第3章 第6节 正弦定理与余弦定理-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

第三章三角函数、解三角形 第6节正弦定理与余弦定理 ★[课程标准]通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决 一些简单的三角形度量问题 夯实，必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 重要结论 1.正、余弦定理 在△ABC中，常有以下结论 (1)∠A+∠B+∠C=π. 在△ABC中，若角A,B,C所对的边分别是a,b, (2)在三角形中大边对大角，大角对大边 c,R为△ABC外接圆半径，则 (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于 第三边 定理 正弦定理 余弦定理 (4)sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C; tan(A+B)=-tan C:sin A+B 2 =cos C a a2= 公式 sin A b2= 2 =2R c2= (5)tanA+tanB+tanC-tanA·tanB·tanC. (6)∠A>∠B=a>besin A>sinB=cosA<cosB. 自主诊断 (1)a=2Rsin A,b= ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 常 里打“√”，错误的打“×” (2)sinA=2录，sinB= Cos A= (1)在△ABC中，sinA:sinB:sinC=BC: 见 cos B= AC:AB. ( 变 ,sinC-录： (2)在△ABC中，若sinA>sinB,则A>B.() cos C= 形 (3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素 (3)a:b:c= 可求其他元素. () (4)asin B=bsin A,bsin C= (4)在△ABC中，若a2>b2+c2,则△ABC一定 csin B,asin C=csin A 为钝角三角形. ) ◆[小题查验] 2.S△ABC= absin C lesin A- 2acsin B-abc 4R L.(教材改编)在△ABC中，c0sC-号，AC=4,BC =3,则tanB= () 多a+0十ew是三角形内切圆的半径).并可山 A.√5B.2√5 C.45 D.85 2.(2024·濮阳下学期开学考)在△ABC中，内角 此计算R,r A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2+c2=13, 3.在△ABC中，已知a,b和A时，解的情况如下 ac=6,bsin A=√5 acos B,则b A.√7 B.√6 C.5 D.5 A为钝角 A为锐角 3.(教材改编)△ABC的内角A,B,C的对边分别 或直角 为a,6,6.若△ABC的面积为2+2-C,则C 4 ( ) 图形 A受 C. D若 bsin A< 4.(教材改编)在△ABC中，a=2,b=3,C=60°，则c= 关系式 a=bsin A a≥b a>b ab a<b ,△ABC的面积等于 5.(2023·全国甲卷，16)已知△ABC中，∠BAC= 解的 60°，AB=2,BC=√6，∠BAC的角平分线交BC于点 个数 D,则AD= 97 高考总复习人教数学B版（新教材） 跃升>关键能力 层级突破素养提升 点1)利用正、余弦定理解三角形（重难点） 日跟踪训练 ◆[命题角度1]求边长 1.(2024·贵阳模拟)在△ABC中，内角A,B,C的 [典例1]在①ac=√3，②c sin A=3,③c=√3b这 对边a,b,c成公差为2的等差数列，C=120°. 三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问 (1)求边长a; 题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角 (2)求AB边上的高CD的长 形不存在，说明理由. 问题：是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边 分别为a,b,c,且sinA=5sinB,C= 6 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答 计分· [尝试解答 方法指导 1.已知△ABC中的某些条件(a,b,c和A,B,C 中至少含有一条边的三个条件)求边长时可用 公艾a入25、212乡 sin B sin A'c= +c2-2bccos A;62=a2+c2-2accos B,c2= a2+62-2abcos C. 2.