第4章 第2节 向量基本定理与向量的坐标-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

第四章平面向量、复数 第2节向量基本定理与向量的坐标 ★[课程标推]1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会 用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 ②设A(x1y1),B(x2,y2),则AB 1.平面向量基本定理 ,AB A、B两点 如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面 内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使 的中点坐标 x1+x2y1十y2 2 2 得c=xa+b,平面内不共线的两个向量a与b 6.平面向量共线的坐标表示 组成的集合{a,b}称为该平面上向量的一组 设a=(x1y1),b=(x2,y2),则a∥b曰 基底 2.直线上向量的坐标 重要线论 (1)数轴：在直线1上指定一点O作为原点，以e的 方向为正方向，e的模为单位长度建立数轴. 1.若a与b不共线，a十b=0,则入=4=0， (2)a在轴1上的坐标：如果a=xe,则x叫作向量a 2.已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2), 在轴1上的坐标 C(x3y3),则△ABC的重心G的坐标为 3.直线上向量的坐标运算 x1+x2+x3y1+y2+y3 3 3 (1)直线上两个向量相等：直线上两个向量为a= x1e,b=x2e,则a=b台x1=x2. 自主诊断 (2)直线上两个向量的和：设直线上两个向量为a ◆[思考辨析] =x1e,b=x2e,则a十b=（x1+x2)e. 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 4.平面向量的坐标 里打“√”，错误的打“×” (1)向量垂直：平面上两个非零向量a与b,如果它 (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组 们所在的直线互相垂直，就称向量a与b垂直， 基底 ( ) 记作a⊥b.规定零向量与任意向量都垂直. (2)在△ABC中，向量AB,BC的夹角为∠ABC. (2)正交基底 ( 如果平面向量的基底{e1,e2}中，e1⊥e2就称这 (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的 组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解 ( ) 称为向量的正交分解. (4)若a=(x1y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要 (3)向量的坐标 给定平面内两个相互垂直的单位向量e1,e2,对 条件可表示成1=凸 ) x2 y2 于平面内的向量a,如果a=xe1十e2,则称(x, (5)若a,b不共线，且入1a十1b=入2a十2b,则入 y)为向量a的坐标，记作a=(x,y). =入21=2· 5.平面向量的坐标运算 [小题查验] (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 1.已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a十b等于 设a=(x1,y1),b=（x2,y2),则a十b= () ,ab= A.(5,7) B.(5,9) ,a= C.(3,7) D.(3,9) (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向 2.(教材改编)已知点A(0,1),B(3,2),向量AC 量的坐标 (一4，一3)，则向量BC= ) ·113· 高考总复习人教数学B版（新教材） A.(-7,-4) B.(7,4) 4.(2023·上海春招)已知向量a=(3,4),b=(1, C.(-1,4) D.(1,4) 2),求a-2b= 3.(2022·新高考I卷，3)在△ABC中，点D在边AB 5.e1,e2是不共线向量，且a=一e1+3e2,b=4e1+ 上，BD=2DA,记CA=m,CD=n,则CB A.3m-2n 2e2,c=-3e1+12e2,若b,c为一组基底，则a B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 跃升>关健能力 层级突破素养提升 春点1) 平面向量基本定理的应用（重难点） 春点2) 平面向量的坐标运算（基础点） [典例](1)（多选）如图所示， 1.