专题8.4 二项分布与超几何分布（高效培优讲义）数学苏教版高二选择性必修第二册

本讲义聚焦二项分布与超几何分布核心知识点，从伯努利试验切入构建二项分布模型，涵盖分布列、期望方差计算，再对比超几何分布定义、特征及与二项分布的区别联系，形成完整知识链条。 资料通过题型分类（8类）、典例与变式结合设计，突出数学建模（如创业大赛项目抽取）、数学运算（期望方差求解）素养，课中助教师系统授课，课后变式练习帮学生查漏补缺，强化知识应用。

专题8.4 二项分布与超几何分布 教学目标 1．理解n次独立重复试验模型(n重伯努利试验)及其意义． 2．掌握二项分布、超几何分布的均值、方差的计算公式，并能用其解决一些简单的问题． 3．进一步理解n次独立重复试验的模型及二项分布的特点，了解超几何分布与二项分布的区别与联系，能解决一些较综合的问题． 4．在运用二项分布、超几何分布模型解决问题的过程中，发展数学建模素养；在运用相关公式求概率的过程中，发展数学运算素养． 教学重难点 1.重点 二项分布的数字特征及二项分布的综合应用；超几何分布的理解与应用． 2.难点 二项分布的数字特征及二项分布的综合应用；超几何分布的理解与应用. 知识点01 二项分布 1．伯努利试验 (1)伯努利试验的概念 把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. (2)n重伯努利试验的两个特征 ①同一个伯努利试验重复做n次； ②各次试验的结果相互独立. 2．二项分布 n重伯努利试验中事件A恰好发生k次的概率[2] 一般地，在n重伯努利试验中，每次试验事件A发生的概率均为p(0<p<1)，即P(A)＝p,P()＝1－p＝q.由于试验的独立性，n次试验中，事件A在某指定的k次发生，而在其余(n－k)次不发生的概率为pkqn－k.又由于在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的方式有C 种，所以在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k(0≤k≤n)次的概率为 Pn(k)＝Cpkqn－k,k＝0,1,2,…，n. 它恰好是(p＋q)n的二项展开式中的第k＋1项(这也是二项分布名称的由来)． 定义： 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p). 3．二项分布的期望与方差 一般地，如果X~B(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p). 【即学即练】 1．已知随机变量，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项分布的概率公式即可. 【解析】由题意得 故选：D. 2．（多选）甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为.若某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为，则（  ） A． B． C． D．的最大值为 【答案】AC 【分析】要使甲赢得比赛，则甲至少赢局，进而表达出，结合组合数的公式求解可得，再逐个选项判断即可. 【解析】对于A，若甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局， 所以，故A正确； 对于B，若甲、乙比赛6局甲获胜，则甲在6局比赛中至少胜4局， 所以，故B错误； 对于C，若甲、乙比赛局甲获胜，则甲在局比赛中至少胜局， 所以 ，故C正确； 对于D，因为， 且， 又， 故， 所以递增，所以当时，取得最小值为，故D错误. 故选：AC 知识点02 超几何分布 1．超几何分布 定义： 一般地，若一个随机变量X的分布列为 P(X＝r)＝， 其中r＝0,1,2,3,…，l,l＝min{n,M},则称X服从超几何分布，记为X～H(n,M,N)，并将P(X＝r)＝记为H(r; n, M, N)． 若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np. 注：(1) 明确各参数的含义：N：总体中的个体总数；M：不合格品总数；n：样本容量；r：样本中不合格品数． (2) 超几何分布的特征：①超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数；②考察类型分两类，已知各类对象的个数；③超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型． (3) 超几何分布的概率计算公式给出了求解这类问题的方法，可以直接运用公式求解，但不能机械地记忆公式，要理解公式的意义． 2．“二项分布”与“超几何分布”的区别 有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理. 【即学即练】 1．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（  ） A．将一枚硬币连抛次，记正面向上的次数为 B．某射手的射击命中率为，现对目标射击次，记命中的次数为 C．从男女共名学生干部中选出名学生干部，记选出女生的人数为 D．盒中有个白球和个黑球，每次从中摸出个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 【答案】C 【分析】根据超几何分布的定义逐项判断可得出合适的选项. 【解析】对于A选项，将一枚硬币连抛次，记正面向上的次数为， 则服从二项分布，A不满足； 对于B选项，某射手的射击命中率为，现对目标射击次，记命中的次数为，则服从两点分布，B不满足； 对于C选项，从男女共名学生干部中选出名学生干部，记选出女生的人数为， 则服从超几何分布，C满足； 对于D选项，盒中有个白球和个黑球，每次从中摸出个球且不放回， 记第一次摸出黑球时摸取的次数为，则不服从超几何分布，D不满足. 故选：C. 2．某市今年举办的创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审某领域有8个项目进入最终角逐，其中科技类项目5个，文创类项目3个.从上述8个项目中随机抽取2个进行路演展示. (1)求抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目的概率； (2)记路演展示项目中抽中的科技类项目的个数为，求的分布列. 【答案】(1)； (2)分布列见解析 【分析】（1）至少有一个是文创类项目，可以是一个或者两个文创项目，利用互斥事件加法公式和古典概型公式求解； （2）按照步骤结合超几何分布的性质计算. 【解析】（1）记“抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目”为事件， （2）由题意，的可能取值为. 所以的分布列为 0 1 2 题型01 利用二项分布求分布列 【典例1】旅游是人们为了休闲、商务或其他目的离开自己的常住地，前往其他地方进行的活动．甲、乙、丙三人计划去西安旅游，经过商议他们计划各自从秦始皇兵马俑、华清宫、大唐不夜城、华山、黄河壶口瀑布这五个景点中随机选择两个景点游玩． (1)求甲选择去华清宫游玩，且乙不去华山游玩的概率； (2)记他们选择去大唐不夜城游玩的人数为，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；. 【分析】（1）先求出甲、乙、丙从五个景点中随机选择两个景点游玩的所有选法，再求其中甲选择去华清宫游玩，且乙不去华山游玩的选法数，利用古典概型概率公式求结论； （2）先条件确定的可能取值，，结合二项分布分布列结论求的分布列，再根据二项分布期望公式求期望. 【解析】（1）甲、乙、丙分别从五个景点中随机选择两个景点游玩的所有选法有种选法， 其中甲选择去华清宫游玩，且乙不去华山游玩的选法有种选法， 所以甲选择去华清宫游玩，且乙不去华山游玩的概率； （2）甲选择去大唐不夜城游玩的的概率为， 同理可得乙选择去大唐不夜城游玩的的概率为， 丙选择去大唐不夜城游玩的的概率为， 由已知的可能取值有，，，， 且， 所以， ， ， ， 所以的分布列为 所以的期望. 判断某随机变量是否服从二项分布的关键点： (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. 【变式1】设，且，那么（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二项分布的概率公式代入计算，即可得到结果. 【解析】由二项分布的概率公式可得，所以， 则. 故选：C. 【变式2】（多选）若随机变量服从参数为4，的二项分布，则（  ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据二项分布中概率的计算公式，逐项验证即可。 【解析】由题意，根据二项分布中概率的计算公式，， 则，， ，， ， 因此，，． 故选：BD． 【变式3】设随机变量，若，则p=___________ 【答案】 【分析】根据二项分布的分布列可得，可解问题. 【解析】根据随机变量， 且，可得. 故答案为： 【变式4】建盏为宋代名瓷之一，是中国古代黑瓷的巅峰之作，其采用福建建阳特有的高铁黏土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设建盏烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有建盏6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制建盏的成品率分别为，． (1)求甲烧制的3个建盏中至多有2个成品的概率； (2)设乙烧制的这3个建盏中成品的个数为，求的分布列． 【答案】(1)； (2)分布列见解析 【分析】（1）利用间接法求解； （2）判断X属于二项分布，并求出X的可能取值, 求出每个取值对应的概率，列表即可 【解析】（1）设甲烧制的3个建盏中成品的个数为，则的对立事件为， ，故． （2）由题可知． 