粒时，发芽频率为0.901， 该值可作为发芽概率的估计值． 因此，种子中能发芽的种子重量约为，精确到个位为． 故答案为∶． 常考题型三十一 列举法求概率 61．（25-26七年级下·河南安阳·月考）在“行走河南·读懂中国”的文化体验活动中，小文和小宇从龙门石窟、少林寺、殷墟三项河南文化标识中，随机选择一项进行深入了解，他们各自独立选择，则两人所选择的文化标识相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题用列举法计算概率，先求出所有等可能的选择结果，再找出两人选择相同文化标识的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：记龙门石窟、少林寺、殷墟三项标识分别为A、B、C， ∵两人各自独立选择， ∴所有等可能的结果为，共9种， 其中两人选择相同文化标识的结果共3种， ∴两人所选择的文化标识相同的概率为． 62．（25-26七年级下·云南昆明·期末）某同学计划购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，“该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率为_____． 【答案】/0.4 【分析】本题考查了列举法求事件的概率． 根据题意，该同学购买车票的位置共有种情况，其中车票座位靠过道座位有种，从而可得“该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率是． 【详解】解： 根据题意，随机选择一个座位，有共5种情况， 其中车票座位靠过道座位有种， “该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率是． 故答案为：． 常考题型三十二 根据概率公式计算概率 63．（25-26七年级下·全国·课后作业）无色酚酞溶液是一种常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸性溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱性溶液变红色。现有5瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水（中性）、白醋溶液（酸性）、食用碱溶液（碱性）、火碱溶液（碱性）、稀硫酸（酸性），将酚酞试剂滴入任意一瓶液体中呈现红色的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据酚酞的变色规则，确定使酚酞变红的溶液数量，再利用概率公式计算所求概率即可． 【详解】解：∵酚酞遇酸性溶液、中性溶液不变色，遇碱性溶液变红， 本题总共有5种等可能的液体，其中碱性溶液共2种， ∴将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是． 64．（24-25七年级下·山东烟台·期中）某火车站的显示屏每隔1分钟显示一次火车班次的信息，显示时间持续20秒，某乘客到达该车站时，显示屏上正好显示火车班次信息的概率是______． 【答案】 【分析】根据题意，确定显示屏一个周期的总时间和显示火车班次信息的时间，再根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：先统一单位，分钟 秒， 由题意可得，间隔不显示的时间为秒，显示火车班次信息的时间为秒，一个周期的总时间为 秒， 根据概率公式，某乘客到达该车站时，显示屏上正好显示火车班次信息的概率为． 常考题型三十三 已知概率求数量 65．（25-26七年级下·陕西西安·月考）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率 若学校劳动基地对该批次油菜籽粒进行萌发，发芽的植株大约有___________株． 【答案】 【分析】根据用频率估计概率的知识，在大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在概率附近．观察大量重复试验后频率的稳定值，得到发芽概率的估计值，再计算粒油菜籽的发芽植株数． 【详解】解：由表格数据可知，随着试验粒数增加，该油菜籽的发芽频率逐渐稳定在附近， 估计该油菜籽发芽的概率为， 粒该油菜籽发芽植株大约为（株）． 66．（2026·山东济南·一模）不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球是红球的概率为，若袋中有8个白球，则袋中红球有_________个． 【答案】12 【分析】根据概率公式求出小球的总数量，即可求解． 【详解】解：袋中红、白两种颜色的小球的总数量为个， ∴袋中红球有个． 常考题型三十四 游戏的公平性 67．（24-25七年级下·云南文山·期末）在某校七年级（1）班组织的“六·一儿童节”活动中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均质的）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，当转盘停止后，若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去． (1)求小丽获胜的概率是多少？ (2)你认为这个游戏公平吗？若不公平，如何使这个游戏变得公平？