若向量a=(2,1),b=(-1,2),c= 设O是平行四边形ABCD的 0,)则c 两条对角线的交点，给出下 可用向量a,b表示为 列向量组，其中可作为该平 A.Tatb B.- 2a-b 面内所有向量的基底的是 C.ja+z6 1 3 1 A.AD与AB B.DA与BC D.2a-2b C.CA与DC D.OD与OB 2.已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB 的交点P的坐标为 (2)在△ABC中，点P是AB上一点，且CP 3.已知平行四边形的三个顶点分别是A(4,2), 号Ci+CB.Q是BC的中点，AQ与CP的交 B(5,7),C(一3,4)，则第四个顶点D的坐标是 点为M,又CM=tCP,则实数t的值为 题后反思 平面向量坐标运算的技巧 [尝试解答](1) (2) (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘 方法指导 运算的法则来进行求解的，若已知有向线段 平面向量基本定理的实质及应用思路 两端点的坐标，则应先求向量的坐标， (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用 (2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同 平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、 这一原则，通过列方程（组）来进行求解， 减或数乘运算 (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路 春点3平面向量共线的坐标表示（迁移点） 是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和 [母题]平面内给定三个向量a=(3,2),b= 结论表示成向量的形式，再通过向量的运算 (-1,2),c=(4,1). 来解决， (1)求满足a=mb十c的实数m,n; 日跟踪训练 (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k. [尝试解答] (2024·葫芦岛模拟)如图 是由等边△AIE和等边 △KGC构成的六角星，图 中的B,D,F,H,J,L均为 三等分点，两个等边三角形 的中心均为O.若OA mOC+nOJ,则m= B号 C. D.1 114 第四章平面向量、复数 [子题1]在母题条件下，若d满足(d-c)∥(a十 [子题3]若母题条件变为：已知A(3,2),B(一1,2)， b),且|d-cl=5,求d. C(4,1),判断A,B,C三点能否共线。 规律总结 1.向量共线的两种表示形式 [子题2]在母题条件下，若ma+b与a一2b共 设a=(x1y1),b=(x2,y2):①a∥b→a=b 线，求m的值. (b≠0)；②a∥b台x1y2一x2y1=0.至于使用哪 种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况 涉及坐标的应用②. 2.两向量共线的充要条件的作用 判断两向量是否共线（平行），可解决三点共线 的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可 以列出方程（组），求出未知数的值. ©温馨提今 学习至此，请完成配套训练课时冲关33 第3节 向量的数量积 ★[课程标准]1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的 数量积.2.通过几何直观，了解平面向量投影向量的概念以及平面向量的数量积的几何意义.3.能用坐 标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.4.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系， 能用坐标表示平面向量垂直的条件，5.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际 问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 2.向量数量积的定义 (1)一般地，当a与b都是非零向量时，称 为 1.两个向量的夹角 向量a与b的数量积（也称为内积），记作a·b,即 a·b= 给定两个非零向量a,b,在平面内 (2)向量数量积的性质 定义 任选一点O,作OA=a,OB=b,则称 ①|a·b≤ [0,x]内的∠AOB为向量a与向量 b的夹角，记作(a,b) ②a·a= ,即|a=√a·a.