课时冲关48 空间中的点、直线、平面与空间向量-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教B版）

第六章立体几何与空间向量 课时冲关48 空间中的点、直线、 ⑧错题序号： @错因分析 平面与空间向量 [基础训练组] A.AP⊥AB 1.若直线1的一个方向向量为a=(2,5,7),平 B.AP⊥AD 面a的一个法向量为4=(1,1，一1)，则 C.AP是平面ABCD的一个法向量 ( D.AP∥BD A.l∥a或lCa B.l⊥a C.ICa D.1与a斜交 7.在空间直角坐标系中，点P(1,√2，√3)，过点 2.设平面a的法向量为(1,2，一2)，平面3的 P作平面yOx的垂线PQ,则垂足Q的坐标 法向量为（一2，一4，k),若&⊥B,则k等于 为 ( 8.(2024·武汉市调研)已知平面a内的三点 A.2 B.-4 C.-5 D.-2 A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面3的一个 3.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平 法向量n=(一1，一1，一1)，则不重合的两个平 面ABC的一个单位法向量是 () 面α与B的位置关系是 9.如图，在正方体ABCD A. 33 A1B1C1D1中，棱长为a, M、N分别为A1B和AC B. - 3,-33 上的点，A1M=AN= C1 B 333 ,则MN与平面 D. BB1C1C的位置关系是 3 3 10.如图所示，在四棱锥 4.如图，在长方体ABCD D C P-ABCD中，PC⊥平面 A1B1C1D1中，AB=2, ABCD,PC=2,在四边 D AA1=√5，AD=2√2，P D 形ABCD中，∠B= M 为C1D1的中点，M为BC B ∠C=90°，AB=4,CD=1,点M在PB上， 的中点.则AM与PM的位置关系为( PB=4PM,PB与平面ABCD成30°的角. A.平行 B.异面 求证：(1)CM∥平面PAD: C.垂直 D.以上都不对 (2)平面PAB⊥平面PAD. 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别 在A1D,AC上，且A1E= 号AD,AF 号AC则 ( A.EF至多与A1D,AC之一垂直 B.EF⊥A1D,EF⊥AC C.EF与BD1相交 D.EF与BD1异面 6.(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在 的平面外一点，如果AB=(2,一1，一4)，AD =(4,2,0),AP=(一1,2，一1).下列结论正 确的有 ·347 高考总复习人教数学B版（新教材）》 [答题栏] [能力提升组] (2)在平面PAD内是否存在一点G,使GF 111.如图，正方形ABCD ⊥平面PCB?若存在，求出点G的坐标； 2 与矩形ACEF所在 若不存在，请说明理由. 3 平面互相垂直，AB .4 =√2，AF=1,M在 .5 EF上且AM∥平面BDE,则M点的坐 -.6 标为 ( -.11 A.(1,1,1) 12 99 12.（多选)如图四棱锥 P-ABCD,平面PAD Q ⊥平面ABCD,侧面 PAD是边长为2√6的 正三角形，底面ABCD为矩形，CD=2√5，点Q 是PD的中点，则下列结论正确的是() A.CQ⊥平面PAD B.PC与平面AQC所成角的余弦值 号 C.三棱锥BACQ的体积为6√2 D.四棱锥QABCD外接球的内接正四面 体的表面积为24√3 13.在正三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2， 底面边长为1，M为BC的中点，C1N ANC,且AB⊥MN,则入的值为 14.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD, 底面ABCD为正方形，PD=DC,E,F分 别是AB,PB的中点。 (1)求证：EF⊥CD: ·348·高考总复习人教数学B版（新教材） 11.B[由球O的半径为1，A,B是球 又BC=b-a, 面上的两点，且AB=√5，可得 1 ∠A0B=F,OA.Oi=1X1× 六A0·BC=z(a+b+c)·(b a)=1,BC1=√2， PA·PB=(OA-OP)·(OB- .cos〈AO,BC〉= 40·Bc AOIBC OP)=OA·OB-(OA+OB)·OP +0币=}- OA+OB1·OP 3 cos 0= 1 .