第3章 第2节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

第三章三角函数、解三角形 第2节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 ★[课程标准]1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2a十cosa=1,sin&=tana.2.借助单位圆的对称 cos a 性，能利用三角函数线推导出诱导公式 士a,π士a的正弦、余弦、正切 夯实，必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 (3)六组诱导公式中的角α可以是任意角.() 1.同角三角函数的基本关系 (4)诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限” (1)平方关系：sin2a十cos2a=1. 中的“符号”与a的大小无关 ) (2)商数关系：n--tan aa≠受+kx,k∈Z cos a (6)若nx-0=子e刀.则sna=子（） 2.三角函数的诱导公式 ◆[小题查验] 公式 二 四 五 六 2kπ+a 1.sin2025°的值为 角 π十a 元-a (k∈Z) 2-a 正弦 sin a A.-② 2 &C名n号 余弦 cos a 正切 tan a 2.(教材改编)(2024·合肥质检)若sina=号 函数名改变， 口诀 函数名不变，符号看象限 符号看象限 (受小则sn(。-要)的值为 重要结论 对于士a,k∈乙诱导公式可简记为：奇变偶 A- B.-22 3 不变，符号看象限， c D.2② 3 自主诊断 3.(教材改编)(2024·广东质检)若sin0+cos0= ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 _35.则sin20= 5 里打“√”，错误的打“×”. (1)sin20+cos2o=1. 4若sin0-=号，则tan0叶o8 sin (2)同角三角函数的基本关系式中角α可以是任 5.(教材改编)sin(2r一a)·cos(元-a) m5π 意角 ·83· 高考总复习人教数学B版（新教材） 跃升>关键能力 层级突破素养提升 原1同角三角函数的基本关系（迁移点） [子题2] 保持母题条件不变， [母题] 已知a是三角形的内角，且sin&+cosa 求：(1)sina-4cosa 5sin a++2cos a (2)sin2a+2 sin acos a的值. (l)求tana的值； cosa-ina用tana表示出来，并求其值， (2)把。1 [破题关键点了“(1)法一，利用已知系件及平方 关系先求出sina&与cos&的值，再利用商数关 系求出tan&的值.法二：利用已知条件及平方 关系先求出sina-cosa的值，再求出sina与cosa& 的值，再利用商数关系求出tana的值.(2)先进 行“1”的代换，即1=sin2a十c0s2a,再化弦为切 求值。 [尝试解答] [子题3] 若母题条件变为ina十3cosa=5, 3c0s&-s1n& 求tana的值. [子题1]将母题中的条件和结论互换：已知α是 三角形的内角，且tana=一 3,求sina十cosa 的值. 规律总结 (1)利用sina十cos2a=1可以实现角a的正弦、 余弦的互化，利用sina=tana可以实现角a cos a 的弦切互化。 (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sina十 cosa,sin acos a,sina-cosa这三个式子，利用 (sina士cosa)2=1士2 sin acos a,可以知一求二. (3)注意公式逆用及变形应用：1=sin2a十cos2a, sin2a=1-cos2a,cos2a=1-sin2a. 84· 第三章三角函数、解三角形 专点2三角函数的诱导公式（基础点） 春点3 诱导公式、同角三角函数关系式 的活用（重难点） a已知cos(后-j号则sn。- [典例] (1)已知tan (吾-=，则 6r十a tan (2)设f(a)= 2sin(π+a)cos(π-a)-cos(π+a) 1+sin2a+cos ②)已知0是第四象限角，且sm0+)子，则 tan (1+2sina≠0)，则 0-) [尝试解答] (1) (2) (3)已知sina是方程5x2一7x一6=0的根，a是 方法指导 sin 第三象限角，则 eos(-aj小sin(ta 巧用相关角的关系、简化解题过程 tan2(π-)= (1)常见的互余的角：-a与否十a:号十a与 题后反思 1.学会巧妙过渡，熟知将角合理转化的流程 (2)常见的豆扑的角：营十0与号-0：至十0与 任意负 任意正 利用诱导 0-2π 利用诱导 锐角 导公式 公 公式二 角的三 角的三 的角的三 三或一 或四或五 三角 3π一0等。 角函数 角函数 角函数 函数 跟踪训练 也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了.” 2.明确三角函数式化简的原则和方向 1.已sm(吾-小则os(+ (1)切化弦，统一名. 2.设函数f(x)(x∈R)满足f(x十π)=f(x)十sinx, (2)用诱导公式，统一角. 当0≤x<x时，f(x)=0,则f () (3)用因式分解将式子变形，化为最简. 也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了.” 2 [口诀助读] 1 C.0 D.一2 诱导公式就是好，负化正后大化小： π的一半整数倍，奇数变化偶不变； C温馨提 学习至此，请完成配套训练 课时冲关25 函数符号问象限，两个函数看左边. ·85·[子题1]解析：当a<0时，sina= 子：当a>0时=a,血a= 3 答案：-是或号 [子题2]解：设α终边上任一点为 P(-4a,3a), 当a>0时，r=5a,sina= 5:cos a= 5 ,tan a=- 3 9 当a<0时，r=-5a,sina=一 3 5,cos a =号am=- 3 「子题3]解：由题设知x=一√3，y =71, r2=0P2=(-√5)2+m(0为 原点)，r=√3十m. ∴sina==2m=m r42√2 .r=√3+m=22, 即3十m2=8,解得m=士√5. 当m=√5时，r=2√2，x=-√5， y=W5, .'cos a= 2√2 41 tan a= 压， 3 当m=-√5时，r=2√2，x=-√5， y=-√5， 'cos a= 3 =- 2√2 4 tan a √5 3 考点4命题角度1 1.D2.D 命题角度2 3.D 4.解：如图所 示，画出2 P 与的正放 P2 M2M 线、余弦线、 正切线，由 图观察可 得，的正 弦线为MP1 ,4π的正弦线为M,P2: 5 二的正切线为A,号的正切线为 3 AT:要的余弦线为O,悟的余弦 线为OM;又|MPI>|MP2, -AT1<-AT2|<0,0> -OM>-1OM,1,所以 (1)sin>sin 31 (2)tan 5 2r∠tan 号：(3cas号>os号 .4π 参考答案 跟踪训练 (2)sin'a 2sin acos a- sin'a+2sin acos a 1.C2.二 sin a cos a 第2节 16_8 8 夯实·必备知识必备知识 -tan'a+2tan a-9 3 1+tan'a 251 2.-sin a -sin a sin a cos a cos a -cos a cos a -cos a sin a sin a [子题3] 解：由如a+3cs0=5,得 tan a -tan a -tan a 3cos a-sin a 思考辨析(1)×(2)× (3)× tama+3=5,即ana=2, (4)/(5)× 3-tan a 小题查验 考点2 1.A2.B3.号 4.25.-1 (1)一3 2w53)-是 跃升·关键能力考点1 考点3 [母题][解](1)联立方程 [典例门 [解析])：(+a)十 1 sina+cosa=5，① (-a）=x, (sina十cos2a=1, ② 1 由①得c0sa= 一sina,将其代入 tam(答+a）-a[x-(骨-a] ②，整理得 m(借-） 25sin'a-5sin a-12=0. (2)因为日是第四象限角， ,a是三角形内角， 4 sin a= 且血(+)是 4 .tana= cos a=-3 3 所以叶平是第一象限角， 1 (2) =sin'a+cos'a 所以cos(0+平)=手 cos'a-sin'a cos'a-sin'a sin2a土cosa 所以m(9-至) cosa tan a-l cos'a-sin'a 1-tan'a' -sm[-受+(+)] cos a sim[受-(+)] .tan a= 3 tana1 =o(+)=-台 cos'a-sin'a 1-tana (0)-or[受+(-)] o[登-(+)] 1-(号) =血(+）=寻， [子题1] 解：由tana= 1 sm(9平) = 3cos a, 所以(-) eo(0-) 将其代入sina十cos2a=1, 得号cos时a=1. 3 ∴.c0s2a= 0,易知c0sa<0, [答案](1)- ③ (2)- 跟踪训练 2.A .'cos a= 3√10 10 sin a= y10 10 √10 第3节 故sina十cosa= 5 夯实·必备知识必备知识 [子题2] 解：由母题可知：tana= 2.2π 4 「2x-号2+受] [2k元-元，2kπ] (1)sin a-4cos a 2k+，2km+ 2 tan a-4 5sin a+2cos a 5tan a+2 [2k元，2k元十元] (kπ，0) -4 (x+受，0) x=kπ 3 5×()+2 7 思考辨析(1)√(2)√ (3)× (4)×(5)× 429