第3章 第5节 正弦型函数的图像和性质-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

与y=一m-1的图像在 =2sin2ax+.1+cs2@ [子]内有两个不同文点， =6s(2+）9 则<-m-1<9 2 即-1一<m≤-是 2 :f(x)的图像过点 第5节 in(2w·+ 夯实·必备知识必备知识 2.(1)左右(2)缩短伸长(3)伸 长缩短 3π 即w=631 π一2 一9 5 4.(1)-2 2 再结合0<w<2,可得w=1， 2π一90 π 3x2x )=6s(2:+）+9。 思考辨析(1)×(2)× (3)√ 故它的最小正同期为 (4)/(5)/ =元 小题查验 (2)将y=fx)=5sin(2x+石） 1.A2D3.BC4-5 2 号的周你向右年特骨个单位，得到 y=sm(受x-受)十6 画数y=gx)=5sin(2x-晋) 跃升·关键能力考点1 1.A[由题图知，A=2, 7π 6 （-晋)=是x(T为fx)的最小正 周期)，所以T=,所以=牙=2。 sn(e-) 所以f(x)=2sin(2x十p).把点 ∴o(2a-晋）= (晋0）代入，得2sn(晋+9) 1-2sim(e-看)）日 =0,即sim(-号+9）=0，所以-号 十9=kπ(k∈Z), 跟踪训练 解：(1)：f(x)=sin xcos z-cos2x 结合0<g<受解得9=晋， 1+cos 2z+a 2 所以K)=2si(2x+号)门 1 2.B 3.ABD 考点2 [母题] D[函数y=2si血(2x+否）的 a=2 周期为T= 经=所以高数 2如(2：+后)的圈像向右平移子个周 若方程f(x)十m十1=0在 期，即为画数)y=2血(（2+看)的因像 [任，]内有两个零点，则方程 向右平移工个单位，可得图像对应的函 f)=-m-1在[]内有两 数为y=2如[2(-)十看]即y 个零点，即函数 y=f(x)的图像 =2sin(2x-号）门 与y=-m-1 -17r [子题1]解：把y=sinx的图像上所 的图像在 有的点向右平移否个单位，得到y [肾]内有 两个不同交点，如图： si血（-吾）的图像，弄把y 由图可知，要使函数y=f(x)的图像 sin(x一石)的图像上的点的横坐标 431· 参考答案 缩短到原来的弓倍（纵坐标不变），得 到y=sin(2x- )的图像，最后把 y=sm(2x-晋)上所有点的纵坐标 伸长到原来的2倍（横坐标不变），即 可得到y=2sin(2x-晋)的图像. [子题2] 解析：把y=2sin (亿红十看)图像上所有的点向左平移 m个单位长度后，得到y=2sin [2(x+m)+否]的图像，北图像关 于y轴对称，则2m十吾=k红十受( ∈Z),m= 红+晋(tem>0. “m的最小值为答 答案：晋 [子题3] 解析：将函数y= iam(ar+)w>0)的图像向右平 移否个单位长度后，得到画数y= am(r+牙晋)w>0)的图像， 与画数y=an(ar+看)的像重 合，所以王-r=文+kx(k∈Z),所 4 66 以k=0时，四的最小值为2， 1 1 答案：之 考点3 1.AC 2.BCD 考点4 [典例][解](1)因为f(t)= 10-2 =10-2sim(位+号） 又0≤t24, t十 <7π 33 当=2时，im(+晋）=1： 当=14时，sim(径+号）--1. 于是f(t)在[0,24)上取得最大值是 12℃，取得最小值8℃. 故实验室这一天的最高温度为12℃， 最低温度为8℃，最大温差为4℃. (2)依题意，当f(t)>11时，实验室 需要降温， 由1)得f)=10-2s如(2+号）： 高考总复习人教数学B版（新教材） 故有10-2sin(径+号)>1， 由sinA=√3sinB及正弦定理得a= √3b. 于是36+bc= 又0≤1<24，周北<登+号 2√56 由北可得6 =C. 11r,即10<1<18. 由①ac=√5，解得a=√5，b=c=1. 故在10时至18时实验室需要降温。 因此，选条件①时问题中的三角形存 跟踪训练 在，此时c=1. 解：(1)由已知可得A=2,f(1)= 方案二：选条件② 2sin(+9）=-. 由C=吾和会孩定理件出一 可得（+）-1所以， g=+2kx(k∈Z,得g=晋+2km 由sinA=√3sinB及正弦定理得a= 6 (k∈Z), √3b. 因为0≤p<π，则=5严， 于是36+B-c- 6 2V36 2 故)=2in(+哥） 由此可得6=c,B=C-石， g(x)=-f(x) =-2sin (学+) A-2号 由②csin A=3,所以c=b=2√3，a (2)将函数f(x)图像上各点的横坐标 =6. 变为原来的号倍，纵坐标不变，可得到 因此，选条件②时问题中的三角形存 函数y=2血(2十晋)的图像，再将 在，此时c=2√3. 方案三：选条件③. 所得画数图像向右平移工个单位，可 由C= 6 晋和余孩定理得士 2ab 得函数h(x)的图像，则h(x)= 2n[2(-晋)] =2cos 2x, 1 由sinA=√3sinB及正弦定理得a= 因为h(8)=2cos20= , √3b. 则c0s29=一3' 5 于是6+B-C- 2√3b 2, :0<0<号，则0<2<， 由此可得b=c. 由③c=√b与b=c矛盾. 故sin29=√1-c0s20=3 因此，选条件③时问题中的三角形不 第6节 存在. 