第6章 第5节 空间中的垂直关系-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

第六章立体几何与空间向量 第5节空间中的垂直关系 ★[课程标准]1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直 的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题. 夯实必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 (2)图形表示： 1.直线与平面垂直 x ·C B (1)直线和平面垂直的定义 ∠β D· 如果一条直线1与平面 α 内的直线都 (3)记法：以AB为棱 和 β 为半平面的二面角，通 垂直，就说直线1与平面 α 互相垂直. 常记作二面角.如果C和D分别是半 (2)判定定理与性质定理 平面 α 和 β 内的点，也可记作. 文字语言 图形表示 符号表示 (4)二面角的平面角：在二面角 $$\alpha ^ { - }$$ x A 如果一条直线与一 l-β 的棱上任取一点O，以O 个平面内的 为垂足，分别在半平面 α 和 3 B 判定 垂直，则 a∩b=0 ⇒l⊥α 定理 内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和 这条直线与这个平 OB所成的角称为二面角的平面角. 面垂直 如图， O∈l，OA⊂α，OB⊂β，OA⊥l，OB⊥l 二面 如果两条直线垂直 a| 角 α-l-β 的平面角是. 性质 于同一个平面，那么 >a//b (5)二面角的平面角的取值范围：.平面角 定理 这两条直线 是直角的二面角称为直二面角. (6)平面与平面所成的角：一般地，两个平面相交 2.直线与平面所成的角 时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的4 (1)垂线段、斜线段：如果A是平面 α A 个二面角中，的角的大小.范围为 $$0 ^ { \circ } <$$ 外一点，B是平面a 内一点，则 $$0 \le 9 0 ^ { \circ } .$$ B AB⊥α 时，是平面a的 C 4.平面与平面垂直 垂线段.如果C是平面 α 内一点，且AC与a不 (1)定义：一般地，如果两个平面 α 与 β 所成角的大 小为 $$9 0 ^ { \circ } ，$$ ，则称这两个平面互相垂直，记作 α⊥β. 垂直，则称是平面 α 的斜线段(相应地， 直线AC 称为平面 α 的斜线)，称C为 画法： 如图所示. (2)直线与平面所成的角：如图，AB (2)判定定理与性质定理 是平面 α 的垂线段，AC 是平面a B 的斜线段，直线BC 称为直线AC 文字语言 图形表示 符号表示 在平面 α 内的射影， ∠ACB 称为直线AC与平 如果一个平面经过另 面 α 所成的角.如图所示. 判定外一个平面的一条 (3)一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于 定理，则这两个平面互 ；一条直线和平面平行，或在平面内，我 ⇒α⊥β 相垂直 们说它们所成的角等于.因此，直线与平 面所成的角的范围是. 如果两个平面互相垂 3.二面角 性质直，那么在一个平面内 (1)定义：从一条直线出发的两个所组成 定理 垂直于它们的直 a 的图形称为二面角，这条直线称为二面角的 线垂直于另一个平面 →l⊥α ，这两个半平面称为二面角的. ·161 · 高考总复习人教数学B版（新教材） 重要结论 C.如果平面α不垂直于平面B,那么平面a内一 1.若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于 定不存在直线垂直于平面3 这个平面内的任意直线 D.如果平面a⊥平面Y,平面B⊥平面Y,a∩β=l,那 2.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另 么1⊥Y 2.(2024·唐山模拟)如图，在以下四个正方体中， 条也垂直于这个平面 直线AB与平面CDE垂直的是 3.垂直于同一条直线的两个平面平行 4.过一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 5.过一点有且只有一个平面与已知直线垂直. 自主诊断 ◆[思考辨析] ① ⑧ ④ 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 A.①② B.②④ 里打“”，错误的打“×”. C.①③ D.②③ (1)l与平面α内的两条直线垂直，则直线1⊥ 3.