第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

第二章函数、导数及其应用 第3节函数的奇偶性与周期性 ★[课程标准]1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.会运用函数的图像理解和研究 函数的奇偶性.3.结合三角函数，了解函数周期性的概念和几何意义.4.会运用函数的图像理解和研究 函数的周期性 夯实必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 2.函数周期性的三个常用结论 1.函数的奇偶性 对函数f(x)定义域内任意一个自变量x都有： 奇偶性 定义 图像特点 (如下a>0): (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a: 般地，设函数y=f(x) (2)若f(x+a)= f),则T=2a: 的定义域为D,如果对D 关于 偶函数 内的任意一个x,都有一x 对称 ∈D,且f(-x)=f(x), 3)若fx+a)-了则T-2a, 则称y=f(x)为偶函数 3.函数对称性的三个常用结论 (1)若函数y=f(x十a)是偶函数，即f(a-x) 般地，设函数y=(x) f(a十x),则函数y=f(x)的图像关于直线x 的定义域为D,如果对D a对称； 内的任意一个x,都有一x 关于 奇函数 ∈D,且f(一x)= 对称 (2)若对于R上的任意x都有f(2a一x)=f(x)或 一f(x),则称y=f(x)是 f(一x)=f(2a+x),则y=f(x)的图像关于直 奇函数 线x=a对称； (3)若函数y=f(x+b)是奇函数，即f(-x+b)+ 2.函数的周期性 f(x十b)=0,则函数y=f(x)关于点(b,0)中 (1)周期函数：对于函数y=f(x),如果存在一个非 零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都 心对称. 有 ,那么就称函数y=f(x)为周期函 自主诊断 数，称T为这个函数的周期. ◆[思考辨析] (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期 中 的正数，那么这个最小正数就叫做 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 f(x)的 正周期 里打“√”，错误的打“X”. 重要结论 (1)函数y=x2,x∈(0，十∞)是偶函数.() 1.函数奇偶性的四个重要结论 (2)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义， 定过原点。 ( 即f(0)有意义，那么一定有f(0)=0. (3)如果函数f(x),g(x)为定义域相同的偶函 (2)如果函数f(x)是偶函数，那么(x)=f(x|). 数，则F(x)=f(x)十g(x)是偶函数.() (3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同 (4)若函数y=f(x+a)是偶函数，则函数y 的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间 f(x)关于直线x=a对称. ( 上具有相反的单调性， (4)奇、偶函数的性质：在公共定义域内，奇函数· (5)若函数y=f(x十b)是奇函数，则函数y= 奇函数=偶函数，奇函数十奇函数一奇函数， f(x)关于点(b,0)中心对称 偶函数·偶函数=偶函数，偶函数十偶函数 (6)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x十2)= 偶函数，奇函数·偶函数=奇函数。 f(x),则f(2024)=0. ) 33 高考总复习人教数学B版（新教材） ◆[小题查验] 3.已知函数f(x)=x5+a.x3+b+2且f(2024) 1.已知f(x)=a.x2+bx是定义在[a-1,2a]上的 偶函数，那么a+b的值是 =6,则f(一2024)的值为 4.(教材改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函 A-司 B吉 c D- 数，当x∈(-o∞，0)时，f(x)=2x3+x2,则f(2) 2.(教材改编)若偶函数f(x)在区间[一2，一1]上 单调递减，则函数f(x)在区间[1,2]上( 5.设奇函数f(x)的定义域为 A.单调递增，且有最小值f(1) [-5,5],若当x∈[0,5]时， B.单调递增，且有最大值f(1) f(x)的图像如图所示，则不等 C.单调递减，且有最小值f(2) 式f(x)<0的解集 D.单调递减，且有最大值f(2) 为 跃升>关健能力 层级突破素养提升 春点1) 判断函数的奇偶性（基础点） 题后反思 1.(2024·太原市模拟)下列函数中，既是奇函数又 判断函数奇偶性的三种常用方法 在(0，+∞)上单调递增的是 ) (1)定义法： A.y=er+ez B.y=ln(|x|+1) 确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义 C.y=sin x Il 片 域是否关于原点对称.