课时冲关43 空间几何体的表面积与体积-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教B版）

第六章立体几何与空间向量 课时冲关43 空间几何体的 ⑧错题序号： @错因分析： 表面积与体积 [基础训练组] 5.如图，一竖立在地面上的 1.(2024·安丘市模拟) 圆锥形物体的母线长为 唐朝的狩猎景象浮雕 4,一只小虫从圆锥的底 P 银杯如图1所示，其 面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到 浮雕临摹了国画、漆 图1 图2 绘和墓室壁画，体现 点P处，若该小虫爬行的最短路程为4√5， 了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近 则这个圆锥的体积为 () 似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁 A.5 B.32V35x 表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示.已 3 27 知球的半径为R,酒杯内壁表面积为 3元R2 C.1282x 81 D8⑤ 3 设酒杯上部分（圆柱）的体积为V1,下部分 6.(2023·全国乙卷)已知圆锥PO的底面半 (半球)的体积为V2,则 径为√3，O为底面圆心，PA,PB为圆锥的母 A.2 B C.1 D 线，∠AOB=暂，若△PAB的面积等于 2.(2024·黄山市模拟)《九章算术》卷5《商功》 95 ( 记载一个问题“今有圆堡蹤，周四丈八尺，高 ,则该圆锥的体积为 4 一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十 A.π B.√6π C.3π D.3√6π 二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而 7.(2023·全国甲卷)在四棱锥P-ABCD中， 一”.这里所说的圆堡蹤就是圆柱体，它的体 积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”.就是 底面ABCD为正方形，AB=4,PC=PD= 说：圆堡骚（圆柱体）的体积为V=立×（底 3,∠PCA=45°，则△PBC的面积为( A.2√2 B.3√2 C.4√2 D.52 面圆的周长的平方×高)，则由此可推得圆 8.(2024·福州质检)如图，一个 周率π的取值为 ) A.3 B.3.1 C.3.14D.3.2 正六棱柱的茶叶盒，底面边长为 3.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面 10cm,高为20cm,则这个茶叶 上四点，△ABC为等边三角形且其面积为 盒的表面积约为 cm2 9√3，则三棱锥DABC体积的最大值为 (精确到0.1，√3≈1.732) ( 9.如图，在△ABC中，AB A.12√5B.18√5C.245D.543 BC=2,∠ABC= 4.(2024·齐齐哈尔模拟)已知二面角ac1B,球O 120°.若平面ABC外的 与两个半平面&，3分别相切于A,B两点，且 球心O到l的距离为d,若d=AB=4,则球 点P和线段AC上的点D,满足PD=DA, 的表面积为 ( PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是 A.38π B.40π C.32π D.36π ·337· 高考总复习人教数学B版（新教材） [答题栏]10.如图，四边形ABCD 13.(2024·广州市调研)已知E,F分别是棱 为菱形，G为AC与 长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱 -- BD的交点，BE⊥平 AA1,CC的中点，O为面A1B1C1D的中心， 2 面ABCD. 