如图，在正方形SG1G2G3中，s 平面a E,F分别是G1G2,G2G3的中 (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( 点，D是EF的中点，现在沿 SE,SF及EF把这个正方形 D (3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这 两条直线平行. 折成一个四面体，使G1,G2, ( ) (4)当a⊥3时，直线1过a内一点且与交线垂直， G3三点重合，重合后的点记为G G,则在四面体SEFG中必有 则1⊥R. A.SG⊥△EFG所在平面 (5)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意 B.SD⊥△EFG所在平面 一条直线垂直于另一个平面 ) C.GF⊥△SEF所在平面 ◆[小题查验] D.GD⊥△SEF所在平面 1.(教材改编)下列命题中不正确的是 4.已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连 A.如果平面a⊥平面B,且直线l∥平面a,则直线l 接PB,PC,PA,AC,BD,则一定互相垂直的平 ⊥平面3 面有 对 B.如果平面&⊥平面B,那么平面a内一定存在 5.将正方形ABCD沿AC折成直二面角后， 直线平行于平面β ∠DAB= 跃升，关键能力 层级突破素养提升 专原1垂直关系的基本问题（基础点） 接球为球O,平面PAD与平面PBC的交线为l, 1.(2024·银川市模拟)a,3是两个平面，m,n是两 BC的中点为E,则 ( ) 条直线，则下列命题中错误的是 A.l∥BC A.如果m⊥n,m⊥a,n⊥B,那么a⊥3 B.如果mCa,a∥B,那么m∥3 B.AB⊥PC C.如果a∩B=l,m∥a,m∥B,那么m∥l C.平面PDE⊥平面PAD D.如果m⊥n,n⊥a,m∥B,那么a⊥3 D.1被球O截得的弦长为1 2.(2024·衡阳模拟)设m、n是空间中两条不同的 直线，α、3是两个不同的平面，则下列说法正确 题后反思 的是 解决垂直关系的基本问题要注意 A.若mLa,nLB,m⊥n,则a⊥B (1)作图要熟练，借助几何图形来说明线面关系 B.若mCa,nCB,a∥B,则m∥n C.若m∥a,n∥B,a⊥3，则m⊥n 要做到作图快、准，甚至无需作图在头脑中形 D.若m二a,nCB,m∥B,n∥a,则a∥3 成印象来判断。 3.(多选)(2024·洛阳统考)如图，在 (2)善于寻找反例，若存在反例，结论就被驳 四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面 ABCD,底面ABCD为等腰梯形， 倒了 AD∥BC,AB=AD=CD=1,BC (3)要思考完整，反复验证所有可能的情况，必要 =PA=2,记四棱锥P-ABCD的外 时要运用判定或性质定理进行简单说明. 162 第六章立体几何与空间向量 专点2)直线与平面垂直的判定与性质（重难点） !跟踪训练 [典例]如图，直三棱柱ABC 如图，在三棱锥PABC A1B1C1中，AC=BC=1, 中，AB=BC=2√2.PA= ∠ACB=90°，D是A1B1的中 PB=PC=AC=4,O为AC 点，F在BB1上 的中点. (1)求证：C1D⊥平面AABB; (1)证明：POL平面ABC; (2)在下列给出三个条件中选 (2)若点M在棱BC上， 取哪两个条件可使AB1⊥平面C1DF?并证明 且MC=2MB,求点C到平面POM的距离： 你的结论 ①F为BB1的中点；②AB1=√5；③AA1=√2 [尝试解答 专点3)平面与平面垂直的判定与性质（创新点） [典例]如图，矩形ABCD所 在平面与半圆弧CD所在平 面垂直，M是CD上异于C, D的点. 方法指导 (1)证明：平面AMD⊥平面BMC; 1.证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定 (2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平 理；②垂直于平面的传递性a∥b,a⊥a→b⊥a; 面PBD?说明理由. ③面面平行的性质a⊥a,a∥B→a⊥β；④面面 核心素养 垂直的性质a⊥B,a∩B=a,l⊥a,lCB→l⊥a. 直观想象、逻辑推理—一立体几何证明中体现的核心素养 2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线 以常见的空间几何体为载体，以空间点、线、面的位置关系为 线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定 基础，以相应的概念、定理、性质，法则为出发点，借助几何直观和 定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直 空间想象，通过逻辑思维和逻辑推理，正确解决立体几何中的证明 问题.