第1章 第2节 命题与量词、充分条件与必要条件-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

第一章 第1节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)确定性无序性 互异性 (2)∈￠(4)列举法描述法图 示法2.A二B(或B2A)A丢B(或 B￥A)A=B3.A∩B{xx∈A, 或x∈B}{xx∈A,且x∈B}{xx ∈U,且x任A}AA0AU 思考辨析(1)×(2)×(3)× (4)×(5)× 小题查验 1.D 2.A[由题意，M={xx十2≥0}={x x≥-2}，N={xx-1<0}={xx <1},根据交集的运算可知，M∩N ={x-2≤x<1.] 3.{xx≥一1}{xx2或x≥3} 4.(-o∞，1]5.9 跃升·关键能力考点1 1.C2.D 3.解析：由已知得a≠0，则白=0， 所以b=0, 于是a2=1,即a=1或a=-1, 又由集合中元素的互异性知a=1应 含去，故a=一1，所以a221十b2021= (-1)221+02021=1. 答案：1 4- 考点2 [典例][解析](1)由题意，得B= {-1,1},因为A二B, 所以当A=☑时，a=0; 当A={-1}时，a=-1: 当A={1}时，a=1. 又A中至多有一个元素， 所以a的取值构成的集合是{-1,0,1. (2)当B=0时，有m十1≥2-1， 则m2. 当B≠心时，若B二A,如图. -2m+102 2m-17x 1m十1≥-2， 则2m-1≤7，解得2<m≤4 （m+1<2m-1, 综上，实数m的取值范围为m4. [答案](1)D(2){mm4 互动探究 解析：由题意，得B={xx>1,或x -1}, 对于集合A,①当a>0时， a={>} 因为ACB,所以1≥1 a 又a>0,所以0<a≤1. @省a<0时A={<日} 因为ACB,所以日<-1，又a<0, 参考答案 学习讲义·参芳答案 所以一1a0,综上所述，0a1, 第2节 或-1≤a<0】 答案：[-1,0)U(0,1] 夯实·必备知识必备知识 跟踪训练 1.真命题假命题2.充分条件必 要条件充分不必要必要不充分 1.B[若a一2=0，则a=2,此时A= 充要既不充分也不必要4.Hx∈ {0,一2》，B={1,0,2},不满足题意： M,r(x)3x∈M,p(x)3x∈ 若2a-2=0,则a=1,此时A={0,M,s(x)月x∈M,7p(m) 一1}，B={1,一1,0，满足题意.门 思考辨析(1)/(2)、/(3)/ 2.[-2,2) (4)×(5)/(6)/ 考点3命题角度1 小题查验 1.C[方法一：因为N={xx2-x-61.C2.BD ≥0}=(-∞，-2]U[3,十∞)，而M =(-2,-1,0,1,2,所以M门N=3.A[若sinx=1,则x=乏+2k,k {-2}. 方法二：因为M={-2,-1,0,1,2}, ∈Z,c0sx=0;若c0sx=0,则x=受 将-2，-1,0,1,2代入不等式x2-x 十kπ，k∈Z,sinx=1或sinx=-1.若 一6≥0，只有一2使不等式成立，所 sinx=1可推出c0sx=0,充分性成 以M∩N={-2}.] 立；反之不成立，必要性不成立，故为 2.D 充分不必要条件，] 命题角度2 4.(3,+∞)5.①③④ 1.A[由题意可得MUN={xx< 跃升·关键能力考点1 2},则C(MUV)={xx≥2}，选项A[典例](1)BC[tana=2,则cos2a 正确；CM={xx≥1，则NUCM= {xx>一1}，选项B错误；M∩N= oan产g=ae--g, cosa十sina1+tana {x-1<x<1},则C(M∩N)={x 故A错误；sina十cosB=1,则sina x≤-1或x≥1，选项C错误；CuN +cos B=sin'a+(1-sin a)2= ={xx≤-1或x≥2}，则MUCN ={xx<1或x≥2}，选项D错误.] 2(sina-宁)+>，B正确：桃 2.BD 据存在量词命题的否定是全称量词 命题角度3 命题：“3x∈Z,sinx∈Z”的否定 [典例][解析](1)[解一元二次不 是“Hx∈Z,sinx任Z”,故C正确；将 等式x2-4≤0，可得A={x-2≤x ≤2}，解一元一次不等式2x十a≤0， 画数y=cos2x的图像向左平移 4 可得B={≤-受} 个单位长度，得到y= os(2x+受)川 =sin2x为偶函 由于A∩B={x-2≤x≤1， 数，故D错误.