第2章 第5节 对数与对数函数-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

高考总复习人教数学B版（新教材） 第5节对数与对数函数 ★[课程标准]1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用 对数.2.通过具体实例，了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出对数函数的图像，探索并 了解对数函数的单调性与特殊点 夯实，必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 (2)对数函数的图像与性质 1.对数的概念 底数 a>1 0a1 (1)在表达式ab=N(a>0且a≠1，N∈(0，+o∞)) x=1 y=log￥ x=1 中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这 (1,0) 个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对 图像 O/1,0) 数，记作b=logaN,其中a称为对数的底数，N y=logx 称为对数的真数. 定义域： (2)当a>0且a≠1时，b=log N的充要条件是ab =N,由此可知，只有N>0时，logaN才有意 值域： 义，这通常简称为负数和零没有对数 当x=1时，y=0,即过定点 2.常用对数和自然对数 (1)以10为底的对数称为常用对数，为了简便起 性质 当x>1时， 见，通常把底10略去不写，并把“1og”写成 当x>1时， ； “lg”,即把log1oN简写为lgN. 当0<x<1时， 当0<x<1时， (2)以无理数e(e=2.71828…)为底的对数称为自 然对数，自然对数logeN通常简写为lnN. 在(0，+∞) 在(0，十∞) 3.对数的性质、换底公式与运算性质 上是 上是 (1)对数的性质：①l1oga1= ;②loga=」 重要结论 log x ③aog。V= logx ④logaa= 对数函数的图像与底 (a>0,且a≠1). 数大小的比较 2-----y=1 (2)对数的运算法则 如图，作直线y=1,则该 logx 如果a>0且a≠1，M>0,N>0,那么 直线与四个函数图像交点 ①loga(MN)= 的横坐标为相应的底数. log x M 故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在 ②loga N 第一象限内从左到右底数逐渐增大. ③log M" (n∈R); 自主诊断 ④log。M"=1ogM(m,n∈R,且m≠0)， ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 (3)对数的重要公式 里打“/”，错误的打“×” (1)函数y=log2(x十1)是对数函数. ( ①换底公式： (a,b均大于零且不 (2)10g2x2=21og2x. 等于1)： (3)当x>1时，logax>0 1 ②logab= ,推广1ogab·logbc·loged= (4)对数函数y=log,x(a>0且a≠1)的图像过定点 logia 00,且过点(aD, ,函数图像只在第 4.对数函数及其性质 一、四象限。 (1)概念：函数y=log,x(a>0,且a≠1)称为对数函 (5)函数y=ln y=In(1+z)-In(1-x) 1-x 数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，+∞) 的定义域相同. ( ) ·40· 第二章函数、导数及其应用 ◆[小题查验] A.是偶函数，且在 单调递增 1.(2022·浙江卷，7)已知24=5,1og83=b,则 4a-36 11 ( B.是奇函数，且在 22 单调递减 A.25 B.5 C.25 n号 C.是偶函数，且在 1 00,- 2 单调递增 2.(2024·凯里市模拟)已知a,b,c均为正实数，若2 1 D.是奇函数，且在 -logza1,-log-logze, 2 单调递减 4.(教材改编)函数y=√1ogo.5(4.x-3)的定义域为 A.c<a<bB.c<<a C.a<b<c D.b<a<c 3.设函数f(x)=ln2x十1|一ln2x-1|,则f(x) 5.(教材改编)函数y=loga(x-2)十2(a>0,且a ≠1)的图像须过点 跃升>关健能力 层级突破素养提升 专点1) 对数的基本运算（基础点） [破题关键点]方法一：构造函数f(x)=4 1.(多选)已知a,b均为正实数，若logb十logia 和g(x)=logx,利用这两个函数图像的上下位置 号=，则号 关系，求出a的取值范围：方法二：采用排除法. [尝试解答] A司 B.② C.√2 D.2 [子题1]将母题变为：若不等式x2一logax<0对 x∈ 2.