具体见下表： 的基本思想 ·163 高考总复习人教数学B版（新教材） 续表 1跟踪训练 信息提取 信息解读 逻辑推理 (2023·全国甲卷)如图，在 着眼点1：由面面垂直推出线面 矩形ABCD L 三棱柱ABCA1B1C中， AD⊥CD 垂直，进而推出线线垂直：AD 半圆面CMD A1C⊥平面ABC,∠ACB 平面MCN→AD⊥CM =90° 着眼点2：由直角的概念推出线 线垂直：∠CMD=90°→CM (1)证明：平面ACC1A1 ⊥MD. 平面BB1C1C; M是半圆弧 着眼点3：由线线垂直推出线面 CD上异于C, (2)设AB=A1B,AA1=2,求四棱锥A1-BB1CC的高. ∠CMD=90 垂直，进而推出面面垂直： D的点 CM⊥AD) CM⊥MDj →CM⊥平面AMD →平面AMD⊥平面BMC 在线段AM上 着眼点4：转化为证明线线 是否存在点P, 猜想点P为 平行： 使得MC∥平 AM的中点. 连接BD,AC交于点O,证明 面PBD OP∥MC [尝试解答 方法指导 1.掌握证明两平面垂直常转化为线面垂直，利用 判定定理来证明.也可作出二面角的平面角， 证明平面角为直角，利用定义来证明 2.已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一 点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可 得此直线垂直于另一个平面，于是面面垂直转 化为线面垂直，由此得出结论：两个相交平面 同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直 于第三个平面. 164 第六章立体几何与空间向量 春点4 线面角与二面角（应用点） 跟踪训练 [典例]如图，在四面体 如图所示，三棱柱ABC ABCD中，△ABC是等 0 A1B1C1的底面是边长为2 边三角形，平面ABC⊥B 的正三角形且侧棱垂直于 平面ABD,点M为棱 底面，侧棱长为√3，点D是 AB的中点，AB=2,AD=2√3，∠BAD=90° AC的中点， (1)求证：AD⊥BC; (1)求证：B1C∥平面A1BD: (2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值； (2)求平面A1BD与平面 (3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值. ABD所成的角； [尝试解答] (3)求直线AB1与平面A1BD所成的角的正 弦值. 方法指导 1.斜线与平面所成的角，首先作出面的垂线，才 得出斜线在面内的射影，才可得出斜线与平面 所成的角，转化为直角三角形求解. 2.作二面角的平面角的常用方法有：①直接法： 根据平面角的概念直接作，如二面角的棱是两 个等腰三角形的公共底边，就可以取棱的中 点；②垂面法：过二面角棱上一点作棱的垂 面，则垂面与二面角的两个半平面的交线所成 的角就是二面角的平面角或其补角；③垂线 法：过二面角的一个半平面内一点A作另一个半 平面的垂线，再从垂足B向二面角的棱作垂线， 垂足为C,这样二面角的棱就垂直于这两个垂线 所确定的平面ABC,连接AC,则AC也与二面角 的棱垂直，∠ACB就是二面角的平面角或其补 角，这样就把问题归结为解一个直角三角形，是 C温馨提 学习至此，请完成配套训练 课时冲关46 求解二面角最基本、最重要的方法 165高考总复习人教数学B版（新教材） 所以PA∥平面MEG 因为△OCG≌△OAM N,则BM=CN=,AM=DN= 所以AM=CG=名 3 3 ，∠ABC=60,连接AC,在△ABC 所以AM的长为号 中，由余弦定理得AC=AB2十BC -2·AB·BC·cos∠ABC=1+4 跟踪训练 解：(1)AD⊥平面ABE,AD∥BC 2X1X2×2=3,所以AC+AB= .BC⊥平面ABE. 4=BC,所以AC⊥AB.又PA⊥底 又AEC平面ABE,∴.AE⊥BC. 面ABCD,ABC底面ABCD,所以 ,BF⊥平面ACE,AEC平面ACE, PA⊥AB,又PA∩AC=A,PA,AC .AE⊥BF,.AE⊥平面BCE. C平面PAC,所以AB⊥平面PAC, 又BEC平面BCE,.AE⊥BE 又PCC平面PAC,所以AB⊥PC, 又：AE=EB=2, 故B正确：对于C,取AD的中，点为 AB=2√2，则点E到平面ACD的 F,连接EF,则EF⊥AD.