门 故一 受=1，解得a=-2. (2)BD[对A,:E(X)=20, (2)CRB={xx<1,或x>2},要使 AU(CRB)=R,则a≥2. ÷10p=20>0=号， [答案](1)B(2)[2,十∞) D(X)=100.1.4=16, 考点4 5·5 [典例]C[由36一x>0,可解得 :D(2X+1）=DX)=4,故 一6x6,又x∈N,故x可取0,1， 2,3,4,5,故S={0,1,2,3,4,5}. A错误；对B,函数f(x)是定义在 由题意可知：集合M不能含有0,1， R上的偶函数，.f(x)=f(x), 且不能同时含有2,4.故集合M可以 f(log2)>f(log)>f(1) 是{2,3、{2,5}、{3,5}、{3,4、{4， ,∴.log2x<1台-1<log2x<19 1 5.] 2<x<2,故B正确；对C,八x-1 跟踪训练BD「对于A,设n(A)= <1台0x2,.“x>0”推不出“0 ,则A的子集个数为2m,故 <x<2”,而“0<x<2”可以推出“x [P(A)]=2m,显然2m=5无非负整 >0”,.“x>0”是“x-1<1”的必 数解，故A错误；对于B,若A二B,则 要不充分条件，故C错误；对D,,样 A的所有子集都是B的子集，故P 本中心点为(m,一2.8)，.0.3·m (A)二P(B),故B正确；对于C,若A m=一2.8→m=4,故D正确.门 ∩B=了，则A,B的公共子集只有空 (3)ACD[对选项A,只需f(x)在 集，故P(A)∩P(B)={)},故C [1,2]上的最小值小于a,f(x)在[1， 错误；对于D,若n(A)-n(B)=2,不妨 2]上单调递增，所以f(x)mm=f(1) 设n(A)=m,则n(B)=m-2,∴.n[P (A)]=2",n[P(B)]=2m-2,显然n[P =1-是=-1，所以a>-1,故A正 (A)]=4Xn[P(B)],故D正确.] 确；对选项B,只需g(x)的最小值大 ·409· 高考总复习人教数学B版（新教材） 于0，因为ac0s号∈[-a,a],所以 …A≤f(x)m=2√2， g(x)mm=-a十5-2a=5-3a>0, 故实数入的取值范围为(-∞，2√2]. (2)当x∈[0,3]时，f(x)mim=f(0)= 所以0<a< 三，故B错误；对选项 0,当x∈[1,2]时，g(x)mim=g(2)= 1 C,只需f(x)在[1,2]上的最小值大 于g(x)的最大值，f(x)in=-1, 4 -m,由f(x）mn≥g(x）in, g(x)ms=a十5-2a=5-a,即-1> 得0≥ 1 4 一m,所以m≥ 4 5-a,a>6,故C正确；对选项D,只 需g（x)in≤f(x)mn'g（x）mx≥ [答案] (1)AB (2) fx)m-=f2)=2-号 互动探究 解析：当x∈[1,2]时，g(x)mx=g(1) 1,所以1∈[1,2]，f(x1)∈[-1， x[0,1]时，受∈[0受]所以 =-m, g(x)在[0,1]上单调递减，g（x)m 由f(x)m≥g(z)mx,得0≥2 g(1)=5-2a,g(x)mx=g(0)=5 1 a,所以g(x)∈[5-2a,5-a],由题 意，{881→3≤a≤4，D 答案：[2，十） 正确.门 跟踪训练1.B2.(-4,0] 考点2命题角度1 第3节 1.A2.C3.A 夯实·必备知识必备知识 命题角度2 [典例][解析]由(x一a)(x-a 4.两个不相等两个相等的实数根 无实数根6.得到的交集 1)>0,得x>a十1或xa,由题意， 思考辨析(1)×(2)/ (3)× 得{x-2≤x≤10}{xx>a十1， (4)×(5)/ 或x<a},所以a十1<-2或a>10, 小题查验 即a<-3或a>10. 1.C2.A3.C 4.-25.{(4.5, [答案](-0∞，-3)U(10,+∞) 3.5,8)} 互动探究 跃升·关键能力考点1 解析：由(x-a)(x-a-1)≥0，得x 命题角度1 ≥a十1或x≤a,由题意得{x-2< x<10}{xx≥a十1，或x≤a}.