第3章 第4节 三角恒等变换-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

高考总复习人教数学B版（新教材） 第4节三角恒等变换 ★[课程标准]1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦 公式推导出两角和与差的正弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.3.能运 用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）. 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 (2)互余与互补关系 1.两角和与差的三角函数公式 例如（任++〔-- sin(a十3)= ;(Sa+B） sin(a-B)= :(Sa-B) (后+小+（-小 cos(a+B)= :(Ca+B) (3)非特殊角转化为特殊角 cos(a-B)= ;(Ca-B） 例如，15°=45°-30°，75°=45°+30°. tan(a+B)= tan a+tan B 1-tan atanB(T) 重要结论 1.sin 2a- 2sin acos a 2tan a tan(a-B)= tan a-tan B sin2a+cos2a 1+tan2a 1+tan atan B' (Ta-B） 2.二倍角公式 2.cos 2a= cos2a-sin2a 1-tan2a cos2a+sin2a 1+tan2a sin 2a= ;(S2a） )2 cos 2a- ;(C2a) 3.1±sina sin号士cos 2 2tan a sin a 1-cos a tan 2a= (T2a) 4.tan 1-tan2a 2 1+cos a sin a 3.公式的变形与应用 自主诊断 (1)两角和与差的正切公式的变形 ◆[思考辨析] tan a+tan B= 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 tan a-tan B= 里打“√”，错误的打“X” (2)升幂公式 (1)存在实数a,B,使等式sin(a+B)-sina+sinB 1+cos&=2cos2号，1-c0sa=2sin 成立 ) 2 (3)降幂公式 (2)公式tan(a十g)=tana+tan可以变形为 1-tan atan B sincos2 tana+tanB=tan(a十B)(l-tan atan B),且对任 2 意角a,B都成立. ( 4.辅助角公式 (3)存在实数a,使tan2a=2tana. asin a+bcos a=√a2+b2sin(a+p),其中cosp= (4)当a是第一象限角时，sin2=√ 1-cos a 2 a b √a2+b2 sin √a2+b2 ) 5.角的拆分与组合 (5)公式asin x+bcos x=√a2+b2sin(x+p)中9 (1)已知角表示未知角 的取值与a,b的值无关. ( ) 例如，2a=(a十)+(a一B),23=(a十3)-(a-B), ◆[小题查验] a=(a+B)-B=(a-B)+B, 1.(教材改编)sin20°cos10°-cos160sin10°=( a=(至+a-(e-)+晋 A.一3 2 B.③ 1 2 c- 0.2 ·90· 第三章三角函数、解三角形 2(教材改编)者an0=一子则c0s20=（ A.tan(a-B)=1 B.tan(a+B)=1 C.tan(a-3)=-1 D.tan(a+B)=-1 A- B-司 c D 4.(2023·上海卷)已知tana=3,则tan2a 3.(2022·新高考Ⅱ，6)若sin(a十B)+cos(a十B)= 5.函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调增区间为 2√2cos (a+)sin则 跃升>关键能力 层级突破素养提升 专点1 三角函数式的化简（基础点） 专点2三角函数式的求值（应用点） 1.(2024·江西九江瑞昌市第一中学校联考模拟)已知 ◆[命题角度1]给角求值 血叶2m号-月则n20 1. 1 cos 10 sin 1705 A号 C.-3 A.4 B.2 C.-2 D.4 2.已知0<0<π， 2.化简：sin50°(1+√5tan10°). (1+sin 0+cos 0) 则 （sin号-cos号 0 √2+2cos0 3.化简 tan tan tanatan ◆[命题角度2]给值求值 3.(2023·新课标Ⅱ卷)已知a为锐角，cosa= 1+√ ,则sin2 ( ) 4 A 3-√5 B.-1+⑤ 8 8 C.36 D.1+⑤ 4 4 题后反思 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 4.(2024·济南模拟)已知a∈一 2'2且sina (1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间 十cosa=5 则tana的值为 的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正 确使用公式； ◆[命题角度3]给值求角 (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从 5.