若对称，再化简解析式 2.已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x+y) 后验证f(一x)=士f(x)或其等价形式 [f(x)+f(y)]=2023,则下列说法正确的是 f(-x)士f(x)=0是否成立. ( (2)图像法： A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 关于原点对称 f(x)为奇函数 C.f(x)+2023是偶函数 f(x)的图象 关于y轴对称 f(x)为偶函数 D.f(x)+2023是奇函数 3.判断下列函数的奇偶性： (3)性质法： (1)f(x)=√3-x2+√x2-3; 设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么 (2)f(.x)= lg(1-x2) 在它们的公共定义域上：奇十奇=奇，奇×奇 1x-2-2 1x2+x,x<0, =偶，偶十偶=偶，偶X偶=偶，奇X偶=奇. (3)f(x) x2+x,x>0. 提醒：分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0 或x<0来寻找等式f(-x)=f(x)或f(-x) =一(x)成立，只有当对称的两个区间上满 足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性。 春点2 函数奇偶性的应用（应用点） ◆[命题角度1]利用奇偶性求函数值 1.（2024·潍坊市模拟)若函数f(x)= 10g3x-2,x>0 为奇函数，则f(g(一3) (g(x）,x<0 ( A.-3 B.-2 C.-1 D.0 ·34· 第二章函数、导数及其应用 ◆[命题角度2]利用奇偶性求参数值 解题技巧 2.(2023·新课标卷)若fx)=(x十a)n二为偶 应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 2x+1 (1)求函数值 函数，则a= 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函 A.-1 B.0 c D.1 数值求解 ◆[命题角度3]利用奇偶性求解析式 (2)求解析式 3.设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=e一1， 将待求区间上的自变量转化到已知区间上， 则当x<0时，f(x)= 再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关 A.e-1 B.e+1 于f(x)的方程（组），从而得到f(x)的解析式. C.-e-x-1 D.-e-x+1 (3)求函数解析式中参数的值 ◆[命题角度4]利用奇偶性的图像特征解不 利用待定系数法求解，根据f(x)士f(一x)=0 等式 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性 [典例]已知y=f(x)是偶函 得参数的值或方程（组），进而得出参数的值. 数，y=g(x)是奇函数，它们的 (4)画函数图像和判断单调性 定义域是[一3,3]，且它们在x =g(x) 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及 ∈[0,3]上的图像如图所示，求 判断另一区间上的单调性。 y=f(x) 不等式<0的解集， g(x) 专点3 函数周期性的应用（应用点） 核心素养 [典例](1)(2024·陕西统考模拟)已知f(x)是 逻辑推理 函数图像与性质在函数中具体应用的核心素养 定义在R上的奇函数，若fx+)为偶函数且 信息提取 信息解读 逻辑推理 f(1)=3,则f(2023)+f(2024) y=f(x)是偶函数 偶函数的图像关于y A.3 B.-5 C.-3 D.0 轴对称，奇函数的图像 y=g(x)是奇函数 关于原点对称 (2)已知函数f(x)是R上的偶函数，f(x+2)为 解分式不等式f） g() 奇函数，若f(0)=1,则f(1)+f(2)+·+ 定义域是[一3， 题干已给出x∈[0,3] <0台f(x)·g(x) 3],且它们在x∈ 上的图像，可根据奇偶 <0台x∈[0,3]时， f(2023)= [0,3]上的图像如 性的图像特征补上x 由图像直接判断： [尝试解答](1) (2) 图所示 ∈[-3,0]上的图像 x∈[-3,0]时，根 方法指导 据奇偶性补全图像 此分式不等式可等价 后判断取并集，得 1.判断函数周期性的两个方法：定义法、图像法 转化为分子、分母相乘 到分式不等式的 2.函数周期性的重要应用：利用函数的周期性， 不等式f<0 g(z) 的不等式，最终还是判 解集 可将其他区间上的求值，求零点个数，求解析 断f(x)与g(x)在定 义域内的正负值情况 式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进 而求解 [尝试解答] 易错警示：应用函数的周期性时，应保证自变 量在给定的区间内. !