请说明理由． 【答案】(1)小丽获胜的概率是 (2)不公平．将其中一个奇数改为偶数就公平了，理由见解析 【分析】（1）直接根据概率公式计算即可； （2）比较两人获胜概率可知不公平，将其中一个奇数改为偶数即可． 【详解】（1）解：P（偶数）， 即小丽获胜的概率是； （2）解：∵若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去， ∴小芳获胜的概率是， 可知这个游戏不公平； 措施：将其中一个奇数改为偶数就公平了． 理由：此时P（偶数）， ∵若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去， ∴小芳获胜的概率是， 可知此时这个游戏公平． 68．（25-26七年级下·河北廊坊·期末）小明和小华玩一个游戏，规则是：同时抛掷两枚均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明赢；若两枚都反面朝上，则小华赢；若一正一反，则为平局．这个游戏对双方（   ） A．公平，因为小明和小华赢的概率相等 B．不公平，小明赢的概率大 C．不公平，小华赢的概率大 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了游戏的公平性，列举法求概率．通过列举两枚硬币抛掷的所有可能结果，计算小明和小华赢的概率并比较，即可作答． 【详解】解：依题意，两枚均匀硬币抛掷的所有可能结果有4种：正正、正反、反正、反反，且每种结果等可能， 其中，小明赢（正正）的概率为，小华赢（反反）的概率为，平局为， ∴小明和小华赢的概率相等，游戏公平， 故选：A． 常考题型三十五 几何概率 69．（24-25七年级下·福建宁德·月考）如图所示的是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成个扇形）．转动转盘，计算转盘停止时指针落在红色区域的概率_____． 【答案】 【分析】先确定总结果数，再确定符合题意的结果数，即可得出概率． 【详解】解：共有种结果，这种结果中，有三种结果满足题意要求， 故概率为． 70．（25-26七年级下·山东泰安·期中）如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为___________． 【答案】35 【详解】解：由统计图知，随着实验次数的增加，点落在不规则图案上的频率稳定在0.35， ∴点落在不规则图案上的概率为0.35． ∴估计阴影部分面积约为． 常考题型三十六 概率在转盘抽奖中的应用 71．（25-26七年级下·广东清远·期末）学校科技节设置转盘抽奖活动，转盘上有六个全等的区域，颜色分布如图(黄、蓝、蓝、红、蓝、红)．若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域即可获奖，则获奖的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，关键是确定总等可能结果数与符合获奖条件的结果数，再根据概率公式计算概率． 【详解】解：∵转盘上有6个全等的区域，转动转盘后每个区域被指到的可能性相等，其中红色区域有2个， ∴获奖的概率为； 故选：B． 72．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）某商场进行促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：一个均匀的转盘被等分成份，分别标有1至这个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为6的倍数则获奖． (1)若采用方式一，骰子掷出后，“4”朝上的概率为 (2)选择哪种摇奖方式获奖机会更大？请说明理由． 【答案】(1) (2)选择摇奖方式一获奖机会更大，理由见解析 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，关键是确定每种事件包含的基本事件数，再利用概率公式计算． （1）直接根据标有“4”的面数与总面数的比值计算概率； （2）分别计算两种摇奖方式的获奖概率，再比较大小． 【详解】（1）解：∵正二十面体骰子总共有个面，其中标有“4”的面有4个， ∴骰子掷出后，“4”朝上的概率为； 故答案为：； （2）解：先计算方式一的获奖概率： 骰子总面数为，标有“6”的面数为， ∴选择方式一获奖的概率为． 再计算方式二的获奖概率： 转盘被等分成份，6的倍数为6、，共2个， ∴选择方式二获奖的概率为． ∵， ∴方式一的获奖机会更大； 答：选择方式一获奖机会更大． 常考题型三十七 概率在比赛中的应用 73．（2025七年级下·山西晋中·专题练习）足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 【答案】C 【分析】本题考查的简单随机事件的概率，掷硬币是一种随机事件，正面和反面出现的概率相等，均为，从而确保双方机会均等，体现公平性． 【详解】∵抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的可能性相同，概率均为， ∴这种方法使比赛双方在场地和发球权的选择上具有同等机会，因此主要原因是体现比赛的公平性． 故选：C． 74．