跟踪训练 夯实·必备知识必备知识 1.解：(1)由题意得，b=a十2，c=a十4， b 1.sin B sinC b2+c-2bccos A 由余弦定理c0sC=Q+B-d c2+a2-2cacos B a2+b2-2abcos C 2ab- 1)2 Rsin B2 Rsin C(2)2录 得cos120°=a+(a+2)2-(a+402 2a(a+2) 即a2-a-6=0,所以a=3或a (3)sin A sin B:sin C b+c-a -2(舍去).所以a=3. 2bc c2+a2-6 a2+b2-c (2)由(1)知a=3,b=5,c=7, 2ac 2ab 3.一解 由三角形的面积公式得 两解一解一解无解 2 absin∠ACB= 思考辨析(1)/(2)/ (3)× (4)/ 小题查验 所以CD=absin.∠ACB 3X5× 7 1.C2.A3.C4.万3y 2 5.2 =15√5 跃升·关键能力考点1 14 命题角度1 [典例1][解]方案一：选条件①. 即AB边上的高CD=153 14 由C=晋和余孩定理得+少C 命题角度2 2ab L典例2]C[由acos B-bcos A=c sin Acos B-sin Bcos A=sin C, 2 得sin(A-B)=sinC=sin(A十B), ·432· sin Acos B-sin Bcos A=sin A cos B+sin Bcos A, 即2 sin Bcos A=0, 得sin Bcos A=0, 在△ABC中，sinB≠0，.cosA=0, 即A=, 则B=-A-C=x-受-晋 =] 跟踪训练 2.解：(1)由已知得sinB十sinC一 sinA=sin Bsin C,故由正弦定理得 b2+c2-a2=bc. 由余弦定理得cosA=+c-a 2bc 1 2 因为0°<A<180°，所以A=60 (2)由(1)知B=120°一C,由题设及 正弦定理得√2sinA十sin(120°一C) =2sinC,即5+ 2 Fcos C十2sinC =2sinC,可得cos(C+60°)=- 2 由于0°<C<120°，所以sin(C+60°) Γ21 故sinC=sin(C+60°-60) =sin(C+60°)cos60°-cos(C+60) sin60°=6+2 4 考点2 [母题]B[.bcos C+ccos B=asin A, 由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B =sinA,.sin(B十C)=sinA,即 sinA=sinA.又sinA>0,∴.sinA =1,A=受，故△ABC为直角三 角形.] [子题1] 解：由号一胃好盟含 sin B cos B cos A' .'sin Acos A=cos Bsin B,.'sin 2A =sin 2B. A、B为△ABC的内角，.2A=2B 或2A=π-2B, A=B或A+B=受， ∴.△ABC为等腰三角形或直角三 角形. [子题2]解：因为a=2 beos C,所以由 余孩定理得a=26,0+bC,整理 2ab 得b=c,则此三角形一定是等腰三 角形 [子题3]解：依题意得sinS sin Bcos A, sin C<sin Bcos A, 所以sin(A十B)<sin Bcos A.第三章三角函数、解三角形 第5节正弦型函数的图像和性质 ★[课程标准]1.结合具体实例，了解函数y=Asin(wx十9)的实际意义.2.能画出y=Asin(w,x十o)的 图像，借助图像理解参数A,ω，9的意义，了解参数的变化对函数图像的影响.3.会用三角函数解决一些 简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型 夯实必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 (1)定点：如下表所示， 1.正弦型函数的定义 一般地，形如y=Asin(wx+e)的函数，称为正弦 wx十9 型函数，其中A,w,0都是常数，且A≠0，w≠0. y=Asin(ar+o) 0 A 0 -A 0 2.9,w,A对函数y=sin(x十9)图像的影响 (2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的 (1)g对函数y=sin(x十o),x∈R的图像的影响 曲线顺次连接得到y=Asin(wx+o)在一个周 y=sin x p>0时向 平移p 期内的图像 的图像 个单位 y=sin(x+p)的图像 p<0时向 长度 (3)扩展：将所得图像，按周期向两侧扩展可得y= Asin(wx十9)在R上的图像 (2)w(w>0)对y=sin(wx十o)的图像的影响 重要结论 y=sin(x+p)的图像 w>1时 到 y=Asin(wr十o)(A>0,w>0)中各个字母的含义 上所有点的横坐标 0<0<1时 到 A所起的作用是图像上每个点的横坐标不变，纵坐 y=sin(ωx+p)的图像 标变化为原来的A倍，简称为振幅变换；ω所起的 原来的云倍，纵坐标不变 作用是图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标变化 (3)A(A>0)对y=Asin(wx十p)的图像的影响 为原来的。