5.2.2 复数的乘法与除法 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

5.2.2 复数的乘法与除法 北师大版（2019）必修第二册 学习目标 1.理解并掌握复数的乘法与除法法则，熟练进行复数的乘、除法运算，体现逻辑推理能力（重点） 2.理解复数乘法的运算律和复数正整数指数幂的运算性质，并能熟练应用，体现数学计算能力（重难点） 新课引入 两个实数的乘法和加法满足分配律，即a,b,c∈R时，有 (a+b)c=ac+bc 而且，实数的正整数次幂满足 aman=am+n，(am)n=amn，(ab)n=anbn 其中m,n均为正整数. 那么，复数的乘法应该如何规定，才能使得类似的运算法则仍成立呢？ 新课学习 复数的乘法的概念 对任意两个复数a+bi和c+di(a，b，c，d∈R)，类比多项式乘法，并利用i2=-1，有(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i，因此，定义复数的乘法如下： (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i 新课学习 例5：计算：(-2-i)(3+i). (-2-i)(3+i)=-2×3-2×i-3×i-i×i =-6-2i-3i-i2 =-6-2i-3i+1 =-5-5i 新课学习 例6：计算：(-2-3i)(-1+3i)( +i). 新课学习 复数的乘法的运算律 1.结合律：(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)； 2.交换律：z1·z2=z2·z1； 对任意z1，z2，z3∈C， 3.乘法对加法的分配律：z1·(z2+z3)=z1·z2+z1·z3. 新课学习 多个复数的乘法的概念 对于复数z，定义它的乘方zn=z·z·…·z. n个 根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算性质在复数范围内仍然成立，即对复数z，z1，z2和正整数m，n，有 zm·zn=zm+n，(zm)n=zmn，(z1·z2)n=z1n·z2n. 新课学习 i的性质 在复数的乘方运算中，经常要计算i的乘方，i的乘方有如下规律： i0=1，i1=i，i2=-1，i3=-i，… 一般地，对任意自然数n，有 i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n＋3=-i. 新课学习 例7: 计算： (1)(1＋i)4； (2)(2－i)2(2＋i)2. (1)(1+i)4=[(1+i)2]2=(1+2i+i2)2=(2i)2=-4； (2)(2-i)2(2+i)2=[(2-i)(2+i)]2=(4+1)2＝25. 新课学习 例8: 计算：i21，i16，i27，i22. i21=i4×5+1=i i16=i4×4=1 i27=i4×6+3=-i i22=i4×5+2=-1 新课学习 例9：求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R，且a≠0)在复数范围内的根x1，x2，并验证 使用配方法容易得到 (1)若b2－4ac≥0，则 因此 新课学习 (2)若b2－4ac＜0，则 因此 即 综上所述，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)在复数范围内的根x1，x2都满足 新课学习 思考交流：计算下列各式，你能发现其中有什么规律吗？请将你概括出的规律与同学交流，并证明. (1)(3+2i)(3-2i)； (3+2i)(3-2i)=9-(-4)=13 (2)(2+i)(2-i)； (2+i)(2-i)=4-(-1)=5 (3) ； =8-(-1)=9 (4) =3-(-2)=5 规律：(a+bi)(a-bi)=a2-b2i2=a2+b2. 新课学习 共轭复数的乘积 互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数(或其共轭复数)模的平方.即若z=a+bi(a，b∈R)，则 新课学习 例10：证明：对任意的两个复数z1，z2，若z1·z2＝0，则z1，z2至少有一个为0. 设z1≠0，则|z1|≠0，z1的共轭复数 ， 将z1·z2＝0的左右两边同时乘 ，得 因为|z1|2≠0，所以z2=0. | |2·z2=0 新课学习 思考一下：给定两个复数z和z2，如果这两个复数互为倒数，如何求出复数z？ 设z2=c+di≠0和z=x+yi(c,d,x,y∈R)，则 z2·z=(c+di)(x+yi)=cx-dy+(cy+dx)i=1 所以 cx-dy=1，cy+dx=0， 解得 所以z2=c+di的倒数 注意：这里要求c,d不同时为0，即z2≠0. 新课学习 思考一下：给定两个复数z1和z2，如何求出 ？ 设z1=a+bi(a,b∈R)和非零复数z2=c+di(c,d∈R)，规定复数的除法： 即除以一个复数，等于乘这个复数的倒数，因此 在实际计算 时，通常把分子和分母同乘分母c+di的共轭复数c-di，化简后就得到上面的结果： 这种叫分母“实数化” 新课学习 例11：计算： (1) ； (2) ； (3) (1) (2) (3) 课程练习 A 课程练习 课程练习 D 课程练习 课程练习 C 课程练习 课程练习 A 课程练习 课程练习 B 课程练习 课程练习 -2 课程总结 您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后，在此框中选择粘贴，并选择只保留文字。 1.复数的乘法 2.复数的除法 感谢各位同学的观看 TEACHING COURSEWARE $