课时冲关44 空间点，直线，平面之间的位置关系-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教B版）

又平面BDD∩平面BEDF =B1D, 所以OH⊥平面B1EDF, 所以OH等于四棱锥C1-B1EDF 的高. 因为△B,O1H△B1DD1, 所以O,H=BO·DD= BD 6a. 所以V,两r=吉Sa吗严 0H=子×2·EF·BD0H= 答案。 14解：(1)证明：：四边形DCBE为平 行四边形， ∴.CD∥BE,BC∥DE DC⊥平面ABC,BCC平面 ABC,∴.DC⊥BC. AB是圆O的直径，，BC⊥AC, 且DC∩AC=C, .BC⊥平面ADC ,DE∥BC,.DE⊥平面ACD. (2):DC⊥平面ABC,∴.BE⊥平 面ABC. 在Rt△ABE中，AB=2,EB=√5. 在Rt△ABC中，，AC=x, .BC=/4-x(0x2), :Sar=合AC·BC 1 x·V4-x, V(x)=V:Ae= x 6 /4-x2(0x2). 24-)≤（+4）=4， 2 当且仅当x2=4-x2, 即x=√2时取等号，∴当x=√2时，体 软有录大植。 课时冲关44 1.A2.D3.C4.D5.C6.BC 7.解析：考虑两种情况： 当A、B两点在平面a的同侧时， 线段AB的长为√（√2）十（√6） =2√2： 当A、B两点在平面《的异侧时，线 段AB的长为√(3√2)2+(6)2 =2√6； 则线段AB的长为2√2或2√6. 答案：2√2或2√6 8.解析：如图，设球D1的球面与侧面 BCCB1的四个交点分别为E,F,G, H,其中E,F,G,H四点构成边长为 2的正方形，其外接圆的半径为√2， 周长为2√2π， 参考答案 该球面与侧面 很明显，可以满足平面ABC⊥直 BCCB1的交线 线a, 长为= .直线AB与a所成角的最大值为 4 2 90°，D错误 2x=② “正确的说法为BC.] 12.ABD[对于A,根据 管案 正方体的性质，有 DB⊥平面ACD,又 9.解析：如图所示，把正 DB,C平面PBD,则 方体的平面展开图还 平面PB,D平面 原成原来的正方体，显 ACD1,故A正确；对 然BM与ED为异面 于B,连接A1B,AC1,易证明平面 直线，故命题①不成 BA1C∥平面ACD1,又A1PC平面 立；而CN与BE平行，故命题②不 BA1C1,所以AP∥平面ACD,故 成立； B正确；对于C,当P与线段BC1的 .BE∥CN, 两端，点重合时，A1P与AD1所成角 .CN与BM所成角为∠MBE 取最小值受，当P与线段BC的中 ,∠MBE=60°，故③正确： ,BC⊥平面CDNM, ,点重合时，A,P与AD1所成角取最 ∴.BC⊥DM,又：DM⊥NC,.DM 大值受，故AP与AD,所成角的 ⊥平面BCV, ∴.DM⊥BN,故④正确. 范周是[子，受]，故C错误：对于 答案：③④ 10.证明：(1)如图所示 D,V三枚整D,APC=V三枚CAD,P,因为 因为EF是△D1BC ,点C到平面AD1P的距离不变，且 的中位线，所以EF △ADP的面积不变，所以三棱锥 ∥BD1.在正方体 CAD,P的体积不变，故D正确.] AC1中，B,D1∥BD, 13.解析：如图，取AC,的 所以EF∥BD,所以EF,BD确定 中点D,连接BD 一个平面，即D,B,F,E四点共面. 因为D是AC的中点， (2)在正方体AC1中，设A1ACC 所以B,D1∥BD,所以 BE- 确定的平面为a,又设平面BDEF ∠AB1D1即为异面直 为B.因为Q∈AC,,所以Q∈a.又 线AB1与BD所成的角.连接AD, Q∈EF,所以Q∈B.所以Q是a与B 设AB=a,则AA1=√2a,所以AB1= 的公共点，同理，P是a与B的公共 点.