第2章 第8节 函数与方程、不等式之间的关系-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

高考总复习人教数学B版（新教材） 跟踪训练 1.D2.(1,4) (3)y (0<a1), 考点3 x0 [典例](1)[解] ∴只需作出0<a<1时函数y=a 将方程整理 (x≥0)和y (日) (x<0)的图像， 得2=-x十3， l0g2x=-x十 合起来即得函数y=a(0<a<1) 3.如图可知， 的图像.如图(3)所示. /123 a是指数函数y =2的图像与直线y=一x十3交点 A的横坐标，b是对数函数y=log2x 的图像与直线y=一x十3交，点B的 -10 横坐标 -2-10123x -u 由于函数y=2与y=1og2x互为反 图(3) 图(4) 函数，所以它们的图像关于直线y x对称， (4)y=2十 故函数图像可由 由题意可得出A、B两，点也关于直线 y=- y=x对称， 的图像向右平移1个单位，再 于是A、B两，点的坐标为A(a,b), 向上平移2个单位而得，如图(4) B(b,a).而A、B都在直线y=一x十 所示 3上， 考点2命题角度1 所以b=一a十3(A点坐标代入)， [典例1](1)B[:y=f(x)= 2x8 或a=一b十3(B,点坐标代入)，故a +b=3. 2+2x∈[-6,6]， (2)[解]①要使函数f(x)=log(1 f(-x)=2-x) 2x+2 2-x+2 -2)有意义， =-f(x), 则1-2>0，即2<1. ∴f(x)是奇函数，排除选项C. 故x<0,此时0<1-2<1， =128 ∴.f(x)=1og2(1-2)0, 当x=4时，y=,2X4 21+27 故函数∫(x)的定义域为（一∞，0）， 16十16 值域为（一∞，0）. (7,8),排除选项A,D.] ②证明：由y=f(x)=log2(1-2), (2)A[设f(x)=(3-3)cosx, 可得1-2=2，解得x=log2(1一 f(-x)=(3x-3)cos(-x)= 2),故原函数的反函数为y=f(x) 一f(x),所以f(x)为奇函数，排除B、D, =log2(1一2)，与原函数相同，所以 令x=1,则f(1)=(3-31)cos1> 函数y=f(x)的图像关于直线y=x 0,排除C.] 对称 跟踪训练1.D2.D 第7节 命题角度2 [典例2]B[当，点P位于边BC上 夯实·必备知识必备知识 2.(1)f(x)-k(2)-f(x)f(-x) 时，∠0P=,0≤≤圣，则器 -f(-x)logx(a>0且a≠1) tanx,∴.BP=tanx,.AP= (3)f(az)af(z)(4)f(z)f() √4+tanx,∴.f(x)=tanx+ 思考辨析(1)/(2)× (3)X (4)/(5)X V4中amz(0<r≤平）可见y 小题查验 f(x)图像的变化不可能是一条直线 1.A2.D3.C4.上3 或线段，排除A,C.当点P位于边 5.(0,十∞) CD上时，∠BOP=,子<≤要 跃升·关键能力考点1 则BP十AP 解：(1)函数的定义域为{xx>0}, 且y=ex=x(x>0), =√BC+CP+√AD+DP 其图像如图(1)所示 /1+(1- 1 tan x 1 1+(（1+az 012x 当点P位于边AD上时，∠BOP= -1 图(1) 图(2) ,3≤x≤， x, (2)将函数y=1og,x的图像向左平 移一个单位，再将x轴下方的部分沿 、则分tan(元一x)=tamx x轴翻折上去，即可得到函数y ..AP=-tan x, l0g2(x十1)的图像，如图(2)所示. .BP=√4十tanx, ·418· .f (x)=-tan x v4+tanx (≤≤x)根据画数的解折式可 排除D.] 跟踪训练3.C 考点3命题角度11.B 命题角度22.D3.ABC 命题角度34.B 第8节 夯实·必备知识必备知识 1.(2)交点的横坐标零点2.{xx1 <x<x2}00 思考辨析(1)×(2)×(3)/ (4)/(5)/ 小题查验 1.C2.B3.1.56 4(号) 跃升·关键能力 考点1 1.A2.B3.D 考点2 [典例门[解析] 第一步作 函数y=f(x) 的图像 作出函数y= f(x)的图像， 如图. 第二步解方程2(x)-3f(x)十1 =0 由2f(x)-3f(x)+1=0, 得fx)=或fx)=1 第三步观察)y一之和)=1与y广f 的图像交，点个数 由图像知y=合与y=∫x)的图像 有2个交点，y=1与y=f(x)的图像 有3个交点. 第四步得出函数的零，点个数 因此函数y=2f(x)-3f(x)十1的 零点有5个. [答案]5 跟踪训练1.C2.2 考点3 [母题][解析] 令g(x)=znx, g(x) h(x)=a,则问 题可转化成函0 数g(x)与h(x)- h(x) 的图像有两个 交点.g(x)=lnx十1，令g'(x)<0, 即1nx<-1,可解得0<x<:令 g'(x)>0,即lnx>-1,可解得x> 是，所以，当0<x<时，函数g(四 单调递减；当x>上时，函数g()单 e 调递增，由此可知当x= 时 e g(x）nin=- 在同一坐标系中作 1 出函数g(x)和h(x)的简图如图所 示，据图可得-1<a<0. e [答案] [子题1]解析：由母题解析知a= 根据图像可解得f(x)=0.25x(x≥0). 