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有，，，，，，，，，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指针指向分界线时，重转一次）．小西和小阳利用此转盘做游戏：一人转动转盘，另一人猜数．若所猜数字特征与转出的数字特征相符，则猜数的人获胜；否则，转动转盘的人获胜． (1)若小西转动转盘，小阳猜转出的数是奇数，请计算小阳获胜的概率； (2)若小阳转动转盘，小西猜数的方式有两种：①转出的数是3的倍数；②转出的数比7小．为了尽可能获胜，小西应该选择第几种猜数方式？请说明理由． 【答案】(1) (2)为了尽可能获胜，小西应该选择第②种猜数方式，见解析 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）求出2种猜数方式获胜的概率，比较后即可得出结果． 【详解】（1）解：因为10个数中有5个奇数， 所以（小阳获胜）． （2）10个数中有3个数为3的倍数，比7小的数有6个， 所以（转出的数是3的倍数）， （转出的数比7小）． 因为， 所以为了尽可能获胜，小西应该选择第②种猜数方式． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版数学七年级下册期中考前必刷练精讲练【易错题重难点题型】 模块三 常考题题型讲练『期中备考必刷练』 ［北师大版（新教材）七年级下册第1-3章］ 题型序列 题型名称 常考题型一 负整数指数幂 常考题型二 用科学记数法表示绝对值大于1的数 常考题型三 用科学记数法表示绝对值小于1的数 常考题型四 幂的混合运算 常考题型五 计算单项式乘多项式及求值 常考题型六 多项式乘多项式与图形面积 常考题型七 (x+p) (x+q）型多项式乘法 常考题型八 已知多项式乘积不含某项求字母的值 常考题型九 多项式乘法中的规律性问题 常考题型十 平方差公式与几何图形 常考题型十一 运用完全平方公式进行运算 常考题型十二 完全平方公式在几何图形中的应用 常考题型十三 整式乘法混合运算 常考题型十四 多项式乘多项式——化简求值 常考题型十五 通过对完全平方公式变形求值 常考题型十六 求完全平方式中的字母系数 常考题型十七 用科学记数法表示数的除法 常考题型十八 整式四则混合运算 常考题型十九 整式的混合运算 常考题型二十 与余角、补角有关的计算 常考题型二十一 同(等）角的余(补)角相等的应用 常考题型二十二 同位角相等两直线平行 常考题型二十三 内错角相等两直线平行 常考题型二十四 同旁内角互补两直线平行 常考题型二十五 根据平行线的性质求角的度数 常考题型二十六 平行线的性质在生活中的应用 常考题型二十七 根据平行线判定与性质求角度 常考题型二十八 根据平行线判定与性质证明 常考题型二十九 判断事件发生的可能性的大小 常考题型三十 用频率估计概率的综合应用 常考题型三十一 列举法求概率 常考题型三十二 根据概率公式计算概率 常考题型三十三 已知概率求数量 常考题型三十四 游戏的公平性 常考题型三十五 几何概率 常考题型三十六 概率在转盘抽奖中的应用 常考题型三十七 概率在比赛中的应用 常考题型一 负整数指数幂 1．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）计算： __； ___． 2．（25-26七年级下·江苏南京·期中）___． 常考题型二 用科学记数法表示绝对值大于1的数 3．（25-26七年级下·广东茂名·期中）茂名作为全国荔枝早熟产区和最大产区，全市2025年荔枝产量约630000吨．数据630000用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·重庆·月考）根据重庆市教委发布的信息，2025年重庆市参加中考的初中毕业生人数约为351800人，则数据351800用科学记数法表示为___________． 常考题型三 用科学记数法表示绝对值小于1的数 5．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.00000000207毫米，将数据0.00000000207用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）用科学记数法表示___________． 常考题型四 幂的混合运算 7．（25-26七年级下·重庆·期末）若，则________． 8．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义新运算：，则的运算结果是____________． 常考题型五 计算单项式乘多项式及求值 9．（25-26七年级下·江苏南京·月考）计算的结果是__________． 10．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 常考题型六 多项式乘多项式与图形面积 11．（25-26七年级下·江苏南京·期中）长方形的长为，宽为，现将长和宽分别增加和． (1)求扩建后长方形的面积；（用含x的代数式表示） (2)当时，求扩建后长方形的面积比原来增加了多少平方厘米． 12．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）如图，某小区有一块长、宽的长方形空地，物业规划了一块长方形草坪（阴影部分），草坪的三面都留有宽度为的小路（空白部分）． (1)求该长方形草坪（阴影部分）的面积；（用含，的代数式表示） (2)若，，种植草坪的价格为每平方米30元，那么种植草坪需要多少元？ 