所以a∩B=PQ.又AC∩B=R, Ba,B,D,= 2a, 所以R∈AC,R∈a,且R∈B.则R PQ,故P,Q,R三，点共线 AD√2+2a=号a.所以，在 (3)EF∥BD且EF<BD,.DE △ABD1中，由余弦定理得 与BF相交，设交点为M,则由M∈ DE,DEC平面D1DCC,, COS∠AB,D,= AB+B D-AD 2AB1·B1D1 得M∈平面D1DCC,同理，点M∈ 平面BBCC.又平面DDCC∩平 w+ 1 面B1BCC1=CC1,∴.M∈CC. ∴DE,BF,CC1三线交于点M 2xa×90 Γ2 故DE,BF,CC三线交于一点 所以∠AB1D1=60°， 1.BC「由题意，AB是 答案：60° 以AC为轴，BC为底 14.解：(1)证明：假设AE与PB共面，设 面半径的圆锥的母 AE与PB确定平面a, 线，又AC⊥a,AC⊥ A∈a,B∈a,E∈a,.平面a即为 b,AC⊥圆锥底面，∴.在底面内可以 平面ABE, 过点B,作BD∥a,交底面圆C于点 .P∈平面ABE,这与P任平面 D,如图所示，连接DE,则DE ABE矛盾， BD,∴.DE∥b,连接AD,设BC=1, AE与PB是异面直线 在等腰△ABD中，AB=AD=√2， (2)取BC的中点F,连 当直线AB与a成60°角时，∠ABD 接EF,AF, =60°，故BD=√2，又在Rt△BDE 则EF∥PB,∠AEF 中，BE=2,∴DE=√2， (或其补角)就是异面 过点B作BF∥DE,交圆C于点F, 直线AE与PB所成 连接AF,EF, 的角. .∠BAC=60°，PA=AB=AC=2, .BF=DE=√2， PA⊥平面ABC, ,△ABF为等边三角形， ∴.∠ABF=60°，即AB与b成60°角， AF=√5，AE=√2，EF=√E, 故B正确，A错误 则cOS∠AEF=AE+EF°-AF 由最小角定理可知C正确； 2·AE·EF ·513· 高考总复习人教数学B版（新教材） =2+2-3 1 2X√2X2 4 1山，A[由球体积号R 故异面直线AE与PB所成角的余 孩值为 8E知球半径为R=反，设A △ABC的外心为M,由正弦定理 课时冲关45 1.B2.A3.C4.C5.C 6.ABD sin >2AM,得AM=2,由 7解析：根据题意，因为EF∥平面 AB,C,所以EF∥AC.又E是AD的 2 ）十AM=2,得PA=25 3 中点，所以F是CD的中点.因此在 设AB的中点为N,则CN⊥平面 Rt△DEF中，DE=DF=1,故EF PAB,连接PN,则∠CPN为直线 =√2. 答案：√2 与羊西所成的角，PV√+哥 9 8.解析：如图，取CD的中 点E,连接AE,BE, Y3,CN=,an∠Cpv=Cy PN 则EM:MA=1:2, EN:BN=1:2, -3.] 11 所以MN∥AB,所以MN∥平面12.AC[如图所示，设 ABD,MN∥平面ABC AC,BD相交于点O, 答案：平面ABD与平面ABC 连接SO,EM,EV.对 9.解析：如图1，，AC∩ 于A,由SABCD是 BD=P, 正四棱锥，可得SO ∴.经过直线AC与BD ⊥底面ABCD,AC⊥BD,.ACC 可确定平面PCD 平面ABCD,.SO⊥AC.SO∩ a∥B,a∩平面PCD /BC BD=O,.AC⊥平面SBD,E =AB,B∩平面PCD M,N分别是BC,CD,SC的中点， =CD, .EM∥BD,MN∥SD,而EM∩ ∴AB/C0-器. MN=M,SD∩BD=D,SD,BDC 平面SBD,MN,EMC平面EMN 即6 BD:BD=24 8-BD .平面EMN∥平面SBD,.AC 平面EMN,,EPC平面EMN, 如图2，同理可证AB .AC⊥EP.故A正确. ∥CD. 