因为PA」 距离为√2， 底面ABCD,EFC底面ABCD,所以 PA⊥EF.又PA,ADC平面PAD, .VDACE=VEACD=3X立 ×2×2 PA∩AD=A,所以EF⊥平面PAD, ExE=÷ 又EF丈平面PDE,EF∩平面PDE =E,所以平面PDE与平面PAD不 (2)存在这样的 垂直，故C错误；对于D,易知l与球 ,点.如图所示，在 O的一个交点为P,设1与球O的另 △ABE中，过点 一个交，点为Q,则线段PQ即1被球 M作MG∥AE O截得的弦.由A选项可知AD∥l, 交BE于点G,在 所以P,A,D,Q四点在球O的某一 △BEC中，过点G作GN∥BC交EC 个截面圆的圆周上，且PQ∥AD.因 于点N,连接MN,则由比例关系易 为PA⊥底面ABCD,ADC底面 得CN=专CE ABCD,所以PA⊥AD,所以∠PAD =90°.又圆的内接四边形对角互补， ,MG∥AE,MG丈平面ADE,AEC 所以∠PQD=180°-∠PAD=90°， 平面ADE, 所以四边形PADQ是矩形，所以PQ .MG∥平面ADE. =AD=1,故D正确. 同理，GN∥平面ADE, 考点2 又GN∩MG=G, [典例][解](1)证 .平面MGN∥平面ADE. 明：ABCA1B,C .'MNC平面MGN, 是直三棱柱， .MN∥平面ADE .A1C1=B1C1=1, ∴点N为线段CE上靠近，点C的一 且∠AC1B1=90°. 个三等分点 又D是A1B1的 第5节 中点， 夯实·必备知识必备知识 ..C DLA B. 1.(1)任意(2)两条相交直线1⊥a AA1⊥平面A1B1C1,CDC平 l⊥b aCa bCa平行a⊥ab 面A1B1C1, ⊥a2.(1)ABAC斜足(3)90 .AA1⊥C1D,又A1B1∩AA1=A1, 0°[0°，90]3.(1)半平面棱面 ∴.CD⊥平面AA1B1B. (3)aAB-B C-AB-D (4)ZAOB (2)选①③能证明AB,⊥平 (5)0°≤180°(6)不大于90 面CDF. 4(2)垂线l⊥&lCB交线a⊥Ba 连接DF,AB,.DF∥AB, ∩B=al⊥alCβ 在△ABC中，AC=BC=1, 思考辨析(1)X(2)×(3)X ∠ACB=90°，则AB=√2， (4)×(5)× 又AA1=√2， 小题查验1.A2.B3.A4.7 则A1B⊥AB1,.DF⊥AB1 5.60° C,D⊥平面AA1B1B,AB1C平 跃升·关键能力考点11.D2.A 面AA1BB, 3.ABD[对于A,因为AD∥BC,AD ..C DLAB. C平面PAD,BC丈平面PAD,所以 DF∩CD=D BC∥平面PAD,又BCC平面PBC, AB⊥平面CDF. 平面PBC∩平面PAD=l,所以BC 跟踪训练 ∥l,故A正确；对于∠ABC,过A,D 解：(1)证明：在△ABC中，AB=BC 分别作BC的垂线，垂足分别为M, =2√2，AC=4, ·446· .AB+BC=AC,∠ABC= 2· ,,△ABC为等腰直角三角形。 连接OB,(图略)则OB=2, 在△PAC中PA=PC=4,O为AC 中点， .PO⊥AC,PO=2W3, 在△POB中OB2+PO=PB, ..POLOB. 又，OB∩AC=O,OB、ACC平 面ABC. .PO⊥平面ABC (2)作CH⊥OM,(图略)垂足为H, 又由(1)可得OP⊥CH,所以CH 平面POM. 故CH的长为点C到平面POM的 距离 由题设可知0C=2AC=2, CM=名BC=4E, 3 3 ∠ACB=45,所以OM=25 3 CH=OC·MC:sim∠ACB_45 OM 5 所以点C到平面POM的距离 为4⑤ 5 考点3 [典例][解](1)证明：由已知，BC ⊥平面DMC,.BC⊥MC, AD∥BC,∴.AD⊥MC. 又DC为半圆的直径，.MC⊥MD, 又AD∩MD=D. ∴.MC⊥平面AMD, .'MCC平面BMC ∴.平面AMD⊥平面BMC. (2)当P为AM的中，点 时，MC∥平面PBD. 证明如下：连接AC0 交BD于O. 因为ABCD为矩形，所以O为AC 中点，连接OP, 因为P为AM中点，所以MC∥OP. 又：MC寸平面PBD,OPC平 面PBD, 所以MC∥平面PBD. 跟踪训练 解：(1)证明：因为AC⊥平面ABC, BCC平面ABC, 所以A1C⊥BC,又因为∠ACB=90°， 即AC⊥BC, AC,ACC平面ACC1A1, AC∩AC=C, 所以BC⊥平面ACC1A1, 又因为BCC平面BB1C1C, 所以平面ACC1A1⊥平面BBC,C. (2)如图，过点A1作AO⊥CC1,垂 足为O. 