所 解：1)x(x-2-1）=0, 以a十1-2，或a≥10，即a-3, 或a≥10. 答案：(-∞，-3]U[10,十∞) 跟踪训练B 所以x1=0,x2= 受，所以该方粒的 考点3命题角度1 1.D2.C3.B 解集为{0，受} 命题角度2 (2)(x-3)2十2(x-3)=0,(x-3) 1.D2.B3.C4.C (x-3十2)=0， 命题角度3 所以x-3=0或x-1=0, [典例][解析](1)，若“3xo∈ 所以x1=3,x,=1, [22小使得2x-,+1<0成 所以该方程的解集为{3,1} (3)[3(2x+3)+2(2x-5)][3(2x 立”是假命题， 3)-2(2x-5)]=0, 即“3，∈[22]使得>2十 所以(10x一1)(2x十19)=0，所以 10x-1=0或2x十19=0，所以x1= 成立”是假命题， x 1022= 。所以该方程的解集 即等价于“Hx∈ [2]俊得≤ 为编} 2红十成立”是真命题 命题角度2 [典例][解](1)去括号，得4-30 令f(x)=2x十 1 十3y=5y.移项，得3y-5y=30一4. x 合并同类项，得一2y=26.系数化为 由对勾函数可知，当 e[z]时 1,得y=-13. 所以该方程的解集为{-13} f(z 在[]上单递，在 (2)去分母，得 2(2x-1)=(2x+1)-6. （]小上单调培， 去括号，得4x-2=2x十1-6 移项，得4x一2x=1一6十2. 合并同类项，得2x=一3. 当x 时，函数f(x)取最小值， 3 2 系数化为1，得x=一立· 即f(x)in= =2√2， 所以方程的解集为{} ·410· 跟踪训练 解：解方程，4-8=-十2， 3 2 去分母，得 2(x-4)-48=-3(x十2)， 去括号，得2x-8-48=-3x-6, 移项、合并同类项，得5.x=50,系数 化为1，得x=10. 把x=10代入方程4x-(3a+1)= 6x+2a-1, 得4×10-(3a十1)=6×10十2a一 1,解得a=-4. 当a=-4时a-=-4- a 考点2命题角度1 [典例】[解】解不等华式x一号<1， 得<1+受，而不等式x-号<1的 解为<1，所以1十号=1，解得a= 0,所以一元二次方程的根的判别式 △=a2一4=一4<0，所以关于x的一 元二次方程x2十a.x十1=0没有实 数根. 跟踪训练 1.解：△=(-2)2-4×3k=4(1-3k). （1)因为方程有两个不相等的实数 根，所以△>0， 即4(1-3k)>0,所以k<3: .1 (2)因为方程有两个相等的实数根， 所以△=0，即4(1一3k)=0, 所以=子 命题角度2 [典例2][解]△=[-(k+1)]-4× (e+1）=2k-3,4≥0,6≥2 (1)设方程的两个根为x1,2,x1x2 =子2+1=5， k2=16,k=4或k=-4(舍). (2)①若x1≥0，则x1=x2, 4=0,6= 5,+25=0, 方程为x-是x+6 1号>0满足 ②若x1<0,则x1十x2=0, 即k十1=0，k=-1. 与k≥号不符， 所以k≠一1，所以k= 3 21 跟踪训练 2.(1)C(2)-3或9 考点3 [典例](1)[解]设号=￥=音=k (k为常数，k≠0)， 则x=3k,y=4k,之=5k.高考总复习人教数学B版（新教材） 跟踪训练 A.存在集合A,使得n[P(A)]=5 B.若A二B,则P(A)二P(B) (多选)定义一个集合A的所有子集组成的集合 C.若A∩B=⑦，则P(A)∩P(B)=☑ 叫做集合A的幂集，记为P(A),用n(A)表示有 D.若n(A)-n(B)=2,则n[P(A)]=4Xn[P(B)] 限集A的元素个数，给出下列命题，其中正确的 C温馨提 学习至此，请完成配套训练 课时冲关1 命题是 第2节 命题与量词、充分条件与必要条件 ★[课程标准]1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.能正确地对含有 一个量词的命题进行否定.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 夯实，必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 重要结论 1.