的可能取值为0，1，2，3， 所以， ， ， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 3 P 【变式5】某罐中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球． (1)若每次都是不放回地摸球，连续摸两次，求在第二次摸球时摸得红球的条件下，第一次摸球时摸得红球的概率； (2)若每次都是有放回地摸球，连续摸四次，摸得红球记1分，摸得绿球记0分，设四次摸球总得分为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1)； (2)的分布列为 0 1 2 3 4 的数学期望是. 【分析】（1）解法一，利用条件概率公式及全概率公式即可求解； （2）由题意可得，根据二项分布的特征即可求解分布列及数学期望. 【解析】（1）记第一次摸到红球为事件A，第二次摸到红球为事件B. . 所以. 故在第二次摸球时摸得红球的条件下，第一次摸球时摸得红球的概率为. （2）由题可知，每次摸球，摸到红球的概率为，摸到绿球的概率为. 记四次摸球活动中，摸到红球的次数为，则. 因为四次摸球总得分为，所以.所以. 所以， ， ， ， . 所以的分布列为 0 1 2 3 4 所以的数学期望是. 题型02 服从二项分布的随机变量概率最大问题 【典例1】某人射箭命中靶心的概率为，一共射击10次，则命中 次的可能性最大． 【答案】8 【分析】本题为二项分布的典型问题，设出最可能命中的次数为m次，即命中m次的概率最大，列出不等式组，命中m次高于前一次且高于后一次，解不等式取整数即可. 【解析】∵ 射箭命中次数， ∴ ， 设最有可能命中m次，即命中m次的概率最大，则 解得， ∵ ，∴. 故答案为：8. 1.设X~B(n,p)，利用相邻概率比推导临界公式：。计算该值，若为整数，则概率最大时；若非整数，取其整数部分，此时X=k时概率最大。 2.根据结果，计算对应X取值的概率。若整数，验证是否相等且最大；若非整数，验证的概率是否大于相邻值。最终确定概率最大时X的取值。 【变式1】若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（  ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用计算即可. 【解析】由题可知：， 所以化简得到，又，所以2或3. 故选：A. 【变式2】如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，则小球落入（  ）号格子的概率最大. A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用n次独立重复试验中，小球掉入号格子的概率为，设小球掉入k号格子的概率最大，则，再利用组合数公式，结合题目已知条件进行求解. 【解析】小球下落需要10次碰撞，每次向左落下的概率为，向右下落的概率为， 小球掉入0号格子，需要向左10次，则概率为； 小球掉入1号格子，需要向左9次，向右1次，则概率为； 小球掉入2号格子，需要向左8次，向右2次，则概率为； 小球掉入3号格子，需要向左7次，向右3次，则概率为； 依此类推，小球掉入号格子，需要向左次，向右k次，概率为， 设小球掉入k号格子的概率最大，显然， 则，即， 即 解得， 又k为整数，， 则小球落入7号格子的概率最大. 故选：C. 【变式3】为研究不同性别学生对“deep seek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deep seek”，“学生为女生”，据统计， ，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解deep seek的学生的人数为X，则当取得最大值时的（）值为（  ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【分析】先根据条件概率公式求得，然后根据二项分布概率公式构造不等式组，求解即可. 【解析】已知， ，抽取男生和女生各50名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令，解得， 因为，所以当时，取得最大值. 故选：B 【变式4】（多选）若随机变量，记为恰好发生k次（）的概率，下列说法正确的有（  ） A． B． C． D．当或6时，取得最大值 【答案】ABC 【分析】根据二项分布的概率公式，即可判断AB；根据概率公式，化简，再根据二项式定理，求得公式，利用赋值法，即可判断C；根据不等式且，即可判断D. 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，，， 即，故B正确； 对于C，， ， ，两边求导数， ， 令，得， ，故C正确； 对于D，设最大，则，得， 即当时，取得最大值，故D错误. 故选：ABC 【变式5】某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为____________- 【答案】8 【分析】由题知抽到消费超过200元的人数，，则，再利用组合数的性质求最大值即可. 【解析】由题知抽到消费超过200元的人数，， 则，又这20人中有人消费超过200元的概率最大， 所以， 即，解得， 又，所以. 故答案为：8. 【变式6】某校在一次“二项分布的性质”为主题的探究活动中，该校数学第一小组的学生同学表现优异，探究数学的奥秘.设随机变量，记，在探究的最大值时，小组同学发现：当为正整数，则，，此时这两项概率均为最大值；当为非整数，取的整数部分，是唯一的最大值.以此为理论依据，有同学重复投掷一枚大小均匀的骰子实时记录点数6出现的次数.当投掷第20次时，记录到此时点数6出现5次，再进行80次投掷实验，当投掷到100次时，点数6总共出现的次数为 的概率最大. 【答案】18 【分析】直接根据服从二项分布，结合取整数部分可得后面80次出现点数6的次数为13概率最大，从而得解. 【解析】继续再进行80次投掷试验，出现点数为6次数服从二项分布， 由，结合题中结论可知，时概率最大， 即后面80次中出现13次点数6的概率最大， 加上前面20次中的5次，所以出现18次的概率最大. 故答案为：18. 【变式7】甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往的训练数据可知，甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，各次投篮互不影响．现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投2个球，每投进一个球记1分，不投进记分． (1)求甲在一个轮次投篮结束后的得分不大于0的概率； (2)记甲、乙每轮次投篮得分之和为X． ①求； ②若，则称该轮次为一个“成功轮次”．在连续轮次的投篮活动中，记“成功轮次”的数量为Y，当n为何值时，的值最大？ 【答案】(1)；(2)①；②或或． 【分析】（1）将问题转化成甲在一轮投篮中至多命中一次，再利用对立事件和相互独立事件同时发生的概率公式，即可求解； （2）①由条件可得，再结合独立重复试验概率公式及互斥事件概率加法公式求结论； ②根据条件，得到，再由为不等式组的解，即可求. 【解析】（1）甲在一轮投篮结束后的得分不大于，即甲在一轮投篮中至多命中一次， 所以甲在一轮投篮结束后的得分不大于的概率为. （2）①． ②由①知，由题知， 所以， 由， 得到且， 整理得到，即， 得到，所以， 由题有，所以，得到，又， 所以或或. 题型03 二项分布的均值与方差及其应用 【典例1】（多选）随机变量，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由题意求出，再根据二项分布分别求出，和判断即可 【解析】根据随机变量，且，根据二项分布的性质， 可得，计算得，故A正确； 根据二项分布的期望和方差公式，可得，，故B正确，C错误； 由二项分布可知，故D错误. 故选：AB. 【变式1】已知随机变量，满足，若，则，分别为（  ） A．6，2.4 B．6，5.6 C．2，2.4 D．2，5.6 【答案】C 【分析】根据二项分布的期望与方差公式求出随机变量的期望与差，再根据期望与方差的性质即可得解. 【解析】解：∵， ∴，． ∵，∴， ∴，． 故选：C． 【变式2】（多选）设随机变量，，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由概率的性质及二项分布概率公式有，求得，再应用二项分布期望、方差公式、概率公式判断各项正误. 【解析】由，则，可得， 所以，， . 故选：ABD 【变式3】小明射击三次，每次射中的概率均为，且每次射击互不影响，射中一次得5分，没射中得0分，若射击三次后总得分为，则____________ 【答案】18 【分析】设小明射中的次数为，得到，求得，结合，结合方差的性质，即可求得的值，得到答案. 【解析】设小明射中的次数为， 因为每次射击互不影响，且每次射中的概率均为，所以随机变量， 则，， 又因为射中一次得5分，没射中得0分，所以，则． 故答案为：18. 【变式4】一台仪器每启动一次都会随机地出现一个3位的二进制数，其中的各位数中，出现0的概率为，出现1的概率为．若启动一次出现的二进制数为，则称这次试验成功．若成功一次得2分，失败一次得分，则81次这样的独立重复试验的总得分的数学期望为___________- 【答案】 【分析】由题可求出试验成功的概率，再利用二项分布及其期望的性质可求. 【解析】根据题意一次试验成功的概率为， ∴次重复试验中成功次数服从二项分布， 故， 总得分， 故， 故答案为：. 题型04 建立二项分布模型解决实际问题 【典例1】某区为推进教育数字化转型，通过聚合区域学校的教育资源，依托AI技术搭建了区域智慧题库系统，形成了“通识过关—综合拓展—创新提升”三层动态原库，且三层题量之比为，设该题库中任意1道题被选到的可能性都相同. (1)现有4人参加一项比赛，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答，求这4人中至少有2人的选题来自层的概率； (2)现采用分层随机抽样的方法，使用智能组卷系统从该题库中选取12道题生成试卷，若某老师要从生成的这份12道题的试卷中随机选取3道题做进一步改编，记该老师选到层题的题数为，求的分布与期望． 