常考题型七 (x+p) (x+q）型多项式乘法 13．（25-26七年级下·四川成都·月考）若，则的值为______． 14．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若，，则M与N的大小关系为（    ）． A． B． C． D．M与N的大小由x的取值而定 常考题型八 已知多项式乘积不含某项求字母的值 15．（25-26七年级下·浙江舟山·期中）若化简的结果中，的一次项系数是，则__________． 16．（24-25七年级下·广东深圳·期中）若的计算结果中没有关于的一次项，则________． 常考题型九 多项式乘法中的规律性问题 17．（25-26七年级下·福建漳州·月考）我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 18．（25-26七年级下·福建南平·期末）我国南宋时期数学家杨辉于年写下了《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 当代数式的值为时，则值为______． 常考题型十 平方差公式与几何图形 19．（24-25七年级下·贵州·期中）如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作能验证的等式是_______； (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则_______． ②计算：． 20．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）数形结合是初中数学重要的思想方法，图①到图②的变化过程描述了一个重要的数学公式，这个公式是（    ） A． B． C． D． 常考题型十一 运用完全平方公式进行运算 21．（25-26七年级下·江苏南京·期中）先化简，再求值：，其中． 22．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 常考题型十二 完全平方公式在几何图形中的应用 23．（25-26七年级下·河南驻马店·月考）某小区有一块长为，宽为的长方形空地，物业部门计划进行绿化（如图阴影部分），中间部分将修建一个仿古小景点（如图中间的正方形所示）． (1)求绿化面积是多少平方米 (2)求出当，时的绿化面积． 24．（25-26七年级下·北京·开学考试）已知，若正方形的边长为，其面积记为，长方形的长为，宽为，其面积记为，用等式表示与的数量关系为___________． 常考题型十三 整式乘法混合运算 25．（2026·吉林长春·一模）先化简，再求值：，其中，． 26．（25-26七年级下·江西宜春·期末）化简求值，其中． 常考题型十四 多项式乘多项式——化简求值 27．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）先化简，再求值：，其中． 28．（25-26七年级下·陕西西安·开学考试）先化简，再求值：，其中，． 常考题型十五 通过对完全平方公式变形求值 29．（25-26七年级下·内蒙古包头·月考）若，，则_____． 30．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知，则的值是（    ） A．12 B．6 C．3 D．0 常考题型十六 求完全平方式中的字母系数 31．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如果是一个完全平方式，则______． 32．（25-26七年级下·江苏南京·期中）若多项式是完全平方式，则常数k的值为（   ） A．8 B． C． D． 常考题型十七 用科学记数法表示数的除法 33．（25-26七年级下·上海黄浦·月考）2022年我国粮食总产量大约为．如果按我国人口人计算，那么人均粮食产量大约是__________． 34．（24-25七年级下·山西运城·月考）查阅资料可知，太阳和地球之间的距离约为，光在真空中的速度约为，太阳光照射到地球大约需要______s． 常考题型十八 整式四则混合运算 35．（25-26七年级下·广东珠海·月考）先化简，再求值：，其中． 36．（25-26七年级下·甘肃金昌·期末）计算：． 常考题型十九 整式的混合运算 37．（24-25七年级下·江苏南京·周测）先化简，再求值：，其中． 38．（25-26七年级下·广东清远·月考）先化简，再求值：其中 常考题型二十 与余角、补角有关的计算 39．（25-26七年级下·辽宁辽阳·月考）下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②相等的两个角是对顶角：③若，则与互为余角；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，其中错误的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 40．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）一个角的余角比它的补角的多，则这个角的度数为_____________°． 常考题型二十一 同(等）角的余(补)角相等的应用 41．（24-25七年级下·四川广安·期末）已知和互为补角，和互为补角．