命题的概念 若p是g的充分（必要）条件，q是r的充分（必要） 可供真假判断的陈述语句就是命题.其中判断为 条件，则p是r的充分（必要）条件，即“p→q且q→ 真的语句称为 ,判断为假的语句称为 r”→“p→r”(“pq且g←=r”→“←r”) 自主诊断 2.充分条件、必要条件与充要条件的概念 ◆[思考辨析] p是q的 ,g是p的 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 D→q 里打“√”，错误的打“X”. (1)命题p的否定是p. () p是q的 条件 p→q且qPp (2)若p是g成立的充分条件，则g是p成立的 p是q的 条件 必要条件. () pPq且q→p (3)若p是g成立的充要条件，则可记为p台g. p是q的 条件 p台q p是q的 条件 pPq且q为p (4)3x∈M,p(x)与Hx∈M,一(x)的真假性相同. ( 3.全称量词和存在量词 (5)“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在 (1)全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈 量词命题， () 述中表示所述事物的全体.用符合“H”表示 (6)“对顶角相等”是全称量词命题. ( ) (2)存在量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在 ◆[小题查验] 陈述中表示所述事物的个体或部分， 1.(教材改编)命题“Hx∈R,ex一1≥x”的否定是 4.全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题 () 的否定 A.3x∈R,e-1≥x 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 B.Vx∈R,er-l≤x C.3x∈R,e-l<x “对集合M 全称量 D.Hx∈R,ex-l<x 中所有元素 词命题 2.(多选)（教材改编）下列命题中为真命题的是 x,r(x)” A.Vx∈R,x2>0 “存在集合 存在量 B.Hx∈R,-1≤sinx≤1 M中所有元 词命题 C.3x∈R,2x<0 素x,s(x)” D.3x∈R,tanx=2 第一章集合与常用逻辑用语、等式与不等式 3.(2022·浙江卷，4)设x∈R,则“sinx=1”是 5.下列命题： “cosx=0”的 ( ①若lg2a>lg2b,则a>b; A.充分不必要条件 ②若sina=sinB,则a=B: B.必要不充分条件 ③“实数a=0”是“直线x-2ay=1和直线2x一 C.充分必要条件 2ay=1平行”的充要条件； D.既不充分也不必要条件 4.(教材改编)若“x>3”是“x>m”的必要不充分条 ④若f(x)=log2x,则f(|x|)是偶函数. 件，则m的取值范围是 其中正确命题的序号是 跃升>关键能力 层级突破素养提升 考点1) 命题真假的判断（重难点） C.若Hx1∈[1,2]，Hx2∈R,使得f(x1)> [典例](1)（多选）(2024·山东省高三模拟)下列 g(x2)恒成立，则a>6 D.若Hx1∈[1,2]，了x2∈[0,1]，使得f(x1)= 结论正确的是 g(x2)成立，则3≤a≤4 A.若tana=2,则cos2a=3 [尝试解答](1) (2) 5 (3) B.若sina十eos月=1，则sin2a十cos2g≥号 方法指导 命题真假的判断方法 C.“3xo∈Z,sin xo∈Z”的否定是“Hx∈Z, (1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接 sin xZ” 判断。 D.将函数y=cos2x的图像向左平移于个单位 (2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断. 长度，所得图像关于原点对称 点2充分、必要条件的判断与应用 (2)(多选)(2024·山东省高三模拟)下列命题正 ◆[命题角度]充分、必要条件的判定（基础点） 1.(2024·淄博模拟)“a>b”的一个充分条件是 确的是 ( A.若随机变量X~B(100,p),且E(X)=20,则 A.ea-6>2 BIn分>0 D2x+1-5 C.a4>b的 B.