一 般地，a·a可以简写为a2,因此性质②可以改 (a,b〉=0 a与b同向 写为a2=|a2, 特 (a,b〉=π a与b反向 ③a与b垂直的充要条件是它们的数量积为0， 例 即a⊥b台 (a,b)= a与b垂直，记作 ④当a与b至少有一个是零向量时，称它们的 2 规定 与任意向量垂直 数量积为0，即a·b=0. ·115.高考总复习人教数学B版（新教材） 互动探究 OB,所以选项A、C中的向量组可以 解析：CD=cA+AD,CD=C 作为该平面内所有向量的基底.] BD, (2)[解 2CD-CA+CB+AD+BD. 析]、因 为CP= 又AD=2DB, 2D=ci+Ci+号Ai-Ci+ 号i+ CB,所以3CP=2CA+CB,即2 CB+号CB-CA) 3 3 CP-2CA=CB-CP,所以2AP =i+ =PB. :C市-号c+号C成.即= 即P为AB的一个三等分点（靠近A点）， 又因为A,M,Q三点共线，设AM= 答案：号 λAQ. 跟踪训练1.ACD2.D 所以CM=AM-AC=AAQ-AC 考点3 [母题][解析]：AB=e1十e2,BC A(合AB+AC)-A花-含A店十 =2e-3e3 .又i=示=-d ∴AC=AB+BC=3e1-2e2. A,C,F三点共线， =(传A店-A0)-专A店-a ∴AC∥AF,从而存在实数入，使得 3 It= AC=AF. 故 -2=-t, 解得 4 、1 ∴.3e1-2e=3ae1-ake2, 2 = 又e1,e2是不共线的非零向量， 2 因此k=2. 故：的值是是 [答案] 3 [答案]2 4 [子题1]解析：，e1十e2与e1十e2 跟踪训练B 共线， 考点2 ∴.存在实数入，使e1十e2=入(e1十 1.A2.(3,3) ke2), 3.(-4,-1)或(12,5)或(-2,9) 即ke1十e2=Ae1十Ake2, 考点3 价，部得=士1 [母题][解](1)由题意得(3,2)=m (-1,2)+n(4,1), 答案：士1 m= 5 [子题2]证明：：AB=e1-e,BC 所以{。m十4n。3,得 9 2m十n=2, 8 3e+2e n=9 ..AC=AB+BC=4e+e2, (2)a+c=(3十4k,2十k), 又CD=-8e-2e, 2b-a=(-5,2), 由题意得2×(3十4k)一（一5）×(2 ∴，CD=-2AC,∴.AC与CD共线 十k)=0. 又：AC与CD有公共点C, .A,C,D三点共线. =一总 第2节 [子题1]解：设d=(x,y),d-c=(x -4,y-1),a十b=(2,4),由题意 夯实·必备知识必备知识 5.(1)(1十x2,y1十y2)(1-x2y1 得4x-4)-2(y-1D=0, {(x-4)+(y-1)2=5, -y2)(x1,入y)√十 得=3，咸{x=5, (2)(x-x1y-y1） 1y=-1{y=3. √(x2-x1)十(y2-y1) .d=(3,-1)或d=(5,3). 6.x1y2-x2y1=0 [子题2]解：na十b=(3m-n,2m+ 思考辨析(1)× (2)× (3)× 2n),a-2b=(5,-2), (4)×(5)/ 由题意得-2(3m-n)-5(2m十2n) =0. 小题查验 1.D2.A3.B4.(1,0) =1 n 2· 7 5.-18b+27c [子题3]解：AB=(-4,0), 跃升·关键能力考点1 AC=(1,-1), [典例](1)AC[AD与AB不共线， ·-4×(-1)-0×1≠0， DA∥BC,CA与DC不共线，OD∥ .AB,AC不共线. ·436· A,B,C三点不共线 第3节 夯实·必备知识必备知识 1.a⊥b零向量2.(1)ab cos(a, b>a b cos(a,b> (2)aba2a·b=0 4.x1x2十y1y2√a·a√Jz十y 1x十y1y2 0 √十y·√x十y 思考辨析(1)/(2)×(3)X (4)×(5)X 小题查验 1.C2.c3.C4.5F5.号 跃升·关键能力考点1 1.B2.C 3.B[以{AB,AD}为基底向量，可知 AB=AD=2,AB·AD=0, 利配-丽-配专店-， ED-EA+AD--2AB+AD. 所以EC.ED= (侵)·(+的) 1 AB十AD =-1十4=3.] 考点2命题角度1 1.(1)解析：由a十b=2a-b,得a =2a·b; 由a-b=√3，得a2-2a·b十b=3, 即b=3,b=√5. [答案]√ (2)E+1 命题角度2 2.(1)D[由a B C 十b十c=0得 a十b=-c, 6 所以(a十b) 0 =(-c),即 a a2+2a·b+ b2=c2, C 又a=b=1,c=√2， 所以a·b=0,所以a⊥b. 如图所示，a一c=CA,b-c=CB,由余 弦定理得CA=CB=√5， 所以cos∠ACB=5+5-2=4 2√5×√5 51 即cosa-c,b-c)=] (2)（-∞，- （号） 考点3 1.D2. 2 3.5 考点4 [典例们B[第 一步 画出图 形，利用向量 的平行四边形 法则化简PB +PC