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 42．（25-26七年级下·四川巴中·月考）若，，则，理由是________ 常考题型二十二 同位角相等两直线平行 43．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）现有直线和直线外一点C，如图是小明同学利用“过直线外一点作已知直线的平行线”的作图痕迹，请问该同学这样作平行线依据的判定定理是：________． 44．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，已知直线，以及直线外一点．利用尺规作图按下列步骤操作如下： ①在直线上取一点，经过点和点，作直线； ②作，并使得与是一对同位角； ③反向延长射线，得到直线． 根据以上作法，下列结论错误的为（   ） A． B．的理论依据是同位角相等，两直线平行 C．若，则 D． 常考题型二十三 内错角相等两直线平行 45．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）如图，将两块相同的直角三角板按图示摆放，则与平行，这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点之间线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 46．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，已知，，，求证：．请完成下列证明过程： 证明：∵，（已知） ∴ （    ） 又∵（已知） ∴ （等式的性质） 即 ∴ （内错角相等，两直线平行） 常考题型二十四 同旁内角互补两直线平行 47．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在下列四组条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 48．（2025七年级下·江苏连云港·专题练习）如图，，当___________度时，． 常考题型二十五 根据平行线的性质求角的度数 49．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）小明参加定向比赛，如图，从地沿北偏东方向到地，再从地沿北偏西方向到地．从地沿_________方向跑，可以保持与的方向一致． 50．（25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）如图，已知，，平分，则的度数为（       ） A． B． C． D． 常考题型二十六 平行线的性质在生活中的应用 51．（25-26七年级下·陕西西安·月考）小颖从酒店骑车前往位于酒店南偏东方向的大唐芙蓉园游玩．到大唐芙蓉园后，此时定位显示酒店位于大唐芙蓉园的___________方向． 52．（25-26七年级下·湖北荆州·月考）2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中，，，；求的度数． 常考题型二十七 根据平行线判定与性质求角度 53．（25-26七年级下·福建龙岩·月考）如图，已知，则的度数是（　　） A． B． C． D． 54．（25-26七年级下·重庆垫江·月考）如图，，，，求的度数，请将解题过程填写完整． 解：（已知） ________（） 又（已知） （） ________（） 常考题型二十八 根据平行线判定与性质证明 55．（25-26七年级下·河南驻马店·期末）如图，B，C，E三点在同一直线上，A，F，E三点在同一直线上，．若，则与平行吗？请说明理由． 56．（25-26七年级下·山东青岛·期末）已知：如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 常考题型二十九 判断事件发生的可能性的大小 57．（24-25七年级下·上海·期中）一个不透明的袋子中装有白球与黑球，它们除颜色外均相同，现任意摸一个球，如果摸出白球比黑球的可能性大，则袋中白球数____黑球数．（填“＞”“＜”或“＝”） 58．（25-26七年级下·重庆·自主招生）袋子里有15个红球和20个白球，球除颜色外完全相同，从中任意摸出1个球，那么摸出______球的可能性大． 常考题型三十 用频率估计概率的综合应用 59．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.8附近，则x的值为（   ） A．15 B．16 C．18 D．20 60．（25-26七年级下·浙江台州·期末）某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示． 试验的种子数/粒 200 400 600 800 1000 发芽的频率 0.935 0.845 0.883 0.898 0.901 据此估计，这批种子中大约有_____是能发芽的．（精确到个位） 常考题型三十一 列举法求概率 61．（25-26七年级下·河南安阳·月考）在“行走河南·读懂中国”的文化体验活动中，小文和小宇从龙门石窟、少林寺、殷墟三项河南文化标识中，随机选择一项进行深入了解，他们各自独立选择，则两人所选择的文化标识相同的概率为（   ） A． B． C． D． 62．