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在 n [0,+∞)上单调递减f(1)=0,则不等式 2.(2023·北京卷)若xy≠0，则“x十y=0”是“义+ f1o)>0的解集为22） 工=一2”的 ) C.已知x∈R,则“x>0”是“|x一1|<1”的充分 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 D.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量 汇考题解读了本题以两个等式为载体设置题目， 线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程 考查逻辑推理，数学探索能力.充分必要条件是高 考命制创新试题的重要载体，它与其他知识结合， 为y=0.3x一m,若样本中心点为(m,一2.8)， 题目具有一定的灵活性，能很好地考查学生的理 则m=4 性思维能力. (3)(多选)已知函数f(x)=- 元，g()=acos2 3.(2024·晋城模拟)设a∈R,则“a>3”是“函数 y=log(x一1)在定义域上为增函数”的（) +5一2a,(a>0).给出下列四个命题，其中是真 A.充分不必要条件 命题的为 B.必要不充分条件 A.若]x∈[1,2]，使得f(x)<a成立，则a>-1 C.充要条件 B.若Hx∈R,使得g(x)>0恒成立，则0<a<5 D.既不充分也不必要条件 ·5。 高考总复习人教数学B版（新教材） 题后反思 方法指导 充分、必要条件的三种判定方法 (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件 或充要条件转化为集合之间的关系，然后根 (1)定义法：根据p→q,q→p是否成立进行 据集合之间的关系列出关于参数的不等式 判断. 求解， (2)集合法：根据p,9成立对应的集合之间的包 (2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若 含关系进行判断· p是一g的充分不必要（必要不充分、充 (3)等价转化法：指对所给题目的条件进行一系 要)条件，则p是q的必要不充分（充分不必 列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必 要、充要)条件 要条件是否成立为止. 跟踪训练 ◆[命题角度2]利用充要条件求参数的取值 已知条件p:4<2<16,条件q:(x+2)·(x+ (范围)（综合点） a)<0,若p是g的充分不必要条件，则a的取值 [典例]已知p:-2≤x≤10，q:(x-a)(x-a一1) 范围为 ( >0,若p是g成立的充分不必要条件，则实数a A.[-4,+∞) B.(-∞，-4) 的取值范围是 C.(-∞，-4] D.(4,+∞) 核心素养 点3全称量词命题与存在量词命题 逻辑推理 充分、必要条件关系中的核心素养 [命题角度1]全称量词命题、存在量词命题的 充分、必要条件问题中常涉及参数取值（范围）问题，直接 真假判断（基础点） 解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化 1.下列命题中的假命题是 为简单、熟悉的问题来解决，充分体现“逻辑推理”的核心素 A.Hx∈R,x2≥0 养，具体见下表： B.Hx∈R,2x-1>0 信息提取 信息解读 逻辑推理 C.3xo∈R,lgxo<1 D.3xoER,sin xo+cos xo-2 p的对应的集 着眼点一：若p是q 2.已知a>0,函数f(x)=a.x2+bx+c,若m满足关于 p:-2x10. 合{x一2≤x≤ 成立的充分不必要条 x的方程2ax+b=0,则下列选项中的命题为假命 q:(x-a)(x-a 10},q的对应的 件，则{z-2≤x≤10} 题的是 ( ) -1)>0 集合{xx>a+ {xlx>a+1,或x<a} A.3xo∈R,f(xo)≤f(m) 1,或x<a} 着眼点二：借助于数轴 B.3xo∈R,f(xo)≥f(m》 {x|一2x 将集合间的基本关系 C.Hx∈R,f(x)≤f(m) b是q成立的充 10}￥{x|x>a 转化为关于实数a的 D.Hx∈R,f(x)≥f(m) 分不必要条件 +1,或x<a} 不等式组 3.