则O,到平面BEDF的距离为 (1)证明：平面AECL 四棱锥C-B1EDF的体积为 3 平面BED: 14.(2024·贵阳市质检) D 4 (2)若∠ABC=120°，AE⊥EC,三棱锥 如图，△ABC内接于 圆O,AB是圆O的直 .5 匠ACD的体积为，求该三棱锥EACD的 径，四边形DCBE为 ---6 侧面积. 平行四边形，DC⊥平 7 面ABC,AB=2, EB=√5. 11 (1)求证：DE⊥平面ACD; -.12 (2)设AC=x,V(x)表示三棱锥BACE的 体积，求函数V(x)的解析式及最大值. [能力提升组] 11.(2023·天津卷)在三棱锥P-ABC中，线段 PC上的点M满足PM=吉PC,线段PB上 的点N满足PN=号PB,则三棱锥PAMN 和三棱锥P-ABC的体积之比为( A5B号 c.} D号 12.(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)已知圆锥的顶 点为P,底面圆心为O,AB为底面直径， ∠APB=120°，PA=2,点C在底面圆周 上，且二面角PAC-O为45°，则() A.该圆锥的体积为元 B.该圆锥的侧面积为4√3π C.AC=2√2 D.△PAC的面积为√ ·338·高考总复习人教数学B版（新教 Vewm=Vew=子·h:Sae 5 课时冲关43 1.A2.A3.B4.C5.C 6.B[在△AOB 中，∠AOB= 号，污01 OB=√5，取AB 0 中点C,连接 OC,PC,有OC⊥AB,PC⊥AB, 如图， ∠ABO= ,0℃=3 6 ,AB=2BC= 3,由△PAB的而积为9，得号×8 XPC=9 4 解得PC=3 2 于是PO=√PC-OC 所以圆锥的体积V=3πXOA'× P0=3πX()'X6=6m.] 7.C[连接 AC,BD 交于0， 连接PO, 则O为 A长 AC,BD 的中点， B 如图， 因为底面ABCD为正方形，AB=4,所 以AC=BD=4√2，则DO=CO= 2√2， 又PC=PD=3,PO=OP, 所以△PDO≌△PCO, 则∠PDO=∠PCO, 又PC=PD=3,AC=BD=4√2，所 以△PDB≌△PCA,则PA=PB,在 △PAC中， PC=3,AC=4√2，∠PCA=45°， 则由余弦定理可得 PA'=AC+PC-2AC·PCcos∠PCA =32+9-2X4厄×3×号-17. PA=√7，则PB=√I7, 在△PBC中，PC=3,PB=J17,BC =4, 所以cOs∠PCB=PC+BC-PB 2PC·BC =9+16-17= 2×3×4 31 又0<∠PCB<π， 所以sin∠PCB=√1-cos∠PCB =2E 3 材) 所以△PBC的面积为S= 所以△EAC的面积为3，△EAD的 PC· 面积与△ECD的面积均为√5.故三 BCsin.∠PCB =号×3X4×2=4.] 棱锥EACD的侧面积为3十2√5. 3 11.B[如图，分 8.解析：边长为10cm的正六边形的面 别过M,C作 1 MM'⊥PA, 积为6×2×10×10×sin60 CC'⊥PA,垂 =150√5cm2, 足分别为 所以表面积为2×150√3十6×10× M,C.过B 20=1200+300√5=1200+300× 作BB⊥平面PAC,垂足为B',连接 1.732=1719.6cm2. PB,过N作NN⊥PB,垂足为N. 答案：1719.6 因为BB'⊥平面PAC,BB'C平 9.解析：设PD=DA=x, 面PBB', 在△ABC中，AB=BC=2,∠ABC= 所以平面PBB'⊥平面PAC 120°，.AC= 又因为平面PBB'∩平面PAC= W√AB+BC-2·AB·BC·cos∠ABC PB',NN⊥PB',NN'C平面 =√/4+4-2×2X2Xc0s120° PBB',所以NN'⊥平面PAC, =23, 且BB'∥NN. 