异面直线AO与BC所成角的余 -cos8∈ 12.D[建立空间直 弦值为组 31 角坐标系如图所 (3)如图，取BC的 示.设A(0,一1， 中点E,连接AE, 0),B(0,1,0), S(0,0W3), 则A店=合(A店中 .0. AC=合(a+b. :AB=AC,E为BC的中点， P(x,y,0),于是有AM 19 .AE⊥BC. 又A忘.BB=子a+b)c 由于AM MP,.所以1，号) =2×1X2as12r+1X2as60) =0, .AE⊥BB BC∩BB,=B, 即y=是此为P点形成的轨连方 .AE⊥平面B,BCC, 又AEC平面ABC,.平面ABC⊥ 程，其在底面圆盘内的长度为 平面B1BCC1· 课时冲关48 1.A2.C3.D4.C5.B 13.解析：点Q在直线OP上，设，点6.ABC Q(a1,2入)， 7.解析：由题意知，点Q即为点P在平 则QA=(1-λ，2-A,3-2λ)，QB=(2 面vOx内的射影， 1二，2-2， 所以垂足Q的坐标为(0，√2W3). QA·QB=(1-λ)(2-A)+(2-A)(1 答案：(0W2,√3) -1)十(3-2λ)·(2-2A)=6入2-16x 8.解析：设平面α的法向量为m=(x, +10=6-)-号 y2), 由m·AB=0,得x·0十y-之=0→ 即当=专时，QA·QB取得最小值 y-, 由m·AC=0,得x一之=0→x=之，取 此时00=（） x=1, .m=(1,1,1),m=-n,∴.m∥n, 答案：（位） ∴a∥B. 答案：a∥B 14.解：(1)AO=AB+BO=AB十 9.解析：，正方体棱长为a,AM=AN (BC+BB ② =A店+安a花-+A 3 :.MB 号4.2. (AB+AC-AA). :M=M+BC+C=子A,B- (2)设AB=a,AC=b,AA1=c,则 A-[2a+be] Bc+号c =+6+c+2a6+26 =号A店+耳+成+号亦- 十2a·c) 号aB+专BC. =子×1+1+4十0+2X1X2s60 又，CD是平面BBCC1的法向量， +2X1×20s1209)=2: 3 ∴CD=(号BB+号BC）·CD =0, MN⊥CD.又：MNE平 面B1BCC1, ·516· .MN∥平面BBCC. 答案：平行 10.证明：以C为坐标原 点，CB为x轴，CD 为y轴，CP为之轴 建立如图所示的空 间直角坐标系Cxy. :PC⊥平面ABCD, .∠PBC为PB与平面ABCD所 成的角， .∠PBC=30°， PC=2,.BC=2√3，PB=4, .D(0,1,0),B(2√3,0,0)，A(2√3， 4,0),P(0,0,2), M.) 2 .DP=(0,-1,2), DA=(2√5,3,0)， CM= (1)设n=(x,y,x)为平面PAD的 一个法向量， 由n=0即{片2x=0, DA·n=0,(23x+3y=0, 令y=2,得n=（-√5,2,1). m…Ci=-后×9+2x0+1x ∴.n⊥CM.又CM平面PAD, .CM∥平面PAD. (2)如(1)中图，取AP的中点E,连 接BE, 则E(√5,2,1)，BE=(-3,2,1). PB=AB,∴BE⊥PA. 又：BE·DA=(-√3,2,1)· (25,3,0)=0, .BE⊥DA,.BE⊥DA. 又PA∩DA=A, BE⊥平面PAD 又BEC平面PAB, .平面PAB⊥平面PAD. 1.C[由选项特点，设M(入，入，1)，又 A(W2√2,0)，DW2,0,0),B(0,N2,0) E(0,0,1),则DE=(一√2,0,1)，BE= (0,-√2,1)，AM=(λ-√2，a-√2,1). 设平面BDE的法向量n=(x,y, 之)，则 (DE·n=0, 即 2x十x=0, (BE·n=0, 1-√2y十x=0. 不妨取=√2，则n=(1,1,√2)， 由于AM∥平面BDE, 所以AM⊥n, 即AM·n=0,所以A一√2+λ-√2+√2 =0,解得入= 2, 即M点坐标为 12.BD[取AD 的中，点O,BC 故正方体的棱长为x, 2 的中点E,连 接OE,OP. 