跟踪训练 1.(2024·江苏无锡校考模拟)已知函数y=f(x) 是定义在R上的奇函数，且满足f(x+2)+ f(x)=0,当x∈[-2,0]时，f(x)=-x2-2x, 则当x∈[2024,2026]时，y=f(x)的最大值为 A.-8B.-1 C.1 D.0 2.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数， 且当0≤x<2时，f(x)=x3一x,则函数y= f(x)的图像在区间[0,4]上与x轴的交点的个 数为 ·35 高考总复习人教数学B版（新教材） 点4函数基本性质的综合应用（创新点） 5.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x一4)= ◆[命题角度1]单调性与奇偶性结合 一f(x),且在区间[0,2]上是增函数，则() 1.(2024·天津模拟)已知f(x)是定义在R上的偶 A.f(-25)<f(11)<f(80) 函数，且在区间[0，十∞)单调递增，则 B.f(80)<f(11)<f(-25) A.>f(o号）>f2) C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11) B.f(log2)f(2)>f(log2) [破题关键点]定义在R上的函数f(x)满足 C.f2)>foe号)>fo影x) f(x一4)=一f(x),则f(x)是以8为周期的函 D.f(2)>f(fog 数，又f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间 [0,2]上是增函数，则f(x)在区间[一2,2]上是 2.若定义在R的奇函数f(x)在（一∞，0）单调递 增函数，这样就可以把f(一25)，f(11)和f(80) 减，且f(2)=0,则满足xf(x一1)≥0的x的取 值范围是 ) 转化到区间[一2,2]上进行大小比较. A.[-1,1]U[3,+∞)B.[-3,-1]U[0,1] 6.(多选)设函数y=f(x)的定义域为R,其图像关 C.[-1,0]U[1,+o∞)D.[-1,0]U[1,3] 于直线x=-2对称，且f(x十2)=f(x一2).当x 3.(多选)(2024·山东省高三模拟)已知奇函数 f(x)是定义在R上的减函数，且f(2)=一1，若 ∈[0,2]时，f(x x,则下列结论正确 g(x)=f(x一1)，则下列结论一定成立的是() 的是 A.g(1)=0 A.f(x)为偶函数 Rg2)-司 B.f(2023)=4 C.g(-x)+g(x)>0 C.f(x)的图像关于直线x=2对称 D.g(-x+1)+g(x+1)<0 D.f(x)在区间[一2,0]上单调递减 ◆[命题角度2]周期性与奇偶性结合 规律总结 4.已知函数f(x)的定义域为R,f(x十1)为偶函 数，f(4一x)=f(x),则 ( 函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 A.函数f(x)为偶函数 (1)函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性 B.f(3)=0 及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图像的对 c()-f〔) 称性 D.f(2023)=0 (2)周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值 ◆[命题角度3]单调性、奇偶性与周期性结合 问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所 求函数值的自变量转化到已知解析式的函数 核心素养 定义域内求解。 数学抽象 函数的“三性”在抽象函数中的具体应用 (3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题 函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到， 通常先利用周期性转化自变量所在的区间， 函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的 单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规 然后利用奇偶性和单调性求解. 律.在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期 C温馨提 性来确定另一区间上的单调性. 