已知△ABC的外接圆半径R及角，可用公式 a=2Rsin A,6=2Rsin B,c=2Rsin C. ◆[命题角度2]求角 提醒：(1)已知△ABC的两边及其一边的对角 [典例2](2023·全国乙卷)在△ABC中，内角 求边时可用正弦定理，但要对解的个数作出判 A,B,C的对边分别是a,b,c,若acos B-bcos A 断，也可用余弦定理解一元二次方程求得. =c,且C=x,则∠B= ) (2)涉及解三角形中的最值（范围）问题时若转 化为边求解可利用均值不等式或二次函数；若 A商 B. 5 C.3x 10 D. 5 转化为角求解可利用三角函数的有界性、单 [尝试解答] 调性. 98· 第三章三角函数、解三角形 方法指导 [子题1] 1.已知△ABC中某些条件求角时，可用以下公 母题条件不变，若名一二景判断△以 sinin,in C cinA 的形状 6 a a cos A=62te2-a2 ;cos C= 2bc cos B=a+c2-2 2ac a2+b2-c2 2ab 2.已知△ABC的外接圆半径R及边，可用公式 sin A=2h 2 R'sin B=。 2录snC-2求 提醒：(1)注意三角形内角和定理(A十B十C =π)的应用 [子题2]母题条件不变，若a=2 bcos C,判断△ABC (2)解三角形中经常用到两角和、差的三角函 的形状 数公式. 跟踪训练 2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设 (sin B-sin C)2-sin2A-sin Bsin C. (1)求A; (2)若√2a+b=2c,求sinC. [子题3] 母题条件不变，若<cosA,判断△ABC 的形状， 规律总结 判定三角形形状的两种常用途径 (1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三 若点2 利用正弦、余弦定理判定三角形的形 角变换得出三角形内角之间的关系进行 状（迁移点） 判断. [母题] 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别 (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数 为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断 的形状为 ) 提醒：在判断三角形形状时一定要注意解是否 A.锐角三角形 B.直角三角形 唯一，并注重挖掘隐含条件.另外，在变形过程 C.钝角三角形 D.不确定 中要注意角A,B,C的范围对三角函数值的 [尝试解答] 影响 ·99· 高考总复习人教数学B版（新教材） 春点3与三角形面积有关的问题（重难点） 方法指导 [典例](2023·全国甲卷)记△ABC的内角A, 三角形面积公式的应用原则 B,C的对边分别为a,bc,已知+c一a=2 cos A ()对于面积公式S=2inC= 2 acsin B= (1)求bc; b6 esin A,一殼是巴知哪一个角就使用哪P (2)若cos Bb0sA-么=1，求△ABC面积. acos B+bcos A c 个公式. [尝试解答] (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或 余弦定理进行边和角的转化. 跟踪训练 (2022·北京卷，16)在△ABC中，sin2C=√5 sin C. (1)求∠C: (2)若b=6,且△ABC的面积为6√3，求△ABC 的周长 ©温馨提 学习至此，请完成配套训练课时冲关29 ·100高考总复习人教数学B版（新教材） 故有10-2sin(径+号)>1， 由sinA=√3sinB及正弦定理得a= √3b. 于是36+bc= 又0≤1<24，周北<登+号 2√56 由北可得6 =C. 11r,即10<1<18. 由①ac=√5，解得a=√5，b=c=1. 故在10时至18时实验室需要降温。 因此，选条件①时问题中的三角形存 跟踪训练 在，此时c=1. 解：(1)由已知可得A=2,f(1)= 方案二：选条件② 2sin(+9）=-. 由C=吾和会孩定理件出一 可得（+）-1所以， g=+2kx(k∈Z,得g=晋+2km 由sinA=√3sinB及正弦定理得a= 6 (k∈Z), √3b. 因为0≤p<π，则=5严， 于是36+B-c- 6 2V36 2 故)=2in(+哥） 由此可得6=c,B=C-石， g(x)=-f(x) =-2sin (学+) A-2号 由②csin A=3,所以c=b=2√3，a (2)将函数f(x)图像上各点的横坐标 =6. 变为原来的号倍，纵坐标不变，可得到 因此，选条件②时问题中的三角形存 函数y=2血(2十晋)的图像，再将 在，此时c=2√3. 方案三：选条件③. 所得画数图像向右平移工个单位，可 由C= 6 晋和余孩定理得士 2ab 得函数h(x)的图像，则h(x)= 2n[2(-晋)] =2cos 2x, 1 由sinA=√3sinB及正弦定理得a= 因为h(8)=2cos20= , √3b. 则c0s29=一3' 5 于是6+B-C- 2√3b 2, :0<0<号，则0<2<， 由此可得b=c. 由③c=√b与b=c矛盾. 故sin29=√1-c0s20=3 因此，选条件③时问题中的三角形不 第6节 存在. 跟踪训练 夯实·必备知识必备知识 1.解：(1)由题意得，b=a十2，c=a十4， b 1.sin B sinC b2+c-2bccos A 由余弦定理c0sC=Q+B-d c2+a2-2cacos B a2+b2-2abcos C 2ab- 1)2 Rsin B2 Rsin C(2)2录 得cos120°=a+(a+2)2-(a+402 2a(a+2) 即a2-a-6=0,所以a=3或a (3)sin A sin B:sin C b+c-a -2(舍去).所以a=3. 2bc c2+a2-6 a2+b2-c (2)由(1)知a=3,b=5,c=7, 2ac 2ab 3.一解 由三角形的面积公式得 两解一解一解无解 2 absin∠ACB= 思考辨析(1)/(2)/ (3)× (4)/ 小题查验 所以CD=absin.∠ACB 3X5× 7 1.C2.A3.C4.万3y 2 5.2 =15√5 跃升·关键能力考点1 14 命题角度1 [典例1][解]方案一：选条件①. 即AB边上的高CD=153 14 由C=晋和余孩定理得+少C 命题角度2 2ab L典例2]C[由acos B-bcos A=c sin Acos B-sin Bcos A=sin C, 2 得sin(A-B)=sinC=sin(A十B), ·432· sin Acos B-sin Bcos A=sin A cos B+sin Bcos A, 即2 sin Bcos A=0, 得sin Bcos A=0, 在△ABC中，sinB≠0，.cosA=0, 即A=, 则B=-A-C=x-受-晋 =] 跟踪训练 2.解：(1)由已知得sinB十sinC一 sinA=sin Bsin C,故由正弦定理得 b2+c2-a2=bc. 由余弦定理得cosA=+c-a 2bc 1 2 因为0°<A<180°，所以A=60 (2)由(1)知B=120°一C,由题设及 正弦定理得√2sinA十sin(120°一C) =2sinC,即5+ 2 Fcos C十2sinC =2sinC,可得cos(C+60°)=- 2 由于0°<C<120°，所以sin(C+60°) Γ21 故sinC=sin(C+60°-60) =sin(C+60°)cos60°-cos(C+60) sin60°=6+2 4 考点2 [母题]B[.bcos C+ccos B=asin A, 由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B =sinA,.sin(B十C)=sinA,即 sinA=sinA.又sinA>0,∴.sinA =1,A=受，故△ABC为直角三 角形.] [子题1] 解：由号一胃好盟含 sin B cos B cos A' .'sin Acos A=cos Bsin B,.'sin 2A =sin 2B. A、B为△ABC的内角，.2A=2B 或2A=π-2B, A=B或A+B=受， ∴.△ABC为等腰三角形或直角三 角形. [子题2]解：因为a=2 beos C,所以由 余孩定理得a=26,0+bC,整理 2ab 得b=c,则此三角形一定是等腰三 角形 [子题3]解：依题意得sinS sin Bcos A, sin C<sin Bcos A, 所以sin(A十B)<sin Bcos A. 即sin Bcos A十cos Bsin A-sin Bcos A<0. 所以cos Bsin A0.又sinA>0,于 是有cOsB<0,B为钝角，所以 △ABC是钝角三角形. 考点3 [典例][解](1)因为+一a cos A 2bccos A=2bc=2, cos A 所以bc=1. (2)acos B-bcos Ab a cos B+bcos A = sin Acos B-sin Bcos A sin B sin Acos B-sin Bcos A sin C =1, 所以sin(A-B)_sinB sin(A+B)sin C sin(A-B)-sin B=1, sin C 所以sin(A-B)-sinB=sinC =sin(A十B), 所以sin Acos B-sin Bcos A-sinB =sin Acos B-sin Bcos A, 即cosA=- ，由A为三角形内角 1 得A-经，△ABC面积S=einA 1x9= 2 4 跟踪训练 解：(1)由sin2C=3sinC, 得2 sin Ceos C=√sinC, 血C≠0imsC=9.