倍，简称为周期变换：9所起的作用是 y=sin(ox+p)的图像 A>1时 到 上所有点的纵坐标 将函数图像左右平移 个单位，简称为相位变换 0<A<1时 到 y=Asin(@x+p)的图像 原来的A倍，横坐标不变 自主诊断 3.正弦型函数的性质 ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 (1)一般地，正弦型函数y=Asin(x十p)(A≠0， 里打“/”，错误的打“×”. ω≠0)的定义域为R,值域为[-|AI,lA|门，周 (1)将函数y=sinw.x的图像向右平移o(o>0) 期是T-哥，而且函数的图像可通过对正弦曲 个单位长度，得到函数y=sin(wux一o)的图像. () 线进行平移、伸缩得到. (2)要得到函数y=sin wx(w>0)的图像，只需将 (2)正弦型函数中的常数A,w,p的实际意义：|A 函数y=sinx上所有点的横坐标变为原来的 t w倍 ( 称为振幅：9称为初相；周期T= (3)将函数y=sinx图像上各点的纵坐标变为原 w称为频率。 来的A(A>0)倍，便得到函数y=Asin x的 2 图像， ( ) 4.“五点法”作函数y=Asin(w.x十p)(A>0,w>0) (4)函数f(x)=sinx的最小正周期和最小值分别 的简图 为元，0. “五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、 (5)函数y=Acos(ux+十o)的最小正周期为T,那 么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离 最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步 ( 骤为 为 ·93 高考总复习人教数学B版（新教材） ◆[小题查验] 3.(多选)（教材改编）如图是函数y=sin(wx十p)的 部分图像，则sin(wx十p) ) 1.函数y=sim(2x-)在区间[-受x]上的简 图是 A.sin B.sinx C.cos 2+ D.cos 4.(2023·新课标Ⅱ卷)已知 14 函数f(x)=sin(wx十p),如 图，A,B是直线y=号与曲 2.(2022·浙江卷，6)为了得到函数y=2sin3x的 线y=f(x)的两个交点，若 图像，只要把函数y=2sim3x+)图像上所有 IAB-石，则x) 的点 5.某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生 A.向左平移无个单位长度 猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前 5 四个月的统计情况： B.向右平移个单位长度 月份x 1 23 4 C.向左平移”个单位长度 收购价格y(元/斤)6765 15 选用一个正弦型函数来近似描述收购价格（元/斤） D.向右平移器个单位长度 与相应月份之间的函数关系为 跃升>关键能力 层级突破素养提升 春点1 由图像确定y=Asin(wx十p)的解 3.(多选)(2024·肥城 析式（基础点） 市教学研究中心高 1.(2024·广州模拟)已知函数 f(x)-Asin(@x+p)(A>0,w 三模拟)函数f(x) 4T >0,0×19<受)的部分图 =2sin(wx+p)(a 2π7π 6 像如图所示，则 0,|9|<π)的部分 A.f(x)=2sin2+ 图像如图所示，则下列结论正确的是 3 B.f(xr)-2sin(2x- 3 A)=2sin(3- Cfu)=2sn（e+) B.若把函数f(x)的图像向左平移个单位，则 D.f0=2sm(- 所得函数是奇函数 2.已知函数f(x)=Atan(wx十p) 。>0g< C.若把f()的横坐标缩短为原来的号倍，纵坐 ,y=f(x)的部 标不变，得到的函数在[一π，π]上是增函数 分图像如图所示则（赁） D.Vx∈[-吾]}若f3x)+a≥f(恒成 A.2+√5 B.√3 C③ D.2-√3 立，则a的最小值为√3+2 ·94 第三章三角函数、解三角形 题后反思 [子题1]将母题变为：由函数y=sinx的图像作 确定y=Asin(wx十o)+b(A>0,w>0)的步骤和方法 (1)求A,b:确定函数的最大值M和最小值m, 怎样的变换可得到y=2sim2x一石的图像？ 则A=M与m,6=M牛m 2 2 (2)求w:确定函数的周期T,则可得u=2 (3)求9的常用方法 ①代入法：把图像上的一个已知点代入（此时 A,w,b已知)或代入图像与直线y=b的交点 求解（此时要注意交点在上升区间上还是在 下降区间上). ②五点法：确定9值时，往往以寻找“五点法” 中的某一个点为突破口.