【答案】(1)；(2)分布列见解析， 【分析】（1）先求出在层选题的概率和不在层选题的概率，再结合题意得到，最后利用二项分布概率公式求解即可. （2）先依据题意求出在层最多抽到7道，再求出对应概率，进而求出分布列和数学期望即可. 【解析】（1）因为三层题量之比为， 所以在层选题的概率为，不在层选题的概率为， 设至少2人的选题来自层的概率为，从层选题数量为， 由题意得，而二项分布概率公式为， 则至少2人的选题来自层的概率为， 故. （2）因为三层题量之比为， 所以在层最多抽到7道，且可取， 则， ， 其分布列为 X P 所以期望. 1.分析实际问题，确定n（独立试验次数）、定义“成功”事件（如达标、中奖），计算p（单次成功概率）。验证是否满足二项分布三条件：n次独立重复、仅两结果、p恒定。满足则设X为成功次数，得X~B(n,p)。 2.根据问题求具体概率（如P(X=k)）或最值，代入二项分布概率公式计算。若求概率最大的k值，用临界值判断。最后结合实际意义解释结果，完成问题解答。 【变式1】在某次环保知识竞赛中，已知小敏答对一题的概率均为，且每次答题是否正确互相独立．若小敏连续回答三题，记事件A为“至少答对两题”，事件B为“第三次答题正确”，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用二项分布的概率求法求，再求答对2个题且第三次答题正确的概率，最后应用条件概率公式求概率. 【解析】由题设，小敏答对的个数，则， 对于时，第三次答题正确，则前两个题答对一个，故， 所以， 所以. 故选：C 【变式2】甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分甲乙出牌的张数和甲乙胜负情况结合古典概率和二项分布讨论. 【解析】甲乙每次出牌1张，若两人出牌的点数都是偶数或都是奇数，则平局， 所以平局的概率， 若甲胜，则结果有、、、、、、、、，共9种， 所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为， 各出牌4次后停止游戏，若4次全平局，概率为； 若平局2次，则最后1次不能是平局， 另外2次甲全胜或乙全胜，概率为， 若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，概率为， 所以. 故选：. 【变式3】春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差，，则 ． 【答案】 【分析】由题意可知：，且，从而可得值． 【解析】由题意可知： ∴，即, ∴ 故答案为： 【变式4】小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红灯的概率是．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立． (1)若小李下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率． (2)假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：min）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由． 【答案】(1) (2)小李应选择路线1，理由见解析. 【分析】（1）记小李在路上遇到红灯为事件，小李在第一个路口遇到红灯为事件，由题意可得，进而由条件概率公式可求结果； （2）分别求得条路线的情况下的数学期望，设路线累计增加时间的随机变量为，则，可求期望，路线累计增加时间的随机变量为，则的所有可能取值为，进而求得，，进而求得期望，比较可得答案. 【解析】（1）记小李在路上遇到红灯为事件，小李在第一个路口遇到红灯为事件， ，则， 则小李在路上遇到了红灯的情况下，小李在第一个路口就遇到了红灯的概率为； （2）设路线累计增加时间的随机变量为，则，所以， 设路线第个路口遇到红灯为事件，则， 设路线累计增加时间的随机变量为，则的所有可能取值为， 则， ，所以． 因为，所以为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间的期望最小， 小李应选择路线． 题型05 超几何分布的判断 【典例1】下列随机事件中的随机变量 服从超几何分布的是（  ）． A．将一枚硬币连抛 3 次，记正面向上的次数为 B．盒中有 4 个白球和 3 个黑球，每次从中摸出 1 个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 C．某射手的射击命中率为 0.8 ，现对目标射击 1 次，记命中的次数为 D．从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数为 【答案】D 【分析】由超几何分布的定义分别判断各个选项即可. 【解析】对于A，将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数服从二项分布，A不是； 对于B，盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，第一次摸出黑球时的总次数不是超几何分布，B不是； 对于C，某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为服从两点分布，C不是； 对于D，从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数服从超几何分布，D是. 故选：D 超几何分布的应用： (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数. 超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列. (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型. 【变式1】下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（  ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 【答案】B 【分析】由超几何分布的定义分别判断各个选项即可． 【解析】对于A:将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X,是二项分布，A选项错误； 对于B:从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X,是超几何分布，B选项正确； 对于C:某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X,是两点分布，C选项错误； 对于D:盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数,不是超几何分布，D选项错误. 故选：B. 【变式2】（多选）下列关于超几何分布的命题中正确的命题是（  ）． A．超几何分布的模型是不放回抽样 B．超几何分布里的总体可以有两类或三类特点 C．超几何分布中的参数是 D．超几何分布的总体往往是由差异明显的两部分组成的 【答案】ACD 【分析】根据超几何分布的定义判断各个选项. 【解析】对于A，由超几何分布的定义，超几何模型为不放回抽样，A对； 对于BCD，超几何分布实质上就是有总数为件的两类物品，其中一类有件，从所有物品中任取件，这件中所含这类物品的件数是一个离散型随机变量，根据超几何分布的定义，超几何分布里的总体有两类特点，B错，CD对. 故选：ACD． 【变式3】（多选）下列随机变量中，服从超几何分布的有(    ) A．抛掷三枚骰子，向上面的点数是6的骰子的个数X B．有一批种子的发芽率为70％，任取10颗种子做发芽试验，试验中发芽的种子的个数X C．盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球，任取3个球，不是红球的个数X D．某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生的人数X 【答案】CD 【分析】判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点： (1)总体是否可分为两类明确的对象； (2)是不是不放回抽样； (3)随机变量是不是样本中其中一类个体的个数. 据此逐项分析判断即可. 【解析】AB是重复试验问题，服从二项分布，不服从超几何分布，故AB不符题意； CD符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，服从超几何分布. 故选：CD. 题型06 求超几何分布的概率 【典例1】一个袋子中装有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从中一次性随机摸出个球，用表示这个球中白球的个数，则下列概率中等于的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知表示从这个球中随机摸个球，至少有个白球的摸法种数，结合古典概型的概率公式即可得出结果. 【解析】一个袋子中装有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从中一次性随机摸出个球， 则表示从这个球中随机摸个球，表示从个红球中摸出个球， 则表示从这个球中随机摸个球，至少有个白球的摸法种数， 所以. 故选：C. (1)求超几何分布的分布列 ①判断随机变量是不是服从超几何分布； ②套用超几何分布中的概率公式，注意理解公式中各量的意义. (2)分析问题，确定总体个数N、总体中“成功”元素个数M、抽取个数n。定义随机变量X为“抽取的n个元素中成功元素的个数”，明确X的可能取值，确认符合超几何分布特征。 (3)用超几何分布概率公式，依次计算X所有可能取值的概率。