对于B,易知EP与BD是异面直 …隐 PB 线，因此B不正确， PD ,即 3 对于C,由A可知平面EMN∥平 =BD-8 图2 面SBD,,EPC平面EMV,.EP 8 ∥平面SBD,因此C正确. ∴.BD=24 对于D,由A同理可得EM⊥平面 综上所送，BD=号或24. SAC,若EP⊥平面SAC,则EP∥ EM,与EP∩EM=E相矛盾，因此当 答案：号或24 P与M不重合时，EP与平面SAC不 10.证明：(1)连接AE, 垂直.即D不正确.] 13.解析：设AT=x,A,T=y,则x十y 则AE必过DF与 =1.由题意易知该截面六边形的对 GN的交点O, 边分别平行，即OP∥SR,OT∥QR, 连接MO,则MO PQ∥TS,则△DOP∽△BSR.又 为△ABE的中位 因为DP=DO=1,所以B1S=B1R 线，所以BE∥MO. 又BE寸平面DMF,MOC平 = 合，所以AS=CR=是.由 面DMF, 所以BE∥平面DMF △A0 mAcqK,-可母2-器 (2)因为N,G分别为平行四边形 ADEF的边AD,EF的中点，所以 所以CQ= gx.由△ATS DE∥GN, 又DEt平面MNG,GNC平 △C2P,可得号-A1三，所以CQ=3, 面MVG, 所以DE∥平面MNG 2 y=x十y=1,可得x 又M为AB的中点， 所以 所以MN为△ABD的中位线，所以 BD∥MN, ，所以AT=号 3 又MNC平面MNG,BD吐平 省案：号 面MVG, 14.解：(1)连接AC, 所以BD∥平面MNG, 设AC∩EF 又DE,BDC平面BDE,DE∩BD H,连接A'H. =D, 所以平面BDE∥平面MNG. 因为四边形 ·514· ABCD是正方形，AE=AF=4, 所以H是EF的中点，且EF AH,EF⊥CH, 从而有A'H⊥EF,CH⊥EF, 又A'H∩CH=H, 所以EF⊥平面A'HC,且EFC平 面ABCD. 从而平面A'HC⊥平面ABCD. 过，点A'作A'O垂直HC且与HC 相交于点O, 则A'O⊥平面ABCD. 因为正方形ABCD的边长为6，AE =AF=4, 故A'H=2√2，CH=4√2， 所以cos∠A'FHC=AH+CF-AC 2AH·CH =8+32-24 2X2√2X422 所以HO=A'H·cos∠A'HC= √2，则A'O=√6， 所以五棱锥A'-BCDFE的体积 V= ×(6-2×4×4)×6 3 =286 (2)线段A'C上存在，点M,使得BM ∥平面A'EF,此时A'M=5.证明 2 如下： 连接OM,BD,BM,DM,且易知BD 过点O. A'M=5=1A'C,H0=1HC, 24 所以OM∥A'H. 又OM吐平面A'EF, A'HC平面A'EF, 所以OM∥平面A'EF. 又BD∥EF,BD寸平面A'EF,EF C平面A'EF, 所以BD∥平面A'EF 又BD∩OM=O,所以平面MBD∥ 平面A'EF, 因为BMC平面MBD,所以BM∥ 平面A'EF 课时冲关46 1.D 2.D 3.B 4.D 5.ABD 6.BCD 7.解析：因为当n⊥3，ma时，平面a 及B所成的二面角与直线，n所成 的角相等或互补，所以若m⊥n,则a ⊥B,从而由①③④→②正确；同理②③ ④→①也正确. 答案：①③④→②或②③④→① 8.解析：由定理可知，BDPC所以当 DM⊥PC时，即有PC⊥平面MBD, 而PCC平面PCD,所以平面MBD ⊥平面PCD. 答案：DM⊥PC(答案不唯一) 9.解析：过P作PD⊥AC 于D,PEBC于E,PO ⊥平面ABC于O. 连OD,OE,PD=PE =√3，PC=2, ..CD=CE=1.第六章立体几何与空间向量 课时冲关44空间点、直线、平面之间 ⑧错题序号： @错因分析： 的位置关系 [基础训练组] 6.(多选)如图是一几何体 1.