所以3 =6,得x=24, 因为三角形 PAD为等边 三角形，所以 所以正四面体的表面积为4X尽 OP⊥AD. =24√3，所以D正确.] 因为平面PAD⊥平面ABCD,所以 13.解析：如图所示， OP⊥平面ABCD, 取B,C1的中点 因为AD⊥OE,所以OD,OE,OP P,连接MP,以 两两垂直， M为坐标原点， 如图，以O为坐标原点，分别以 MC,MA,MP的 OD,OE,OP所在的直线为x轴，y 方向分别为x 轴，之轴， 建立空间直角坐标系，则O(0,0, 轴，y轴，之轴正 方向建立空间直角坐标系」 0),D(W6,0,0), 因为底面边长为1，侧棱长为2， A(-√6,0,0)，P(0,0,3√2)，C(w6,23, 0),B(一√6,2√3,0)， 所以A,0B(02） 因为点Q是PD的中点，所以 ,3 c(200）c(02） 2 平面PAD的一个法向量为m= M0,0,0),设N(20t (0,1,0), 因为CN=NC, ,显然m 所以N(合0) 2 2 与QC不共线， 所以AB,=- 1 2 5,2,M 所以CQ与平面PAD不垂直，所以 A不正确； PC=(√6,2√5，-3√2)，AQ 又因为AB,⊥MN,所以AB,·MV = =0. 14 AC=(2√6,25,0)， 所以一 1+入 =0,所以λ=15， 设平面AQC的法向量为n=(x,y, 答案：15 ),则 14.解：(1)证明：如 图，以DA,DC 2=0, DP所在直线分 别为x轴、y轴 (n·AC=26x十23y=0, 之轴建立空间直 令x=1,则y=-√2，=-√5， 角坐标系， 所以n=(1,-√2，-√3). 设AD=a,则D 设PC与平面AQ℃所成角为0， (0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0), n·PC 则sin0 26 C0,a,0),E(a,号0）P(0,0,a n PC 6√6 3, 所以c0s9=2巨，所以B正确： 3 三棱锥BACQ的体积为 VDACQ=VQAN=3 SAAC2OP DC=(0,a:0). ,EF·DC=0,EF⊥DC,即EF =号×合×2×26×3 ⊥CD (2)假设存在满足条件的点G, =6所以C不正确； 设G(x,0,z), 设四棱锥QABCD外接球的球心 为M(0W5,a),则MQ=MD, 所以5） 、2 --(a-9 若使GFL乎面PCB, 则由FG·CB= (W6)2+(3)2+a, 解得a=0,即M(0,√5,0)为矩形 ABCD对角线的交点， a 所以四棱锥QABCD外接球的半 径为3， 设四棱锥QABCD外接球的内接正 四面体的棱长为x, 将四面体拓展成正方体，其中正四 0,aa)-十a(-号）=0， 面体棱为正方体面的对角线， 得x=0. 517. 参考答案 “点G的坐标为（号，0,0） 即存在满足条件的点G,且点G为 AD的中，点. 课时冲关49 1.C2.B3.A4.A5.A6.AC 7.解析：，AE:ED D :AD=1:1:2, .AE⊥ED,即 E AE,DE,EF两两 垂直，所以建立如 图所示的空间直角坐标系，设AB=EF =CD=2,则E(0,0,0),A(1,0,0),F(0, 2,0),C(0,2,1),.AF=(-1,2,0),E℃ (0,2,1), .cos〈AF,EC)= AF·EC AFEC 4 5x5=行 AF与CE所成角的余弦值为 4 答案：号 8.解析：以C为原点 建立坐标系，得下 列坐标：A(2,0,0), C(0,0,2√2).点 C在侧面ABB1A 内的射影为点 c( 所以AC1=(-2,0,2√2)，AC2 1,5,2,设直线AC与平 22 面ABB,A1所成的角为0， AC1·AC2 1+0+8 则c0s0= ACAC 2√3X3 2 又c[0,受]所以0=晋 答案晋 9.解析：如图建立空间 直角坐标系，则 D(0,0,2),A(2,0,2) D0,0,0),B(2,2,0), .D1A1=(2,0,0): DA1=(2,0,2),DB =(2,2,0) 设平面A1BD的一个法向量n=(x, y2）, 则"·D4=2x+2x=0. （n·DB=2x十2y=0. 令x=1,则n=(1,-1,-1), 点D到平面ABD的距离d= DA·n223 n53 答案：2 10.解：(1)证明：，AD=CD,∠ADB= ∠BDC且BD为公共边，·△ADB