（25-26七年级下·云南昆明·期末）某同学计划购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，“该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率为_____． 常考题型三十二 根据概率公式计算概率 63．（25-26七年级下·全国·课后作业）无色酚酞溶液是一种常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸性溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱性溶液变红色。现有5瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水（中性）、白醋溶液（酸性）、食用碱溶液（碱性）、火碱溶液（碱性）、稀硫酸（酸性），将酚酞试剂滴入任意一瓶液体中呈现红色的概率是（   ） A． B． C． D． 64．（24-25七年级下·山东烟台·期中）某火车站的显示屏每隔1分钟显示一次火车班次的信息，显示时间持续20秒，某乘客到达该车站时，显示屏上正好显示火车班次信息的概率是______． 常考题型三十三 已知概率求数量 65．（25-26七年级下·陕西西安·月考）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率 若学校劳动基地对该批次油菜籽粒进行萌发，发芽的植株大约有___________株． 66．（2026·山东济南·一模）不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球是红球的概率为，若袋中有8个白球，则袋中红球有_________个． 常考题型三十四 游戏的公平性 67．（24-25七年级下·云南文山·期末）在某校七年级（1）班组织的“六·一儿童节”活动中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均质的）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，当转盘停止后，若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去． (1)求小丽获胜的概率是多少？ (2)你认为这个游戏公平吗？若不公平，如何使这个游戏变得公平？请说明理由． 68．（25-26七年级下·河北廊坊·期末）小明和小华玩一个游戏，规则是：同时抛掷两枚均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明赢；若两枚都反面朝上，则小华赢；若一正一反，则为平局．这个游戏对双方（   ） A．公平，因为小明和小华赢的概率相等 B．不公平，小明赢的概率大 C．不公平，小华赢的概率大 D．无法判断 常考题型三十五 几何概率 69．（24-25七年级下·福建宁德·月考）如图所示的是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成个扇形）．转动转盘，计算转盘停止时指针落在红色区域的概率_____． 70．（25-26七年级下·山东泰安·期中）如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为___________． 常考题型三十六 概率在转盘抽奖中的应用 71．（25-26七年级下·广东清远·期末）学校科技节设置转盘抽奖活动，转盘上有六个全等的区域，颜色分布如图(黄、蓝、蓝、红、蓝、红)．若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域即可获奖，则获奖的概率是（   ） A． B． C． D． 72．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）某商场进行促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：一个均匀的转盘被等分成份，分别标有1至这个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为6的倍数则获奖． (1)若采用方式一，骰子掷出后，“4”朝上的概率为 (2)选择哪种摇奖方式获奖机会更大？请说明理由． 常考题型三十七 概率在比赛中的应用 73．（2025七年级下·山西晋中·专题练习）足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 74．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有，，，，，，，，，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指针指向分界线时，重转一次）．小西和小阳利用此转盘做游戏：一人转动转盘，另一人猜数．若所猜数字特征与转出的数字特征相符，则猜数的人获胜；否则，转动转盘的人获胜． (1)若小西转动转盘，小阳猜转出的数是奇数，请计算小阳获胜的概率； (2)若小阳转动转盘，小西猜数的方式有两种：①转出的数是3的倍数；②转出的数比7小．为了尽可能获胜，小西应该选择第几种猜数方式？请说明理由． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $