第6章 第1节 空间几何体的结构特征、直观图-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

d 第六章 立体几何与空间向量 第1节空间几何体的结构特征、直观图 ★[课程标准]1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征， 并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.会用斜二测画法画出简单空间图形（长方体、球、 圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的直观图. 夯实必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 3.旋转体的结构特征 1.多面体的结构特征 图形 结构特征 图形 结构特征 两个底面互相平 行，有无数条母 有两个面相互平 轴 线，且长度相等， 圆柱 侧面 行，且该多面体的 母线 都与轴平行，过轴 棱柱 侧面 顶点都在这两个 底面 的截面是全等的 底面 侧棱 面上，其余各面都 矩形 顶点 是平行四边形 底面是圆面，有无 数条母线，长度相 顶点 一个面是多边形， 等且交于一点，平 侧棱 斜高 母线 侧面 且其余各面都是 行于底面的截面 棱锥 圆锥 侧面 D 有一个公共项点 是与底面大小不 0- E 的三角形 相等的圆，过轴的 底面 B 底面 截面是全等的等 腰三角形 上、下底面平行且 上、下底面平行且 棱台 上底 相似，侧棱的延长 侧面 不相等，母线的延 >C 侧棱 下底面 线交于一点 上底面 长线交于一点，平 顶点 轴 母线 行于底面的截面是 圆台 侧面 与两底面大小都不 2.特殊的棱柱和棱锥 0 XB 直棱柱：侧棱 于底面的棱柱； 下底面 相等的圆，过轴的 斜棱柱：侧棱 于底面的棱柱； 截面是全等的等腰 梯形 正棱柱：底面是 的 棱柱； 平行六面体：底面是 的四 棱柱. 半径 过球心的截面是 正棱锥：底面是 ,并且顶点与底面中心 球心 大小相等的圆面 的连线 于底面的棱锥 正棱台：由正棱锥截得的棱台. ·146 第六章立体几何与空间向量 4.空间几何体的斜二测画法 (4)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是 空间几何体的直观图常用 画法来画，其 圆台 () 规则是： (5)在用斜二测画法画水平放置的∠A时，若 (1)原图形中x轴、y轴、之轴两两垂直，直观图中， ∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A= x轴、y轴的夹角为 ,之轴与x轴、y轴所 90°，则在直观图中∠A=45°. ( 在平面 ◆[小题查验] (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分 1.关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是 别 坐标轴.平行于x轴和之轴的线段 ( 在直观图中保持原长度 ,平行于y轴的 A.棱柱的侧棱长都相等 线段长度在直观图中变为 B.棱锥的侧棱长都相等 重要结论 C.三棱台的上、下底面是相似三角形 1.特殊的四棱柱 D.有的棱台的侧棱长都相等 底面为 平行 侧棱垂直 直平行 2.(教材改编)下列说法正确的是 四棱柱 A.相等的角在直观图中仍然相等 平行四边形 六面体 于底面 六面体 B.相等的线段在直观图中仍然相等 底面为 长方体 底面 正四棱柱 C.正方形的直观图是正方形 矩形 边长相等 侧棱与底面 D.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条 边长相等 正方体 线段仍然平行 上述四棱柱有以下集合关系：{正方体}正四棱 3.(教材改编)如图所示，观察四个几何体，其中判 柱}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体} 断正确的是 {四棱柱}. 2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面 积与原图形的面积有以下关系 ① ③ ④ S直观图= S照S原图=22S直观国 A.①是棱台 B.②是圆台 3.球心到截面的距离 C.③是棱锥 D.④不是棱柱 4.利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是 d=√R-2(其中R为球的半径，r为截面半径). (写出所有正确的序号) 自主诊断 ①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直 ◆[思考辨析] 观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 形；④圆的直观图是椭圆：⑤菱形的直观图是 里打“√”，错误的打“×” 菱形 (1)球的任何截面都是圆. ( 5.如图所示的几何体中，是棱柱的为 (填 (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的 写所有正确的序号)： 几何体是棱锥， (3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是 圆柱. 跃升>关键能力 层级突破素养提升 专点1) 空间几何体的结构特征（基础点） C.有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的 多面体是棱台 1.下列说法正确的是 D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 A.有两个平面互相平行，其余各面都是平行四 2.下列结论正确的是 A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 边形的多面体是棱柱 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两 B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 147 高考总复习人教数学B版（新教材） C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则 ◆[命题角度2]空间几何体表面的展开（综合点） 此棱锥可能是六棱锥 [典例2]圆柱的轴截面是边长为5cm的正方形 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线 ABCD,从A到C圆柱侧面上的最短距离为( 都是母线 A.10 cm B号√+4em 3.(多选)给出下列命题，其中真命题是 ( A.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四 C.5√2cm D.5√/π2+1cm 边形 [尝试解答] B.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面 解题指导 也两两垂直 空间几何体侧面上两点间的最短距离问题常常 C.在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂 要归结为求平面上两点间的最短距离问题，因此 直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 解决这类问题的方法就是先把几何体侧面展开 D.存在每个面都是直角三角形的四面体 成平面图形，再用平面几何的知识来求解， 题后反思 1跟踪训练 1.解决本类题目的关键是准确理解几何体的定 2.(2024·洛阳市模拟)如图，已知 义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条 正三棱柱ABCA1B1C1的底面 件构建几何模型，在几何模型中进行判断. 边长为2cm,高为5cm,一质点 2.解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱 自A点出发，沿着三棱柱的侧 锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以 面绕行两周到达A1点的最短 利用它们举特例解决或者学会利用反例对概 路线的长为 cm. 念类的命题进行辨析 专点3 空间几何体的直观图（应用点） 春点2) 空间几何体的表面展开与折叠 [典例门 已知正三角形ABC的边长为a,那么 △ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为( ◆[命题角度1]空间几何体表面的折叠 (基础点) A.3, [典例1幻纸质的正方体的六个 △ [尝试解答] 面根据其方位分别标记为上、 上东 O[互动探究] 下、东、南、西、北.现在沿该正方 若本例中，将“△ABC的边长为a”改为“△A'B'C的 体的一些棱将正方体剪开，外面 边长为a”,则△ABC的面积为 朝上展平得到如图所示的平面图形，则标“△”的 方法点拨 面的方位是 ( 直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的 A.南 B.北 C.西 D.下 关键点转化为坐标系中的水平方向与垂直方向 [尝试解答 的坐标长度，然后运用“水平长不变，垂直长减 半”的方法确定出点，最后连线即得直观图.注意 题后反思 被遮挡的部分画成虚线， 解答空间几何体表面的折叠问题，要结合空间几 何体的定义和结构特征，发挥空间想象能力，必 跟踪训练 要时可制作平面展开图进行实践. 用斜二测画法画出的某平面 图形的直观图如图，边AB平 跟踪训练 行于y轴，BC,AD平行于x 1.在下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方 轴.已知四边形ABCD的面 形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一 积为2√2cm2,则原平面图形的面积为 个正方体的图形是 A.4 cm2 B.4√2cm2 C.8 cm2 D.8√2cm2 ©温馨提污 学习至此，请完成配套训练 课时冲关42 ·148即数列{an}的通项公式为an=4”(n考点3 ∈N+). [典例]D[如图所示为原图形和其 (2)证明：由(1)有bn=log2an= 直观图. log24"=2n,则 (b,+1)(b,-1) (2n+1)(2n-1) A'O DB 由图可知，A'B'=AB=a,OC 工=[(-)+（仔-吉） 4a, 十… (六川 在图中作CD'⊥A'B'于D', 则cp'=oc'=5。 2 8 4.解：(1)n=2时，a2=3a1+32-1. Sa=AB'CD'=号 Xax n=3时，a3=3a2十33-1=95， .a2=23,.23=3a1十8，a1=5. -。 (2)当n≥2时6，-b,1=(a,十t) 互动探究 3" 解析：建立如图所 3a+0=(a,+-3a, 3” 示的坐标系xOy', △A'B'C的顶，点C -30)=÷(3-1-2)=1-124 3” 在y轴上，A'B'边 在x轴上，OC为 要使{b,》为等差数列，则必需使 △ABC的高.把y OA(A)B(B) 1十为常教， 轴绕原，点逆时针旋转45°得y轴，则 3” 点C变为点C,且OC=2OC,A、B .t=- 即存在1= 1 ，使{6， 点即为A'、B点，长度不变. 为等差数列. 已知A'B'=A'C'=a,在△OA'C中， OC 第六章 第1节 由正弦定理得 sin ZOA'C' 夯实·必备知识 必备知识 A'C' 2.垂直不垂直 正多边形 直 平 sin 45, 行四边形正多边形垂直 4.斜二 所以OC'=sin120° √6 测(1)45（或135）垂直(2)平行 sin45°a 2a, 于不变原来的一半 所以原三角形ABC的高OC=√6a, 思考辨析 (1)X(2)× (3)× (4)×(5)× 所以S△ABC= -xax/ia-Fo. 小题查验1.B2.B3.C 4.①②④5.③⑤ 寄案 跃升·关键能力考点1 跟踪训练C 1.B 2.D 3.BCD 第2节 考点2命题角度1[典例1]B 夯实·必备知识必备知识 跟踪训练1.C 1.共顶点的三角形若干个小梯形 命题角度2 扇环2.S=2πr2十2πrl=2πr(r十l) [典例2]B[如D 2πrlS=πr2+πrl=πr(r十l)πrl 图所示，沿母线 π('2+r2十r'L十rl)π(r十r)l BC展开，曲面上 A 4πr2 从A到C的最短距离为平面上从A 思考辨析(1)×(2)×(3)/ 到C的线段的长 (4)×(5)/(6)× :AB=BC=5,∴A'B=AB= 小题查验1.A2.C3.28 2 5 2πX .5 260x5.1+号 =2元 2 跃升·关键能力考点1 AC=AB+BC√+2 1.A2.13.24 考点2命题角度1 =+1= 1.解析：如图，将正四棱台ABCD √π+4.] A1B1CD1补成正四棱锥，则AO 跟踪训练2.13 =√2， ·443· 参考答案 SA=2√2， 0=9 D A +S2+ -0 √SS2)h, V=号(2+1+ExT)X 6 =76 6 若案 命题角度2 2.解析：此题牵涉到的是3D打印新时 代背景下的几何体质量，忽略问题易 致误，理解题中信息联系几何体的体 积和质量关系，从而利用公式求解 由题意得，四棱锥O一EFGH的底面积 为4X6-4X号×2X3m=12cm, 其高为点O到底面BB1CC的距离 为3cm,则此四棱锥的体积为V, 号×12×3cm=12m.又长方你 ABCD-A1BCD1的体积为V2=4X 6×6cm3=144cm3,所以该模型体 积为V=V,一V1=(144-12)cm3= 132cm,其质量为0.9×132g= 118.8g. 答案：118.8 命题角度34.A 跟踪训练1.AB2.8π 考点3命题角度11号。 跟踪训练1.D 命题角度22.D 3.解析：设球的半 D 径为R.当球O 是正方体的外 A 接球时，恰好经 0 过正方体的每 个顶点，所求的 球的半径最大， 若半径变得更大，球会包含正方体， 导致球面和棱没有交点，正方体的外 接球直径2R为体对角线长AC= √4+4+4=4√5， 即2R′=4V3,R′=2√3， 故Rmx=2√5； 分别取侧棱AA1,BB1,CC1,DD1的 中点M,H,G,N,显然四边形MNGH 是边长为4的正方形，且O为正方形 MNGH与体对角线的交点， 连接MG,则MG=4√2，当球的一个 大圆恰好是四边形MNGH的外接