(2024·广州质检)已知函数f(x)=log2(x2十a), (0,号)恒成立，则实数a的取值范围是 若f(3)=1,则a= 3.g3)-lg9+11gV27+1g8-1g√个000) [子题2] 将母题变为：当0<x≤寻时反<ogx, 1g0.3·1g1.2 则实数a的取值范围是 [子题3]将母题变为：已知函数f(x)= 4.若log147=a,140=5,则用a,b表示log3528= (log2,>0, 且关于x的方程f(x)十x一a=0 (3x,x≤0， 题后反思 有且只有一个实根，则实数a的取值范围是 对数运算的一般思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形， 规律总结 化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然 应用对数型函数的图像可求解的问题 后正用对数运算性质化简合并. (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的 (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运 对数型函数，在求解其单调性（单调区间）、值 算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对 域（最值）、零点时，常利用数形结合思想 数真数的积、商、幂的运算. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应 点2)对数函数的图像及应用（迁移点） 的函数图像问题，利用数形结合法求解。 春点3)对数函数的性质及应用（重难点） [母题] 当0<c≤2时，4<logax,则a的取值范 ◆[命题角度1]比较对数值的大小 围是 1.已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c 1og138,则 ) A.a<b<c B.b<a<c C.(1,√2) D.(2,2) C.b<c<a D.c<a<b 。41· 高考总复习人教数学B版（新教材） 2.若2a+1og2a=4+21og4b,则 规律总结 A.a26 B.a<26 对数函数性质及应用中应注意的问题 C.ab2 D.a<62 (1)比较对数值大小时，若底数相同，构造相应的 ◆[命题角度2]解简单的对数不等式 对数函数，利用单调性求解；若底数不同，可 3.已知f(x)=logax(a>0且a≠1)，如果对于任 以找中间量，也可以用换底公式化成同底的 意的x∈[宁2]都有1f)1≤1成立，则a的取值 对数再比较 范围为 (2)解简单的对数不等式时，先利用对数的运算 ◆[命题角度3]与对数有关的复合函数问题 性质化为同底数的对数值，再利用对数函数 4.若函数f(x)=1og:(-x2+4x+5)在区间(3m 的单调性转化为一般不等式求解 2,m十2)内单调递增，则实数m的取值范围为 (3)利用对数函数的性质，求与对数函数有关的 复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三 ◆[命题角度4]利用对数函数的性质求参数 方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在 5.已知函数f(x)=log(x2-a.x-a)对任意两个 定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三 是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等 不相等的实数x1,x2日 ,都满足不 函数复合而成的. 等式f2)-f) >0,则实数a的取值范围 x2一x1 ©温馨提污 学习至此，请完成配套训练 课时冲关12 为 第6节 指数函数、对数函数的关系与幂函数 大[课程标准】1.了解家画数的概念，会求累函教的解行式.2钻合家函数)=y=y=,y y=x的图像，掌握它们的性质.3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.4.了解反函数的概念，知 道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们图像之间的对称关系.5.利用指数、对数函数的图像与性 质解决一些简单问题， 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 必以备知识 (3)常见的5种幂函数的性质 1.幂函数 函数 y=x2 y=z3 y=rt y=x-l (1)幂函数的定义 定义域 R R R {xx≠0} 一 般地，形如 的函数称为幂函数，其中 值域 R R [0,十∞) x是自变量，a为常数 (2)常见的5种幂函数的图像 奇偶性 偶 非奇非偶 奇 Y= 在R上 单调性 单调 递增 公共点 ·42…3.