学习至此，请完成配套训练课时冲关10 ·36高考总复习人教数学B版（新教材） =8,当且仅当x-1=号即x=4 综上可知：对于定义域内的任意x, 总有f(一x)= 一f(x)成立，函数 时，f(x)mn=8. f(x)为奇函数. (3)令√x十4=t,则t≥2，∴.x2=t 考点2命题角度11.B -4, 命题角度22.B 命题角度33.D 命题角度4 [典例门][解]第一步根据奇偶性 则h(t)在[2，十oo)上为增函数， 补全函数f(x)和g(x)在整个定义域 2y≤ 5 上的图像 ∴.h(t)nin=h(2)= 5 y=f(x)是 2 偶函数，y= =号(：=0时取等号).即y的最大 g(x)是奇函 数，根据函数 值为号 图像的奇偶 性画出y=f(x),y=g(x)在[-3,0] [答案] 号28(3号 上的图像如图所示， 第二步将分式不等式等价转化 跟踪训练 1. 2.3 f(x) g(x) <0等价于fx)>0, (g(x)<0 考点4命题角度11.B 命题角度22.B 或fx)<0, (g(x)>0, 命题角度3 第三步根据图像，分别解两个不等 式组 第3节 由图可知f(x)>0,g(x)<0时，一2< 夯实·必备知识必备知识 z<-1或0<x1, 1.y轴原点2.(1)f(x十T)=f(x) f(x)0,g(x)>0时，2<x3. (2)存在一个最小最小 第四步根据求解结果取并集 思考辨析(1)×(2)× (3)/ 可求得其解集是{x一2<x<一1或0 (4)/(5)/(6)/ <x1或2x3} 小题查验 考点3 1.B2.A3.-24.12 [典例门[解析](1)因为f(x)是定义在 5.(-2,0)U(2,5] R上的奇函数，所以f(0)=0,f(x)十 跃升·关键能力考点1 f(-x)=0,所以有 1.D2.D 3.解，1)由3之0得=3，解得 f(-)十f(+)-0, x2-3≥0 由f(+子)为偶函教可得： x=士5， 即函数f(x)的定义域为{一√3，W3}, (+是)=f(x+是) 从而f(x)=√3-x+√π-3=0. 因此f(-x)=-f(x)且f(-x) 故有f(+子)十f(-)=0, =f(x), ,函数∫(x)既是奇函数又是偶 f(+）)十f)=o. 函数. 即f(x)=- （2由2得定义线为(-1， -f(x十3)，故f(x)=f(x十3)，所以 0)U(0,1),关于原点对称. f(x)周期为T=3,则f(2)=f3-1)= x-2<0,.x-2-2=-x, f(-1)=-f(1)=-3.故f(2023)+ f(2024)=f(1)+f(2)=3-3=0. ∴f(x)=lg(1-x2) (2)f(x十2)是奇函数，故f(x十2)= 一x -f(-x+2),且f(2)=0. 又：f(-x)=lg[1-（-x)] f(x)是偶函数，故f(x十2) lg1-)=-f(x), =-f(-x十2)=-f(x-2), 则f(x十4)=-f(x), 函数f(x)为奇函数 f(x+8)=-f(x+4)=f(x), 函数周期为8， (3)显然函数f(x)的定义域为 f(x十2)=一f(一x十2)，故f(3) (-∞，0)U(0,十∞)，关于原点 f(1)=0,f(4)+f(0)=0,即f(4)= 对称. -1,f(5)=-f(1),f(6)=-f(2) 当x<0时，一x>0, 则f(-x)=-（-x)2-x=-x2-x =0,f(7)=-f(3),f(8)=f(0)= 1,故f(1)十f(2)十…+f(8)=0, =-f(x); f(1)十f(2)十·十f(2023)= 当x>0时，-x<0, -f(8)=-1. 则f(-x)=(-x)2-x=x 一x [答案](1)D(2)-1 =-f(x): 跟踪训练1.C2.5 ·416· 考点4命题角度1 1.A2.D3.AC 命题角度24.A 命题角度35.D6.AC 第4节 夯实·必备知识必备知识 3.(1)y=a(a>0且a≠1)(2)(0， +∞)(0,1)y>10<y<1y>1 0<y1增函数减函数 思考辨析(1)×(2)×(3) (4)×(5) 小题查验 1.B2.A3.C4.D5.2或2 跃升·关键能力考点1 1.c2g8-16 9 考点2 [典例](1)A[将函数解析式与图 像对比分析，因为函数f(x)=1一 e是偶函数，且值域是(-o∞，0]，只 有A满足上述两个性质.] (2)D[第一步将不等式2(x a)<1变形为两个基本初等函数构 成的不等式 不等式2(x-a)<1可变形为x-a <() 第二步 画出函 ↑y 数y=() 与 VE=x-d y=x一a的图像 在同一平面直角 坐标系内作出直 0 线y=x-a与y () 的图像.由题意，在(0， 十∞)上，直线有一部分在曲线的 下方， 第三步观察图像，列出有关Q满足 的条件 观察可知，有一a<1,所以a>一1. (3)[解析]曲线 1y=2+1与直 线y=b的图像如 图所示，由图像 1 可得：如果y= 2 y=-2-1 2十1与直线y= b没有公共点，则b应满足的条件是 b∈[-1,1]. [答案][-1,1] 互动探究 1.解析：曲线y=2一1 与直线y=b的图 像如图所示，由图像 可得，如果曲线y= |2一1|与直线y=b有两个公共点， 则b的取值范围是(0,1) 答案：(0,1) 2.解析：因为函数y=2一1的单调递 减区间为（一∞，0]，所以k0,即k的 取值范围为(-∞，0]. 答案：（一∞，0]