具体如下： “第一点”（即图像上升时与x轴的交点）时 wx十9=0；“第二点”（即图像的“峰点”）时wx 十= :“第三点”（即国像下降时与x轴的 交点)时ωx十P=π；“第四点”（即图像的“谷 点”)时w.x十9= 要：“第五点“时ax十g=2元 春点2 由图像变换法确定y=Asin(wx十o)的 解析式（迁移点） [母题] 将函数y=2sin 2+ 的图像向右平 移十个周期后，所得图像对应的函数为 ( [子题2] 将母题中函数y=2sin(2x+)的图像 向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图 A.y=2sin2x+- 4 B.y=2sin2x+ 3 像关于y轴对称，则m的最小值为 C.y=2sin2x- D.y=2sin 2x- 3 [子题3]将母题变为：若将函数y=tan ax+ 核心素养 (w>0)的图像向右平移需个单位长度后，与函数 直观想象 图像变换法确定函数解析式中的 核心素养 y=tan 的图像重合，则ω的最小值为 信息提取 信息解读 直观想象 规律总结 由已知函数解 已知函数y 函数y=Asin(ax十p)(A>0,w>0)的图像的两种作法 析式y 2sin（2x+ (I)五点法：用“五点法”作y=Asin(wx十g)的简 2sin(2x+f】 通过三角函数 的图像向右平 图像的左右平 图，主要是通过变量代换，设之一wx十p,由之 移}个周期 可得其周期， 移变换，建立起 从而得向右平 取0，受，经2元来泉出相应的，道过列 形与数的联系， 移的单位 即平移前后的 表，计算得出五点坐标，描点后得出图像， 图像与平移前 (2)图像变换法：由函数y=sinx的图像通过变 按平移法则得 求平移后所得 后函数解析式 换得到y=Asin(awx十o)的图像，有两种主要 图像对应的函 平移后所得图 的对应关系 途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移” 像对应的函数 数解析式 易错警示：平移变换（或伸缩变换）是针对x而 解析式 言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx [尝试解答] 加减多少值 95. 高考总复习人教数学B版（新教材） 专点3三角函数图像与性质的综合问题 [尝试解答] 1.（多选)(2024·山东省高三模拟)已知函数f(x) =sin(x+o)(w>0,0<o<π)将y=f(x)的图 像上所有点向左平移答个单位，然后纵坐标不 变，横坐标缩短为原来的7，得到函数y=g(x) 的图像.若g(x)为偶函数，且最小正周期为， ( 方法指导 Ay=代x)图像与（臣0]对称 三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函 数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成 数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关 B)在(0，哥)单调递蜡 知识解决问题 C.fx)=8（5)在(0，平有且仅有3个解 跟踪训练 (2024·上海华东师范大学附属东昌中学校考)降噪耳 Dg)在(5，买）有且仅有3个极大值点 机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种.其中主 动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周 围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相 2.(多选)已知f(x)=1-2cos2 (w>0),下面 反的反向声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声的声 结论正确的是 ) A.若f(x1)=1,f(x2)=一1，且|x1-x2|的最 波线是f)=Asn(管+9小水A>0,0≤g<x). 小值为π，则w=2 其中的振幅为2，且经过点(1，一2) 噪声声波 B存在u∈(1,3)，使得f(x)的图像向右平移否 个单位长度后得到的图像关于y轴对称 C.若f(x)在[0,2π]上恰有7个零点，则w的取 值范用是[贵 用来降噪的反向声波两者叠加后 (1)求该噪声声波曲线的解析式f(x)以及降噪 D.若f(x)在[-否，]上单调递增，则ω的取值 芯片生成的降噪声波曲线的解析式g(x); (2)先将函数∫(x)图像上各点的横坐标变为原 范围是(0，】 来的于倍，纵坐标不变，再将所得函数图像向右 解题技法 平移工个单位，得到函数h(x)的图像.若锐角0 解决三角函数图像与性质的综合问题的关键是 6 首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式 满足h(0)=一 9求s如20的值 和图像，然后再根据数形结合思想研究函数的性 质（单调性、奇偶性、对称性、周期性），进而加深 理解函数的极值点、最值点、零点及有界函数等 概念 专点4三角函数模型及其应用（应用点） [典例]某实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单 位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)=10 cos-sin4,1∈[0,24) (1)求实验室这一天的最大温差； (2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时 间实验室需要降温？ [破题关键点]利用辅助角公式将f(t)=10一 cos/-sin化为y=Asin(ur十p)的形式就 C温馨提 可以转化为求f(t)的最值问题和解不等式f(1)> 学习至此，请完成配套训练 课时冲关28 11求t的取值范围问题. ·96