因为平面 ACC1A1⊥平面 BCC1B1,平面 ACC1A1∩平面 BCC B=CCI, AOC 平 面ACC1A1, 所以AO⊥平面BCCB1, 所以四棱锥A1·BB,CC的高 为AO. 因为AC⊥平面ABC,AC,BCC平 面ABC, 所以A1C⊥BC,A1C⊥AC, 又因为A1B=AB,BC为公共边， 所以△ABC≌△A,BC, 所以A,C=AC 设A1C=AC=x,则A1C1=x, 所以O为CC1中点， 0C=2AA=1. 又因为AC⊥AC, 所以A1C+AC=AA, 即x2十x2=22,解得x=√2， 所以AO=√A1C-OC =√/(W2)-12=1, 所以四棱锥A1BB,CC的高为1. 考点4 [典例][解](1)证明：由平面ABC ⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD =AB,AD⊥AB,可得AD⊥平面 ABC,故AD⊥BC. (2)取棱AC 的中点N, 连接MN, ND,又图为B M为棱AB 的中点，故MN∥BC,所以∠DMN(或 其补角)为异面直线BC与MD所成的 角 在Rt△DAM中，AM=1,故DM= √AD+AM=√I3,因为AD⊥平 面ABC,故AD⊥AC,在Rt△DAN 中，AN=1,故DN=√AD十AN =√I3,在等腰三角形DMN中， MN=1,可得cos∠DMN= MN DM -03 26 所以异面直线BC与MD所成角的 余孩值为国 26 (3)连接CM,因为△ABC为等边三角 形，M为边AB的中点，故CM⊥AB, CM=√5，又因为平面ABC⊥平面 ABD,而CMC平面ABC,故CM⊥平 面ABD,所以，∠CDM为直线CD与平 面ABD所成的角. 参考答案 在Rt△CAD中， 2.始点终点模为1相等相反 CD=√AC+AD=4, 相等相同4.不共线唯一c= 在Rt△CMD中， xa十yb 不共面唯一 p=a十3b s∠CDM-器-9 十c5.非零∠AOB(a,b)[0, π]互相垂直7.（x1十x2y十y,2 所以直线CD与平面ABD所成角的 十，）(ux1+vx2,uy1十y2,u1十 正弦值为 z,)√xi十yi十号x1x2十y1y2十 之12x2=A1y2=入y122=A 跟踪训练 2=业=2 解：(1)证明：设AB1与A1B相交于xy 点P,连接PD,则P为AB1的中，点，思考辨析(1)√(2)X(3)√ 因为D为AC的中点，所以PD(4)X(5)×(6)× ∥BC. 小题查验 又因为PDC平面ABD,BCt平1.B2.03.A4.E5.号π 2 面A1BD,所以B1C∥平面ABD. (2)由题知，平面ACC,A1⊥平面 跃升·关键能力考点1 ABC平面ACCA门平面ABC=1.合b+c-a）26·言·了 111 AC,又因为BD⊥AC,则BD⊥平面 ACC1A1,所以BD⊥A1D,所以 3.AA(22A店+2a市+A ∠A,DA就是平面A1BD与平面 考点2 ABD所成的角.因为AA1=√B,AD[典例][解](I) =AC=1, 证明：分别连接 PE、PF、PG、PH 则a∠ADA-给-5 交对边于M、V、Q、 R,点. 所以∠A1DA= 3 因为E、F、G、H 分别是所在三角形的重心 即二面角ABDA的大小是受 所以M、N、Q、R为所在边的中点，顺 (3)作AM⊥A,D于 次连接M、N,Q、R得到的四边形为 M.由(2)，易知BD⊥A 平行四边形，且有： 平面ACC1A1. =p成i.庐=p爪，心 因为AMC平面 ACC,A1,所以BD⊥ =号P成pi=号成 AM.因为A1D∩BD A 因为四边形MNQR是平行四边形， =D,所以AM⊥平面ABD. 连接MP,易知∠APM就是直线 所以M应=M不+M成=多(E京+ AB1与平面A1BD所成的角. EH). 因为AA1=√3，AD=1,所以在Rt △AAD中，∠ADA=号，所以AM 又M应-P成-Pi=是酝， AP=立AB 所以是G-号（京+E. =1×sin60°= 即E心=EF+E五i,由共面向量定理知 E、F、G、H四，点共面 2 (2)由(1)得MQ= 是E忘，所以M 所以sin∠APM= AM 2 AP ∥EG. 7 2 又因为EG丈平面ABCD,所以EG∥ 21 平面ABCD. 7 ,所以直线AB1与平面A1BD 因为-P-P=是P市 所成的角的正孩值为√ 号元=号酝片以MN∥ER,又因 第6节 为EF吐平面ABCD,所以EF∥平面 夯实·必备知识必备知识 ABCD. 1.(1)zOy平面之(2)横坐标（或x 由于EG与EF交于E点， 坐标)纵坐标（或y坐标）竖坐标 所以平面EFGH∥平面ABCD. (或≈坐标)(3)√十y十之 跟踪训练 解：(1)设AB=a,AD=b,AA1=c √（x2一x1)P十(y2一y)+(3-名1) 由图得AG=AA1十AD,十D,G ·447·