又0<0< 受∠C=吾 (2Sax=65∴7 in C=65, 1 六sinC=za=45, 由余弦定理得c2=a2十b-2 abcos C =48+36-2X45×6×5 =12, 解得c=2√5，所以△ABC的周长为 63+6. 第7节 夯实·必备知识必备知识 (2)上方下方顺时针(0°，360) 思考辨析(1)×(2)/(3) (4)/(5) 小题查验 1.C2.B 3.C 4.②3 4 5.500(√3+1) 跃升·关键能力考点1 [典例][答案] dsin a dsin B sina十a&)sing一B） AM+AN2-2AMX ANcos(aB) dsin a dsin B sin(a1+a2)sin(8一月) BM+BN2+2BMX BNcos(B,+a) 参考答案 跟踪训练 B 跟踪训练1.B2. 1 解析：如图 所示，在 A 考点4 △BCD [典例] [解](1)因为SA4= 中，CD= 2Sae=2X2×号X1×sin60°- 30,∠BDC=音-15， ∠BCD=∠ACB十∠DCA 军a=5,解得a=4, 2经+及=135，∠CBD=180- 在△ADC中由余弦定理得b2=1+ 312 15°-135°=30°，由正弦定理得： 22-2X1X2×cos =3 sin135=sin30,解得BD=300 BD 300 在△ABD中，c2=1+22-2X1×2X cos √2，在△ACD中，CD=300,∠DCA 2m7， 3 = 是=15，∠ADC=∠ADB+ 在△ABC中，cosB=+a-B 2ca ∠BDC=135°+15°=150°，∠CAD= 7+16-35√7 180°-15°-150°=15，所以AD=CD= 2√7×4 4, 300,在△ABD中，由余弦定理得，AB =AD+BD-2AD·BDcos∠ADB= sinB=V-cos'B=Yy②I」 14· 300+(300√2)-2×300×300√2 ×c0s135°=3002×5，所以AB= 因此tanB=sinB-B cos B 5 300√5. (2)在△ABC中，由中线长公式可得 所以AB两点的距离为300√5. (2AD)2+BC =2(AB2+AC2), 答案：300√5 22十a2=2(b2十c2)=16,所以a2 考点2 12,又Saw=之lesin A=万，周而 [典例][解]第一步：在△AEF中， 利用正弦定理， bcsin A=2√3，又由余弦定理得a= 得AE EF B+c2-2ccos A,12=8-2ccos A, sin B sin(18O°—a-,解得AE 所以bccos A=-2,故tanA=-√3 asin B →cosA=- sin(a十B)' 是，所以c=4,又8中 第二步：在△CEF中，同理可得CE c2+2bc=8+8=16=(b+c)2,b2+c2 = asin o 2bc=8-8=0=(b-c)2,故可得b sin(); =c=2. 第三步：在△ACE中，利用余弦定 跟踪训练 理，得AC= √AE2+CE-2AE·CE·cosY 解：1)由已知Sam=之AB·BD a'sinB a'sin o sin∠ABD= -×2×√5× √sin(a+B) sin(8+o） sin∠ABD=2,可得sin∠ABD= 20 25,又∠BCD=2∠ABD,在平面四 5 跟踪训练 600 边形ABCD中，∠BCD∈(0，π)，所 考点3 [典例][解析]依题意，设乙的速度 以∠ABD∈(Q,受）： 为xm/s, 则p的递度为号xm/s, 所以c0s∠ABD= 5 在△ABD中，由余弦定理AD=AB 因为AB=1040m,BC=500m, +BD}-2·AB·BD·cos∠ABD,可 所以AC=1040+500 得AD=5,所以AD=√5. 2 11 92 (2)由AB⊥BC,得∠ABD+∠CBD 解得AC=1260m. 在△ABC中，由余弦定理得， 2 cOS∠BAC=AB+AC-BC 所以sin∠CBD=cos∠ABD= 5 5 2AB·AC =10402+12602_500=12 又∠BCD=2∠ABD, 2×1040×1260 131 所以sin∠BCD=2sin∠ABD·cos∠ABD 所以sin∠BAC=√1-cos∠BAC √1-()= ∠BDC=π-∠CBD-∠BCD=π [答案] (受-∠ABD）-2∠ABD=受 ∠ABD=∠CBD, ·433·