以表格呈现分布列：第一行写X的取值，第二行对应写各取值的概率，验证概率和为1确保正确。 【变式1】一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合超几何分布分析求解即可. 【解析】从10个零件中抽取3个的总方式数为； 不合格零件有3个，从中选1个的方式数为 ， 合格零件有7个，从中选2个的方式数为 ， 根据分布乘法计数原理，恰好1个不合格的总方式数为； 根据古典概型得. 故选：B 【变式2】一个袋子中装有5个白球，3个黑球，从中任选4个球，取到一个白球得1分，取到一个黑球得3分，设得分为随机变量，则为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合组合、古典概型的概率公式，超几何分布，由进行求解即可. 【解析】由题意，从中任选4个球，除取到4个白球得4分外，其他取法的得分都不小于6， 故. 故选：C. 【变式3】（多选）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列说法中正确的是（  ） A．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的总得分，则服从超几何分布 B．若表示取出的黑球的个数，则服从超几何分布 C．若表示取出白球的个数，则 D．若表示取出黑球的个数，则 【答案】BD 【分析】AB选项，根据超几何分布的定义判断；CD选项，根据超几何分布的概率公式计算. 【解析】A，B均根据超几何分布的定义可得，故A错，B正确； C中， ，故C错误； D中，，故D正确． 故选：ABD. 【变式4】某班班主任为了解班级学生每周的体育锻炼情况进行了调查，发现班级中有20人每周的体育锻炼时长超过6小时，若从班级学生中随机抽取的15人中有7人每周的体育锻炼时长超过6小时，估计班级学生的总人数为 ．（记为抽取的每周的体育锻炼时长超过6小时的学生人数，以使得最大的班级学生的总人数为估计值） 【答案】42 【分析】求使得最大时的，记，以判断 的单调性及最大值得解. 【解析】设班级学生的总人数为，且，则， 记，则， 易得， 由可得， 所以当时，，当时，， 所以的最大值在时取到， 所以估计班级学生的总人数为42人． 故答案为：42. 【变式5】某市共有10所重点大学可供考生选择，其中3所为985高校，5所为211高校，另外2所为特色专业高校．一位考生准备从这10所高校中随机选择4所进行志愿填报，每所高校被选中的概率相同． (1)求该考生恰好选到2所985高校的概率； (2)若该考生选到985高校的数量为，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】(1)；(2)分布列见解析， 【分析】（1）先求出从10所高校中任取4所的总数，再求出恰有2所985高校的取法，再用古典概型的概率公式计算即可； （2）先分析出该考生选到985高校的个数取值为0，1，2，3，再利用超几何分布计算出取不同值时的概率，进而列出分布列，求出数学期望. 【解析】（1）从10所高校中，任取4所，共有种取法， 恰有2所985高校的取法为：， 该考生恰好选到2所985高校的概率为； （2）设为该考生选到985高校的个数，则的取值为0，1，2，3． ， ， ， ， 则 0 1 2 3 . 题型07 超几何分布的均值与方差及其应用 【典例1】为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名、从这10名导游中随机选择4人参加比赛． (1)设A为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A发生的概率； (2)设ξ为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望 【答案】(1); (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）根据组合数的计算以及古典概型概率问题的计算公式求得事件发生的概率； （2）由题意得的所有可能取值为0，1，2，3，4，然后根据超几何分布的知识求出相应的概率，从而可求得分布列和数学期望. 【解析】（1）由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法， 当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法， 则； （2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4， ，， ，， ， 随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 随机变量的数学期望为 . 【变式1】若随机变量服从超几何分布，则（  ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】根据超几何分布计算，然后利用期望的性质计算. 【解析】因为服从超几何分布，所以， 所以. 故选：C. 【变式2】已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布，求出对应的概率，根据数学期望，方差的公式及性质计算即可． 【解析】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布， 故 所以 ， ， 故选：D． 【变式3】一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的数学期望是___________ 【答案】 【分析】由题意可知可取，然后利用超几何分布公式求出相应的概率，从而求解出期望. 【解析】由题意知， 则，，． 所以．故A正确. 故答案为：. 【变式4】一个袋中装有大小相同的球，其中红球5个，黑球3个.现从中随机摸出3个球. (1)求至少摸到一个红球的概率； (2)求摸到黑球的个数的分布列、均值. 【答案】(1)；(2)分布列见解析， 【分析】（1）根据对立事件的概率公式求解; （2）根据超几何分布的分布列及其均值的求法求解. 【解析】（1）由题可知,没有摸到红球的概率是, 所以至少摸到1个红球的概率为. （2）由题意知，服从参数的超几何分布，的可能取值为， 则， ，， ，， 的分布列为 0 1 2 3 所以    【变式5】某大学的武术协会有10名同学，成员构成如下表所示.表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为. 性别 中文 数学 英语 体育 男 1 1 女 1 1 1 1 现从这10名同学中随机选取3名同学参加该市的武术比赛（每名同学被选到的可能性相等）. (1)求、的值； (2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率； (3)设为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量的分布列、均值及方差. 【答案】(1)，；(2)；(3)分布列见解析， 【分析】（1）先根据已知列方程算出，进一步可得； （2）根据古典概型概率计算公式即可求解； （3）由超几何分步的概率公式，可得分布列，进一步得均值、方差公式. 【解析】（1）由题意得  解得. 由，得解得. （2）所求的概率为 . （3）由已知，这10名同学中是女生或者专业为数学的人数为7，Y的可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 均值为， 方差为. 题型08 二项分布与超几何分布的综合应用 【典例1】2025年6月14日，我国成功发射了电磁监测卫星“张衡一号”02星，此举标志着我国在地球物理场空间观测领域的探测能力实现了重大突破.为培育学生的航天精神，某校特地组织了航天知识竞赛活动.竞赛共有、两类试题，每类试题各有5道题，其中每答对1道类试题得5分，每答对1道类试题得10分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽取3道作答（每道试题抽后不放回）.已知某同学类试题中有3道能答对类试题中每道题答对的概率均为. (1)若该同学只在类试题中抽取3道作答，设表示该同学作答这3道试题的总得分，求的分布列和数学期望； (2)若该同学在类试题中抽取1道，在类试题中抽取2道作答，当时，求他在这次竞赛中仅答对1道试题的概率； (3)若该同学在类试题中只抽取2道比抽取3道作答的总得分的期望值高，求的取值范围. 【答案】(1)分布列见解析，期望为9; (2); (3) 【分析】（1） 根据超几何分布计算概率及分布列进而得出数学期望； （2）应用独立重复实验概率公式计算求解； （3）应用独立事件概率乘积公式计算结合二项分布数学期望计算求解. 【解析】（1）由题知，的可能取值为，，， 则，，， 所以的分布列为： 所以； （2）记“该同学仅答对道题”为事件， 则， 所以该同学在这次竞赛中仅答对道题的概率为； （3）设为该同学在类试题中只抽取道作答的总得分， 则的可能取值为，，，，，， 则， ， ， ， ， ， 所以， 设为该同学在类试题中抽取道作答答对的题数，为总得分， 则， 所以，， 因为，所以，解得， 所以的取值范围是. 【变式1】盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据二项分布求，根据超几何分布求，即可得结果. 【解析】由题意可知：，则， 且Y的可能取值为0，1，2， 则， 可得， ， 所以，. 故选：B. 【变式2】一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用超几何分布和二项分布知识分别计算从中随机地无放回摸出3个球、从中随机地有放回摸出3个球的期望、方差，再做比较可得答案． 【解析】试验一：从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为， 则的可能取值是0，1，2，3， 则， ，， 故随机变量的概率分布列为： 0 1 2 3 则数学期望为：， 方差为：； 试验二：从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为， 则， 故，， 故，． 