在△PCC中，因为MM⊥PA, ∴CD=2W-x, CC'⊥PA, 且∠ACB=2180-120)=30, 所以MM∥CC, ∴Sam=2BC·DC·sin∠ACB 所以兴器=子 =×2X(25-) 在△PBB中，因为BB∥NN',所 2 =e5-. 以器器台， ,VAM=】 所以VPABC NPAM 要使四面体体积最大，当且仅当点P VBPAC 到平面BCD的距离最大，而P到平 面BCD的最大距离为x. 期V64m=号X受(25-x)T 1 音Sac·BB -日[-c-+3], 吉（合PAMM ·NV 由于0x<2√3， BB 故当x=√5时，V面株D取最大值为 1 2.1 9· 答聚：日 12.AC[如图， 由∠APB= 10.解：(1)证明：因为四边形ABCD为 120°，AP=2 菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平 可知，底面直 面ABCD,ACC平面ABCD, 径AB=2√3， 所以BE⊥AC 而BD∩BE=B,BD,BEC平 高PO=1,故该圆锥的体积为π，故 面BED, A正确；该圆锥的侧面积为2√3π，故B 所以AC⊥平面BED. 错误；连接CB,取AC中，点为Q,连 又ACC平面AEC,所以平面AEC 接QO,PQ,易证二面角PACO的 平面BED. 平面角为∠PQ0=45°，所以Q0= (2)设AB=x,在菱形ABCD中，由 PO=1,PQ=√2，所以BC=2,所以 ∠ABC-120,可得AG=GC=5 2, AC=2√E,故C正确；S△Pr= 2 GB=GD=.因为AE⊥EC, AC·PQ=2,故D错误.] 13.解析：如图所示，连 所以在R△AEC中，可得EG=, 2 接A1C,B1D1交于 由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直 点O,连接BD, EF,过，点O1作O1H 角三角形，可得BE= 2 ⊥BD于，点H. 由已知得，三棱锥EACD的体积 因为EF∥AC1,且AC1寸平面 B1EDF,EFC平面B1EDF, V三锋EAC XACGD·BE = 1 所以A1C∥平面B1EDF. 所以C到平面B,EDF的距离就 31 是A1C到平面B1EDF的距离， 故x=2.从而可得AE=EC=ED=√6. 易知平面BD1D⊥平面B1EDF, ·512· 又平面BDD∩平面BEDF =B1D, 所以OH⊥平面B1EDF, 所以OH等于四棱锥C1-B1EDF 的高. 因为△B,O1H△B1DD1, 所以O,H=BO·DD= BD 6a. 所以V,两r=吉Sa吗严 0H=子×2·EF·BD0H= 答案。 14解：(1)证明：：四边形DCBE为平 行四边形， ∴.CD∥BE,BC∥DE DC⊥平面ABC,BCC平面 ABC,∴.DC⊥BC. AB是圆O的直径，，BC⊥AC, 且DC∩AC=C, .BC⊥平面ADC ,DE∥BC,.DE⊥平面ACD. (2):DC⊥平面ABC,∴.BE⊥平 面ABC. 在Rt△ABE中，AB=2,EB=√5. 在Rt△ABC中，，AC=x, .BC=/4-x(0x2), :Sar=合AC·BC 1 x·V4-x, V(x)=V:Ae= x 6 /4-x2(0x2). 24-)≤（+4）=4， 2 当且仅当x2=4-x2, 即x=√2时取等号，∴当x=√2时，体 软有录大植。 课时冲关44 1.A2.D3.C4.D5.C6.BC 7.解析：考虑两种情况： 当A、B两点在平面a的同侧时， 线段AB的长为√（√2）十（√6） =2√2： 当A、B两点在平面《的异侧时，线 段AB的长为√(3√2)2+(6)2 =2√6； 则线段AB的长为2√2或2√6. 答案：2√2或2√6 8.解析：如图，设球D1的球面与侧面 BCCB1的四个交点分别为E,F,G, H,其中E,F,G,H四点构成边长为 2的正方形，其外接圆的半径为√2， 周长为2√2π， 参考答案 该球面与侧面 很明显，可以满足平面ABC⊥直 BCCB1的交线 线a, 长为= .