解析：y=a-1的图像是由y=a跃升·关键能力考点1 先向下平移1个单位，再将x轴下方 的图像沿x轴翻翩折过来得到的， 1.AD2.-73.-2 43 atb 当a>1时，两图像只有一个交点，不考点2 合题意，如图(1)； [母题] B[法一： 当0<a<1时，要使两个图像有两个 构造函数f(x)=4 2 交点，则0<2a<1,得到0<a<2, 和g(x)=logx,当f) a>1时不满足条 如图(2) 件，当0<a<1时， re2a [y 画出两个函数在 g(x) (,]上的图徐 图(1) 图(2) 可知，（）<（）脚< 综上，a的取值范围是 0,2) 1 og,则a>兰，所以a的取值范 答案：(0,2) 跟踪训练1.D2.1 用为( 考点3命题角度1 1.C 1 法二：r0<≤21<4≤2， 命题角度22.A 命题角度33.ACD .logx>4>1, 4.解：(1)当a=-1时， ∴.0<a<1,排除选项C,D: 1 1 f(x) () x2-4x+3 取a=x= 令g(x)=-x2-4x十3， 则有位=2，lg合=1，显然华< 由于g(x)在(-∞，一2)上单调递 logx不成立，排除选项A.] 增，在（一2，十∞）上单调递减，而y [子题1]解析：由x2-log。x<0,得 =(仔)在R上单调递减， 2<log, 所以f(x)在(-∞，-2)上单调递 f()=x2,f (x)=logI, 减，在（一2，十○）上单调递增，即函数 f(x)的单调递增区间是（一2，十∞），单 要使x∈(@，合）时，不等式t< 调递减区间是（一∞，一2）. logx恒成立， (2)令g(x)=a.x2-4x十3， 只需f(x)=x在(0，)上的图像 在f2(x)=logx图像的下方即可. 由于∫(x)有最大值3，所以g(x)应 当a>1时，显然不成立； 有最小值一1， 当0<a<1 y f(x)=x2 a0. 时，如图所示， 因此必有 3a-4 要使x2< =-1, logx在x∈ 0 解得a=1,即当f(x)有最大值3时， 2f(x)=logx a的值等于1. (0,)上恒 (3)由指数函数的性质知， 成立，需（合）下（合） 要使y=（3) 的值域为(0，十∞)， 应使g（x)=az一4x十3的值域 所以有（合）≤，解得a≥ 为R, 因此只能a=0.(因为若a≠0，则 g(x)为二次函数，其值域不可能为 R).故a的值为0. 即实数a的取值范周是[品)月 第5节 答案：[61) 夯实·必备知识必备知识 [子题2]解析：若 3.(1)0 1 N b (2)log,M+log N log M-log,N nlog,M (3)log,N √E<logx在x∈ log,N log d 4.(2)(0,+∞) R (0,]成立，0 20 log b 011 (1,0) y>0y<0y0y>0 <a<1,且y=√E 4 的图像在y=logx y=log,x 增函数减函数 思考辨析(1)× (2)× (3)× 图像的下方，如图所示， (4)/(5) 由圈你期√F<bg子 1 小题查验 1.C2.C3.D 4(学] 0a<1, 1 1.解得6<a<1. 5.(3,2) a> 4 ·417 参考答案 即实数a的取值范国是（品。1） 答案：（品）】 [子题3]解析：如 图，在同一坐标系 中分别作出y= f(x)与y=-x十 a的图像，其中a 表示直线在y轴 上的裁距，由图可知，当a>1时，直 线y=一x十a与y=f(x)只有一个 交点。 答案：a>1 考点3命题角度11.A2.B 命题角度2 命题角度3 [j 命题角度4 5【-1,2] 第6节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)y=x°(3)[0，+∞)[0，+∞) {yy≠0}奇奇在(-o∞，0]上单 调递减，在[0，十∞)上单调递增在R 上单调递增在[0，十∞)上单调递增 在（一○，0）和(0，十∞)上单调递减 (1,1)2.(1)反函数(2)y=1(x) 值域定义域y=x(3)存在增函 数减函数 思考辨析(1)×(2)/(3)X (4)×(5)×(6)× 小题查验 1.C2.B3.A4.C5.1或2 跃升·关键能力 考点1 1.C2.D3.B (-,-1U(台受)】 考点2命题角度1 [典例1][解](1)y=lgx的底数为 10,它的反函数为指数函数y=10. (2)由y=5x+1,得x=1,所以反函 5 数为y写号E (3)y=(√2)的底数为√2，它的反函 数为对数函数y=log(x>0). (4)由y=x得x=士√. 因为x0,所以x=一√y.所以反函数 为y=-√(x≥0). 命题角度2[典例2](1)C[由 f(x)=3-1,可得f1(x)=logx十 1,.图像为C.] (2)[解]因为y=a十b的图像过 点(1,4)， 所以a十b=4.① 又因为y=a"十b的反函数图像过，点 (2,0), 所以点(0,2)在原函数y=a十b的 图像上. 所以a°十b=2.② 联立①②得a=3,b=1.