故选：A． 【变式3】已知在10件产品中有4件次品，分别采取有放回和不放回的方式随机抽取3件，设抽取的3件产品中次品数为，试写出的分布列． 【答案】答案见解析 【分析】根据给定条件，按有放回和无放回分别求出的分布列. 【解析】若采用有放回抽样，的可能取值为0，1，2，3， 则服从二项分布，即，其分布列为，； 若采用不放回抽样，的可能取值为0，1，2，3， 表示“取出的3件产品中恰有件次品”，， 从4件次品中取出件，再从6件正品中取出件，共有种取法， 所以的分布列为，． 【变式4】高三某班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同，现依次从中摸出5个球．规定摸到4个红球，1个白球的就中一等奖． (1)若摸出后放回，求中一等奖的概率； (2)若摸出后不放回，①求中一等奖的概率；②若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率． 【答案】(1); (2)①；② 【分析】（1）摸出后放回，则相当于做了5次重复试验，由此可知摸到的球服从二项分布，据此可以求解; （2）摸出后不放回，则摸到的球服从超几何分布，根据超几何分布的概率分布列计算即可. 【解析】（1）若摸出后放回，设摸到白球的个数为，则， 中一等奖的概率为． （2）若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，表示取到的红球数，则服从超几何分布， ①由公式得，， 所以中一等奖的概率为． ②的可能取值为0，1，2，3，4，5， 根据公式可得至少摸到3个红球的概率为 ， 故中奖的概率约为． 【变式5】某机构历年的招聘笔试题皆由某公司命制，试题设计了12道单选题和4道多选题，其中单选题每道答对得5分，不答或答错得0分，多选题每道答对得10分，不答或答错得0分.小张拟参加该机构今年的招聘笔试，他搜集到该机构的往届笔试招聘试题，发现答对一道单选题和多选题的概率分别为0.8和0.6.假设该机构今年的笔试试题难度与往年相当. (1)假设该机构从今年命制好的试题中一次性随机抽取3道请内部员工试做，求抽到2道单选题的概率； (2)假设小张在参加今年的招聘考试时先随机选取了3道不同的题初试牛刀，以增添考试的信心.若所选的3道试题全部答对，求在3道试题的得分不低于25分的条件下，他选到3道多选题的概率； (3)设该机构今年的笔试分数线为70分，试从概率论的角度判断小张今年能否通过笔试，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)能，理由见解析. 【分析】（1）由超几何分布的概率公式求概率； （2）应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求相关概率，再由条件概率公式求目标概率； （3）设为单选题答对个数，，为多选题答对个数，，通过题意分析，应用独立事件的概率求法依次求出、，、，、，、的对应概率，即可得结论. 【解析】（1）由题设，抽到2道单选题的概率； （2）由题意，3道试题的情况有{2道多选1道单选}、{3道多选}， 所以它们的概率依次为、， 得分不低于25分，即上述两种情况的3道题均答对， 所以、， 综上，在3道试题的得分不低于25分，选到3道多选题的概率； （3）设为单选题答对个数，，为多选题答对个数，， 当时，小张总分不可能达到70分， 当时，，总分刚好70分，且，， 当时，，总分大于等于70分，且， 当时，，总分大于等于70分，且， 而 当时，，总分大于等于70分，， 而 所以，小张所得总分，则. 所以从概率论的角度小张今年能通过笔试. 1．若某地未来连续3天每天下雨的概率均为，则这3天中只有1天下雨的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项分布概率公式求解即可. 【解析】由未来连续3天每天下雨的概率均为，可知这3天中只有1天下雨的概率为：， 故选：A. 2．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷4次，记为“朝上的点数不大于3”出现的次数，则随机变量的方差（  ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，结合二项分布方差公式运算求解. 【解析】因为每次“朝上的点数不大于3”的概率，且连续抛掷4次， 可知，所以. 故选：B. 3．重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有名女性的可能性最大，则的值为（  ） A．8 B．7或8 C．9 D．8或9 【答案】D 【分析】根据二项分布的概率公式列出不等式组，通过组合数公式化简不等式组，进而求解的取值范围，再结合为自然数确定的值． 【解析】若从参加活动的老人中随机抽取14人，且抽到的女性人数为，则， 若抽到名女性的可能性最大，则 即解得， 又，故或9． 故选：D． 4．一批产品共有10个，其中有3个次品．随机抽取2件进行检测，则至少一件是次品的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用超几何分布求出概率结合互斥事件和概率公式计算求解即可. 【解析】设抽取的2个产品中次品数为，则随机变量服从超几何分布，的可能取值有0，1，2， 则，，， ∴至少一件是次品， 故选:C． 5．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意当时，的可能取值为1,3,5，且，根据二项分布的概率公式计算即可求解. 【解析】依题意，当时，的可能取值为1,3,5，且， 所以 . 故选：D． 6．一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由超几何分布的概率公式列方程即可求解. 【解析】依题意可得，即，整理得， 解得或9，因为，所以． 故选：B. 7．（多选）下列说法正确的是（  ） A．随机变量表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数，则随机变量服从二项分布. B．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，表示n次抽取中出现次品的件数（），则随机变量服从二项分布. C．有一批种子的发芽率为，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，则随机变量X服从超几何分布. D．某班级有男生25人，女生20人，选派4名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为X，则随机变量X服从超几何分布. 【答案】ABD 【分析】根据二项分布和超几何分别的特征逐项分析判断即可. 【解析】对于选项A：因为每次概率相同且相互独立，符合n次独立重复性实验， 所以随机变量服从二项分布，故A正确； 对于选项B：因为采用有放回抽取方法，则每次概率相同且相互独立，符合n次独立重复性实验， 所以随机变量服从二项分布，故B正确； 对于选项C：因为每次概率相同且相互独立，符合n次独立重复性实验， 所以随机变量X服从二项分布，故C错误； 对于选项D：因为样本都分为两类，随机变量X表示抽取4名样本中某类样本被抽取的人数， 所以随机变量X服从超几何分布，故D正确； 故选：ABD. 8．（多选）小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛2n（）局，且每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为，则下列结论正确的是（  ） A． B．存在最大值 C． D．随着n的增大而增大 【答案】ACD 【分析】小王至少赢局，小王赢得比赛的概率为，进而逐项判断即可. 【解析】由题意知，要使小王赢得比赛，则小王至少赢局， 因为每局赢的概率是相同的，所以服从二项分布， 由二项分布的概率公式可得赢局的概率为， 赢局的概率为， ， 赢局的概率为， 小王赢的概率为： ， 有，，可知选项A，C正确，选项B错误； 由， ， 可得，故为递增数列，可知D选项正确，B错误. 故选：ACD 9.（多选）某比赛共进行局，每局比赛没有平局，2n局比赛结束后赢得n局以上的一方获胜.甲、乙进行该比赛，已知甲每局比赛获胜的概率为p，每局比赛的结果相互独立，记甲在该比赛中获胜的概率为，下列结论正确的是（  ） A．若，则 B．若，则当时，最大 C．若，则当时，最小 D．若，则当时，最大 【答案】ABC 【分析】利用独立重复试验的概率公式，结合互斥事件的概率性质判断A；利用条件概率、全概率公式探讨的关系，再赋值计算判断B，C，D即可. 【解析】对于A，，，，故A正确； 当时，记事件“甲在该比赛中获胜”，“第一局甲赢”，“第二局甲赢”， ， 当事件和发生时，要使得甲在该比赛中获胜， 则在后续的局比赛中至少要赢局，则； 当事件发生时，要使得甲在该比赛中获胜， 则在后续的局比赛中赢的局数大于或恰好赢了局， 所以； 当事件发生时，要使得甲在该比赛中获胜， 则在后续的局比赛中赢的局数大于， 可看成事件“在后续的局比赛中赢的局数大于”， 与事件“在后续的局比赛中恰好赢了局”的差事件， 所以， 则 ， 即， 易得，则我们讨论的正负即可， 对于B，若，则，当时，， 即，则当时，最大，故B正确， 对于C，若，则，当时，， 即，则当时，最小，故C正确， 对于D，若，则， 当时，，此时， 当时，，此时， 则当时，最大，故D错误. 故选：ABC 10．甲、乙两人下棋，甲每局获胜的概率为，某天两人进行一场五局三胜的比赛，最终胜者将赢得100元的奖金，不考虑平局.在比分是的情况下，甲应该分 元奖金比较公平． 【答案】 【分析】在比分是的情况下，先求得甲赢的概率，然后乘以100即可得解. 【解析】在比分是的情况下，甲赢的概率是， 故甲应该分元. 故答案为：64.8. 11．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动1个单位.