下列命题中，真命题是 [尝试解答] A.3m∈[0，]，sino+coso≥2 。[互动探究] B.Hx∈(3，+∞)，x2>2x+1 C.3xo∈R,x6+xo=-1 本例中，若p:-2<x<10,q:(x-a)(x-a-1) ≥0，其他条件不变，则a的取值范围是 D.Yx(小an>sinx ·6 第一章集合与常用逻辑用语、等式与不等式 题后反思 题后反思 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 全称量词命题与存在量词命题的否定与命题的 命题名称 真假 判断方法 判断方法二 否定的区别 全称量词命题与存在量词命题的否定与命题的否 全称量 章 所有对象使命题真 否定为假 定有一定的区别，否定全称量词命题和存在量词命 词命题 假 存在一个对象使命题假 否定为真 题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词， 存在量 真 存在一个对象使命题真 否定为假 存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一 词命题 假 所有对象使命题假 否定为真 般命题的否定只需直接否定结论即可. 提醒：不管是全称量词命题，还是存在量词命 提醒：对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐 题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其 含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命 否定的真假. 题的否定 ◆[命题角度2]含有一个量词的命题的否定 ◆[命题角度3]参数的取值范围问题（综合点） (基础点) 1.已知命题p:了xo∈R,x十2xo十2≤0，则7p为 [典例](1)（多选）若3o∈[合2小，使得26 入xo十1<0成立是假命题，则实数入可能取值是 A.]xo∈R,x6+2x0+2>0 ( B.3xo∈R,x+2xo+2<0 A. B.2√2 C.3 9 D.2 C.Hx∈R,x2+2x+2≤0 D.Hx∈R,x2+2x+2>0 (2)已知f(x)=ln(x2+1),g(x)= -m 2.(2024·浙江杭州校考)命题p：Hx{x1≤x≤ 若对Hx1∈[0,3]，3x2∈[1,2]，使得f(.x1)≥ 5},x2一4x>5,则命题p的否定是 ( g(x2),则实数m的取值范围是 A.ヨx∈{x1≤x≤5}，x2-4x≤5 [尝试解答](1) (2) B.了.xt{xl1≤x≤5}，x2-4x≤5 。[互动探究] C.Hxg{xl1≤x≤5}，x2-4x≤5 若将本例(2)中“了x2∈[1,2]”改为“Hx2∈[1， D.Hx∈{xl1≤x≤5}，x2-4x≤5 2]”,其他条件不变，则实数m的取值范围是 3.(2024·咸阳模拟)已知命题p:“存在xo∈[1，十o∞)， 使得(1og23)x>1”,则下列说法正确的是（) 方法指导 A.7p:“任意x∈[1，十o∞)，使得(1og23)。<1” 对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题， B.7p:“不存在x0∈[1，十o∞)，使得(10g23)'<1” 可根据命题的含义，利用函数值域（或最值） C.p:“任意x∈[1，+∞)，使得(1og23)x≤1” 解决。 D.7p:“任意x∈(-o∞，1)，使得(10g23)x≤1” 跟踪训练 4.若命题p:Vx∈（-受tanx>sin,则命 1.已知命题3xo∈K,使2x6+(a-1Dx0十号<0 题p为 是假命题，则实数a的取值范围是 A3-)am≥sm A.(-∞，-1) B.(-1,3) C.(-3,十∞) D.(-3,1) 2.若命题“对Hx∈R,kx2一kx-1<0”是真命题， C.3ze(-艺受)an<sn 则k的取值范围是 ©温馨提 D.1re（-o,-jU(合+e)m>sn 学习至此，请完成配套训练课时冲关2