直线AB与a所成角的最大值为 4 2 90°，D错误 2x=② “正确的说法为BC.] 12.ABD[对于A,根据 管案 正方体的性质，有 DB⊥平面ACD,又 9.解析：如图所示，把正 DB,C平面PBD,则 方体的平面展开图还 平面PB,D平面 原成原来的正方体，显 ACD1,故A正确；对 然BM与ED为异面 于B,连接A1B,AC1,易证明平面 直线，故命题①不成 BA1C∥平面ACD1,又A1PC平面 立；而CN与BE平行，故命题②不 BA1C1,所以AP∥平面ACD,故 成立； B正确；对于C,当P与线段BC1的 .BE∥CN, 两端，点重合时，A1P与AD1所成角 .CN与BM所成角为∠MBE 取最小值受，当P与线段BC的中 ,∠MBE=60°，故③正确： ,BC⊥平面CDNM, ,点重合时，A,P与AD1所成角取最 ∴.BC⊥DM,又：DM⊥NC,.DM 大值受，故AP与AD,所成角的 ⊥平面BCV, ∴.DM⊥BN,故④正确. 范周是[子，受]，故C错误：对于 答案：③④ 10.证明：(1)如图所示 D,V三枚整D,APC=V三枚CAD,P,因为 因为EF是△D1BC ,点C到平面AD1P的距离不变，且 的中位线，所以EF △ADP的面积不变，所以三棱锥 ∥BD1.在正方体 CAD,P的体积不变，故D正确.] AC1中，B,D1∥BD, 13.解析：如图，取AC,的 所以EF∥BD,所以EF,BD确定 中点D,连接BD 一个平面，即D,B,F,E四点共面. 因为D是AC的中点， (2)在正方体AC1中，设A1ACC 所以B,D1∥BD,所以 BE- 确定的平面为a,又设平面BDEF ∠AB1D1即为异面直 为B.因为Q∈AC,,所以Q∈a.又 线AB1与BD所成的角.连接AD, Q∈EF,所以Q∈B.所以Q是a与B 设AB=a,则AA1=√2a,所以AB1= 的公共点，同理，P是a与B的公共 点.所以a∩B=PQ.又AC∩B=R, Ba,B,D,= 2a, 所以R∈AC,R∈a,且R∈B.则R PQ,故P,Q,R三，点共线 AD√2+2a=号a.所以，在 (3)EF∥BD且EF<BD,.DE △ABD1中，由余弦定理得 与BF相交，设交点为M,则由M∈ DE,DEC平面D1DCC,, COS∠AB,D,= AB+B D-AD 2AB1·B1D1 得M∈平面D1DCC,同理，点M∈ 平面BBCC.又平面DDCC∩平 w+ 1 面B1BCC1=CC1,∴.M∈CC. ∴DE,BF,CC1三线交于点M 2xa×90 Γ2 故DE,BF,CC三线交于一点 所以∠AB1D1=60°， 1.BC「由题意，AB是 答案：60° 以AC为轴，BC为底 14.解：(1)证明：假设AE与PB共面，设 面半径的圆锥的母 AE与PB确定平面a, 线，又AC⊥a,AC⊥ A∈a,B∈a,E∈a,.平面a即为 b,AC⊥圆锥底面，∴.在底面内可以 平面ABE, 过点B,作BD∥a,交底面圆C于点 .P∈平面ABE,这与P任平面 D,如图所示，连接DE,则DE ABE矛盾， BD,∴.DE∥b,连接AD,设BC=1, AE与PB是异面直线 在等腰△ABD中，AB=AD=√2， (2)取BC的中点F,连 当直线AB与a成60°角时，∠ABD 接EF,AF, =60°，故BD=√2，又在Rt△BDE 则EF∥PB,∠AEF 中，BE=2,∴DE=√2， (或其补角)就是异面 过点B作BF∥DE,交圆C于点F, 直线AE与PB所成 连接AF,EF, 的角. .∠BAC=60°，PA=AB=AC=2, .BF=DE=√2， PA⊥平面ABC, ,△ABF为等边三角形， ∴.∠ABF=60°，即AB与b成60°角， AF=√5，AE=√2，EF=√E, 故B正确，A错误 则cOS∠AEF=AE+EF°-AF 由最小角定理可知C正确； 2·AE·EF ·513·