（多选)(2024·淄博模拟)若a,B满足sina= 而确定使用的公式，常见的有“切化弦”； 1 ,cos(a一B)=2,则B可以是 1 (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我 们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等· A晋 B. 2 c D.π ·91 高考总复习人教数学B版（新教材） 6.已知a,B∈(0，π)，且tan(a-g)= 2,tan B= [尝试解答] 号，求2a一8的值 方法指导 规律总结 解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当 三角函数求值有三类 的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有 (1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值， 两种，一种是变换函数的名称，一种是变换角的 求另外一些角的三角函数值，解题关键在于 形式.变换函数名称可以使用诱导公式、同角三 “变角”，使其角相同或具有某种关系 角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形 式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角 (2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角， 公式等. 从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊 角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观 1跟踪训练 察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且 (2024·泸州市模拟)已知函数f(x)=sin xcos x 消除非特殊角的三角函数而得解。 一cosx+a的最大值为 2 (3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求 (1)求a的值； 角的某一函数值，再求角的范围，确定角 专点3)三角变换的简单应用（重难点） (2)若方程x)十m+1=0在[任，]内有两 个零点，求m的取值范围 [典例]已知函数f(x)=2√3sin 6 cos @x (0<w<2),且f(x)的图像过点 5π√5 12'2 (1)求w的值及函数f(x)的最小正周期； (2)将y=f(x)的图像向右平移父个单位，得到 6 函数y=g)的图像，已知g() os2a-的值， [破题关键点]利用三角恒等变换将函数 f(x)的解析式化为y=Asin(wx十o)十k的形 式就可以利用f(x)的图像过点 /5π3求出w 122 的值及函数f(x)的最小正周期，通过平移变换 求出函数y=g()的解析式，再由g乞 5W3 6 ©温馨提 和倍角公式求出cos 2a 的值 学习至此，请完成配套训练 课时冲关27 92高考总复习人教数学B版（新教 小题查验 1.C2.D3.A 4.(管-0）k∈D5.3 跃升·关键能力 考点1命题角度1 1{x 4 4 3≤x<- 吾减或0<受} 命题角度2 (1)D (2) -12+] 考点2 [典例](1)[解析]y=- ) 的减区间是 y=sim(2x-晋)的增区间。 由2-受≤2x-号≤2kx+受 k∈Z,得一是≤<km+ 5π k∈Z.故所给函数的减区间为 [x意x+]z [答案] [km2k+12】 5π1 ,k∈Z (2)[解析] 第一步，求出f(x)= 2 sin wx十l(w>0)的单调递增区间. 由2kπ ≤ar≤2kx十 ，k∈Z 2 得f(x)的增区间是 [元+]6z 第二步，转化为集合之间的关系，即 [受等]是西故单调远培区 间的子区间. “x)[-受]上是增通数， 第三步，利用数轴，列出关于仙的不 等式组，解不等式组得“的取值 范围. 2 且 ae(o,] [答案] (o] 互动探究 解：x∈R时，y=sin(-2a）的减 区间为[kx一登k十]k π 5π 令k=0得-12≤x≤2 令=-1得<- 故x∈[-π，0]时， 如（答一2x)的诚区间为 [-]危] 材) 跟踪训练1.C2.B 命题角度3 考点3命题角度11.C2.B 跟踪训练1.B 5.AC[因为sina=-子，所以a 命题角度23.C4.ACD 跟踪训练2.B -吾+2km或a 7红+2kx,k∈Z.因 命题角度35.B6.2-是 为c0sa一0=，所以c0s(g-a) 跟踪训练3.C 第4节 号，所以月-a=吾十2k元或月-a 夯实·必备知识必备知识 -号十26x,k:∈Z,所以B=a十晋 1.sin acos B-cos asin B sin acos B- cos asin B cos acos B-sin asin B 十21x或B=a-号十2k1x,k∈Z cos acos B+sin asin B 2.2sin acos a cos'a-sin'a=2cos'a-1=1-2sin'a 当a=一若+2论，k∈乙时，若月=Q 3.