设移动秒后质点所在位置对应的实数为随机变量，则 【答案】 【分析】记质点向右移动的次数为，据题意可得，服从二项分布.分别求得和时对应的的值，由此求得和，从而求得. 【解析】由题意知，质点向左或向右移动1个单位的概率均为，设质点向右移动的次数为，则， 若，则移动6次后质点一共向左移动3次，向右移动3次，所以； 若，则移动6次后质点一共向右移动4次，向左移动2次，所以. 故. 故答案为： 12．某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道题的概率均为，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对道试题的概率为，则当 时，取得最大值. 【答案】13或14 【分析】先得到，利用解不等式即可. 【解析】由题意得，且， 则，即 故又，所以或， 故当或时，取得最大值. 故答案为：13或14. 13．为了激发学生学习数学的兴趣，提高学生的数学素养，合肥八中将举办一次数学文化知识竞赛，共进行4轮比赛，每轮比赛结果互不影响.比赛规则如下：题库中有艺术题和历史题两类问题，每一轮比赛中，参赛者在20分钟内完成艺术题和历史题各2道，若有不少于3道题答对，将获得一枚数学文化奖章，4轮比赛中，获得3枚及以上奖章的同学将进入决赛.甲同学十分喜欢数学，积极报名参加竞赛. (1)若一轮比赛中题库有5道艺术题和5道历史题，其中甲会2道艺术题，4道历史题，老师随机各抽取2道，求甲同学在这一轮比赛中答对1道艺术题，2道历史题的概率； (2)若每道艺术题甲答对的概率为，历史题答对的概率为.为提高参赛成绩，甲进行了赛前突击，使得艺术题和历史题答对的概率共增加了0.3，记增加后答对艺术题概率为（），答对历史题概率为（）； ①求提高后甲在一轮比赛中获得奖章的概率（用，表示）； ②以4轮比赛甲获得奖章的个数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛. 【答案】(1)0.36； (2)①；②预测该同学不能进入决赛. 【分析】（1）根据超几何分布概率公式计算； （2）①由4题全对，或只错一个艺术题，或只错一个历史题可得；②求出提高后甲在一轮比赛中获得奖章的概率，利用甲获得奖章的个数，求得期望，再确定其取值与3比较后可得. 【解析】（1）由题意； （2）①甲在一轮比赛中获得奖章，4题全对或只错1题，概率为， 又， 所以； ②由题意知4轮比赛甲获得奖章的个数， 所以， 其中， 又，所以， 所以， 设， 又在时是减函数，所以， 所以预测该同学不能进入决赛. 14．有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． (1)若， （i）求随机变量Y的分布列和数学期望： （ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． (2)若，求当取得最大值时的k值，并说明理由． 【答案】(1)（i）分布列见解析，；（ii），，；(2)，理由见解析. 【分析】（1）（i）根据题设有Y可取0，1，2，3，4，应用超几何分布求对应概率并写出分布列，进而求期望；（ii）应用二项分布模型求新规则下随机变量的分布列，进而求期望，比较期望的大小； （2）由独立重复试验的概率求法及不等式法求概率最大时对应参数值即可. 【解析】（1）（i）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立， Y可取0，1，2，3，4，， ， Y服从超几何分布，Y的分布列为： Y 0 1 2 3 4 P ，所以； （ⅱ）由题意得游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖， 在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为， 对于有放回摸球，各次试验的结果互相独立，， 则 ， 故， 由（i）可知， 因为，所以； （2）当，则，若最大，则， 即，得，又， ，即时，取得最大值． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.4 二项分布与超几何分布 教学目标 1．理解n次独立重复试验模型(n重伯努利试验)及其意义． 2．掌握二项分布、超几何分布的均值、方差的计算公式，并能用其解决一些简单的问题． 3．进一步理解n次独立重复试验的模型及二项分布的特点，了解超几何分布与二项分布的区别与联系，能解决一些较综合的问题． 4．在运用二项分布、超几何分布模型解决问题的过程中，发展数学建模素养；在运用相关公式求概率的过程中，发展数学运算素养． 教学重难点 1.重点 二项分布的数字特征及二项分布的综合应用；超几何分布的理解与应用． 2.难点 二项分布的数字特征及二项分布的综合应用；超几何分布的理解与应用. 知识点01 二项分布 1．伯努利试验 (1)伯努利试验的概念 把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. (2)n重伯努利试验的两个特征 ①同一个伯努利试验重复做n次； ②各次试验的结果相互独立. 2．二项分布 n重伯努利试验中事件A恰好发生k次的概率[2] 一般地，在n重伯努利试验中，每次试验事件A发生的概率均为p(0<p<1)，即P(A)＝p,P()＝1－p＝q.由于试验的独立性，n次试验中，事件A在某指定的k次发生，而在其余(n－k)次不发生的概率为pkqn－k.又由于在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的方式有C 种，所以在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k(0≤k≤n)次的概率为 Pn(k)＝Cpkqn－k,k＝0,1,2,…，n. 它恰好是(p＋q)n的二项展开式中的第k＋1项(这也是二项分布名称的由来)． 定义： 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p). 3．二项分布的期望与方差 一般地，如果X~B(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p). 【即学即练】 1．已知随机变量，则（  ） A． B． C． D． 2．（多选）甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为.若某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为，则（  ） A． B． C． D．的最大值为 知识点02 超几何分布 1．超几何分布 定义： 一般地，若一个随机变量X的分布列为 P(X＝r)＝， 其中r＝0,1,2,3,…，l,l＝min{n,M},则称X服从超几何分布，记为X～H(n,M,N)，并将P(X＝r)＝记为H(r; n, M, N)． 若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np. 注：(1) 明确各参数的含义：N：总体中的个体总数；M：不合格品总数；n：样本容量；r：样本中不合格品数． (2) 超几何分布的特征：①超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数；②考察类型分两类，已知各类对象的个数；③超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型． (3) 超几何分布的概率计算公式给出了求解这类问题的方法，可以直接运用公式求解，但不能机械地记忆公式，要理解公式的意义． 2．“二项分布”与“超几何分布”的区别 有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理. 【即学即练】 1．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（  ） A．将一枚硬币连抛次，记正面向上的次数为 B．某射手的射击命中率为，现对目标射击次，记命中的次数为 C．从男女共名学生干部中选出名学生干部，记选出女生的人数为 D．盒中有个白球和个黑球，每次从中摸出个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 2．某市今年举办的创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审某领域有8个项目进入最终角逐，其中科技类项目5个，文创类项目3个.从上述8个项目中随机抽取2个进行路演展示. (1)求抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目的概率； (2)记路演展示项目中抽中的科技类项目的个数为，求的分布列. 题型01 利用二项分布求分布列 【典例1】旅游是人们为了休闲、商务或其他目的离开自己的常住地，前往其他地方进行的活动．甲、乙、丙三人计划去西安旅游，经过商议他们计划各自从秦始皇兵马俑、华清宫、大唐不夜城、华山、黄河壶口瀑布这五个景点中随机选择两个景点游玩． (1)求甲选择去华清宫游玩，且乙不去华山游玩的概率； (2)记他们选择去大唐不夜城游玩的人数为，求的分布列与期望． 判断某随机变量是否服从二项分布的关键点： (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. 【变式1】设，且，那么（  ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）若随机变量服从参数为4，的二项分布，则（  ） A． B． C． D． 【变式3】设随机变量，若，则p=___________ 【变式4】建盏为宋代名瓷之一，是中国古代黑瓷的巅峰之作，其采用福建建阳特有的高铁黏土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设建盏烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有建盏6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制建盏的成品率分别为，． (1)求甲烧制的3个建盏中至多有2个成品的概率； (2)设乙烧制的这3个建盏中成品的个数为，求的分布列． 