已知命题p:a,b为异面直线，命题q:直线 的平面展开图，其中四边 a,b不相交，则p是g的 ( ) 形ABCD为矩形，E,F A.充分不必要条件 分别为PA,PD的中点， B.必要不充分条件 C.充分必要条件 在此几何体中，给出下列结论正确的是 D.既不充分也不必要条件 2.如图是某个正方体 A.直线BE与直线CF异面 的侧面展开图，11， B.直线BE与直线AF异面 2是两条侧面对角 C.直线EF∥平面PBC 线，则在正方体中， 2 D.平面BCE⊥平面PAD l1与12 A.互相平行 B.异面且互相垂直 7.已知平面α外两点A,B到平面a的距离分 C.异面且夹角为号D,相交且夹角为号 别为√2和2√2，A,B在平面α内的射影之间 3.(2024·泉州市模拟)设a,b是互不垂直的 的距离为√6，则线段AB的长度为 两条异面直线，则下列命题成立的是() 8.(2020·新高考全国I卷)已知直四棱柱 A.存在唯一直线1，使得l⊥a,且l⊥b ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD= B.存在唯一直线l,使得l∥a,且1⊥b 60°.以D1为球心，√5为半径的球面与侧面 C.存在唯一平面&，使得aCa,且b∥a D.存在唯一平面a,使得aCa,且bLa BCC1B1的交线长为 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P,Q,R分 9.如图所示，是某正方体 别是AB,AD,B1C1的中点，那么正方体过 的平面展开图，在这个 P,Q,R的截面图形是 正方体中， A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 ①BM与ED平行； 5.已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC= ②CN与BE是异面直线； 120°，AB=2,BC=CC1=1,则异面直线 ③CN与BM成60°角； AB1与BC1所成角的余弦值为 () ④DM与BN垂直. 以上四个命题中，正确命题的序号是 ·339· 高考总复习人教数学B版（新教材） [答题栏]10.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F 12.（多选)如图，在正方体 分别为D1C1,C1B1的中点，AC∩BD=P, ABCD-A1B1C1D中， 1 --- A1C1∩EF=Q. 点P在线段BC1上运 2 求证：(1)D,B,F,E四点共面： 动，则下列判断中正确 3 (2)若A1C交平面DBFE于R点，则P, 的是 ( A Q,R三点共线； A.平面PB1D⊥平面ACD .4 (3)DE,BF,CC1三线交于一点， B.A1P∥平面ACD .5 C.异面直线A1P与AD1所成角的范围 是(o,】 .11 D.三棱锥D1-APC的体积不变 12 13.如图所示，在正三棱柱B, ABCA1B1C1中，D是 AC的中点，AA1:AB= √2：1，则异面直线AB 与BD所成的角为 14.如图所示，三棱锥PABC 中，PA⊥平面ABC, ∠BAC=60°，PA=AB= AC=2,E是PC的中点. (1)求证：AE与PB是异面 直线； (2)求异面直线AE与PB所成角的余弦值. [能力提升组] 11.(多选)a,b为空间中两条互相垂直的直线， 等腰直角三角形ABC的直角边AC所在 直线与a,b都垂直，斜边AB以直线AC为 旋转轴旋转，下列结论正确的是() A.当直线AB与a成60°角时，AB与b成 30°角 B.当直线AB与a成60°角时，AB与b成 60°角 C.直线AB与a所成角的最小值为45 D.直线AB与a所成角的最大值为60 ·340·