或a≥0. g(x)=2√E(x≥0). e (2)(i)由(1)得f(9)=2.25, 答案：[0，十∞)U g(9)=29=6. [子题2]解析： 所以总利润y=8.25万元. 函数f(x)= (ⅱ)设B产品投入x万元，A产品投 lnx-x-a的 入(18一x)万元，该企业可获总利润 零点，即为关 为y万元. 于x的方程ln x-x-a=0的 则=子18-)+2E,0≤≤18 实根，将方程lnx一x一a=0化为方 令√元=t,t∈[0,3√2]， 程lnx=x十a,令y=lnx,y2=x十 a,由导数知识可知，直线y2=x十a 期y=子(-f+81+18) 与曲线y1=lnx相切时有a=一1， 所以关于x的方程lnx-x一a=0 =-子4-40+号 2 有两个不同的实根，实数Q的取值范 围是(-∞，一1). 所以当1=4时y号 8.5, 答案：(-∞，-1) [子题3]解析：令g(x) 此时x=16,18-x=2. fzln z,x>0, 所以当A,B两种产品分别投入2万 {-x2-2x,x≤0， h(x)=a,则问题 元、16万元时，可使该企业获得最大 转化为g(x)与 利润，约为8.5万元. h(x)的图像有 g (x) 命题角度2 三个交点， h(x) 2.解：(1)若m=2,则v=2·2'+21- g(x)图像如 图.由图像知 2(+) ∠a<1. 当u=5时，2十 5 = e 2 2 答案(-日1）】 令2二≥1》则叶是-是 2 跟踪训练BC 即2x2-5.x十2=0， 第9节 夯实·必备知识必备知识 解得x=2或x=2(舍去)，此时t 2.单调递增单调递增 单调递增 =1. y轴x轴 所以经过1分钟，物体的温度为5摄 思考辨析(1)×(2)/(3)× 氏度 (4)×(5)/ (2)物体的温度总不低于2摄氏度， 小题查验 即U≥2恒成立， 1.C2.25003.204.2ln21024 跃升·关键能力考点1 亦m·2+号≥2设成立，亦即m≥ 1.B2.②3.①②③ 考点2 (位)成立 [典例]ACD[·L-L,=20X gg-20×g2=20×1g ≥0· 令2=，期0<<1， Po m≥2(y-y)恒成立， ≥1，p1≥2，所以A正确； 由于y了≤m≥2 L,-L,=20X1g2>10, 因此，当物体的温度总不低于2摄氏 是≥10，所以B g2≥号， 度时m的取值范图是[合，十∞） 错误； 命题角度3 3.解：(1)第一步分别列出0<x≤40 :L,=20×1g2=40,.2=100, 和x>40时对应的利润W.当0<x 所以C正确； 40时，W=xR(x)-(16x+40)= L-L%=20X1g2≤90-50 -6x2+384x-40,当x>40时，W= xR(x)-(16.x+40)=- 40000 =40lg会≤2， 16.x+7360. 第二步列出利润W的分段函数 .≤100，所以D正确.] -6x十384x-40,0x40, 跟踪训练B 所以W= 40000 -16z+7360,x>40. 考点3命题角度1 x 1.解：(1)设A,B两种产品分别投资x (2)第三步 计算0<x≤40时的利 万元，x万元，x≥0，所获利润分别为 润W的最大值 f(x)万元、g(x)万元. ①当0<x≤40时，W=-6(x-32)2 由题意可设f(x)=k1x,g（x)= +6104. k2√E. 所以Wmx=W(32)=6104; ·419· 参考答案 第四步计算x>40时的利润W的 最大值 ②当x>40时，W=- 40000-16x x +7360, 由于40000 +16x≥2 40000×16x x x =1600, 当且仅当40000=16x,即x=50∈ (40,十∞)时，取等号，所以W取最 大值为5760. 第五步得出本题的利润W的最 大值 综合①②，当x=32时，W取最大值 为6104万元. 跟踪训练 解：(1)G(x) 3.x2+20x,0≤x≤40，x∈N, 20ir+1800-3350,40<≤80x∈N. .当0x40时， P(x)=200x-(3x2+20x)-1500 =-3.x+180x-1500. 当40<x80时， P(.x)=20.x-205x-18000+3350 -1500=-5z-1800+1850. x 综上所述，P(x) -3.x+180x-1500,0≤x40, ）-5. _18000+1850,40<x≤80. (2)由(1)得P(x)= -3x2十180x-1500,0≤x≤40(x∈)， -5x 1800+1850,40<≤80ze0, .当0x≤40时，P(x)=一3x2+ 180x-1500=-3(x-30)2+1200, ∴.当x=30时，P(x)mx=1200(万元)： 当40<x80时， P(x)=-5x-18000+1850 x =1850-5x 3600 x 3600 ≤1850-5×2/红· =1250(万元)， 当且仅当x=3600,即工=60时等 x 号成立， 又1250>1200. 故当年产量为60百台时，公司获利 最大，且最大年利润为1250万元. 第10节 夯实·必备知识必备知识 1.(2)切线的斜率y-f(xo)=了(xo) (x-x)3.0ax2-1 cos x -sin x e*a"ln a4.(1)f(x)士g(x) (2)f(z)g(z)+f(z)g(x) 5.(2)yu' 思考辨析(1)√(2)×(3)√ (4)×(5)/高考总复习人教数学B版（新教材） 第8节函数与方程、不等式之间的关系 ★[课程标准]1.结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存 在性及根的个数.2.根据具体连续函数及其图像的特点，了解函数零，点存在定理，探索用二分法求方程 近似解的思路，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性， 夯实必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 重要结论 1.函数的零点 1.若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续 (1)零点的定义 不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0,则函 一般地，如果函数y=f(x)在实数a处的函数 数y=f(x)一定有零点. 值等于零，即f(a)=0,则称a为函数y=f(x) 的零点 2.由函数y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点不一定 (2)方程的根与函数零点的关系 能推出f(a)·f(b)<0,如图所示： 方程，)=0的实数根 函数y=fx)的图像与 函数y=fx)的 x 2.二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间 所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b] 的关系 上有零点的充分不必要条件。 判别式△= 3.若函数f(x)在(a,b)上单调，且f(x)的图像是 △>0 4=0 △<0 -4ac 连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)<0→函数 二次函数y f(x)在[a,b]上只有一个零点. ax2 +bx+c(a 自主诊断 >0)的图像 ◆[思考辨析] 一元二次方程有两相异实根 有两相等实根 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 a.z2+bx+c=0z1,22(1 b 没有实数根 X1=x2= 里打“√”，错误的打“×”. (a>0)的根 x2) 2a (1)函数f(x)-x2一1的零点是(-1,0)和(1,0). az2+bx+c>0{xx<x1或x (a>0)的解集 x2} (2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点（函数图像 ax2+bz+c<0 连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0. (a>0)的解集 (3)函数y=2sinx-1的零点有无数多个.( (4)二次函数y=a.x2十bx+c(a≠0)在b2-4ac 3.函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续 <0时没有零点. ( 不断的，并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点 (5)若函数f(x)在(a,b)上单调且f(a)·f(b) 处的函数值异号)，则函数y=f(x)在区间(a,b) <0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点. 中至少有一个零点，即xo∈(a,b),f(xo)=0. ) ·50· 第二章函数、导数及其应用 ◆[小题查验] 3.用二分法求函数f(x)=3x一x一4的一个零点， 1.(教材改编)下列函数图像与x轴均有公共点，其 其参考数据如下： 中能用二分法求零点的是 f(1.6000)=0.200f(1.5875)=0.133 f(1.5750)=0.067 f(1.5625)=0.003f(1.5562)=-0.029 f(1.5500)=-0.060 据此数据，可得f(x)=3一x一4的一个零点的 近似值（保留三位有效数字）为 4.函数∫(x)是定义在R上的偶函数，且满足 f(x十2)=f(x).当x∈[0,1]时，f(x)=2x.若 在区间[-2,3]上方程ax+2a-f(x)=0恰有 2.(教材改编)函数f(x)=e'十3x的零点个数是 四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 ( A.0 B.1 C.2 D.3 跃升>关键能力 层级突破素养提升 专点1)确定函数零点所在的区间（基础点） A.a<b<c B.b<a<c 1.若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x一 C.c<a<b D.a<c<b b)(x一c)+(x一c)(x一a)的两个零点分别位于 题后反思 区间 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 A.(a,b)和(b,c)内 (I)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y B.（-∞，a)和(a,b)内 =f(x)在区间[a,b们上的图像是否连续，再 C.(b,c)和(c,十∞)内 看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y= D.（-∞，a)和(c,+∞)内 f(x)在区间(a,b)内必有零点. 2.(2024·山西忻州河曲县中学校考)用二分法求 方程1og4x一 =0的近似解时，所取的第一个 (2)数形结合法：通过画函数图像，观察图像与x 2x 轴在给定区间上是否有交点来判断. 区间可以是 A.(0,1) B.(1,2) 春点2 判断函数零点的个数（重难点） C.(2,3) D.(3,4) |lgx|,x>0, 3.(2024·大理州模拟)已知三个函数f(x)=2x+ [典例] 已知f(x)= 则函数y= 2x,≤0， x,g(x)=x-1,h(x)=log3x十x的零点依次为 2f2(x)-3f(x)+1的零点个数是 a,b,c,则 ·51 高考总复习人教数学B版（新教材） 核心素养 (2)零点存在性定理法：判断函数在区间[a,b]上 数学抽象、直观想象 确定函数零点个数的核心素养 是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0,再结 合函数的图像与性质（如单调性、奇偶性、周 信息提取 信息解读 数学抽象、直观想象 当x>0时，y=|1gx 期性、对称性)可确定函数的零点个数. 的图像是函数y=gx (3)数形结合法：转化为两个函数的图像的交点 的图像在x轴上方的 个数问题.（画出两个函数的图像，其交点的 部分保持不变，工轴下 个数就是函数零点的个数) 方的部分沿x轴对称 在同一坐标系中画出 f(x)= 函数y=|gx|在x 1跟踪训练 (gzl.z>0 到x轴上方 当x≤0时，y=2 0时的图像和函数y= {2,x≤0 1x2-1,x≤0， 2在x≤0时的图像 1.已知函数f(x) 2-r () 的图像 l0g2x,x>0, 则函数y=f(x) 的零点个数是 就是y= （合)的圈 A.0 B.1 C.2 D.3 像在y轴左侧的部分 2.函数f(x)=x-ln(x十1)-1的零点个数是 函数y=2f2(x) 春点3 函数零点的应用（迁移点） 函数的零点就是方程 3f(x)十1的零点，即 [母题]若函数f(x)=xlnx一a有两个零点，则 的根 方程2f(x)-3f(x) 实数a的取值范围为 +1=0的根 函数y=2f子(x) [尝试解答] 3f(x)十1的零点，也就 [子题1]若母题中f(x)有且只有一个零点，则实 是方程2f(x)-3f(x) 数a的取值范围是 十1=0的根，把f(x) 解方程2fP(x)一3f(x) [子题2]若函数变为f(x)=lnx-x一a,其他条 函数 看成一个整体，本方程 +1=0,得f(x)=1 件不变，则a的取值范围是 y=2f2(x) 就是关于f(x)的一元 -3f(x)+1的 二次方程，通过解方程 [子题3]若函数变为f(x) (xln x-a,x>0, -x2-2x-a,x≤0， 零点 可以得出f(x)=1 或号 若函数y=f(x)有三个零点，则实数a的取值范 围是 解方程2f(x) 3f(x)十1=0的根，是 规律总结 结合函数f(x)的图 解适合此方程的x的 由函数的零点或方程的根的存在情况求参数 像，观察y=之和y 值，也就是方程f(x) 的取值范围常用的方法 1与y=f(x)的图像 合或f)=1对应 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的 交点个数 不等式，再通过解不等式确定参数范围， 的x的值 (2)分离参数法：先将参数分离得a=f(x),再转 函数的零点个数就是 化成求函数(x)值域问题加以解决 对应方程的根的个数， (3)数形结合法：先对解析式变形，再在同一平面 即方程f(x)=令或 3V- 2和y=1与函数y 直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结 f(x)=1对应的x的 零点个数 =f(x)的图像交点个数 合求解. 值的个数，转化为y= 之和即为本题的零点 跟踪训练 2和y=1与y=f(x) 个数 |lnx|,x>0, 的图像交点个数，借助图 (多选)设函数f(x)= 若函数 像利用数形结合求解 e(x+1),x≤0， g(x)=f(x)一b有三个零点，则实数b可取的值 [尝试解答] 可能是 方法指导 A.0 B C.1 D.2 判断函数y=f(x)零点个数的常用方法 (1)直接法：令f(x)=0,则方程实根的个数就是 C温馨提污 函数零点的个数 学习至此，请完成配套训练 课时冲关15 ·52