【变式5】某罐中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球． (1)若每次都是不放回地摸球，连续摸两次，求在第二次摸球时摸得红球的条件下，第一次摸球时摸得红球的概率； (2)若每次都是有放回地摸球，连续摸四次，摸得红球记1分，摸得绿球记0分，设四次摸球总得分为，求的分布列与数学期望． 题型02 服从二项分布的随机变量概率最大问题 【典例1】某人射箭命中靶心的概率为，一共射击10次，则命中 次的可能性最大． 1.设X~B(n,p)，利用相邻概率比推导临界公式：。计算该值，若为整数，则概率最大时；若非整数，取其整数部分，此时X=k时概率最大。 2.根据结果，计算对应X取值的概率。若整数，验证是否相等且最大；若非整数，验证的概率是否大于相邻值。最终确定概率最大时X的取值。 【变式1】若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（  ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 【变式2】如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，则小球落入（  ）号格子的概率最大. A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3】为研究不同性别学生对“deep seek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deep seek”，“学生为女生”，据统计， ，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解deep seek的学生的人数为X，则当取得最大值时的（）值为（  ） A．14 B．13 C．12 D．11 【变式4】（多选）若随机变量，记为恰好发生k次（）的概率，下列说法正确的有（  ） A． B． C． D．当或6时，取得最大值 【变式5】某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为____________- 【变式6】某校在一次“二项分布的性质”为主题的探究活动中，该校数学第一小组的学生同学表现优异，探究数学的奥秘.设随机变量，记，在探究的最大值时，小组同学发现：当为正整数，则，，此时这两项概率均为最大值；当为非整数，取的整数部分，是唯一的最大值.以此为理论依据，有同学重复投掷一枚大小均匀的骰子实时记录点数6出现的次数.当投掷第20次时，记录到此时点数6出现5次，再进行80次投掷实验，当投掷到100次时，点数6总共出现的次数为 的概率最大. 【变式7】甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往的训练数据可知，甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，各次投篮互不影响．现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投2个球，每投进一个球记1分，不投进记分． (1)求甲在一个轮次投篮结束后的得分不大于0的概率； (2)记甲、乙每轮次投篮得分之和为X． ①求； ②若，则称该轮次为一个“成功轮次”．在连续轮次的投篮活动中，记“成功轮次”的数量为Y，当n为何值时，的值最大？ 题型03 二项分布的均值与方差及其应用 【典例1】（多选）随机变量，且，则（  ） A． B． C． D． 【变式1】已知随机变量，满足，若，则，分别为（  ） A．6，2.4 B．6，5.6 C．2，2.4 D．2，5.6 【变式2】（多选）设随机变量，，若，则（  ） A． B． C． D． 【变式3】小明射击三次，每次射中的概率均为，且每次射击互不影响，射中一次得5分，没射中得0分，若射击三次后总得分为，则____________ 【变式4】一台仪器每启动一次都会随机地出现一个3位的二进制数，其中的各位数中，出现0的概率为，出现1的概率为．若启动一次出现的二进制数为，则称这次试验成功．若成功一次得2分，失败一次得分，则81次这样的独立重复试验的总得分的数学期望为___________- 题型04 建立二项分布模型解决实际问题 【典例1】某区为推进教育数字化转型，通过聚合区域学校的教育资源，依托AI技术搭建了区域智慧题库系统，形成了“通识过关—综合拓展—创新提升”三层动态原库，且三层题量之比为，设该题库中任意1道题被选到的可能性都相同. (1)现有4人参加一项比赛，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答，求这4人中至少有2人的选题来自层的概率； (2)现采用分层随机抽样的方法，使用智能组卷系统从该题库中选取12道题生成试卷，若某老师要从生成的这份12道题的试卷中随机选取3道题做进一步改编，记该老师选到层题的题数为，求的分布与期望． 1.分析实际问题，确定n（独立试验次数）、定义“成功”事件（如达标、中奖），计算p（单次成功概率）。验证是否满足二项分布三条件：n次独立重复、仅两结果、p恒定。满足则设X为成功次数，得X~B(n,p)。 2.根据问题求具体概率（如P(X=k)）或最值，代入二项分布概率公式计算。若求概率最大的k值，用临界值判断。最后结合实际意义解释结果，完成问题解答。 【变式1】在某次环保知识竞赛中，已知小敏答对一题的概率均为，且每次答题是否正确互相独立．若小敏连续回答三题，记事件A为“至少答对两题”，事件B为“第三次答题正确”，则（  ） A． B． C． D． 【变式2】甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（  ） A． B． C． D． 【变式3】春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差，，则 ． 【变式4】小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红灯的概率是．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立． (1)若小李下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率． (2)假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：min）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由． 题型05 超几何分布的判断 【典例1】下列随机事件中的随机变量 服从超几何分布的是（  ）． A．将一枚硬币连抛 3 次，记正面向上的次数为 B．盒中有 4 个白球和 3 个黑球，每次从中摸出 1 个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 C．某射手的射击命中率为 0.8 ，现对目标射击 1 次，记命中的次数为 D．从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数为 超几何分布的应用： (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数. 超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列. (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型. 【变式1】下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（  ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 【变式2】（多选）下列关于超几何分布的命题中正确的命题是（  ）． A．超几何分布的模型是不放回抽样 B．超几何分布里的总体可以有两类或三类特点 C．超几何分布中的参数是 D．超几何分布的总体往往是由差异明显的两部分组成的 【变式3】（多选）下列随机变量中，服从超几何分布的有(    ) A．抛掷三枚骰子，向上面的点数是6的骰子的个数X B．有一批种子的发芽率为70％，任取10颗种子做发芽试验，试验中发芽的种子的个数X C．盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球，任取3个球，不是红球的个数X D．某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生的人数X 题型06 求超几何分布的概率 【典例1】一个袋子中装有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从中一次性随机摸出个球，用表示这个球中白球的个数，则下列概率中等于的是（  ） A． B． C． D． (1)求超几何分布的分布列 ①判断随机变量是不是服从超几何分布； ②套用超几何分布中的概率公式，注意理解公式中各量的意义. (2)分析问题，确定总体个数N、总体中“成功”元素个数M、抽取个数n。定义随机变量X为“抽取的n个元素中成功元素的个数”，明确X的可能取值，确认符合超几何分布特征。 (3)用超几何分布概率公式，依次计算X所有可能取值的概率。以表格呈现分布列：第一行写X的取值，第二行对应写各取值的概率，验证概率和为1确保正确。 【变式1】一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（  ） A． B． C． D． 【变式2】一个袋子中装有5个白球，3个黑球，从中任选4个球，取到一个白球得1分，取到一个黑球得3分，设得分为随机变量，则为（  ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列说法中正确的是（  ） A．