(1)tan(a-B)(1-tan atan B)tan(a -B)(1+tan atan B) 十号+2x,则月=-晋+号+2 思考辨析(1)/(2)×(3)/ (4)×(5)× 十2kx=否+2(k+k)π，k,k∈Z,令 小题查验 1D2.D3.C4.-是 质十k1=n,则n∈Z,得月答十2m,n ∈Z:若月=a-号+2，x,则B=-后 跃升·关键能力 考点1 号+2mx=-受十2m,n∈7.同理 1.A2.-cos 1 可得，当a=7+2kπ，k∈7时，B= 6 3.解： tan 2 匹+2mm或g=5还+2m,n∈Z.综 2 6 /1+tana·tan2) 上，g吾十2m浅B=受+2m或月 -号十2m,n∈Z结合遂项可知， sin 2 cos 2) 选AC.] 6.解：：'tana=tan[(a-B)十B] tan(a-B)十tan3 1-sin a 1-tan(a-B)tan B cos a 1 27 0 3 2 -sin2号 1+2×号 sin合os号 0a<受， cos acos 2sin asin2 2X3 又，'tan2a 2tan a cos acos2 1-tan'a 1 3 =2cos a cos 2 2 =>0… sin a cos acos2 sin a' 0<2a<受， 考点2 命题角度1 1.D ∴.tan(2a-B)= tan 2a-tan B 1+tan 2atan B 2.解：sin50°(1十√3tan10) 3+1 =sin501+5·010） 4十7 cos10° =1. =sin50°Xcos10°+W5sim10 c0s10° 1 'tan B=-- 7 0, 2 1 =sin50°X 2 c0s10 受<K,-<2a-BK0, 2sin50°·cos50°_sin100 2a-g=-3x cos 10 c0s109 4 =c0s10° 考点3 c0s10 =1. [典例][解](1)函数f(x)= 命题角度23.D 4. 】c0S= ·430· 与y=一m-1的图像在 =2sin2ax+.1+cs2@ [子]内有两个不同文点， =6s(2+）9 则<-m-1<9 2 即-1一<m≤-是 2 :f(x)的图像过点 第5节 in(2w·+ 夯实·必备知识必备知识 2.(1)左右(2)缩短伸长(3)伸 长缩短 3π 即w=631 π一2 一9 5 4.(1)-2 2 再结合0<w<2,可得w=1， 2π一90 π 3x2x )=6s(2:+）+9。 思考辨析(1)×(2)× (3)√ 故它的最小正同期为 (4)/(5)/ =元 小题查验 (2)将y=fx)=5sin(2x+石） 1.A2D3.BC4-5 2 号的周你向右年特骨个单位，得到 y=sm(受x-受)十6 画数y=gx)=5sin(2x-晋) 跃升·关键能力考点1 1.A[由题图知，A=2, 7π 6 （-晋)=是x(T为fx)的最小正 周期)，所以T=,所以=牙=2。 sn(e-) 所以f(x)=2sin(2x十p).把点 ∴o(2a-晋）= (晋0）代入，得2sn(晋+9) 1-2sim(e-看)）日 =0,即sim(-号+9）=0，所以-号 十9=kπ(k∈Z), 跟踪训练 解：(1)：f(x)=sin xcos z-cos2x 结合0<g<受解得9=晋， 1+cos 2z+a 2 所以K)=2si(2x+号)门 1 2.B 3.ABD 考点2 [母题] D[函数y=2si血(2x+否）的 a=2 周期为T= 经=所以高数 2如(2：+后)的圈像向右平移子个周 若方程f(x)十m十1=0在 期，即为画数)y=2血(（2+看)的因像 [任，]内有两个零点，则方程 向右平移工个单位，可得图像对应的函 f)=-m-1在[]内有两 数为y=2如[2(-)十看]即y 个零点，即函数 y=f(x)的图像 =2sin(2x-号）门 与y=-m-1 -17r [子题1]解：把y=sinx的图像上所 的图像在 有的点向右平移否个单位，得到y [肾]内有 两个不同交点，如图： si血（-吾）的图像，弄把y 由图可知，要使函数y=f(x)的图像 sin(x一石)的图像上的点的横坐标 431· 参考答案 缩短到原来的弓倍（纵坐标不变），得 到y=sin(2x- )的图像，最后把 y=sm(2x-晋)上所有点的纵坐标 伸长到原来的2倍（横坐标不变），即 可得到y=2sin(2x-晋)的图像. [子题2] 解析：把y=2sin (亿红十看)图像上所有的点向左平移 m个单位长度后，得到y=2sin [2(x+m)+否]的图像，北图像关 于y轴对称，则2m十吾=k红十受( ∈Z),m= 红+晋(tem>0. “m的最小值为答 答案：晋 [子题3] 解析：将函数y= iam(ar+)w>0)的图像向右平 移否个单位长度后，得到画数y= am(r+牙晋)w>0)的图像， 与画数y=an(ar+看)的像重 合，所以王-r=文+kx(k∈Z),所 4 66 以k=0时，四的最小值为2， 1 1 答案：之 考点3 1.AC 2.BCD 考点4 [典例][解](1)因为f(t)= 10-2 =10-2sim(位+号） 又0≤t24, t十 <7π 33 当=2时，im(+晋）=1： 当=14时，sim(径+号）--1. 于是f(t)在[0,24)上取得最大值是 12℃，取得最小值8℃. 故实验室这一天的最高温度为12℃， 最低温度为8℃，最大温差为4℃. (2)依题意，当f(t)>11时，实验室 需要降温， 由1)得f)=10-2s如(2+号）：