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的总得分，则服从超几何分布 B．若表示取出的黑球的个数，则服从超几何分布 C．若表示取出白球的个数，则 D．若表示取出黑球的个数，则 【变式4】某班班主任为了解班级学生每周的体育锻炼情况进行了调查，发现班级中有20人每周的体育锻炼时长超过6小时，若从班级学生中随机抽取的15人中有7人每周的体育锻炼时长超过6小时，估计班级学生的总人数为 ．（记为抽取的每周的体育锻炼时长超过6小时的学生人数，以使得最大的班级学生的总人数为估计值） 【变式5】某市共有10所重点大学可供考生选择，其中3所为985高校，5所为211高校，另外2所为特色专业高校．一位考生准备从这10所高校中随机选择4所进行志愿填报，每所高校被选中的概率相同． (1)求该考生恰好选到2所985高校的概率； (2)若该考生选到985高校的数量为，求随机变量的分布列和数学期望． 题型07 超几何分布的均值与方差及其应用 【典例1】为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名、从这10名导游中随机选择4人参加比赛． (1)设A为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A发生的概率； (2)设ξ为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望 【变式1】若随机变量服从超几何分布，则（  ） A．15 B．16 C．17 D．18 【变式2】已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式3】一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的数学期望是___________ 【变式4】一个袋中装有大小相同的球，其中红球5个，黑球3个.现从中随机摸出3个球. (1)求至少摸到一个红球的概率； (2)求摸到黑球的个数的分布列、均值. 【变式5】某大学的武术协会有10名同学，成员构成如下表所示.表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为. 性别 中文 数学 英语 体育 男 1 1 女 1 1 1 1 现从这10名同学中随机选取3名同学参加该市的武术比赛（每名同学被选到的可能性相等）. (1)求、的值； (2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率； (3)设为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量的分布列、均值及方差. 题型08 二项分布与超几何分布的综合应用 【典例1】2025年6月14日，我国成功发射了电磁监测卫星“张衡一号”02星，此举标志着我国在地球物理场空间观测领域的探测能力实现了重大突破.为培育学生的航天精神，某校特地组织了航天知识竞赛活动.竞赛共有、两类试题，每类试题各有5道题，其中每答对1道类试题得5分，每答对1道类试题得10分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽取3道作答（每道试题抽后不放回）.已知某同学类试题中有3道能答对类试题中每道题答对的概率均为. (1)若该同学只在类试题中抽取3道作答，设表示该同学作答这3道试题的总得分，求的分布列和数学期望； (2)若该同学在类试题中抽取1道，在类试题中抽取2道作答，当时，求他在这次竞赛中仅答对1道试题的概率； (3)若该同学在类试题中只抽取2道比抽取3道作答的总得分的期望值高，求的取值范围. 【变式1】盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（  ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知在10件产品中有4件次品，分别采取有放回和不放回的方式随机抽取3件，设抽取的3件产品中次品数为，试写出的分布列． 【变式4】高三某班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同，现依次从中摸出5个球．规定摸到4个红球，1个白球的就中一等奖． (1)若摸出后放回，求中一等奖的概率； (2)若摸出后不放回，①求中一等奖的概率；②若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率． 【变式5】某机构历年的招聘笔试题皆由某公司命制，试题设计了12道单选题和4道多选题，其中单选题每道答对得5分，不答或答错得0分，多选题每道答对得10分，不答或答错得0分.小张拟参加该机构今年的招聘笔试，他搜集到该机构的往届笔试招聘试题，发现答对一道单选题和多选题的概率分别为0.8和0.6.假设该机构今年的笔试试题难度与往年相当. (1)假设该机构从今年命制好的试题中一次性随机抽取3道请内部员工试做，求抽到2道单选题的概率； (2)假设小张在参加今年的招聘考试时先随机选取了3道不同的题初试牛刀，以增添考试的信心.若所选的3道试题全部答对，求在3道试题的得分不低于25分的条件下，他选到3道多选题的概率； (3)设该机构今年的笔试分数线为70分，试从概率论的角度判断小张今年能否通过笔试，请说明理由. 1．若某地未来连续3天每天下雨的概率均为，则这3天中只有1天下雨的概率为（  ） A． B． C． D． 2．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷4次，记为“朝上的点数不大于3”出现的次数，则随机变量的方差（  ） A．2 B．1 C． D． 3．重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有名女性的可能性最大，则的值为（  ） A．8 B．7或8 C．9 D．8或9 4．一批产品共有10个，其中有3个次品．随机抽取2件进行检测，则至少一件是次品的概率为（  ） A． B． C． D． 5．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（  ） A． B． C． D． 6．一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（多选）下列说法正确的是（  ） A．随机变量表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数，则随机变量服从二项分布. B．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，表示n次抽取中出现次品的件数（），则随机变量服从二项分布. C．有一批种子的发芽率为，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，则随机变量X服从超几何分布. D．某班级有男生25人，女生20人，选派4名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为X，则随机变量X服从超几何分布. 8．（多选）小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛2n（）局，且每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为，则下列结论正确的是（  ） A． B．存在最大值 C． D．随着n的增大而增大 9.（多选）某比赛共进行局，每局比赛没有平局，2n局比赛结束后赢得n局以上的一方获胜.甲、乙进行该比赛，已知甲每局比赛获胜的概率为p，每局比赛的结果相互独立，记甲在该比赛中获胜的概率为，下列结论正确的是（  ） A．若，则 B．若，则当时，最大 C．若，则当时，最小 D．若，则当时，最大 10．甲、乙两人下棋，甲每局获胜的概率为，某天两人进行一场五局三胜的比赛，最终胜者将赢得100元的奖金，不考虑平局.在比分是的情况下，甲应该分 元奖金比较公平． 11．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动1个单位.设移动秒后质点所在位置对应的实数为随机变量，则 12．某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道题的概率均为，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对道试题的概率为，则当 时，取得最大值. 13．为了激发学生学习数学的兴趣，提高学生的数学素养，合肥八中将举办一次数学文化知识竞赛，共进行4轮比赛，每轮比赛结果互不影响.比赛规则如下：题库中有艺术题和历史题两类问题，每一轮比赛中，参赛者在20分钟内完成艺术题和历史题各2道，若有不少于3道题答对，将获得一枚数学文化奖章，4轮比赛中，获得3枚及以上奖章的同学将进入决赛.甲同学十分喜欢数学，积极报名参加竞赛. (1)若一轮比赛中题库有5道艺术题和5道历史题，其中甲会2道艺术题，4道历史题，老师随机各抽取2道，求甲同学在这一轮比赛中答对1道艺术题，2道历史题的概率； (2)若每道艺术题甲答对的概率为，历史题答对的概率为.为提高参赛成绩，甲进行了赛前突击，使得艺术题和历史题答对的概率共增加了0.3，记增加后答对艺术题概率为（），答对历史题概率为（）； ①求提高后甲在一轮比赛中获得奖章的概率（用，表示）； ②以4轮比赛甲获得奖章的个数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛. 14．有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． (1)若， （i）求随机变量Y的分布列和数学期望： （ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． (2)若，求当取得最大值时的k值，并说明理由． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $